نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2009: علوم المهندس - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

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CONCOURS NATIONAL COMMUN D’ADMISSION AUX GRANDES
ECOLES D’INGENIEURS MAROCAINES

SESSION 2009
FILIERE : MP

EPREUVE DE SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGENIEUR

DUREE : 4 HEURES

Composition du sujet

Le sujet comporte 27 pages, dont :
- 19 pages de texte ;

- 2 documents annexes ;

- 6 documents-réponses, à rendre obligatoirement à la fin de l'épreuve.

AUCUN DOCUMENT SUPPLEMENTAIRE N’EST AUTORISE
CALCULATRICES AUTORISEES

Les SEPT parties constituant le sujet peuvent être traitées indépendamment.

Une rédaction soignée, une écriture lisible et des résultats encadrés seront appréciés par les correcteurs.

Si au cours de l'épreuve le candidat repère ce qui lui semble une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa
composition en mentionnant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre

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Concours National Commun Session 2009

APPAREIL DE SPORT

PRESENTATION :

Tapis
roulant

Roues de

Support ut L déplacement
inclinable Ju pour rangement

Photo 1 : Appareil de sport

L'appareil, objet de notre étude, fait partie des équipements des établissements
de fitness et des domiciles pour un usage personnel.

Il permet à un utilisateur de réaliser une séance de sport.

Son tapis roulant, dont la vitesse linéaire de déplacement peut varier, à volonté,
entre 0 et 12 km/h, est monté sur un support inclinable verticalement.

Photo 2 : support (inclinaison Photo 3 : support (inclinaison
minimale) maximale)
2

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Session 2009

Concours National Commun

La vitesse du tapis ainsi que l’inclinaison de son support, peuvent être

sélectionnées selon deux modes :
Mode 1 : sélection directe de la vitesse et/ou de l’inclinaison dans une

gamme proposée (évolution continue) ;
Mode 2 : incrémentation - décrémentation de la vitesse et/ou de l’inclinaison

avec un pas de 0.1 km/h pour la vitesse et de 1° pour l’inclinaison.

Photo 4 : Pupitre de l’appareil

DisTANEE

‏انض كفت
مسفشعت

م مسا
‎Gamme des‏
‎inclinaisons‏

Gamme des vitesses

Incrémentation / ; :
décrémentation Incrémentation /
décrémentation de
l’inclinaison

de la vitesse

(ANNEXES 1ET2 PAGES 20 - 21)

PARTIE À : ETUDE FONCTIONNELLE
documents annexes 1 et 2, répondre

En se référant à la description fournie et aux
aux questions suivantes :
Question 1: a) Compléter le diagramme SADT niveau A-0 du document- réponse 1:
b) Compléter la diagramme SADT niveau AO du document- réponse 1 ;
c) Compléter le diagramme FAST du document- réponse 2.

ETUDE STATIQUE DU CONTACT « APPAREIL — SOL »

| PARTIE B :
Le contact entre l'appareil et le sol est réalisé grâce à deux galets et deux pieds

(Les roues de déplacement qu’on distingue sur la photo 1, ne sont pas en contact

avec le sol).

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Concours National Commun Session 2009

Photo 5 : galet | Photo 6 : pied

Notre étude vise à déterminer le coefficient de frottement minimal à assurer dans
le contact « Appareil — Sol », pour éviter tout glissement sur le sol lors de sa mise
en service.

On se placera dans le plan de symétrie vertical de l'appareil.

Le contact « Appareil - Sol » est modélisé par le schéma de la figure 1.

Figure 1

Données et hypothèses de l'étude :

e Le support est supposé horizontal.

e L'effort exercé par l'utilisateur sur l'appareil est modélisé, au point D, par le
glisseur : F = 80x — 700 y, (En N)

e Le poids de l'appareil est P=-400ÿ, (En N), passant par le point D ;

e Le contact en À est supposé parfait, celui en 0 est avec frottement.

e On notera la force en A du sol sur appareil : À et celle en O : O

Les tracés et les commentaires sont à reporter sur le document-réponse 3.

Question 2 : Etudier graphiquement l'équilibre de l'appareil :

- évaluer le coefficient de frottement minimal ‏م‎
‎nécessaire au contact en O, pour assurer la stabilité de
l'appareil sur le sol.

