نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2016: علوم المهندس - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

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Concours National Commun Filière : MP Session 2016

Transcranial Magnetic Stimulation
Présentation du système.

Selon l’Organisation Mondiale de la Santé, la dépression est la première cause
d’'handicap. Elle se situe au quatrième rang des maladies en termes de coût par
maladie.

Jusqu'à présent, on obtenait des résultats plus ou moins probants selon les patients
avec les traitements médicamenteux (antidépresseurs), les psychothérapies et les
sismothérapies (électrochocs).

Récemment, de nouvelles pistes sont apparues dans la thérapeutique de cette
pathologie, notamment avec la TMS Transcranial Magnetic Stimulation ou la
Stimulation Magnétique Transcranienne (SMT).

Principe de la technique :

Ce traitement est une Illustration 1 : Principe de la TMS
technique non-invasive qui

consiste à déplacer à la Bobine ‏لصون‎

a 4
surface du crâne une sonde ‏نسب جب‎
0 Profondeur
: ١ maximale de la
stimulation

de stimulation afin de Champ ‏يل‎
‎Neurone activé

pt EE | ; magnétique pulsé
modifier l’activité électrique
du cortex.

L’idée est de stimuler des
zones du cortex cérébral par
l'application sur le crâne
d’une bobine délivrant des
impulsions magnétiques
brèves et de forte intensité,
totalement indolores.

Champ magnétique

Neurone au repos

La TMS est utilisée comme outil de recherche afin d’améliorer les connaissances des
mécanismes neurophysiologiques et cognitifs.

Ses applications thérapeutiques potentielles sont nombreuses, en particulier dans le
domaine psychiatrique : la TMS fait actuellement l’objet d’études cliniques dans les
domaines des épisodes dépressifs majeurs résistants aux médicaments et des
hallucinations auditives de la schizophrénie, où elle apparait comme particulièrement
prometteuse.

+ + + + + + + + ++ ‏سح ل‎ Dépolarisation locale

Champ
magnétique Rae. ;
variable 7 , Bobine

électrique E
Crâne Champ | = courant

élect rique : ..
‏ة‎ = conductivité

u = angle

Illustration 2 : Mécanisme d’activation neuronale engendrée par la TMS.

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Afin de soulager le praticien, de rendre possible le traitement à grande échelle de
patients avec la TMS et d’affiner l’évaluation de ses effets, un système robotique pour
la TMS est développé.

Le sujet qu’on vous propose vise à étudier 16 système robotisé répondant aux
exigences imposées par les médecins et les chercheurs.

Diagrammel : Diagrammes des exigences de point de vue médecins et chercheurs :

Req [Paquet] CDC [Exigences]
‹‹requirement›› ‹‹requrement» ‹‹requirement»›
Positinnement Recherches Encombrement

Text="Positionner avec précision Text="Etudier les éffets de cette
une sonde sur la tête du patient” méthode de stimulation”

0 ai 0
‹‹requrement»›
Exigences_CDC_Médecins
Text="Automatiser ‏ذا‎ procédure de

‹‹requrement›› ‹‹requirement› ‹‹requirement»›
Sécurité_pationt Conditions de travail du Médecin Répétabilité des séances de TMS
Text="Assurer un niveau haut de Text="Assurer un confort Text+"Réaliser des séances de TMS à

sécurité pour le patient” et une sécurité pour le grande échelle pour le patient”
Médecin

Le robot développé par Axilum possède
un bras articulé à 7 degrés de liberté
ainsi qu'un siège également mobile selon
2 axes. Au bout du bras se trouve fixée la
bobine de stimulation TMS. Le schéma
cinématique du robot est donné ci-contre.
Les trois premiers axes de rotation (J1, J2
et J3) permettent le placement de la
bobine autour d'une première sphère de
grand rayon son centre est le point O.

L'axe de translation suivant la direction
(OF) J4 permet de placer la bobine au
contact du crâne du patient.

Les liaisons pivot du poignet (J5, ‏6ل‎ et
J'7) sont utilisées pour orienter la bobine
en fonction de la zone de stimulation ;
recherchée, la bobine décrit alors une Illustration 3 :
petite sphère de centre E. Schéma cinématique du robot

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Actionneur Axe 1

Axe 2

› Embrayage
‏سشهر‎ Axe 4

__ Moteur

Poignet :

Réducteur} +
Axes 5. 6. 7

Illustration 4 :
Vue générale du robot

Actionneur
Axe 1

La commande de ces
différents axes est réalisée
grâce à une caméra
stéréoscopique qui détermine 44
dans un environnement 3D,
la position de la tête du
patient.

De plus, un capteur d'effort
placé sur la bobine permet de
réguler l'effort bobine/crâne.

A partir de ces informations,
un calculateur détermine la
commande à envoyer à
chaque articulation. La
commande des articulations
est asservie afin de pouvoir

translation du

suivre par exemple un léger - i |
mouvement de la tête du 2e pied de bielle
patient. Illustration 5 : Architecture mécanique

Les moteurs électriques des articulations doivent donc pouvoir fonctionner à
différentes vitesses.

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Le diagramme 2 ci-dessous représente le diagramme partiel des exigences auquel doit

répondre le robot.

req [Paquet] Sécurité_ patient [Exigences]
‹‹tequirement››
Vitesse de travail

Text = "Limiter la vitesse de travail du robot”

‹‹requirement»›
Vitesse de la sonde
ID = "121"

Text="L'espace de travail
doit être parcouru par la

›» refine » | sonde à faible vitesse”

+Vitesse de la sonde :
0.33mmis

‹‹requirement››
Éffort de contact

Text="Contrôler l'effort de contact de la
sonde sur la tête du patient”

‹‹requirement››

Espace de travail
Text="Limiter l'espace

de travail du robot au
scalp du patient”

‹‹requirement››
Sécurité

‎Text="Assurer un haut niveau‏
‎de sécurité pour le patient”‏

ic refine »

‹‹requirement››
Asservissement

Text = "Réguler l'effort de contact”

+Consigne de force: 5 Newtons.

