نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2007: الفيزياء 2 - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

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ROYAUME DU MAROC

Ministère de l’Éducation Nationale, de l'Enseignement
Supérieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique

Présidence du Concours National Commun 2007
École Nationale Supérieure d’Électricité et de Mécanique
ENSEM

Concours National Commun
d’Admission aux

Grandes Écoles d'Ingénieurs ou Assimilées
Session 2007

ÉPREUVE DE PHYSIQUE II

Durée 4heures

Concours MP

Cette épreuve comporte 7 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est autorisé

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Fibres optiques

Les fibres optiques sont des guides d’ondes électromagnétiques dans le domaine optique. L'épreuve
propose d’aborder quelques aspects de la physique des fibres optiques. Elle est composée de trois
parties largement indépendantes entre elles. Une fibre optique à saut d’indice est constituée d’un coeur
cylindrique de rayon a et d’axe Oz entouré d’une gaine également cylindrique et de rayon b › a (figure
1). Le coeur est composé d’un milieu diélectrique non magnétique, transparent, linéaire isotrope et
homogène d'indice de réfraction ‏.د‎ La gaine est elle aussi composée d’un milieu diélectrique non
magnétique, transparent, linéaire isotrope et homogène d’indice de réfraction na. Dans la pratique
712 ‹ M.

Dans tout le problème, la fibre optique est supposée plongée dans ‏عتما‎ d'indice de réfraction
no = 1. La longueur d’onde dans le vide du rayonnement utilisé sera notée ل٠‎

ذبن ويا تايا

Fig 1 : Fibre optique à saut ‏عنصتل‎
‎cœur, indice n3

ووب ا جا ا ا لا لح لا لماج اما أ رجا اا == — —

aine, indice n2

Pour simplifier les calculs tout en s’assurant de pouvoir dégager l’essentiel des propriétés des fibres
optiques, on limite l’étude, à la propagation du signal lumineux, selon la direction moyenne Oz dans
un ensemble de milieux dont l’indice ne dépend que de la coordonnée z (figure 2).

Fig 2 : Modèle simplifié d'une
fibre optique à saut d’indice.

Au besoin, on notera ‏بون‎ À, et ü, les trois vecteurs unitaires du repère orthonormé (O, x, y, =). Pour
la célérité de la lumière dans le vide, on prendra la valeur approchée habituelle ‏وى‎ = 3,0 108m.s7*.

187 partie :
Etude géométrique d’une fibre optique à saut d’indice

1.1 On se place dans le cadre de l’approximation de l’optique géométrique.
1.1.1 En quoi consiste une telle approximation ?

1.1.2 L’approximation de l’optique géométrique est-elle valable pour décrire la propagation d’une
onde lumineuse dans le coeur d’une fibre optique en silice d’indice de réfraction n, = 1, 46 et de
rayon a = 100 jm. On donne la longueur d’onde dans le vide du rayonnement ‏ول‎ = 1,55 yum.

À quel domaine du spectre électromagnétique appartient ce rayonnement ?

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1.2 On considère un rayon lumineux SI se propageant dans l'air et situé dans un plan 202 (figure2).

1.2.1 Rappeler les lois de DESCARTES-SNELL pour la réfraction. Qu’appelle-t-on réflexion totale ?
Quand existe-t-elle ? Définir l’angle de réflexion totale À et donner son expression en fonction
de n, et na.

1.2.2 Montrer que si l’angle 0; est inférieur à une certaine valeur 0, que l’on déterminera, alors ce
rayon peut être guidé dans le coeur de la fibre.
1.2.3 Déterminer la valeur numérique de 0, pour m = 1,46 et n, = 1,41.

n3—n3

1.2.4 Déterminer l’expression de l’ouverture numérique ON = sin 0, en fonction de ‏رم‎ et À =

1.2.5 Montrer que, pour un rayon lumineux guidé par la fibre optique, |0| › Ozim et exprimer sin 0
en fonction de A.

1.3 Un signal lumineux est émis au point 7 à l'instant t = 0 dans une direction faisant un angle 0
avec l’axe Oz à l’intérieur de la fibre optique (figure 2). On note 7(0, z) le temps mis par le
signal pour être détecté par un photorécepteur placé dans le plan d’abscisse z.

1.3.1 Représenter soigneusement le trajet d’un tel rayon lumineux au sein de la fibre optique.

1.3.2 Exprimer la longueur totale 2 du trajet parcouru par la lumière au sein de la fibre optique
entre le plan d’entrée et le plan d’abscisse 2 en fonction de z et 0.

1.3.3 En déduire l’expression de 7(0, z) en fonction de n,, z, 0 et co.
Lorsque 0 prend les valeurs comprises entre 0 et +0;im, 7 prend les valeurs entre 7 et 7 + Â7.