- Donner les modules des actions en À et en O.

Indication : le candidat pourra déterminer, graphiquement, la résultante,

au point D, des forces données, afin de ramener le problème à l'étude de
l'équilibre sous l’action de trois forces coplanaires.

4

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Concours National Commun Session 2009

PARTIE C: MECANISME DE RANGEMENT DE L’APPAREIL

Après exploitation, l'utilisateur pourra plier puis verrouiller l'appareil pour
diminuer son volume de rangement.
ui , 4! Bouton de
8 | verrouillage

Photo 7 : appareil Photo 8 : appareil plié et Photo 9 : Mécanisme de guidage
en cours de pli rangé

Lors de cette opération manuelle, l'opérateur fait tourner le bloc pivotant en le
relevant de son extrémité.

Le bloc est guidé par le mécanisme représenté sur la photo 9, et dont le schéma
cinématique est représenté sur la figure 2.

Nous nous intéresserons dans la suite à l'étude d’hyperstatisme et statique de ce

mécanisme.
Etude d'hyperstatisme du mécanisme de guidage :
a 0
51 So-S1 Pivot d’axe (M, zo)

So-S3 Pivot d’axe (O, %)
S2-S3 Pivot glissant d’axe (H, Yo)
S’2-S3 Pivot glissant d’axe (H', Vo)
S1-S2 | Pivot d’axe (N, 20)

Figure 2 \

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Concours National Commun Session 2009

a) Dresser le schéma de structure du mécanisme de guidage ;

b) Sachant que : mu=1, Evaluer le degré d'hyperstatisme h ;

c) Après avoir remplacé la liaison en N par sphérique (rotule) et celle en
N’ par sphère cylindre (linéaire annulaire), réévaluer le degré
d'hyperstatisme ;

d) Quel est l'avantage d'une telle solution ?

Etude statique du mécanisme de guidage :
L'objet de l'étude est la détermination des efforts dans la liaison au point M entre
S1 et So pour son dimensionnement éventuel.

Question 3 :

Photo 10 : liaison pivot So-S1

Pour des raisons de symétrie, l'étude sera effectuée dans le plan (M, xo, y,), plan

médian de l'appareil.
Le schéma cinématique plan simplifié, est celui de la figure 3.

Solides liés Nature de la liaison
So-S1

So-S3

Pivot d’axe (M, 0)
Pivot d’axe (Q, Zo)

ب الب 2ه لل بهل ب ب 5 ال
‎MN Peu ; WG == À ; 110 = ax ; ON = y y,‏ ; 1-7

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Données et hypothèses de l'étude :

e Le mécanisme est au repos ; avec Betô sont des données constantes ;
e L'’effort exercé par l'opérateur est de module F, ;

e Le poids du bloc pivotant 51 est P . Son centre de gravité est G 1.
e Les poids des autres éléments sont négligés ;
e Toutes les liaisons sont parfaites ;
N.B : le mécanisme est plan, par conséquent le torseur statique de la liaison L ij

réalisée entre les solide 5 i et S j lorsque cette liaison est pivot sera noté sous la

_ x. O0
R. 0
Bi} =a ‏ادح ااي‎ 0
forme : 0 A 0 0
A jj : centre de la liaison L j;.
Question 4 : a) Dresser le schéma d'analyse du mécanisme ;

b) Isoler l'ensemble E= (S2 + S3), et en déduire :

- La direction de la force ‏دبل‎ ;

-  Larelation entre X12, Y12 et 6 ;

c) Isoler S1 et écrire les 3 équations scalaires qui découlent du
P.F.S (Réduire les torseurs au point M) ;

Peut-on déterminer en fonction des données, les inconnues

statiques de la liaison Lo1 › Justifier.

PARTIE D : MECANISME D'INCLINAISON DU SUPPORT

Pour simuler la montée de l'utilisateur dans une pente, le constructeur a placé le
tapis roulant de l'appareil sur un support inclinable verticalement (Photos 2 et 3 ).

L’angle d’inclinaison est 0 .Dans toute la suite, On considèrera que : 5 ‹0‹20..
Le mécanisme d’inclinaison du support est modélisé par le schéma cinématique
plan de la figure 4.

