نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2019: الفيزياء 2 - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

استُخرج هذا النص آلياً من صور الامتحان وقد يحتوي على أخطاء في القراءة — الصور أعلاه هي المرجع.

— صفحة 1 —
Concours National Commun - Session 2019 - Filière MP

* On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il
convient en particulier de rappeler avec précision les des questions
abordées.

* Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant
clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

* Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être
admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties du problème sont
relativement indépendantes entre elles.

Données :

Constante de Boltzmann : ‏وا‎ -1,38.10 7.7
‹ Constante d’Avogadro : N, =6,02.10”mol"!.

+ Charge élémentaire : e=1,6.10"°C.

* Masse de l’électron : m, =9,11.10”'kg.

* Masse molaire du néon : M, = 20,1g.mol".

* Masse molaire du carbone : M, =12,0g.mol".

* Accélération de la pesanteur : g=9,8m.s”.

+  Permittivité électrique du vide :
7.56

٠ Vitesse de la lumière dans le vide : c=3,00.10*m.s"'.

e  leV=1,602.10"°J.

* Constante de Planck : h=6,63.10-*J.s.

Tous les résultats numériques seront donnés avec un nombre de chiffres
significatifs compatibles avec les données fournies.

La première partie est notée sur 4 points, la deuxième sur 16 points.

Partie 1 :
Interférence de deux ondes lumineuses

1. Ondes cohérentes, ondes incohérentes

Considérons deux ondes lumineuses monochromatiques (l) et (2), de
pulsations respectives ‏ره‎ et w, dont les champs électriques ont pour expressions
respectives :

Epreuve de Physique II 1/8

نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو ‎wadifa-info.com‏

— صفحة 2 —
Concours National Commun - Session 2019 - Filière MP

avec e, et e, deux vecteurs unitaires. Pour simplifier l’_étude, on suppose que les
amplitudes instantanées des deux ondes sont additives.

On note I(M)=‹ [ › l'intensité d’une onde électromagnétique de

champ électrique E(M,1) . › f(M,t)› représente la moyenne temporelle de la
grandeur f(M,t).

1.1. À quelle(s) condition(s) peut-on additionner les amplitudes instantanées des
deux ondes sachant qu’elles sont de nature vectorielle 2

1.2. Donner les expressions de 71 et ‏بن‎ les intensités au point M des deux
ondes considérées prises séparément.

1.3. Calculer l’intensité de l’onde résultante /(M) en fonction de 7, 1,, ‏ره‎ w, et

1.4. Donner une condition nécessaire de cohérence concernant les pulsations.
Dans la suite, on suppose que cette condition est vérifiée.

1.5. Donner l’expression du contraste C de la figure d’interférence.

2. Condition de cohérence temporelle

2.1. En pratique, deux sources lumineuses ponctuelles vérifiant la condition de
la question 1.4 ne sont pas cohérentes. Expliquer pourquoi.

2.2. Dans le cas de deux ondes acoustiques, il n’y a jamais de problème de
cohérence. Pourquoi ?

2.3. Expliquer judicieusement alors comment obtenir deux sources lumineuses
ponctuelles S, et S, mutuellement cohérentes.

2.4. Donner la condition de cohérence temporelle pour deux ondes lumineuses.

2.5. Expliquer le rôle de la longueur de cohérence dans l'observation des
interférences lumineuses. Donner son ordre de grandeur pour un laser
Hélium-Néon et pour la lumière blanche.

3.  Fentes de Young

Le dispositif de la figure 1 a permis au 2
physicien Thomas Young (1773-1829) de démontrer
la nature ondulatoire de la lumière. Deux fentes
parallèles (F) et (F,) sont percées dans un écran s:e
opaque. Elles sont centrées respectivement en S, et
S,, séparées d’une distance a=S,S, et de largeur b.
Elles sont éclairées par une source S ponctuelle 520
monochromatique de longueur d’onde À dans le
vide. La largeur de chaque fente ‏ط‎ est petite devant d D
la distance entre les fentes a. La source S est
placée sur la médiatrice des deux fentes à la

distance d du plan des deux fentes.