+Erreur statique: nulle.
+Dépassement: nul.

‹‹requirement»›
Orientation

Text="Orienter la
sonde autour de la tête
du patient”

‹‹requrement=›
Déplacement linéaire

Text="Mettre en
contact la sonde sur

‹‹requirement›=›
Déplacement sphérique
Text="Déplacer le centre de

la sonde sur une sphère
modélisant le crâne du

la tête du patient”
+Marge de gain › 12 décibels.

+Marge de phase: 60 degrés.
+ Temps de réponse ‹ › 8

patient”

«Sati sfv» «Sati sfy›› «S atisfy›

Poignet à 3 llaisons
pivots J5, J6 et J7
concourantes

Bras à 3 liaisons
pivots ‏,آل‎ J2 ot J3
concourantes

Liaison glissière

Diagramme 2 : Diagramme des exigences Sécurité du patient :

L’étude qu’on vous propose comporte 3 parties :

e Partie I : Etude de l’axe 1

e Partie II : Etude des axes 2 ,3 et 4

e Partie III : Analyse de la régulation en effort de l’axe 4

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Partie I : Etude de l’axe 1

Objectifs :
e déterminer la loi entrée / sortie cinématique de l’axe 1 ;
e  dimensionner l’actionneur de l’axe 1.

Un dispositif de type bielle-manivelle est retenu pour la transformation de
mouvement de l’axe 1. L’exigence espace de travail limite l’amplitude de mouvement de
rotation de l’axe 1 à 110°. Ce mouvement est obtenu par l’utilisation d’un guidage de
forme circulaire (Figure 1, page 6).

L’actionnement est obtenu à l’aide d’un dispositif bielle-manivelle ; un moteur à
courant continu Maxon assurant le déplacement du coulisseau par le biais d’un
réducteur lié à une vis à billes ; le coulisseau étant lié à l’_écrou.

Un système de rappel exerce en permanence un effort vertical pour tendre à
ramener le coulisseau en position haute en cas de coupure de courant. Dans cette
situation, un embrayage assure le découplage entre l’ensemble moteur-réducteur et la
transmission. Le diagramme 3 ci-dessous définit le diagramme de bloc interne de l’axe 1.

Ibd [block] Bloc interne [Axe n°1]

Diagramme 3 : Diagramme de bloc interne ibd de l’axe 1

Question 1 :

a” À partir du diagramme 3, déterminer les composants qui interviennent dans la
chaîne d’énergie de l’axe 1.

b°- À partir du diagramme 3, déterminer les composants qui interviennent dans la
chaîne d’information de l’axe 1.

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Les figures! et 2 représentent les schémas cinématiques de l’axe 1 :

7 5 SD › 14: Elément
piloté ‏و‎
‎0 : Guidage circulaire

8

13 : Bielle 12 : Coulisseau

porte-ècrou

Figure 1 : Schéma cinématique spatial du système de transformation de mouvement
de l’axe 1

11 : Vis à bille

13 : Bielle

12 : Coulisseau
porte-ècrou

AB = x{t) & 0 : Guidage circulaire
32-2 ١ Figure 2 : Schéma plan du dispositif de type bielle-manivelle

= 6X13

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Le système de transformation de mouvement de l’axe 1 est constitué des éléments
suivants : voir figure 1 et figure 2 page 6.

Guidage circulaire fixé au bâti 0 : repère lié R,(O,X, y,Z) supposé galiléen. X est
vertical ascendant et g——g.X est l’accélération de la pesanteur.

e Vis à bille 11 : en liaison pivot parfaite d’axe (A,X) avec le guidage circulaire (0)
tel que : OÂ=—e.ÿ. On donne ‘(11/0)=w,,X.

e Coulisseau 12: en liaison glissière parfaite de direction X avec le guidage
circulaire (0) et en liaison hélicoïdale, à droite et de pas p en mm, d’axe (B,x)avec
la vis à bille (11) tel que : AB=—x(t).X.

e Bielle 13: en liaison pivot parfaite d’axe (B,z) avec le coulisseau (12) et en
liaison pivot parfaite d’axe (C,Z) avec l’élément piloté (14). Le repère
R,,(B,X,3»Y,3:Z)est lié à la bielle (13) tel que : a(t)=(2,X%,3)=(9,Y,3) et BC= Lis

e Elément piloté 14 : en contact avec le guidage circulaire (0). La liaison 14/0 est
modélisée par une liaison pivot parfaite d’axe(0,Z). Le repère r,, (O,X,4,Y,4,Z) est lié
à l’élément piloté (14) tel que : 0(t)=(X,X,4)=(7,ÿ,4)etOC=(R+dx).X, 4 — dy.Y,4 -

Etude cinématique :

Question 2 :

a°- Tracer le graphe de structure de l’axe 1.

b°- Ecrire les équations, exprimées dans la base(x,y,Z), traduisant la fermeture
cinématique au point C de la chaîne 0-12-13-14-0.

c°- Ecrire les équations, exprimées dans la base(t,y,Z), traduisant la fermeture
géométrique de la chaîne 0-12-13-14-0.

d°- En considérant la chaîne 0-11-12-0, déterminer la relation entrew,, etX. En

utilisant les valeurs numériques ci-dessous ainsi que le diagramme 3 page 5,
déterminer la valeur numérique dex (en mm/s).