1.3.4 Exprimer À7 en fonction de z, Orim, N1 Et Co.

1.4 La source émet une succession d'impulsions lumineuses de période 7' et de durées très brèves
devant 7 (figure 3). On note l'(z,t) l’intensité lumineuse détectée en régime établi par le
photorécepteur placé à l’abscisse z.

1.4.1 Représenter qualitativement 7 )2,1( et commenter le résultat dans les deux cas suivants :
e z = ‏م‎ telle que AT(21) ‹ T;
© z = z, telle que A7(23) › T ;

I(t) T

Fig 3 : Suite d’impulsions lumineuses.

1.4.2 Déterminer l’expression de la valeur minimale 7,, de 7 au-dessous de laquelle les impulsions
détectées par le photorécepteur peuvent se chevaucher. On exprimera T,, en fonction de co, M,
‏و7‎ et 2. Conclure quant à la transmission de signaux à grande distance.

1.4.3 Calculer T,, ainsi que l’ordre de grandeur du débit maximal de la fibre optique exprimé en
nombre d’impulsions par seconde lorsque z = 1 km, n, = 1, 46 et n, = 1,41 . Commenter.

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2ème partie :
Modes d’une fibre optique

La condition de guidage de la lumière par la fibre optique, établie en 1.2.2 est en faite une
condition nécessaire mais non suffisante. En effet, la description utilisée ne tient pas compte
suffisamment du caractère ondulatoire de la lumière.

Un modèle simple permet d’introduire la notion de mode de propagation dans une fibre optique.
Selon ce modèle, on décrit la propagation de la lumière au sein de la fibre optique à l’aide d’une
onde électromagnétique plane monochromatique. La figure 4 représente une portion de la fibre
optique. (II) est le plan d’onde correspondant aux rayons lumineux A, B1, ‏و4273‎ ,... Pour qu’il y
ait propagation le long de la fibre optique, il faut que les ondes issues des réflexions multiples
soient en phase aux différents points À, Pa, pour y interférer de manière identique.

air cœur Fig 4 : Onde lumineuse au sein
d'un fibre optique.
As A2 gaine

2.1 Enoncer le théorème de MALUS-DUPIN.
Un calcul géométrique non demandé dans ce problème, montre que la longueur du trajet, le
long du rayon lumineux, séparant deux points successifs P; et P,4+1 est donné par :

P,P,,1 = 4asin 0 (1)

2.2 Exprimer le déphasage Ag entre les amplitudes des ondes aux points P; et P,+ en fonction de
a, 0, n, et 0

2.3 En explicitant la condition d’interférence constructive, montrer que seules certaines inclinaisons
correspondant à des valeurs particulières 0, (m € Z) de l’angle 0 sont permises. Chacune de
ces valeurs correspond à un mode de propagation. Le mode fondamental correspond à m = 0.

2.4 À quelle condition sur a le mode d’ordre m existe-t-il ?

2.5 En déduire le nombre N de modes possibles en fonction de ‏بد‎ na, à et ‏.ول‎ Faire l’application
numérique pour a = 100 jm, n, = 1, 46, na = 1,41 et A, = 1,55 1

2.6 Est-il possible dans la pratique de distinguer le mode +m du mode —m ?
Une fibre optique monomode est une fibre dans laquelle seul le mode fondamental peut se
propager.

2.7 À quelle condition sur son rayon a, une fibre optique est-elle monomode ? On exprimera le rayon
maximum amas d’une telle fibre en fonction de Ag, #1 et na.

2.8 Calculer la valeur numérique de Amaz POUT ‏ما‎ = 1,55 um, n, = 1, 46 et na = 1,41.

2.9 Quel intérêt peut-il y avoir à utiliser une fibre optique monomode compte tenu de l’étude effectuée
en 1.3 et 1.4?

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3ème partie :
Gyromètre optique

Cette partie aborde l’étude du principe de fonctionnement d’un gyromètre optique. Comme son
prédécesseur mécanique ou gyroscope, le gyromètre optique est capable de détecter de faibles
rotations. Il trouve ainsi son utilisation dans la navigation inertielle.

3.1 Effet Sagnac

La figure 5 représente un interféromètre de SAGNAC éclairé par une source Laser. La lumière
de la source est divisée à l’aide de la séparatrice S, en deux ondes se propageant en sens opposés
le long du chemin fermé défini par les miroirs M,, M, et Ms.

Fig 5 : Interféromètre de SAGNAC.