Epreuve de Physique II 2/8

نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو ‎wadifa-info.com‏

— صفحة 3 —
Concours National Commun - Session 2019 - Filière MP

On observe la figure d’interférence sur un écran (FE) situé à une distance D
du plan des deux fentes. On repère le point M de l’_écran d’observation parallèle
au plan des deux fentes par ses coordonnées cartésiennes (x,y,0). Les fentes sont
parallèles à l’axe Oy. Dans la suite de cette partie, l’_étude est menée dans le plan
Oxz . Le système baigne dans l’air dont 1100166 est n, =1,00. On supposera x‹‹ D et

3.1. Un phénomène physique permet aux rayons issus des deux fentes (F) et
(F,) de se rencontrer au point M de l’espace. Quel est ce phénomène 2

3.2. Tracer, sur un schéma annoté du dispositif expérimental, les rayons issus
des sources S, et S, qui interfèrent au point M de coordonnées (x,0,0).

3.3. Justifier le fait que les deux ondes interfèrent dans leur zone de
recouvrement.

3.4. En supposant que la répartition de la lumière via le phénomène physique de
la question 3.1 se fait de façon uniforme, on montre que l’intensité
lumineuse /(x) le long de l’axe Ox est donnée par /(x)= ut + cos2x3)) ,où

1
i est la distance entre deux franges consécutives de même nature. ; dépend
de À et des distances a et D.

3.4.1. Justifier qualitativement que la distance 7 est croissante avec D ?
3.4.2. Justifier qualitativement que la distance / est décroissante avec a.
3.4.3. Montrer que la distance 7 est donnée par : i=—.

Partie 2 :

Les particules aussi interfèrent !

1. Observations

Dans le cadre du modèle corpusculaire de la lumière, un faisceau lumineux
est constitué de photons tous identiques et possédant une quantité de
mouvement.

1.1. Décrire une expérience mettant en évidence la notion de photon.

1.2. On réalise une expérience d’interférences à l’aide du système interférentiel
des fentes de Young en envoyant les photons un à un sur les fentes.

1.2.1. Comment se manifesterait le caractère corpusculaire de la lumière sur

l’écran ?

2. Peut-on prévoir la position de l’impact d’un photon ? Justifier.

3. Dessiner l’aspect de l’_écran d’observation après une durée suffisante.
En rapprochant les deux modèles, corpusculaire et ondulatoire, comment
peut-on interpréter le carré du champ électrique ?

1.4. Calculer le nombre de photons émis par seconde par un laser hélium-néon
de longueur d’onde À = 633nm et de puissance P=1,0mW. Expliquer pourquoi
l'aspect corpusculaire n’apparait généralement pas dans le cadre des
expériences d’optique.

Epreuve de Physique II 3/8

نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو ‎wadifa-info.com‏

— صفحة 4 —
Concours National Commun - Session 2019 - Filière MP

2.  Interférence des ondes de matière
2.1. Dualité onde-corpuscule

Louis de Broglie a eu l’audace d'imaginer en 1923 que les corpuscules de
quantité de mouvement p puissent se comporter comme des ondes de longueur

d’onde À,» !
2.1.1. Une particule quantique peut-elle se comporter simultanément comme
une onde et comme une particule 2
2.1.2. La relation de Louis de Broglie correspondante est À,, = R . Dans quel
7
cas peut-elle s’écrire sous la forme approchée À, = # ?
11

2.1.3. L’atome d’hydrogène est constitué d’un électron de masse m, en
interaction électromagnétique avec un proton de masse m,.

2.1.3.1. On peut définir une énergie € caractéristique de l’atome à partir des

et m,. Par une analyse dimensionnelle et à un

constantes h, ‏لو‎ =
4775

facteur numérique de proportionnalité près, établir une expression possible
pour l’énergie €. Calculer sa valeur. On prendra le facteur numérique de
proportionnalité égal à Un.
2.1.3.2. Reprendre la question précédente pour trouver une vitesse
caractéristique v. Commenter le résultat, sachant qu’on peut négliger les
effets relativistes dans la théorie quantique pour v‹0,lc. En déduire, en eV,
un ordre de grandeur de l’énergie cinétique E, de l’électron.

2.1.3.3. En 1927, Davison et Germer réalisèrent la diffraction d’électrons par
un monocristal de nickel. Les électrons utilisés avaient une énergie cinétique
de 54eV . Vérifier l'hypothèse d’un comportement non relativiste des électrons.
Évaluer la longueur d’onde À,,(e) de de Broglie correspondante. Les aspects
quantiques sont-ils importants pour ces électrons ? Quelles en sont les
conséquences expérimentales ?