Valeurs numériques : R = 500 mm, L = 560 mm, dx = 35 mm, dy = 96 mm,
e = 619 mm, d= 16 mm (diamètre de la vis à bille), p= 5 mm (pas de la vis à bille),

k = 1/4,3 (rapport de réduction du réducteur), Nmot = 6930 tr/min (vitesse de rotation
nominale du moteur).

On cherche à déterminer graphiquement la vitesse angulaire Ô de l’élément piloté 14
lorsqu’il atteint la position angulaire0=—20° .

Question 3 : Répondre sur le document réponse DR1 (Page 24).
a°- Tracer le vecteur vitesseV(B,12/0) . On prend, pour la suite, X =-—134,3(mm/s)
b°- Déterminer la direction du vecteur vitesseV(c,14/0).

c° Déterminer graphiquement le vecteur vitesseV(c,14/0). En déduire la valeur de

la vitesse angulaire 2

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La courbe de la figure 3 est
obtenue par simulation
numérique du comportement
cinématique du système. D

1

Figure 3 : Vitesse angulaire
de l’élément piloté 14 en

fonction de l’angle 6.

Vitesse angulaire (*/s)

6 1 1 1 j 1
-110 -100 -90 -80 -70  -60 so -40
Angle (°) 0

1 1 1 1

Question 4 : Comparer la valeur numérique de la vitesse angulaire 0 de la
question 3-c° avec celle simulée pour 0=—20° . Conclure.

Etude dynamique (voir paramétrage sur la page 6) :

Données et hypothèses :
e Moteur Maxon :

« La vitesse de rotation du moteur est 101660 ٠
‏ع‎ Le moment d'inertie de l’axe moteur par rapport à son axe de
rotation est noté / -

« Le couple moteur est notéC,

e Réducteur :
« Le rapport de réduction est noté k.
‏ع‎ Le moment d'inertie équivalent du réducteur ramené sur l’axe
moteur est noté J..

« Le rendement du réducteur est noté n.-
e Vis à bille 11 : Le moment d'inertie par rapport à son axe de rotation est noté J,,
e Coulisseau 12 : La masse est notée M,, .
e Le rendement de la liaison L 2/11 est noté”),
e Bielle 13: Le moment d’inertie par rapport à l’axe(B,Z)est noté ‏.وز‎ Le centre

d’inertie est notéG,, tel que BG, = 7 *13 - La masse est notée Min

e Elément piloté 14 : Le moment d’inertie par rapport à l’axe(G,,Z)est noté J,, . Le

centre d’inertie est noté G,, tel que OG,, = R.X,,. La masse est notée M, -

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e  L’axe moteur et la vis à bille sont supposés équilibrés dynamiquement.
e l’action du système de rappel sur l’écrou (Coulisseau 12) est modélisée par un
9 7

glisseur en B : ‏أ لووورن‎

rappel 7

e L’accélération de la pesanteurg =—g.X.

On considère l’ensemble de la chaîne cinématique

N° =axe moteur, réducteur, 11, 12, 13, 14

Question 5 :

a”- Déterminer l’expression de l’énergie cinétique de l’ensemble
›, = (axe moteur, réducteur, 11, 12) par rapport au repère galiléenR, .

b”- Déterminer l’expression de l’énergie cinétique de la bielle 13 par rapport au
repère galiléenR, .

c° Déterminer l’expression de l’énergie cinétique de l’élément piloté 14 par
rapport au repère galiléen R,

d°- Déterminer, en les justifiant, les puissances des actions mécaniques
intérieures à l’ensemble).

e”- Déterminer, en les justifiant, les puissances des actions mécaniques
extérieures à l’ensemble).

La configuration la plus défavorable est obtenue lorsque la bielle est verticale, c’est-

à-dire lorsque 6 = - 90°. Dans ce cas, il est possible d’approximer (R+dx) = e ‏مام‎ x 0.

Question 6 :

a°- Dans cette configuration et en reprenant les résultats de la question 2,

déterminer, en fonction de e, dy et L, les relations cinématiques entrex , à et) au
voisinage de la positona 20 . Montrer que l’énergie cinétique de l’ensemble=
1
2
le moment d’inertie équivalent ramené à l’axe moteur.

b°- Par application du théorème de l’énergie cinétique, déterminer, sans expliciter
Ja , l'expression du couple moteurC,, dans la configuration la plus défavorable.

peut s’écrire sous la formeT(2/0)= sa em . En déduire l’expression deJa 8

Partie II : Etude des axes 2 ,3 et 4 :

Objectifs :
e  dimensionner les actionneurs des axes 3 et 4.
e dimensionner le système de freinage de l’axe 2.

Données et hypothèses :
e Les éléments constituants le robot, pour cette partie, sont représentés sur le
tableau de la page 10.

e L'’axe 1 est supposé bloqué dans la position#,. L’angle0,est constant.

. 9 = —g,X est l’accélération de la pesanteur.

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e Un dispositif de rappel à effort constantF,, suivant(E,X;), permet d’assurer un

mouvement de translation du poignet vers l’extérieur de la tête du patient en cas
de coupure de courant.

Dans cette partie, on considère le modèle simplifié défini par le schéma cinématique de
la figure 4 ci-dessous.

Figure 4 : Modèle simplifié

Paramétrage géométrique et Modèle Paramétrage cinétiques
adopté
Repère lié R,(0,X,y,Z) supposé galiléen
Liaison avec le support 0 supposée
bloquée. L’angle0,est constant.

