نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2001: علوم المهندس - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

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A- PRESENTATION :
L'installation à étudier est une machine de production d'enveloppes primaires en
élastomère pour véhicules industriels (enveloppes cylindriques Giatérienr D”, épaisseur e et
largeur w).
Ces enveloppes sont obtenues par enroulement mono tour (ou multitour) de la bande
(supposée dans toutes la suite comme non élastique et parfaitement souple) sur un
tambour métallique asservi en position angulaire.

CONCOURS NATIONNAL COMMUN D'ADMISSION
AUX GRANDES ECOLES D'INGENIEURS
MAROCAINES

Structure fonctionnelle :
La machine de production d'enveloppes primaires comporte huit modules fonctionnels
(voir Cahier des Charges Fonctionnel figure 4), dont trois seulement sont présentés sur la
figure 1 :

= module MFI : module d'enroulement. Ce module est constitué d'un tambour
métallique guidé en rotation, entraîné directement et asservi en position au moyen
d'une commande d'axe (fig. 2).

e module 1112 : module de déroulement. La bobine d'élastomère, positionnée et
guidée sur quatre rouleaux, est liée à une unité de déroulement similaire à la
précédente (fig. 3).

e module MF3 : module de contrôle de tension. Le caractère élastique du produit
nécessite une très bonne maîtrise de la tension pendant l'enroulement. Ce contrôle
est assuré pendant la première phase d'enroulement au moyen d'un dispositif à patin
à contre-poids, dont la position est mesurée par un capteur linéaire et contrôlée par
deux détecteurs de sécurité;

« module MF4 : module d'amenage. Ce module, non détaillé figure 1, a pour
fonction d'amener l'extrémité de la bande en contact avec le tambour
d'enroulement;

e module MFS : module d'accrochage. Ce module assure l'accrochage de maintien
de la bande sur le tambour pour l'enroulement;

« module MF6 : module de coupe. Il a pour fonction de couper la bande avant
l'enroulement terminal;

e module MF7 : module de soudage. Sa fonction est d'assurer le soudage bord à bord
(dans le cas du monotour) des deux extrémités de la bande en fin d'enroulement (le
soudage s'effectue sans recouvrement des bords.

e module 1118 : module d'évacuation. Il a pour fonction de dégager l'enveloppe
soudée du tambour et de la transférer vers la machine suivante de la ligne de
production.

Session: 1
Filières: M&M'

Epreuve : Sciences de l'ingénieur

Durée: 4heures

Composition du sujet :

Le sujet est divisé en quatre parties (dont la première est une présentation du système à
étudier) et est constitué de 18 pages (y compris celle-ci) :

‘Aucun document autorisé
Moyens de calcul autorisés

١ Calculatrice électronique de poche ,y compris calculatrice programmable
fnon imprimante.

A la fin de l'épreuve, le candidat doit rendre :
e la copic d'examen soigneusement paginée et réponses bicn numérotées

Description global du fonctionnement

Après évacuation de la bande précédente, la nouvelle bande est déroulée et amenée, puis
accrochée sur le tambour. Un pré-enroulement est alors effectué (phase 1, angle 0); la
bande est ensuite coupée, puis l'enroulement terminé (phase 2, angle 6, = 2nx - 6,). La
bande est enfin soudée, puis évacuée.

(Si au cours de l'épreuve le candidat repère ce qui lui semble être uns erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa
composition en notant et expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Les hypothèses classiques utilisées par l'ingénieur en sciences industrielles lors de l'étude d'un système ne sont pas
systématiquement énoncées dans ‏ا‎ sujet, ‏ع1‎ candidat pourra formuler celles qu'il juge nécessaire.)

page l page 2

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— صفحة 2 —
B.II-1)Pour chacune des durées ‏رما رزياً‎ tai et ‏.أ‎ donner la nature du mouvement de
rotation de l'enrouleuse. ;

B.I-2)Calculer les angles de rotation : 0,1, 6 et ‏ريق‎ en fonction de ‏سو‎ à Et tp1- :

B.1-3)Donner la valeur de tp1 en fonction de Omax, à et 0. En déduire la
condition sur 6, en fonction de ‏موه‎ £t à, pour avoir une loi de mouvement  ‘
trapézoidale et non triangulaire pour la première phase.

B.I1-4)Montrer que T.=to+ ‏قد + نبا‎ . L'objectif étant de minimiser le

temps de fabrication, pour quelle valeur ‏ووه‎ de ‏ومو‎ la durée ‏يا‎ est-elle
minimale? (a et 0: étant fixés).
Application Numérique (enroulement mono tour) : Rtambour = 0.3m; l'accélération
linéaire maximale de la bande est ‏مو‎ = 3 m/s”. La spécification globale de durée
d'enroulement est-elle alors satisfaite? Justifier,

B.IL5) La figure 8 montre le dispositif de contrôle de tension. Ici les galets en A,
B et C ont un diamètre 00 non nul et on fait l'hypothèse que l'angle & = œ et
donc reste constant. Determiner alors la longueur du tronçon ACB.