2.2. Interférences atomiques

L’expérience des fentes de Young permet de tester les modèles quantiques et
notamment la dualité onde-particule de la matière. Après des expériences réalisées
avec des électrons ou des neutrons, la première expérience d’interférences avec
des atomes a été réalisée sur le modèle des fentes de Young en 1991 à l’Université
de Constance. En 1992, l’équipe des physiciens japonais F. Shimizu, K. Shimizu et
H. Takuma réalise avec succès une expérience d’interférence atomique. Le
dispositif utilisé et schématisé par la figure 2 est celui des fentes de Young.

L’expérience a consisté à utiliser une assemblée de quelques millions
d’atomes de néon capturés dans une cellule à vide puis refroidi à une température
T =2,5mK dans un piège laser de manière à minimiser leur agitation thermique
moyenne. Les atomes sont portés dans un état métastable grâce à des lasers. Ces
derniers formant le piège sont alors éteints, ce qui libère les atomes sans vitesse
initiale. Ceux-ci quittent le piège atomique et tombent en chute libre dans le

Epreuve de Physique II 4/8

نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو ‎wadifa-info.com‏

— صفحة 5 —
Concours National Commun - Session 2019 - Filière MP

champ de pesanteur au-dessus d'une plaque percée de deux fentes
microscopiques.

Le piège est situé à une hauteur d au
dessus de la plaque. Les fentes sont séparées 5025
d’une distance a et la largeur d’une fente est b. À
une distance D du plan des deux fentes, on place
un détecteur MCP («microchannel plate detector»)

١
١
4+S (Atomes de néon piégés)
1

Plan des fentes

parallèle à ce plan et on observe l’endroit où les ; [7
atomes de néon vont frapper la plaque réceptrice _ ‏ا‎ en
après être passés dans l’une des deux fentes. es
L’ensemble du =— dispositif est › disposé › TN
verticalement. On donne : d=76mm , a=6,0um , Dis
D=113mm et b=2,0um. 7 3
Figure - 2
2.2.1. Expliquer simplement comment se manifesterait la dualité onde-
corpuscule pour les atomes de néon.
2.2.2. En raisonnant sur un quanton de longueur d’onde À traversant un

diaphragme de diamètre ‏رن‎ montrer que le quanton doit subir une diffraction,
puis calculer un ordre de grandeur de l'angle caractéristique de cette
diffraction.
2.2.3. Le néon est un gaz rare monoatomique que l’on suppose parfait.
2.2.3.1. Énoncer avec concision le théorème d’équipartition de l’énergie.
2.2.3.2. Exprimer la vitesse quadratique moyenne d'agitation thermique

v,(Ne)=\‹v"› des atomes du gaz néon en équilibre à la température 7 dans

l'enceinte à partir de laquelle ils sont lâchés. On note m, la masse d’un
atome de néon.
2.2.3.3. En choisissant la vitesse quadratique moyenne comme vitesse
caractéristique, établir l’expression de la longueur d'onde À,,(Ne) associée à

des atomes de néon à la température T. Calculer numériquement v, (Ne) et
App(Ne) à T =2,5mK puis à la température ambiante 7 =300K ? Commenter.

2.2.4. Calculer la température à laquelle on doit refroidir les atomes de néon

pour que leur vitesse thermique v,(Ne) soit inférieure à la vitesse moyenne

‹va,›=l, 25m.s!, intentionnellement donnée aux atomes au niveau des fentes.

2.2.5. Pourquoi refroidit-on les atomes à de si basses températures ? Pour
ces atomes, quel a été l’autre critère de choix qui influe dans le même sens ?

2.2.6. Expérimentalement, on observe la figure d’interférences de période
spatiale ‏حي‎ (0,23+0,l)mm sur la plaque de détection. On supposera que a et

D sont connus avec des précisions suffisamment importantes pour ne pas
contribuer à l'incertitude.

2.2.6.1. À partir de l’expression i= 40 , déduire la longueur d’onde A,,(Ne) de

l'onde de matière associée aux atomes de néon ainsi que l'incertitude
Al,a(Ne) associée. Commenter.