Repère lié R,(0,X,,Y,,Z;) ٠ On suppose O le centre de
9.2) 3-8 gravité.
2 1222 1/727 | Moment d’inertie par rapport à
L2/1 : liaison pivot d’axe(0,X,). l’axe (0,X,): J,-

L3/2 : liaison pivot d’axe(0,Z,). Maïrice-d'inertis
A 0 0

0 0

Centre de gravitéE.

Repère lié R,(E, X3, Y3,Z3)-
L4/3 : liaison glissière de direction

4 (3) - Matrice d’inertie
+ poignet _ A, 000
" 0 dens
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Pour chacun des trois axes motorisés, une action mécanique et un frottement
visqueux équivalent de l’actionneur [Mi associé à l’axe N° i sont définis au niveau de
la liaison correspondante :

| Grandeurs équivalentes rapportées à l’axe Axe N°2 Axe N°3 | AxeN°4 |

Action mécanique de l'actionneur Ci (en N.mn) Cu (en Nm) | Fya (en N)
Mi] sur l’axe

Frottement visqueux

/ (en rad/s ) 1/5 (en 704 / ‘ Ja (en mis )
Le graphe d’analyse du modèle mécanique est proposé figure 5
Pes Pes Pes

Motorisation

M4 Dispositif
Frottements, de rappel

visqueux visqueux

L 4/3

Figure 5 : Graphe d’analyse
Question 7 :

a°- Déterminer le torseur cinétique, au point O, de (3) dans son mouvement par
rapport à Ro.
b°- Déterminer le torseur cinétique, au point O, de (4) dans son mouvement par
rapport à Ro.

Mise en place de la stratégie d’étude du modèle proposé

Question 8 : Proposer une stratégie d’isolements et de calculs à mettre en œuvre
pour déterminer les expressions des actions mécaniques ‏ور ونا‎ Et Fm
(générées par les actionneurs [Mi] associés aux trois axes) : on indiquera, dans le
tableau ci-dessous (à recopier sur la copie) l’ensemble isolé, le théorème à utiliser
(avec éventuellement le point de calcul) et la direction de projection en justifiant

clairement le choix de la méthode adoptée.

Effort | Ensemble isolé | Théorème utilisé Justification du choix d'isolement et
du théorème utilisé

Cm 2

Cm3

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Les calculs vectoriels ci-dessous peuvent être utilisés dans les questions 9, 10 et 11 :

Coso, Cos0,
XX, =|—Sin0,.Cos0,| | Sin0,| =Cos0, -Cos0, — Sin0, Cos0, Sin0,
Sin0, Sin0, ‏وول 0 ول‎

Cost, Cosb, —Sin0, Sin0, Sin0,
XAX, =|-Sin0,.Cos0,| A| Sin0,|_ = Sin0, Sin), Cos0,
Sin0, Sin0, 0 Cos0, .Sin0, + Sin0, Cos0,.Cos0,

B2 B2 B2

Question 9 : En utilisant la démarche proposée dans la question 8, exprimer
l'équation différentielle du mouvement liant F,,, aux paramètres du mouvement

On suppose pour la question suivante :

La liaison 4/3 est bloquée à \(t)= À naze

L'ensemble ‏رك‎ =—(3+4)est de masse ‏روك‎ de centre d’inertie 9 tel que
‏يم‎ _ 44, 0 0
OG,, = R34-X3 et de matrice d'inertie I(O,E,,)=| 0 B, 0
(34) Ja 25)
Question 10 : En utilisant la démarche proposée dans la question 8, exprimer
l'équation différentielle du mouvement liant ‏وبر‎ aux paramètres du mouvement

Etude du système de freinage de l’axe 2 : Voir le diagramme Bdd page 13.

La transmission de l’axe 2 est Illustration 5 : Maquette numérique de l’axe 2

Frein par
Couronne, manque de
courant

Moteur Codeur

conique

composée :

d’un moteur Maxon,

d’un renvoi conique de
rapport 1/3,

d’un réducteur Harmonic
Drive de rapport de
réduction p=1/100et de

rendementn=0,9. 8 À dir, +0 — Réducteur
L’actionneur [M2] sur l’axe N°2 + = pe ٠. | dt
est équipé d’un système de XX ١ ‏يع‎ 1 NS Et
freinage permettant de délivrer © 0

un couple ‏ور‎ sur l’axe(O,X,) et ————

assurant l’immobilisation de l’axe 2 en cas d’arrêt d'urgence. Voir le tableau page 10.
Question 11 : les axes sont supposés à l’arrêt.
a°- En appliquant le théorème du moment statique en O en projection surX, ,

déterminer l’expression de Cr en fonction de M,, M,, 9, 0,, 02.0, et) ‏ا‎ ;

b”- Quelle est la position la plus défavorable pour le système de freinage ?
En déduire l’expression ‏ورا‎ dans cette position.

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Renvoi conique
Values:
Rapport de
réduction=1/3

7

Circulaer spline

Réducteur
Harmonic
drive

join ISSU du frein placé à

Flexspline

Déterminer l’expression du couple C

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Diagramme 4 : Diagramme bdd de l’axe n°2

Bdd [Paauet] Axe n°2

Réducteur Harmonie
Drive
Values:
Rapport de
réduction=1/100
Rendement=0.9

Frein à manque de
courant

parts
: Frein à manque de courant {unique}
: Réducteur Harmonie Drive {unique}
: Moteur Maxon F2260 {unique}
: Renvoi conique {unique}

Moteur Maxon F2260

En cas de coupure de
courant, l’axe = de
rotation du réducteur
est immobilisé par le
frein, qui entre en
action en quelques
millisecondes.
Quelques secondes
après la coupure de
courant ‏يعوا‎ est
ramené en position
verticale suite au
mouvement de l’axe

7

Figure 6 :

Schéma technologique ©
l’ensemble de la transmission
du deuxième axe :

Question 12 :

l’entrée du réducteur Harmonic Drive en fonction de Cr :

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Frein à manque de courant : Figure 7 Schéma
Le schéma = ci-contre (en position cinématique du frein

intermédiaire) précise le modèle retenu pour le
frein à manque de courant.