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Figure 4 y ; 3

Solides Nature de la liaison Solides Nature de la liaison
liés liés
0-1 | Pivot d’axe (F,z0), 2-3 | Pivot d’axe (D, zç)
0-4 | Pivot d’axe, (F, zo) 2-5 | Pivot d’axe (B,2ç)
1-2 Pivot d’axe (E, 26) 0-5 Sphère-plan de normale
3-4 Glissière de direction
X3

Notre étude portera sur le comportement cinématique et dynamique de ce
mécanisme en mode 1.

Etude cinématique :
Le support 2 est supposé entraîner en mouvement grâce à un vérin (3+4).

On souhaite déterminer, graphiquement, la vitesse V(Be2/0) lorsque le système est
dans la position du document réponse 4.

Données et hypothèses de l'étude :
e 5 reste en contact avec le sol au point A ;

Les tracés et les commentaires sont à reporter sur le document-réponse 4.

Question 5 : a) Montrer que : V(E el/0) = V(E e2/0) et V(De2/0)=V(De3/0)

b) Donner les supports des vitesses : ‏وات م ا‎ et VE ello),

c) En déduire :
-le C.1.R du mouvement de 2 par rapport à 0 ( ce point
sera noté Lo);

8

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- Le support de la vitesse : V(D e2/0) .

d) Ecrire la relation liant les vecteurs vitesses en indiquant leurs

supports : V(D e3/0), V(D e3/4) et V (D ‏بق‎ ;
Déterminer, alors le module de : V (D e2/0) ;

e) En déduire le module de : V(B e2/0).

Etude dynamique :
Dans cette partie, on souhaite dimensionner l’actionneur d’inclinaison du

support.

Photo 11 : actionneur
d’inclinaison du support

Le mécanisme d’inclinaison du support
est modélisé par le schéma paramétré

plan de la figure 5. u *
Figure 5 ‏ب »ص«‎ D

Modélisation du support inclinable :
Le support 2, assimilé au solide représenté sur les figures 6 et 7, est constitué de :

e Plateau : assimilé à une plaque rectangulaire et homogène, de normale

(B,y,) de masse Mp et de centre d’inertie G p.

9

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e Moteur d'entraînement du tapis : assimilé à un cylindre plein et
homogène longueur h , rayon r , de masse Mn et de centre d'inertie

G nm. Ce moteur est à l'arrêt lors de cette étude ; On donne :
BK - Lx, — (7 -17(70

e La masse des autres constituants du support inclinable sera négligée.

Moteur Point :K
Figure 6 Rayon : 1 ‏إٍْ‎
‎Figure 6 y

Vue dans le plan ( x. y )

Moteur
Plateau

V2

Figure 7

Question 6 : Déterminer, en fonction des données, les coordonnées du centre
de gravité G du support, dans le repère (B,x,,Y ‏لمق‎
‎Question 7 : a) Donner 1 P/Bz: moment d'inertie du plateau par rapport à

l’axe (B Ze):
b) Donner I2/Bz : moment d'inertie du support 2 par rapport à

l'axe (B,z .) en fonction de Mp, Mm, L1, 12, 6117 ٠

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Etude dynamique du support inclinable :
Le schéma cinématique est celui de la figure 5 de la page 9.

Données et hypothèses de l'étude :

e Le support inclinable est chargé (Utilisateur au dessus du tapis) ;

e Le moteur d'entraînement du tapis est à l'arrêt. L'utilisateur est
supposé immobile par rapport au support ;

e Toutes les liaisons sont parfaites et roulement sans glissement
en À ;

e Gs: centre de gravité de l'ensemble 5 = {Support + Utilisateur}
qui, pour des raisons de simplification, sera défini par :

BGs = a x, ; a : constante.
M s: masse de S ;
e Les masses et inerties des autres éléments sont négligées ;
e Le moment d’inertie de 5 par rapport à l’axe (B,z0) sera noté :Is;

e L'’actionneur (act.) de translation, dont la masse est négligée, est
monté entre 4 et 3,

Fi X3
0 D
e Lerepère R,(F,x0,Y9»20) lié au bâti 0 est galiléen, et 0 vertical
ascendant.
Pour les questions suivantes, les résultats seront exprimés en fonctions des
données, des paramètres dépendants x, y, 0 et de leurs dérivées.