2.2.6.2. Préciser, en le justifiant, si les atomes de néon vont manifester un
comportement classiquement ondulatoire ?

Epreuve de Physique II 5/8

نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو ‎wadifa-info.com‏

— صفحة 6 —
Concours National Commun - Session 2019 - Filière MP

2.2.6.3. Calculer la valeur de la vitesse v'(Ne) de ces atomes au niveau de
l’écran et l’incertitude Av'(Ne) associée. Aurait-on pu obtenir cette incertitude
à partir de l'inégalité de Heisenberg spatiale ?

2.2.6.4. En se plaçant dans une approche classique, exprimer la vitesse v,
d’une particule de masse m en chute libre sans vitesse initiale d’une altitude
H =d+D dans le champ de pesanteur ‏ع‎ supposé uniforme. Calculer sa valeur
numérique et commenter. On donnera un schéma et on précisera les
hypothèses.

2.2.7. L'ensemble du dispositif est placé dans le vide et il n’est pas possible
d’y définir la température en dehors de l’enceinte source. Proposer une
explication permettant de rendre compte de la différence entre À,,(Ne) et

2.2.8. Les atomes de Néon passent tout d’abord par une fente source
parallèle aux deux fentes de Young. Quel est le rôle de cette fente ?

2.2.9. Quels facteurs peuvent limiter la visibilité des interférences ?

2.3. Interférences de grosses particules

Dans les années 2000, un groupe
d’expérimentateurs a réalisé avec succès
une expérience d’interférences de Young
avec une source de molécules de fullerène
‏,م‎ appelée « fullerène » ou « buckminster
fullerènes» (figure 3). Le dispositif
expérimental() est représenté sur la figure
4 : la poudre de fullerène est sublimée dans
un four à une température d’environ Figure 3 : Molécule de fullerène Ca »
7 - 9007 . La pression de vapeur est alors le plus petit ballon de football
suffisante pour éjecter les molécules, dans naturel que nous connaissons

une séquence statistique, une par une. Un dispositif mécanique permet de
sélectionner dans le faisceau de fullerène sortant du four les molécules de vitesse

moyenne égale à v et dont la dispersion relative de vitesse est ‏بس‎ . Le faisceau est

collimaté par deux fentes verticales successives. Le faisceau de molécules est
ensuite diffracté par un réseau de pas a'=100nm. La largeur des fentes du réseau
est b'=50nm. Un détecteur, situé à une distance D'=1,2m du réseau, utilise un
laser à argon qui ionise les molécules de fullerène et permet de les compter. La
résolution spatiale du détecteur est de l’ordre de 8um.

Réseau de
diffraction ;
Hachoir 1:04 m 100 nm Détecteur au
0 0 ‏لتم ا‎ laser ionisant
Sélectionneur p 5
Source de de vitesse Focalisation 1.2m
Fullerenes 7 um 7 um

Figure 4 : Schéma expérimental

() : « Quantum interference experiments with large molecules, Am. J. Phys., Vol. 71, No. 4,
April 2003 »
Epreuve de Physique II 6/8

نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو ‎wadifa-info.com‏

— صفحة 7 —
Concours National Commun - Session 2019 - Filière MP

2.3.1. Calculer la masse d’une molécule de fullerène ?

2.3.2. La molécule de fullerène est formée de 20 hexagones et 12 pentagones.
Sachant que la liaison entre carbones a une longueur moyenne de 0,14nm,
estimer la taille d’une molécule de fullerène.

On considère dans la suite des molécules de fullerène de vitesse moyenne

v=200m.s"" et dispersion relative de vitesse de a 60%.

2.3.3. Calculer numériquement la longueur d’onde de de Broglie À,, de
l’onde associée aux molécules de fullerène. Comparer À,, aux dimensions de
la molécule et commenter ?

2.3.4. Exprimer puis calculer la dispersion AA, de la longueur d'onde ‏وم‎

2
2.3.5. Montrer que la grandeur /= os représente l’analogue de la longueur
de cohérence du faisceau de particules par rapport à une source lumineuse.
Calculer sa valeur numérique.

2.3.6. Quel est l’intérêt du sélecteur mécanique de vitesse ?

2.3.7. Quel est l’intérêt des deux fentes de collimation ? En utilisant
l'inégalité de Heisenberg spatiale, évaluer l’ouverture angulaire du faisceau
moléculaire produite par chacune des deux fentes.