Pendant une durée dt, quelle est la longueur dLg de bande qui est entrée en B
et dLa celle qui est sortie par À. C'est la différence de ces deux valeurs qui va
augmenter la longueur ACB et donc modifier z par la valeur dz, montrer
alors que :

a -Le ‏الات لسن‎

‎Etude dynamique‏ لاا

‎Dans toute la suite, on fait les hypothèses suivantes :

‎® production des enveloppes monotour et l'epaisseur e de la bande est négligeable
devant r, = 01/2,
les inerties de la bande sont négligeables,
les frottements dans les liaisons sont nuls,
le rendement du réducteur = 1 8
et pendant la phase de coupe le couple moteur est nul, c'est un frein qui assure le
maintient en position du tambour enrouleur.
Soit Cmr le couple exercé par le moto réducteur sur le tambour enrouleur (fig. 9a).

‎B.IN-1) Donner l'équation différentielle du mouvement du tambour enrouleur
en ‏مرت‎ en déduire l'allure du diagramme du couple Car en fonction du temps
au cour d'un cycle de durée T. (fig. 7), en supposant la tension 1 dans la

‎bande constante. Quelle est la puissance maximale que doit développer le
moteur ceci étant un des critères pour le choix d'un moteur.

‎page 4

‏ا + ا |( اسيل للبللللللسسلسلسستسسسليبرس__ببسسريبس ببست

‎B- Partie Mécanique

‎Etude géométrique et cinétique‏ ل
‎Dans cette étude on considère les diamètres dd des galets d'enroulement (fig. 6a)‏
‎négligeables,‏

‎B.I-1) En considérant la partie de la bande dans la bobine à dérouler sous la
forme de cylindres concentriques (fig. 5) et que la couche la plus interne, a
un rayon moyen de ‏رم‎ et que celui de l'ième couche, est ‏يرم‎ montrer que p; est
une suite arithmétique. En déduire la longueur L; enroulée dans la bobine
correspondant à "i" tours en fonction de i, e et p;.

‎B.I-2) Calculer la longueur ‏وميعا‎ du tronçon EACB puis Lpp celle du tronçon
BD en considérant la figure 6b.

‎B.F-3) La coupe s'effectue au voisinage du point A, déterminer la longueur ‏مآ‎ du
tronçon ACBD qui est la chute minimale perdue de la bande, en supposant la
bande totalement déroulée et le tronçon BD tendu car son extrémité finale est
collée sur le tambour du dérouleuse. L'expression de ‏ما‎ doit être donnée en_
fonction des données géométriques de la figure 6b. Cv › ;

‎L'étude de la dérouleuse étant faite dans le cas le plus défavorable du point de vie
rapidité, on considère alors le cas où l'inertie est la plus grande et donc le rayon rs - 72
est grand devant do/2 (fig. 6a). On négligera donc ‏مل‎ devant da.

‎B.I4) Le rayon de la bobine dérouleuse ‏و‎ = d,/2 est variable en fonction de son
angle de rotation © En supposant que ce rayon varie de façon linéaire
continue et que pour ‏م‎ = 0, n = D/2 avec D le diamètre extérieur initiale de
la bobine, donner l'expression de r:(w) en fonction de 9, e et D. En déduire
l'expression du moment d'inertie J.(() de la bande seule de la bobine
dérouleuse assimilée à un cylindre, en fonction de w, ‏,م‎ D, e et ‏,و‎ sachant
que la masse volumique du matériau constituant la bande est p et sa largeur
est w.

‎B.I-5) La hauteur h étant constante, quelle est la valeur de l'énergie cinétique de
la bande toute seule figure 667 En fonction des données géométriques de la
figure, P, Ja et (6) +

‎IV  Etudecinématique =
Pour la commande de l'axe de l'enrouleuse on a adopté une loi cinématique en trapèze,
pour ‏رن‎ donnée par la figure 7.

‎page 3

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C.I-1) Comparer les modes d'asservissement pour l'enrouleuse et la dérouleuse et
dire quels sont leurs objectifs respectifs.

C.1-2) Le diagramme fonctionnel de la figure 12 représente le système de
contrôle de tension. Après avoir calculer la transformée de Laplace de la
relation de la question B.III-3) donner les expressions de Ho(p), H;(p) et de

Dans le reste de cette partie nous étudierons la boucle d'asservissement de position de

l'enrouleuse.