a) Dresser le schéma d'analyse du mécanisme (Remplacer le
solide 2 par S) ;

Question 8 :

b) Déterminer l'énergie cinétique galiléenne de l'ensemble
c) Déterminer :
-la puissance galiléenne des actions mécaniques extérieures à
l'ensemble E ;
- la puissance interne à ‏نس‎ ;
11

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d) Appliquer le théorème de l'énergie cinétique à l'ensemble E,
et déduire l'expression de l'effort En . (Ne pas expliciter le

terme dT'e/roy ) L

En réalité, l’actionneur de translation est un moto-réducteur, associé à un système
Vis-écrou, qui agit directement sur le solide 3.

Système vis-écrou :hélice

Réducteur à : N ;
engrenages ‏اي‎ à droite
. (Vis lié à 3 , tourne et
translate par rapport à
Moteur l’écrou lié à 4).
électrique

Photo 12 : constituants de l’actionneur de
translation

La transmission de puissance se fait selon le schéma de la figure 8 :

Rapport de réduction : 2 ‏إٍْ إٍْ‎ Hélice à droite de pas : P
( | À | ‹ 1 ) ; Rendement : // ; ٍ ‏إٍْ‎ Rendement : //;

Vitesse de translation: VV

Effort : Fm

Vitesse de rotation : © ‏م‎

Couple: Cr ‏إٍْ‎ Figure 8

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Question 9 : a) Exprimer ®, en fonction de y , À et p;

b) Donner, alors, le couple moteur Cm en fonction de À, p, Fm
7 UE et NN, ٠

PARTIE E: ETUDE SEQUENTIELLE DU COMPTEUR D'INCLINAISON

L'utilisateur sélectionne la position d’inclinaison souhaitée en appuyant sur le
bouton ” UP ” pour augmenter l’angle d’inclinaison du support, et sur le bouton
‘” DOWN ” pour le diminuer.

L’angle d’inclinaison du support varie entre 5° et 20° avec un pas de 1°.
L’afficheur d’inclinaison (Afficheur 6 , annexe 1) indique la position d’inclinaison
à l'utilisateur selon une échelle de 0 à 15 et avec un pas de 1.

L'indice de position 0 correspond à une inclinaison de 5° et l'indice 15 correspond
à. 20.

L'incrémentation/Décrémentation du compteur d'affichage de l’inclinaison du
support est décrite par le modèle GRAFCET de la figure 9 :

Figure 9

UP) & AU

Pine : indice de position d'inclinaison ;
AU : Clé de sécurité, qui peut être branchée ( AU=0 ) ou débranchée (AU=1) .
Rappels :-(V : = a) veut dire qu’on affecte la valeur a à la variable V.
- Xi : Variable affectée à l'étape ( i ).(Xi=1 , si l'étape (i) est
active , 0 sinon).
- La variable [1s / Xi] =1 si la durée de l'activation de l'étape (i) a
atteint 18, 0 sinon.

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Répondre sur le document-réponse 5.

Question 10 : a) Compléter : le chronogramme et le tableau du document-
réponse 5 ;
b) Modifier le GRAFCET pour que le comportement du
compteur intègre toutes les conditions suivantes :

٠ Remise à zéro du compteur dés l'activation de l'AU (clé
de sécurité débranchée) ou dés que l'on appuie sur le
bouton ” STOP ”’;

٠ N’incrémenter que si Pinc est inférieure strictement à 15 ;

٠ Ne décrémenter que si Pinc est supérieure strictement à 0.

PARTIE F: ETUDE DE LA FONCTION «AFFICHER LES DONNEES »

Les afficheurs, permettant de transmettre les différentes informations à
l'utilisateur, sont du type : Afficheurs 7 segments.