2.3.8. On suppose que le détecteur permet d’observer les interférences à
l’infini du faisceau moléculaire diffracté dans la direction faisant l’angle 6
avec la normale au plan du réseau. On suppose de plus que l'incidence du
faisceau est normale sur le réseau et que la longueur d’onde de de Broglie
n’est pas modifiée par le passage à travers le réseau.

2.3.8.1. En se servant d’un schéma soigné, calculer la différence de marche
(0) entre deux trajets voisins.

2.3.8.2. Déterminer les directions 6 pour lesquelles les interférences des ondes
moléculaires diffractées sont constructives.

2.3.8.3. En déduire que si —2*‹‹1, on pourra observer au centre de l’écran

une figure d’interférences dont l’interfrange est i= ‏لوم‎

2.3.8.4. Les figures 5.1 et 5.2 montrent la distribution des impacts des
molécules de fullerène sur le détecteur pour deux vitesses moyennes et deux

dispersions relatives de vitesses. Interpréter l'allure de ces deux courbes.
400 ‏ويا ته اا ا اا يبب‎

counts (50 s)
Counts in 100 s

200 -150 -100 50 0 0 100 150 0 “90° 2100 508 0 80 3700 90

detector position (um) Detector position in um
Figure 5.1 : Diffraction à l'aide d'un Figure 5.2 : Diffraction à l'aide d'un
faisceau thermique de vitesse faisceau sélectionné de vitesse

v=200m.s" avec une dispersion relative "7 117m.s” avec une dispersion relative de

de vitesse de a 60%. vitesse de y 17%.
1

Epreuve de Physique II 7/8

نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو ‎wadifa-info.com‏

— صفحة 8 —
Concours National Commun - Session 2019 - Filière MP

2.3.8.5. Montrer que le défaut de cohérence temporelle du faisceau permet
d’expliquer le nombre limité de franges visibles.

2.4. Aspect probabiliste des interférences quantiques

Compte-tenu de l’expérience des fentes de Young décrite plus haut, l’idée va
être de modéliser les quantons émis par une source S ponctuelle de quantons
monoénergétiques placée sur la médiatrice de deux fentes (figure 1) de la même
manière que des ondes, à savoir par une fonction W(M,t) définie au point M à
l’instant + et contenant toute l'information sur la particule. La distance entre le
plan des fentes et l’écran, qui lui est parallèle, est D (D››a). L'observation est
effectuée en un point M quelconque de l’écran repéré par x‹‹ D. L’écran percé
des deux fentes (F) et (F,) est constituée d’un matériau qui ne peut être traversé

par les quantons.

2.4.1. Quelle est l'interprétation de la fonction d’onde F(M,1) ?
2.4.2. Pour tenir compte de l’aspect “matériel” de la particule, on impose à la
fonction d’onde W(M,1) la condition : JT. N (MN dt(M)=1, où dt(M) est

l'élément de volume autour du point M . Que représente cette condition ?

2.4.3. L'expérience des fentes de Young suggère également que les ondes de
matière considérées puissent se superposer. Énoncer le principe de
superposition.

2.4.4. Un quanton peut suivre deux trajectoire différentes et indiscernables,
vers le détecteur en M . On admet que les fonctions d’onde en M associées à
l’onde provenant respectivement de S, et de S, sont :

Les quantités A, et A, sont réelles et ÿ représente la différence de phase

entre les deux ondes.
2.4.4.1. Quelle est la probabilité P que la particule prenne la trajectoire 1

issue de S, 2

2.4.4. Quelle est la probabilité P, que la particule prenne la trajectoire 2
issue de S, ?

2.4.4.3. Quelle est la probabilité totale P de détecter la particule par le

détecteur en issue de M ? Tracer l’allure de cette probabilité en fonction de
p en faisant apparaitre un maximum d'informations.

2.4.4.4. Supposons que A, = A,. Calculer les probabilités totales pour les deux
cas p=0 et ‏دو‎
‎2.4.4.5. Tracer l’allure de la probabilité totale P en fonction de p en tenant

compte du fait que le phénomène de diffraction module la figure
d’interférences.

Epreuve de Physique II 8/8

نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو ‎wadifa-info.com‏