C.1-3) Dans le but d'expliciter le bloc d'entrée U1(p) et T,(p) et de sortie Qn1(p)
; calculer la transformée de l'équation de la question B.1I1-2) et le
système d'équations modélisant le comportement du moteur M1, puis donner
les expressions des fonctions de transfert : H;(p), H4(p), Hs(p), Hs(p) et H7(p)

C.I4) Ecrire Qm:(p) sous la forme Qm:(p) = A(p).U1(p) + B(p).T:(p). La stabilité
du système vis à vis de la perturbation T, et celle vis à vis de ‏,نآ‎ sont elles
équivalentes? Justifier.

On ne considère dans la suite que l'influence de U,(p) sur Qm1(p) en
supposant que la tension T, est bien régulée.

La constante de temps électrique étant négligée (l'inductance ‏يآ‎ = 0 Henry), la figure 14a
donne le schéma fonctionnel de la boucle d'asservissement de l'enrouleuse. Dans un
premier lieu on prendra K, égal à l'unité.

C.I-S) Proposer un modèle cohérent pour G(p) dont la réponse fréquentielle
est représentée sur la figure 14b, puis identifier ses paramètres.

Donner la marge de phase et la marge de gain du système.

C.1-6) Décomposer en éléments simples la fonction de transfert : G(p) 78 ;
1

En déduire sa réponse temporelle à l'impulsion de Dirac 5)0. Dessiner son
allure.

C.I-7) Calculer la fonction de transfert en boucle fermée ‏ادرو‎ . Calculer

son gain statique K, sa pulsation propre ‏ونه‎ puis son coefficient
d'amortissement z.

C.I-8) Calculer l'erreur statique es et l'erreur de traînage ez.

C.1-9) Quelle est maintenant la valeur à donner au gain K, pour obtenir une
marge de phase de 45° ? Que deviennent alors les erreurs es et er?

الببسسسلسس لس هس لس سر سم مس ‎A‏

page 6

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3.11-2( Les figure 9a et 96 sont équivalentes. On note :
* Je : le moment d'inertie équivalent des masses tournantes rapporté sur
l'arbre moteur.
* Cr: le couple résistant dû à 1 , rapporté sur l'arbre moteur,
B.III-2-a/ Calculer le moment d'inertie ‏ىل‎ et le couple résistant Cp.
B.III-2-b/ Que devient alors l'équation de mouvement de l'enrouleuse où

les variables sont ‏رزو‎ Cm: (couple transmis du moteur au réducteur) et
17

B.IN-3) Montrer en utilisant le théorème du moment dynamique que les
tensions 116: T2 de la figure 8 sont égales si on a fait l'hypothèse que le
moment d'inertie de la poulie de 00 est négligeable. Montrer la relation

1 2cosa, 4 {a À, fa à, ,

Pour réguler la tension T, on commande le moteur M2

donc on agit sur ‏.يون‎ Comment doit agir le système de commande sur ‏يون‎
‎pour compenser une augmentation de T,? Justifier.

C- Partie Automatique

Les moteurs à courant continu qui sont utilisés dans le système ont pour modèle :

Pour le moteur M1
e=k.o,  :fcem (voir figure 10).

Cm =K,i,  :couple moteur

De la même manière est modélisé le moteur M2.

On utilisera la notation qui à une fonction de temps (en nunuscule) f{t) on associera la
transformée de la place F(p) (notée en majuscule) exemple U1(p) est associée à u;(t).
L'enrouleuse est asservie en position selon le schéma fonctionnel de la figure 118, où :

6.(p) est la loi de consigne en position; CR,(p) est un correcteur et K, un gain de réglage
proportionnel de la boucle de position.

La dérouleuse est asservie en vitesse selon le schéma fonctionnel de la figure 11b, où la
consigne de vitesse est la vitesse d'enroulement de la bande (avec V, (p) ‹2 ‏(م‎ y

1
CR2(p) est un correcteur et K, un gain de réglage proportionnel de la boucle de vitesse.

N.B : Dans la suite vous pouvez utiliser les relations qui ont été mentionnées dans la
partie Mécanique.

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‏ييز‎

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املس ‎Sie nerenemens‏ ل الب 83860

Module de
déroulement
(dérouleuse)

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Module de contrôle de tension
(pantin à contrepoids et capteurs)

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2

MF4

Module d'évacuation

و- وع#نورة ‎UONESIFppOU‏ 180 20248146

Module d'enroulement
(enrouleuse multitours)

jatuaIsAs
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219 “© “y 590011519109120 535 “UEYNSNf ‏إم نيفد دنا‎ ‘S] 9MÉG ‏مد زه‎
907000 81132511817 ‏ونا‎ (s1p10 ‏إى‎ Un sed) orp:0 owlerxnap np 153 jnb ‏امنود‎
‎‘98100 811791545 NP ojrerorpuI 2500021 ej 210951 S|emêge] (or-rD

