نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2009: الهندسة الميكانيكية - شعبة TSI لولوج مدارس المهندسين

Ce modèle est l'épreuve de Génie mécanique (projet mécanique) du Concours National Commun (CNC) 2009, filière TSI, concours d'admission aux écoles d'ingénieurs. Support d'étude : un aérogénérateur (éolienne tripale). L'énoncé scanné compte 6 pages et 18 questions : analyse fonctionnelle (SADT), limite de Betz, conversion d'énergie par les pales, régulateur centrifuge de calage, multiplicateur (train simple / train épicycloïdal) et résistance du mât. Les documents annexes 1 à 4 (diagrammes SADT, paramétrage des pales, plan du mât) auxquels renvoient plusieurs questions ne figurent pas dans ce scan : les réponses correspondantes sont données sous forme générale ou comme réponses probables. Voici une correction proposée.

💡 À retenir : une éolienne ne peut capter plus de 16/27 ≈ 59 % de l'énergie du vent (limite de Betz, atteinte pour V₂/V₁ = 1/3). Pour un train épicycloïdal, écrivez toujours la relation de Willis avant de chercher une vitesse.

II — Aérogénérateur

Question 1 — Actigramme A-0 (réponse probable, le diagramme A0 du document 2 n'étant pas dans le scan).
• Fonction globale (dans la boîte) : Transformer l'énergie cinétique du vent en énergie électrique.
• Entrée : énergie cinétique du vent (donnée).
• Sorties : énergie électrique (fournie au réseau) ; vent ralenti (énergie cinétique résiduelle) — ou, selon la présentation du document 2, pertes / informations d'état.
• Données de contrôle (flèches du haut) : énergie de commande (alimentation électrique par la batterie) et consignes / réglages (vitesse et direction du vent mesurées par la girouette et l'anémomètre, consignes du calculateur).
• Support (flèche du bas) : l'aérogénérateur.

Question 2 — Rendement d'une éolienne parfaite (limite de Betz).
Avec la vitesse au niveau de l'hélice V = (V₁ + V₂)/2 (théorème de Froude), le débit massique est ρSV et la puissance captée :
P = ½ρSV(V₁² − V₂²) = ¼ρS(V₁ + V₂)(V₁² − V₂²).
Avec P₀ = ½ρSV₁³ et x = V₂/V₁ : P/P₀ = ½(1 + x)(1 − x²).
Dérivée : ½[(1 − x²) − 2x(1 + x)] = ½(1 + x)(1 − 3x), nulle pour x = 1/3.
Maximum : ½·(4/3)·(8/9) = 16/27 ≈ 0,59. C'est bien le sommet de la courbe donnée (≈ 0,59 vers V₂/V₁ ≈ 0,33). Le rendement d'une éolienne parfaite est donc ≈ 59 %, obtenu pour V₂/V₁ = 1/3.

Question 3 — Diagramme A0 (E1, M1, M2, M3, S31, S32, S41, S42, C3, C4). Cette question se traite sur le document 2, absent du scan : les boîtes A1 à A5 et leurs flèches ne sont pas visibles, on ne peut donc pas affecter les propositions avec certitude. Démarche attendue : E1 est l'entrée d'énergie (énergie cinétique du vent) ; M1, M2, M3 sont les supports (girouette/anémomètre, hélice + multiplicateur + génératrice, système hydraulique…) ; pour chaque boîte, les sorties correspondent à l'effet produit (par exemple « Hélice face au vent » pour la fonction d'orientation, « pales calées » pour la fonction de réglage du calage) et les données de contrôle aux consignes (« consignes système hydraulique », « alimentation électrovannes », « consignes transformateur et batteries », « alimentation calculateur »).

Question 4 — Diagramme A5. À compléter sur le document 2, absent du scan : question non traitable ici.

2-3 — Conversion de l'énergie éolienne en énergie mécanique

Question 5 — Figures de changement de base (réponse probable, le document 3 n'étant pas dans le scan). Paramétrage usuel pour ce sujet :
• θ : rotation de l'hélice autour de x₀ : (x₀, y₀, z₀) → (x₀, y_r, z_r), axe de la pale selon y_r ;
• β : angle de calage de la pale, rotation autour de l'axe de la pale y_r : (x₀, y_r, z_r) → (x_p, y_r, z_p) ;
• i : angle d'incidence entre la corde du profil et le vent apparent, autour de y_r : (x_p, y_r, z_p) → (x_v, y_r, z_v), x_v étant la direction du vent apparent.
Chaque figure se trace avec l'axe de rotation sortant de la feuille, les deux autres axes décalés de l'angle compté positivement.