Dans le cas du frein à manque de courant, c’est
la non alimentation du frein et du moteur qui
provoque le freinage.

L’électro-aimant est sous tension. Par action d’un
champ magnétique, le disque est attiré vers
l’électro-aimant.

Lorsque l’électro-aimant n’est pas alimenté le Wg 2
contact entre le disque de frein et un disque lié à
laxe d’entrée du réducteur est rétabli par

l’intermédiaire de l’action du ressort.

L’avantage de ce procédé réside dans le fait que le freinage est toujours assuré,
même en cas de coupure d’énergie. C’est la raison pour laquelle ce procédé est
fortement conseillé lorsque la sécurité est prépondérante.

L’action mécanique exercée par le disque de frein (S) sur le plateau (Wg) est
modélisée, en chaque point M de la surface de contact, par la densité surfacique de

e P: Pression normale de contact S/Wg.
1 : coefficient de frottement.

° ‏كاب‎ —Wg): Pression tangentielle de
contact S/Wg.

e La surface de contact est modélisée
géométriquement par un disque creux de
rayon intérieur R, et de rayon extérieur R,

e La base(X,,ll,V)est une base orthonormée
directe. 0=(y,td)=(Z,v). On donne

OM=ri.

Figure 8 : Modélisation de
la surface de contact

Question 13 :

a°- Déterminer, par application des lois de Coulomb, l’expression de la pression
tangentiellet,,(S —Wg).

2 M, (s— Wg) avec My,(S — Wg) représente le

On définit le couple de freinage C, =

moment des actions mécaniques en O modélisant globalement les actions de
contact entre le disque de frein (S) et le plateau (Wg).

b°- Déterminer l’expression deC,,

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Etude du réducteur :

Objectif : justifier  l’intérêt d’un réducteur Harmonic Drive, en le comparant avec un
réducteur à train épicycloïdal.

Réducteur à train épicycloïdal :
Le schéma cinématique du réducteur est

Satellite

présenté sur la figure 9. Il est constitué
- Une couronne de nombre de dents
Z, liée à l’arbre de sortie. Arbre Antec e Sorié
- Une couronne de nombre de si a
dents Z, fixée au bâti 0. ‏بل‎
‎- Deux pignons de nombre de dents
Z,… EtZ,, liés au satellite. prnractsaretiter
- Un porte satellite lié à l’arbre
moteur.
Z, =100.dents Z, = 66.dents 27
Z,, = 30.dents Z, = 20.dents .
Question 14 : ‏م‎
‎Déterminer le rapport de réduction Cas Figure 9 : Schéma du
Wan réducteur épicycloïdal

Etude du réducteur Harmonic Drive :

Le réducteur Harmonic Drive, intégré dans l’axe 2, joue à la fois le rôle de liaison pivot
et de réducteur. Ce type de réducteur est composé essentiellement de 3 éléments
(Iustration 6) :

Le Circular spline (lié au bâti O0) est une
bague circulaire à denture intérieure. Le
Flexspline (Fs) est une cloche en acier
déformable à denture intérieure et le
Wave generator (Wg) est un moyeu
elliptique serti d’un roulement à billes,
utilisé comme transmetteur de couple.
Le Flexspline (Fs) a un diamètre
primitif légèrement inférieur à celui du
Circular Spline et compte deux dents en
moins. Il est déformé par le Wave
Generator (Wg) elliptique. Le Flexspline
engrène selon le grand axe de l’ellipse.

Vave generator

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Concours National Commun Filière : MP Session 2016

Le réducteur Harmonic Drive peut être 20 À y
modélisé par le schéma cinématique ci- - 7
contre. Il est composé des éléments : - we

Circular spline (0) : bague circulaire à
denture intérieure de nombre de dents Z(, »
de rayon R,.et de module m.

Wave generator (Wg) : assimilé à un
excentrique en liaison pivot d’axe(P,Xx,). On

donne PH=r.Yy, -

Flexspline (Fs) : roue de nombre de dents Z,,
, de rayon R, et de module m, en liaison pivot
d’axe(H,X)avec Wave generatoret en
contact ponctuel en I avec Circular spline.

ى 1712 2.2 مضا = مال ول ‎Pr %0 Org Fra‏ ورج ولواح ورو!؟ : ‎On donne‏

Question 15 :

a°- En considérant le roulement sans glissement en I, déterminer le rapport de

réduction —E en fonction des nombres de dentsZ,, etZe, -
‏ونا‎

‎etZes -‏ م62 ‎=2dents, en déduire les valeurs‏ ما - ى 2162 ‎En rappelant‏ 9ط

‎Expliquer l’intérêt de ce type de réducteur. (Voir diagramme 4 page 13)

‎Partie 111 : Analyse de la régulation en effort de l’axe 4 :

‎Objectif : Évaluation du comportement de l’asservissement en effort.