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— صفحة 5 —
Épaisseur produit | 10 mm=0,1 mm 1 (+15 % maxi)
Largeur produit jim£5mm ‏سيت‎

Diamètre d'enroulement 600 mm maxi

Angle d'earoulement Un tour, sans recouvrement
F1 Enrouler ‏و‎ Découvrement ‹ 0,5 mm

Cycle d'enroulement

— durée — 3 5 maxi, coupe incluse
— deux phases (séparées par | — voir détail du cycle

la coupe) (figure intégrée au sujet)
— accélération — 3 m/s2maxi

* Compatibilité avec F1 ec F3 3
* Compatibilité avec F4 7
Contrôler la | Réglage de la tension T T de 50 à 200 N ‏تكة‎ A
tension
produit | |MaintiendelatensionT 11+08 | 1 1

Amener bande

sur le tambour Duéed aAmenags

Accrocher [Durée d' accrochage 1 se paie

F:écision * 2 0, mm
‏لا 3 ا ةد‎

Évacuer Durée d'évacuation 1023 maxi pour

enveloppe FS, F7 et F8)

€ 4 : CACF de l'unité de production automatisée d'enveloppes en élastomère

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‎‘age en rotation‏ مب 1
‎٠ ren jar aire‏

Capteur Capteur
de Se
viesse position

Fier ure 2: A Sservissement d'axe da 1 'enrouleuse

Capteur
vitesse

Figure 3 : Asservissement d'axe de la dérouleuse

“page 9

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— صفحة 6 —
MF1 : enrouleuse ‘ : MF2 : dérouleuse

MF3 : Cm2 résultant sur l'axe de bobir .)
contrôleur Jm2
de tension

(moment de frottement |

Moment du couple exercé par le moteur Ml ‏عن‎ 7 le moment d'inertie par rapport

l'entrée du réducteur R 1 _ 0 | T- enrouleur. _

le moment d'inertie par rapport à l'axe O,N du rotor et |J; ‏عل‎ moment d'inertie (variable en fonction de

du réducteur rapporté à l'arbre moteur ___ (l'angle de rotation ) par rapport à l'axe OX de la |
mere ‏لو‎ bande seule de la bobine dérouleuse considéré

rapport du réducteur = ou | comme un cylindre de rayon ‏م‎ =: da/2 lui-même
1

bobine dérouleuse cette dernière est une fonction

Figure 66 : paramétrage des modules MFI à MF

‏الع‎

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— صفحة 7 —
Réducteur

Inertie équivalent
rapportée sur

l'arbre moteur
Jai : inertie du rotor du moteur + celle du 2 un mi iee
0 : rapport du ri eur
réducteur 1 pp

1
‏رون‎ : couple du moteur sur l'arbre d'entrée
du réducteur

J, : inertie du tambour enrouleur
‏رون‎ : couple du moteur sur l'arbre d'entrée
du réducteur

Figure 9 — modélisation de l'enrouleuse

Ry L; e1(t)

10

1211 ©

Figure 10 — modélisation du moteur à courant continu

Figure 114 — boucle d'asservissement de position de l'enrouleuse

page 14

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Figure 8 — modélisation du système de contrôle de tension

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— صفحة 8 —
Module (en dB)

Phase (en ° )

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SE ES ee

Pose: GRELEUSS VRP Fosse Goes ES

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page 16

page 15

Figure 11b — boucle d'asservissement de la dérouleuse

مس و ‎rome‏

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Figure 14a — ta boucle d'asservissement de position

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Figure 13 — diagramme fonctionnel du moteur + enrouleuse

— صفحة 9 —
84 ponse indicielle de la fonction H(p)

Amener bande Compter
ET enveloppes

Dérculer bande

‎Enrouler d'un angle 0 57 0-+
ET Dérouler bande

‎Immobiliser tambour

‎[5] Coupe: banda
‏لاد‎
‎0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Enrouler d'un angle 8 ET 6 — 2.x
temps (en 8) ET Dérouler bande
Figure 15

‎Immobiliser tambour

‎Souder enveloppe

‎lancement production (lp) GPN Accrocher bande (ACB) :
es Amener bande (AMB) ë
aulorisation de production (ap) ‏لب‎ Produire ‏!010نا‎ + Compter enveloppes (CE)

‎de rm enveloppes ‏يا‎ Coupe: bande (CB)
| H—» Dérouler bande (DB)
| ‏حيس‎ Enrouler d'un angle © (E0)

‎Grafcet point de vue procédé associé à la machine‏ - 1121176017 الو اه ا جب

‎Souder enveloppe (SE)

‎m enveloppes produites (mep)

‎Figure 16 — tableau d'entrées-sorties

‎race 17

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