Question 6 — Vent apparent. Composition des vitesses en C :
V(C∈vent/pale) = V(C∈vent/0) − V(C∈pale/0).
V(C∈vent/0) = V_réel·x₀ ; la pale tourne autour de (O, x₀) : V(C∈pale/0) = θ̇x₀ ∧ r_cy_r = r_cθ̇·z_r.
D'où V(C∈vent/pale) = V_réelx₀ − r_cθ̇z_r, et, x₀ ⊥ z_r :
‖V(C∈vent/pale)‖ = √(V_réel² + r_c²θ̇²).

Question 7 — Couple dû à la portance (réponse probable, dépend des conventions d'angles du document 3).
La portance R_zz_v est perpendiculaire au vent apparent. Le vent apparent fait avec le plan de rotation l'angle φ = β + i (tan φ = V_réel/(r_cθ̇)). La composante de la portance dans la direction du mouvement de la pale (±z_r) vaut donc R_z·sin(β + i), avec le bras de levier r_c :
M_O(vent → pale)·x₀ = (r_cy_r ∧ R_zz_v)·x₀ = r_cR_zsin(β + i).
Pour les trois pales : C_{vent→hélice} = 3·r_c·R_z·sin(β + i).

Question 8 — Valeur nominale du couple. Puissance à fournir sur l'hélice (transmission η = 0,9, générateur η = 0,97) :
P_hélice = 600/(0,9 × 0,97) ≈ 687 kW.
Vitesse de l'hélice : N = 1500/49 ≈ 30,6 tr/min, soit ω = 1500 × 2π/(60 × 49) ≈ 3,21 rad/s.
C_{vent→hélice} = P/ω ≈ 687 285/3,206 ≈ 2,14·10⁵ N·m (≈ 214 kN·m), en négligeant le couple résistant dû à la traînée.

2-5 — Dispositif de régulation

Question 9 — Chaîne de transmission du mouvement de 7 à 6.
Translation de 7 suivant +y → rotation de 3 autour de (O, z) par l'intermédiaire de la biellette 4 (rotules en D et C) → translation de 2 suivant x₁ (vers le ressort, sens −x₁ d'après le schéma) par l'intermédiaire du contact ponctuel 3/2 → rotation de 6 autour de son axe (y) par l'intermédiaire de la biellette 5 (rotules en A et B), ce qui modifie l'angle de calage.

Question 10 (numérotée « Question 1 » par erreur dans l'énoncé) — Liaisons entre les solides 1 à 7 d'après le graphe : 1-2 glissière, 1-3 pivot, 1-6 pivot, 2-3 ponctuelle, 2-5 rotule, 5-6 rotule, 6-7 pivot glissant, 7-4 rotule, 4-3 rotule : L = 9 liaisons, N = 7 solides. Il s'agit d'une chaîne fermée complexe (plusieurs boucles imbriquées). Nombre cyclomatique : γ = L − N + 1 = 9 − 7 + 1 = 3.

Question 11 — Mobilités et hyperstatisme.
• Mobilité utile m_u = 1 : la position de la masselotte 7 impose l'angle de calage de la pale 6.
• Mobilités internes m_i = 3 : rotation de la biellette 4 autour de DC (rotule-rotule), rotation de la biellette 5 autour de AB (rotule-rotule), rotation de la masselotte 7 autour de son axe (pivot glissant, rotule D sur l'axe).
• m = m_u + m_i = 4.
Inconnues cinématiques : I_c = 1 + 1 + 1 + 5 + 3 + 3 + 2 + 3 + 3 = 22 ; équations : E_c = 6γ = 18.
h = m − I_c + E_c = 4 − 22 + 18 = 0 : le mécanisme est isostatique.

2-6 — Multiplicateur

Question 12 — Train à axes fixes. Deux engrenages extérieurs (1-2 et 3-4), 2 et 3 solidaires :
N₁/N₄ = (Z₂/Z₁)(Z₄/Z₃) = (Z₂/15)² (Z₂ = Z₄, Z₁ = Z₃ = 15).
1470/30 = 49 ⟹ Z₂/15 = 7 ⟹ Z₂ = Z₄ = 105 dents (deux contacts extérieurs : 1 et 4 tournent dans le même sens).