‎La translation du poignet Système pignon- Dispositif Codeur
est obtenue par un simple crémaillère Retappel angulaire
système pignon-crémaillère dont
le pignon à un rayon de 5mm.
Ce système est motorisé par un
moteur Maxon F2140 associé à
un réducteur de rapport 1/200.
Un dispositif de rappel à tension
constante est utilisé pour écarter système poulie-
la sonde du patient, en cas de courroie (Axe 4)
coupure de courant.

‎Embrayage

‎Dans cette situation, la
transmission est interrompue Moteur et
par un embrayage. Pour des VRQUERQUE
raisons de =…—compacité, la
transmission est faite sur 2 axes Glissière
parallèles, avec interposition
d’un système poulie-courroie de
rapport unitaire.

‎Illustration 7 : Structure de l’axe 4

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Session 2016

Dispositif de rappel
Proprieties:
Fr= 53N

Filière : MP

Partie de commande
Values:

Facteur de
conversion =1V/N

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Diagramme 5 : Diagramme bdd de l’axe n°4 :

bdd [Paquet] axe n°4

Pignon cremaillere

+poignet

Values:
|as=2.6e-6Kgm2

Mpr=4.6Kg
Rpr=5mm

Capteur d'éffort de
la sonde

: Réducteur (unique} 1 ‏تقاابيوع‎ courroie

: Embrayage (unique) Values.

: Poulles courroie (unique) \p=9e-8 Kgm2

: Dispositif de rappel (unique} Krp=1

: Capteur de position angulaires (uniq.…
: Pignon cremaillere +poignet (unique)
: Capteur d'éffort de la sonde (unique)
: Partie de commande {unique}

: Moteur Maxon (unique)

Proprieties:
Rendement global de l'axe n°4
est égal à 1.

Values:
Résolution
Kc=1v/N

Capteur de position 1
angulaires

1
1
1
1
1
1
1
1
1

Embrayage

1
Réducteur
Values:
Ir= 0.2e-7 Kgm2
Kred= 1/200

Moteur Maxon

Proprieties:
Cm=34.2 Nm
Nm=2430 trimn
Cr=0 Nm

Values:
Im=2.4e-6 Kgm2
R= 9.73 Ohms
L=1.27e-3 Henry
f=5.8e-5 Nms/rad
K=0.027(SI)

La mesure de vitesse angulaire de l’arbre moteur est réalisée en aval du
réducteur, au niveau du pignon.

La commande de l’axe 4 est réalisée à partir de la mesure de l’effort de contact
de la sonde sur le patient, à l’aide d’un capteur intégré à la sonde.

Afin de valider la sécurité de la commande, un modèle sous forme de schéma-bloc est
établi. Ce modèle permet notamment de faciliter la conception de la commande et de la
partie opérative du mécanisme en fonction du comportement attendu en sortie.

La figure 11 page 19 représente le schéma bloc de l’asservissement

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Session 2016

Filière : MP

Concours National Commun

Les caractéristiques principales des éléments constituant l’axe 4 sont définies sur le
tableau ci-dessous :

Nom du Caractéristiques Notation | Valeurs
composant
Moteur Inertie autour de l’axe moteur 8 2/4/5 Kg.m°
Maxon Vitesse de rotation nominale An 2430tr/mn
Couple moteur cn 34,2N.m
Couple résistant 6 négligé
Résistance électrique du moteur R 12
Inductance du moteur L 1,27.10°.H
Constante de force contre- k 0,027
électromotrice rad/s.V
Constante de couple k 0,027N.m/A
Coefficient de frottement visqueux f 5,8.10°
Capteur de position ; ;
angulaire de l’arbre | Résolution angulaire Konot 2 (rad/s)/V
moteur
| Inertie équivalente ramenée à l’arbre I 0,2.107 Kg.m°
Réducteur de sortie du réducteur A
Rapport de réduction Kred 1/200
Péuliss Inertie autour de leur axe de rotation 7 910071
Rapport de réduction Km 1
Arbre secondaire | Inertie autour de leur axe de rotation Las ‏و قت‎
Rayon primitif du pignon 5.mm
pignon yon p ps Ror
Crémaillère + Masse M, 4,6.Kg
poignet P
Dispositif de Effort de rappel Fe 53N
rappel
Tête du patient | Raideur K, 5000.N/m
Capteur d’effort | Résolution K 1.V/N
de la sonde
Partie commande | Facteur de conversion Kc 1.V/N
Axe 4 Rendement global de l’axe 4 7 1
On note :

u,,(t)La tension aux bornes du moteur, i(t) l’intensité, e(t)la force électromotrice ;
w,(t)La vitesse angulaire du moteur, &(t)la vitesse angulaire en sortie de
réducteur, U,, (t) Tension image de la vitesse angulaire en sortie de réducteur.

1 (t) Consigne de force, u, (t)Tension image de la consigne. F(t)L’effort de contact de
la sonde sur le patient, Usoy(t) Tension image de l’effort de contact de la sonde sur le
patient. X(t) Déplacement.

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Figure 11 : Schéma bloc de l’asservissement en effort

Er) Diposi
positif 0
0 de rappel 5 ‏رادم‎
‏لاما‎ 1 2 Ÿ (p | ! 5 P) 0 ? 0 1 1 1

Poulie +
Courroie

Embrayage
pignon+
crémaillère

Tête du
patient

(rad)

‎Capteur‏ لاوا
‎sonde‏ 0
‎Par une étude mécanique on obtient l’équation modélisant le comportement‏
‎dynamique de l’axe 4 :‏

‎1. de 0m = C,- fe, -R,-KÇe Fr = ‏الى‎ 421 KR M RER

‎Pour la suite on supposera quel, ‏ملك‎

‎Modélisation du moteur :

‎Le comportement linéarisé du moteur autour de son point d’équilibre est modélisé par
les quatre équations suivantes :

Équation électrique : U,,(t)= Ri(t)+L. : i(t)+e(t)
Équation de couplage tension / vitesse : e(t)=kw, (t)
Équation de couplage couple /intensité: | C,(t)=ki(t)
F,(p) Figure 12 : Schéma bloc

‎En utilisant les quatre
équations précédentes et
en supposant les
conditions initiales nulles, U,(p)
le schéma bloc de la
figure 12 modélise le
comportement du moteur
+réducteurs.