Chaque afficheur transcode un nombre N (Compris entre 0 et 9) à partir de sa
représentation B.C.D, selon le mode de la figure 10 :

(Rappel : Le B.C.D est un code qui associe à chacun des dix chiffres usuels 0, 1, ...9 un code
constitué par une suite ordonnée de 4 chiffres binaires (na, Na, N1, No), qui est tout simplement
l'écriture en binaire naturel du nombre représenté par le chiffre à coder )

Figure 10
ni : bit de poids 2:

Nombre N en
B.C.D
‏ح 0 6م0000‎

On donne, sur la figure 11 ci-dessous, le repérage des sept segments de
l’afficheur, et on convient d'associer la valeur 1 au segment qui doit être allumé, et
la valeur 0 à celui qui devra être éteint.
28878 — 061* ‏ووه‎
‎209 (8885 - Photo 13 : afficheurs du pupitre

١

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Figure 11

8

0_0 ‏وه ص هك تت حت د جد حت‎
0 ١-2 0 0١ 0 0١ oo

Question 11 : Sur le document-réponse 6 :
Compléter les tableaux de Karnaugh des segments À et E,
puis trouver leurs équations logiques simplifiées ;( les cases
ne correspondant pas à un chiffre décimal doivent être
exploitées, au choix : 0 ou 1).

4

PARTIEG: COMMANDE DU MOTEUR D'ENTRAINEMENT DU TAPIS

La translation du tapis est obtenue grâce à un moteur électrique, qui entraîne en
rotation, via un réducteur à poulies-courroie, le tambour qui déplace le tapis.

Carte

Moteur d’alimentation

électrique NN ‏دن‎ / ; et de

commande

Transmission
poulies-
courroie
de rapport
réduction N

Tambour
d’entraînement
du tapis,
de diamètre D

Photo 14 : mise en translation du
tapis

La transmission de mouvement se fait selon le schéma

de la figure 12 :

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Figure 12

Réducteur à
poulies-
courroie

Moteur
électrique F

Tambour D,
+ Tapis 7

Asservissement en vitesse du tapis :

Dans cette étude, on souhaite régler le gain de l’amplificateur, avec un choix fixé

du correcteur de l’asservissement pour satisfaire les exigences du cahier des
charges suivantes :
e Temps de réponse minimal ;
Aucun dépassement de la consigne n’est autorisé ;
Insensibilité aux perturbations ;
Stabilité assurée (MP › 45° et MG › 12 dB).
L’asservissement de vitesse du tapis est représenté par le schéma de la figure 13 :

Moteur électrique

ue “te 1 ‏امارج اجاج‎

Figure 13

Transmission de
mouvement
Vc : vitesse de consigne ;

Uc: tension d'entrée ( en V);
Fr: effort tangentiel résistant appliqué sur le tapis et qui résulte du contact
‘’Opérateur-Tapis”’.

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Le modèle simplifié du fonctionnement du moteur est décrit par les quatre
équations suivantes :

u(t) : tension de commande du moteur ;
i(t): courant consommé ;
R : résistance de l’induit ;

e(t) : force contre-électromotrice.

Cm(t) : couple moteur ;

C:(t : couple résistant ramené sur le rotor, résultant de l'effort

tangentiel résistant perturbateur Fr; avec : C,(t) = ‏مذ‎ F,(0)

[ : moment d'inertie équivalent ramené sur le rotor.

Notation : La transformée de Laplace d’une grandeur physique f(t) est F(p) et peut-être
notée aussi : 1 .

Question 12 : a) La transmission de mouvement est supposée sans
glissement. Déterminer la relation entre :

b) Les gains de l'adaptateur, du capteur et de l'amplificateur
sont : Ka, Kc et K successivement :

Compléter le schéma bloc du document-réponse 6 ;

c) Transformer ce schéma bloc pour le mettre sous la forme
de celui de la figure 14. Identifier, ensuite, chacune des
fonctions de transfert Hiæ) pour 1 6112. 34,5);

17

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Figure 14
Dans la suite de l'épreuve, on donne :

On pose : V(p) = V‹(p).He(p) - Fr(p).Hyer(p) ; (e:entrée ; per : perturbation)

Question 13 : a) On suppose que Ks=1; Donner :
-la fonction de transfert de la commande en boucle fermée,
vis-à-vis de la consigne Vote : H,(P) ;
-la fonction de transfert de la commande en boucle fermée,
vis-à-vis de la perturbation ‏صا‎ : Her (P) ;
b) Justifier que si l'asservissement est suffisamment stable
vis-à-vis de la consigne, alors il l’est vis-à-vis de la
perturbation ;
‏كن‎ L'effort Fr (t) est constant et égal à Fo. Calculer, en régime
permanent l'erreur statique de vitesse causée par cette
perturbation : et) lorsque (t ‏ج‎ œ)

d) Le choix du correcteur Cp) est-il compatible avec les
exigences du cahier des charges ? Expliquer.