Les ondes contrapropagatives (1) et (2) produisent une figure d’interférence sur l’écran (E).
Lorsque l’interféromètre, la source et l’écran sont animés d’un mouvement d’ensemble de ro-
tation de vitesse angulaire Q = 0, par rapport à un référentiel galiléen, les chemins optiques
dans les sens (1) et (2) ne sont pas égaux. Il en résulte un déphasage entre les ondes (1) et (2)
dépendant de © : c’est l’effet SAGNAC. Cet effet, qui se traduit sur l’écran par un déplacement
des franges d’interférences, peut être exploité pour mesurer la vitesse de rotation de l’ensemble.
Pour simplifier l’étude, on suppose que le trajet des rayons lumineux est un cercle de rayon R
et non le rectangle représenté figure 5.

L’interféromètre est placé dans l’air supposé avoir les mêmes propriétés électromagnétiques que
le vide.

3.1.1 Exprimer la durée ‏ماه‎ que mettent les ondes (1) et (2) pour faire un tour lorsque l’interféromètre
est au repos par rapport au référentiel galiléen.

3.1.2 Montrer que lorsque l’ensemble est en rotation, le trajet de l’onde (1) constituant un tour de
séparatrice à séparatrice diffère d’une quantité AC de celui de l’onde (2).

3.1.3 Montrer que les durées de propagation dt; et ‏واه‎ respectivement des trajets de l’onde (1) et
de l'onde (2) vérifient des relations de la forme :

En déduire les expressions de dt; ‏تاه‎

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— صفحة 6 —
3.1.4 En déduire que, dans le cas où la vitesse de déplacement 7041 de la séparatrice est faible devant
la célérité de la lumière dans le vide co, la différence de phase Ag entre les ondes qui interfèrent
peut s’écrire :

815
Ag = 3
‏عاق‎ Sri (3)
‏مد‎ étant la longueur dans le vide de l’onde lumineuse et S la surface de l’interféromètre supposé

circulaire.

3.1.5 Calculer la différence de phase pour R = 0,1 m, ‏و‎ = 0,8 jm et les trois vitesses angulalres
suivantes : Q = 10-8s7! , Q = 10-*s7! et Q = 102s7!. Commenter.
On supposera dans toute la suite du problème que l'expression (3) du déphasage en
fonction de la vitesse de rotation ne dépend pas de l'indice du milieu.

3.2 Gyromètre à fibre optique
N tours de fibre optique sont enroulés autour d’un tambour circulaire d’axe Oz et de rayon
R. Les deux extrémités À et B de la fibre sont placés aux foyers de deux lentilles convergentes
La et Lp. Un faisceau Laser de fréquence v est envoyé sous une incidence de 7/4 sur la lame
séparatrice S, donnant lieu à deux ondes contrapropagatives (1) et (2) dans la fibre (figure 6).

Fig 6 : Schéma de principe d’un gyromètre à fibre optique.

Le photorécepteur analyse la figure d’interférence produite par les ondes (1) et (2) et fourni
un signal électrique s(t) proportionnel à l’intensité lumineuse /(t) qu’il reçoit : s(t) = ‏)له‎
‎où ‏به‎ est une constante positive. On négligera l’écart entre les points À et B et le tambour.
L'ensemble est animé d’un mouvement de rotation de vitesse angulaire © par rapport à un
référentiel galiléen.

3.2.1 principe

3.2.1.1 À partir des résultats établis à la question 3.1.4, déterminer l’ expression du déphasage Ag
entre les ondes (1) et (2) au niveau du photorécepteur en fonction de ©, N, Ao, ‏ى‎ et de l’aire
S = TR? de la base du tambour.

3.2.1.2 Déterminer l’expression du signal s(t) émis par le photorécepteur.

3.2.1.3 Montrer que l’introduction d’un déphasage supplémentaire constant de 7/2 entre les deux
ondes permet d’obtenir une réponse linéaire du système aux faibles vitesses de rotation.

3.2.2 sensibilité aux effets extérieurs

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3.2.2.1 Discuter qualitativement l'influence de chacun des phénomènes suivants sur le fonctionne-
ment de l’interféromètre. Proposer, le cas échéant, lorsque l’effet est perturbateur, une démarche
permettant de réduire son influence :

a) La silice constituant le coeur de la fibre se dilate thermiquement. La variation relative de
longueur de la fibre est 1 10-771

b) Les vibrations mécaniques du gyromètre peuvent faire varier la distance des points À et/ou
B à la séparatrice.

c) Les variations de température, les champs électromagnétiques extérieurs peuvent influer sur
les propriétés optiques et mécaniques de la lame séparatrice.

d) Les extrémités des fibres donnent lieu à des réflexions parasites.
3.2.2.2 Quels peuvent être les avantages et les inconvénients d’une grande longueur de fibre ?

3.2.2.3 Calculer le déphasage Ap pour R = 0,1 m, N = 1 10%, v = 3 1014772 et les trois vitesses
angulaires suivantes : Q = 1078s7!, Q = 10-157! et Q = 1028-1. Commenter.

fin de l’énoncé

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