‎du moteur+tréducteur

‎On rappelle que ‏مركا‎ -1 .

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Le schéma bloc de la figure 12 peut se | Les deux fonctions de transfert A,(p) et
A Figure 13 : K

Schéma bloc y ÉE Pp+ A

équivalent A ‏ب‎ 0

‎' 52 là 7 2

‎Question 16 :

‎a”- Déterminer les fonctions de transfert A,(p)etA,(p). En déduire les
expressions des gains statiques ‏ا‎ etK,, de la constante du tempsT , du facteur
d'amortissement Z et de la pulsation 27100176 0 .

‎b°- Déterminer l'expression dew, la vitesse de rotation à la sortie du réducteur

‎en régime permanent pour un échelon de tension d’amplitudeU, et un effort de

‎rappel constant de moduleF,

‎La figure R1 du document réponse DR 2 (Page 25) représente la réponse indicielle du
moteur réducteur pour un échelon de tension d’amplitudeU, = 12(V) pour un effort de

‎rappel supposé nul, F, =0.
Question 17 : Répondre sur le document réponse DR2 (Page 25) :

‎a°- Justifier, au vu de la réponse indicielle de la figure R1 du document réponse

‎b”- En utilisant la méthode d’identification proposée sur le document réponse DR2,

‎quelle hypothèse peut-on faire pour modéliser le système par un système du ler
ordre ?

‎DR2, qu’on peut mettre A, (p) sous la forme A, (p)=

c°- On poseA,(p)= 7 7 2 Déterminer les valeurs de ‏برعا‎ 21

‎La figure R2 du document réponse DR 2 (Page 25) représente la réponse indicielle du
moteur réducteur pour un échelon d’effort de rappel d’amplitude F, = 53(N) et une de

‎tension supposé nulle, U,=0(V). En considérant l’hypothèse de la question 17-b, on

1

‎Question 18 : Répondre sur le document réponse DR2 (Page 25) :

‎Déterminer les valeurs de K, etT, . En déduire la valeur de la vitesse du moteur -
réducteur en régime permanentœ), ( ٠

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Le constructeur a fait le choix d’intégrer
une boucle de vitesse de rotation du
moteur. La mesure de la vitesse
angulaire est réalisée en aval du —_, ; Q ١
réducteur. Le nouveau schéma bloc est 77 ‏باس‎ ١ red(P)
définit sur la figure 14.

K, est le gain de l’amplificateur.

On donne :
Question 19 : Schéma bloc du moteur+tréducteur avec chaîne de retour

a°- Déterminer, sous leurs formes canoniques, les fonctions de transfertB, (P) et

B,(p) en fonction deK, , Kyo» Km» Kr © ‏م‎
‎b”- En analysant l'expression dewæ, » la vitesse de rotation à la sortie du
réducteur en régime permanent pour un échelon de tension d’amplitudeU, et un
effort de rappel constant de moduleF,ainsi que la rapidité du moteur ,

expliquer l’intérêt de cette boucle de vitesse.
++ PourK, =1, donner, sous leurs formes numériques, les fonctions de transfert

Asservissement de force :

L’asservissement de force peut être modélisé par le schéma bloc de la figure 15 :

Pour la suite, on utilise les résultats suivants :

Question 20 :

a°- Justifier le choix deK, = K,.

b”- Montrer que le schéma bloc de l’asservissement peut se mettre sous la forme
du schéma de la figure 16 page 22.

c°- Déterminer les gainsK, etK, en fonction deGy,,G,, R,r»K,etK,. Faire les

applications numériques.

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Les fonctions de transfertH, (p) et F,(P)

H, (P) s’écrivent sous la forme :

‏تادلوم‎

Figure 16 : Schéma bloc à retour unitaire
Correction proportionnelle : C(p)=C
Question 21 :

Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte Hpo (P) . En déduire le gain

K,0 › la classe et l’ordre deHpo (P).

Question 22 : On donneK, = 2,15.

Déterminerc, 5, la valeur de © permettant d’avoir le système le plus rapide sans

dépassement.

Sur la figure R3 du document réponse DR3 (Page 26), on donne les diagrammes de
Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte (F.T.B.O.) non corrigé(C =1).

Question 23 : Voir Document Réponse DR3 (Page 26).
a°-Déterminer puis représenter les marges de phase et de gain non corrigées.
b”- Représenter la marge de phase pour la valeur dec, - Indiquer sa valeur.

Question 24 :
a” En supposant Fr=0, donner l’erreur statique pour un échelon de consigne
d’amplitude F, .

b”- En supposant Fc=0, déterminer l’erreur statique pour un échelon perturbateur
d’amplitude F, .

Question 25 : La correction proportionnelle permet elle de respecter le cahier
des charges ? Voir diagramme 2 des exigences page 4.

Correction proportionnelle intégrale : © (P) ‏ما‎ per

Question 26 :

Déterminer, en utilisant le critère de Routh les conditions surC etT, pour avoir un
système stable.

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On choisit 34 = où œ, est la pulsation de coupure à O dB de la FTBO corrigée par le

correcteur proportionnel intégral.