18

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Dans la suite :

-On s’intéresse au comportement de l’asservissement vis-à-vis de la consigne ‏لا‎
‎On annule donc la perturbation (Fr = 0).

14 TP

-La fonction de transfert du moteur est notée : H (p)

Le schéma bloc de l’asservissement est, donc, celui de la figure 15 :

Figure 15

Question 14 : a) Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte, H pop)
de l'asservissement, et donner ses caractéristiques (ordre,
classe et gain Kso) ;

b) Pour une entrée échelon unitaire, que serait l'erreur statique
en régime permanent (e,) de l'asservissement ? Justifier ;

c) Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée : H pr(p) ;

d) L'asservissement est-il stable ?

e) Que devra être la relation entre le gain de la boucle ouverte,
Kso, et T,, pour que l'asservissement soit rapide mais sans
dépassement de la consigne.

0 Pour 7, =10*s , évaluer la marge de phase MP et la marge
de gain MG de l'asservissement ;

‎Conclure quant au respect des exigences du cahier des charges.‏ (ع

‎Fin de l'énoncé

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DOCUMENT-ANNEXE 1

Bras d’équilibre

communication
entre l’appareil et
l’utilisateur

APPAREIL Pupitre assurant la

Câble
d’alimentation
en énergie
électrique

Tapis
roulant

Pied de

Support - 3 contact avec
inclinable le sol

Galet de Roues de

contact déplacement
avec le sol

PUPITRE

; Clé d’arrêt d’urgence (AU) : en cas de chute de
Boutons M/A : mise put ris 1 1 : ;
8 l’utilisateur, la clé est débranchée et le tapis roulant
en marche et arrêt de vu.
H : s’arrête instantanément
l’appareil

Afficheur 1 : distance | Afficheur 3 : temps Afficheur 5 : poux du coeur

parcourue écoulé

Afficheur 2 : vitesse Afficheur 4 : calories | Afficheur 6 : position

linéaire du tapis dépensées d’inclinaison du support

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Session 2009
DOCUMENT-ANNEXE 2

Capteur de poux

Incrémentation /
Décrémentation de la vitesse

MECANISMES DE COMMANDE ET
D’ENTRAINEMENT DE L’APPAREIL

Couvercle
enlevé
Unité de
gestion et
d’alimentation Capteur de
vitesse et de
position du
tapis roulant
Mécanisme
d’inclinaison du
support

Mécanisme
d’entraînement
du tapis roulant

21

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Document-réponse 1 8
onsignes

MA saumon utilisateur
Utilisateur avec

| jee
Séance de Sport non Informations
réalisée Permettre à un utilisateur ‏يجبا عل‎
réaliser une séance de Sport

soucoccacccaucccanucucau00

AU M/A

Consigne de vitesse

Unité de gestion

Mouvoir
le tapis et
incliner
le support

| Mesurer

Tapis+ Mécanisme les Vtt
0 2 es
d’entraînement et

d’inclinaison paramètres
Afficher
l e 5 ‏...د تج مه جه مع‎
A0 Système d’ ‏ري‎

22

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Document-réponse 2

Incliner
le support

Simuler le
déplacement
sur un circuit

Mouvoir
le tapis

Effectuer
mesures

Transmettre
informations à
l'utilisateur

Afficher
valeurs

Assurer la
sécurité de
l’utilisateur

Assurer l'équilibre

23

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Document-réponse 3

Echelle : 1 mm —› 10 N

1
‎7 8

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Document-réponse 4

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Document-réponse 5
La durée pendant laquelle les étapes 1 et 2 restent
activent est de 1s . La clé de sécurité est branchée : AU=0

Temps (s) Pine
t=0s 0
t=dss | mes

Pine := Pine +1

26

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Document-réponse 6

Tableau de Karnaugh du segment A Tableau de Karnaugh du segment E

A = E Fessssonensensnsensanencacsnennencencnnnnonnancencanon0a00e
Fuesossosensnsensansasensenaanensanonsanannensancnsansanen0e00

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