Question 13 — Train épicycloïdal (porte-satellites 5, satellites 2-3). Raison du train (5 supposé fixe) :
(N₁ − N₅)/(N₄ − N₅) = (−1)²·(Z₄·Z₂)/(Z₃·Z₁) = (45 × 45)/(15 × 15) = 9 (relation de Willis).
Avec N₁ = 1470 et N₄ = 30 : 1470 − N₅ = 9(30 − N₅) ⟹ 8N₅ = −1200 ⟹ N₅ = −150 tr/min : le porte-satellites doit tourner à 150 tr/min en sens inverse du rotor.

Question 14. La solution B (train épicycloïdal) est la moins encombrante : roues de 45 dents au lieu de 105 pour le même rapport global de 49, et entrée/sortie coaxiales.

2-7 — Résistance du mât

Repère : axe du mât (O, x₀) vertical, O au pied (encastrement, x = 0), P au sommet (x = L, hauteur du mât donnée sur le document 4, absent du scan). Convention : torseur de cohésion = actions de la partie supérieure (x' > x) sur la partie inférieure, exprimé au centre G de la section d'abscisse x.

Question 15. La partie supérieure ne reçoit que le torseur {τ(ext → mât)}_P. Transport de P en G, avec GP = (L − x)x₀ :
M_G = Cz₀ + GP ∧ (−Qx₀ − Py₀) = Cz₀ + (L − x)(−P)z₀.
{τ_coh}_G = { −Qx₀ − Py₀ ; [C − P(L − x)]z₀ }, soit :
N = −Q (compression), T_y = −P, T_z = 0, M_t = 0, Mf_y = 0, Mf_z(x) = C − P(L − x).
Le mât est sollicité en compression + flexion simple (poids propre du mât négligé).

Question 16. Mf_z est affine en x : son module est maximal à une extrémité (|C − PL| en x = 0, |C| en x = L). La poussée du vent donnant un moment PL bien supérieur à C, la section critique est la section d'encastrement (pied du mât, x = 0) :
|Mf_z|_max = |C − PL| = PL − C (valeur numérique à calculer avec la hauteur L du document 4).

Question 17 — Déformée sous le moment C seul (Mf_z = C constant le long du mât ; v(x) : flèche suivant y₀).
a) Diamètre variant linéairement de D_b (pied) à D_s (sommet) : D(x) = D_b + (D_s − D_b)x/L, tube d'épaisseur e :
I_Gz(x) = (π/64)[D(x)⁴ − (D(x) − 2e)⁴] (≈ πD(x)³e/8 en paroi mince), et
E·I_Gz(x)·v''(x) = C : équation à coefficient variable.
b) D constant : I_Gz = (π/64)[D⁴ − (D − 2e)⁴] constant et E·I_Gz·v''(x) = C.
c) Conditions d'encastrement : v(0) = 0, v'(0) = 0. Deux intégrations : v'(x) = Cx/(EI_Gz), v(x) = Cx²/(2EI_Gz) (arc de parabole). Au sommet : flèche CL²/(2EI_Gz) et rotation CL/(EI_Gz).

Question 18 — Épaisseur minimale. Contrainte normale maximale de flexion (fibre extrême, y = D/2) :
σ_max = C·(D/2)/I_Gz ≤ R_e/C_s, avec I_Gz = (π/64)[D⁴ − (D − 2e)⁴].
D'où (D − 2e)⁴ ≤ D⁴ − 32·C·D·C_s/(π·R_e), soit
e ≥ ½[D − (D⁴ − 32CDC_s/(πR_e))^1/4].
Application numérique : R_e/C_s = 150/6 = 25 MPa ; I_Gz ≥ 1343 × 0,1/(25·10⁶) = 5,37·10⁻⁶ m⁴ ;
(D − 2e)⁴ ≤ 0,2⁴ − 64 × 5,37·10⁻⁶/π = 1,600·10⁻³ − 1,094·10⁻⁴ = 1,491·10⁻³ m⁴ ⟹ D − 2e ≤ 196,5 mm ⟹ e ≥ 1,76 mm.
(Approximation de paroi mince I ≈ πD³e/8 : e ≥ 8I/(πD³) ≈ 1,71 mm, même ordre de grandeur.)