Question 27 :
a°- Déterminer, telle que la marge de phase de la F.T.B.O. Me = 60° .En déduire
la valeur deT, .
b°- DéterminercC telle quew, soit effectivement la pulsation de coupure à O dB de la
FTBO corrigée.

Les figures R4 et R5 des documents réponses DR3 (Page 26) et DR4 (Page 27)
représentent respectivement les diagrammes de Bode de la F.T.B.O. corrigée et la
réponse indicielle de l’asservissement

Question 28 :

a”- Sur la figure R4 du document réponse DR3 (Page 26), déterminer les
nouvelles marges de gain et de phase.

b”- Sur la figure 125 du document réponse DR4 (Page 27), déterminer :

-  L’écart en régime permanent.

- Le temps de réponse à 5%.

- Le dépassement. Conclure.

La réponse indicielle de l’asservissement est donnée sur la figure R6 du document
réponse DR4 (Page 27) avec un correcteur Proportionnel Intégral tel queT, =6(s) et

Question 29 :
Sur la figure R6 du document réponse DR4 (Page 27), déterminer
-  L’écart en régime permanent.
- Le temps de réponse à 5%.
- Le dépassement. Conclure.
Question 30:
Sur le document réponse DRS (Page 28) :
- Tracer les diagrammes asymptotiques de Bode de la fonction de transfert en
boucle ouverte corrigée avec un correcteur Proportionnel Intégral tel que
T, =6(s) etC = 8 .(avec justification de vos tracés)
- Déterminer Les marges de gain et de phase. Conclure.
FIN DE L’ÉNONCÉ
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Document Réponse DR1

Echelle : 7812/0 —3(cm)

7 1

0-08

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Document Réponse DR2

Question 17 : Illustrer vos réponses sur la figure R1.

; à M. Figure R1
On donne ci-contre la reponse indicielle VITESSE SORTIE REDUCTEUR

du moteur réducteur pour un échelon de !
tension d’amplitudeU, =12(V)pour un ‏!ل وي‎

effort de rappel supposé nul, F. =0.

‎CC)‏ 8 سا ساس اوس كيزا ساود اس اا

‏ا ا ل

‎“él 7777‏ ا 2 7 ادس 777 7777 وسو لماي + ›= 0.002 0005 0001 00005 0

‎oom à l’origine

‎Méthode d’identification :

‎SiT, ‹‹T,on peut approximer T,comme l'intersection de la tangente au point d'inflexion
de la courbe avec l'axe des abscisses. La valeur de T, +T,est obtenue par l'intersection
de cette tangente avec l'asymptote à l'infini.

‏ةر توه ةرت | 17-002 ‎Question‏
‏ل ا د ‎Question 1 7-b° AL‏
لمكم ممه مج مما مجم مجم وي م ع ممم معام ص | ردي رق ‎mestron‏

‏= بمب
02 018 016 014 012 01 0.08 0.06 0.04 0.02

‎On donne ci-contre la réponse indicielle du
moteur réducteur pour un échelon d’effort
de traction d’amplitudeF, =53(N) et une

‎de tension supposé nulle,U, =0.

‎Question 18 :
Illustrer vos réponses sur la figure R2

‎0 0.02 0.04 006 0.08 01 012 014 016 0128 02

‎Sciences industrielles pour l'ingénieur Page 25

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3
3

2016

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‎s s es ses e -s es ses se sesese+- = = + = › 2e = + = + = S‏
يدرك
‎(gp) 81007 (.) oseug (ap) opnujduy (.) eseud 2 3‏

Figure R3

‎Marge de phase :............….….….rrrresrersasesssssa nana nse sense 0e‏ ; ممساك

‎Cr5%

‎b”- Pour C

‏م متم مه تتم يتفم

‏اماع افر اما اما اماه سياه لعا تمر ما اومتها اداه مامه لمعيه الم اه املو واه وهاه ومسو مو 113261615173875 : 1
‎Marge de gain‏

‎Illustrer vos réponses sur la figure R3 ci-dessous.

‎uestion 23

‎Document Réponse DR3

‎lon

‎Sess.

‎lière : MP

‎1 Commun

‎10118

‎Concours Nat

— صفحة 27 —
نماذج المبار

ات من موقع و

2
9
2
1
2

Page 27

Sciences industrielles pour l'ingénieur

0.35 04 5 05 0,55 06

03

Conclusion.

Le dépassement.

Le temps de réponse à 5%.

وى جا ادها د
احا لاا
الإ د
1
‏ارما اه لوادت
را ‎ff‏
1

régime permanen

L’écart en

la figure ci-contre.

29

reponses sur

Figure R6

FORCE

0 Illustrer vos

uestion

‎EEE EEE‏ اا ‎GE PES‏ امن

‎Figure R5

‎FORCE

‎LOC HÉDESSOONÉ ‏دوه و و7‎ tennis ae ‏افا تراه امك‎ Re RE EEE EEE

‎Le temps de réponse Ô 590 ‏لاله ا‎ renier aan tnt rer DRE ‏دواو اواو‎

‎Sur le document réponse DR4, déterminer :

‎régime permanen

‎L’écart en

‎Illustrer vos réponses sur la figure RS ci-dessous.

‎uestion 28

‎Document Réponse DR4

‎2016

‎lon

‎Sess.

‎lière : MP

‎1 Commun

‎10118

‎Concours Nat

— صفحة 28 —
نماذج المبار

ات من موقع و

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‎Sciences industrielles pour l'ingénieur

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‎Expression numé

‎uestion 30

‎Document Réponse DR5

‎ion 2016

‎Sess.

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‎10118

‎Concours Nat