نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2004: الفيزياء 2 - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

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ROYAUME DU MAROC

Ministère de l'Education Nationale Ministère de l'Enseignement
Enseignement Secondaire et Technique Supérieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique

Concours National Commun
d’Admission aux

Grandes Écoles d’Ingénieurs
Session 2004

ÉPREUVE DE PHYSIQUE II

Durée 4 heures

Concours MP

Cette épreuve comporte 7 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est autorisé

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Sondage atmosphérique

L'épreuve aborde quelques aspects de la physique de l’atmosphère terrestre. Elle est constituée de 2
parties largement indépendantes entre elles. Dans toute la suite on négligera les différents mouvements
de la Terre de manière à pouvoir assimiler le référentiel terrestre R7 à un référentiel galiléen.
R(O,x,y,z) désigne un repère cartésien lié à R7 ; l’axe Oz est pris vertical ascendant.
L'intensité ÿ du champ de pesanteur sera supposée constante. Tous les gaz rencontrés dans cette
étude seront considérés comme parfaits.

Données utiles

. Constante des gaz parfaits : R = 8,314 ‏76ل‎ 1.111

. Intensité du champ de pesanteur terrestre : g = 9,81 m.s?

. Pression atmosphérique à l’altitude z = 0 km : PM = 1,013 10° Pa
. Température ambiante à l’altitude z = 0 km : Ty = 290 K

. Masse molaire de l'air : M, = 29,0 10-3kg.mol""

. Masse molaire de l’hélium : ‏يواد‎ = 4,0 107*kg.mol—!

. Rapport des capacités calorifiques de l’air : y = ‏ىبي‎ = 5

. Rapport des capacités calorifiques de l’hélium : y = c,/& = 5/3

1“ partie :
Thermodynamique de l’atmosphère

Tout au long de cette partie, on considérera que l’air atmosphérique est en équilibre hydrosta-
tique sous la seule influence du champ de pesanteur. D'autre part on négligera la rotondité de
la Terre de sorte que les variables d’état ne dépendent que de l’altitude z.

1.1 Étude préliminaire
1.1.1 Equilibre hydrostatique

1.1.1.1 Montrer que la pression pa(z) de l’air à l’altitude z est reliée à l’intensité ÿ du champ de
pesanteur et à la masse volumique zca(z) de l'air par la relation :

dpa(z)

Pour cela on pourra considérer une tranche d’atmosphère comprise entre les altitudes z et
z + dz et exprimer la condition de son équilibre mécanique après avoir dressé un bilan des
forces auxquelles elle est soumise.

1.1.1.2 Exprimer la masse volumique ;ta(z) de l’air en fonction de sa température T7, et de sa pression
Pa- Calculer numériquement la masse volumique de l’air à l’altitude z = 0 km notée ‏.مر‎

1.1.1.3 Déduire de ce qui précède l’équation différentielle liant la pression pa à l’altitude 2 pour un
profil de température Ta(z) donné.
1.1.2 Application : Modèle de l’atmosphère isotherme

Dans cette question on suppose que la température de l’atmosphère est uniforme et partout
égale à T4-

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1.1.2.1 Montrer que la pression ‏(ع)ءم‎ est alors donnée par :

PalZ) = Poexp—— 2
Pa(Z) = Po exp H, (2)

et donner l’expression de la constante 17.

1.1.2.2 Pourquoi la constante H, est-elle appelée échelle de hauteur ? En donner une interprétation
graphique. Calculer numériquement H,. Commenter le résultat obtenu en calculant la distance
Az, nécessaire pour que ‏وم‎ varie de 1%.

1.1.2.3 Établir dans ces conditions l'expression de jra(z) en fonction de ‏مير‎ et 2.

1.1.3 Poussée d’Archimède
Considérons un volume V, limité par une surface fermée H au sein de l’atmosphère au repos
dans le champ de pesanteur g.
Montrer que le système contenu à l’intérieur de la surface H est soumis de la part du reste

de l’atmosphère à une force pressante totale, appelée aussi force de poussée 11, ou poussée
d’ARCHIMEDE, donnée par :

1 a = —Maÿ ( 3)

où ma = | ٠ | ‏هر‎ est la masse d’air déplacé c’est-à-dire la masse qu’aurait le volume V s’il
était occupé par l’air atmosphérique dans les conditions d’équilibre de l'atmosphère.
On rappelle que les forces de pression peuvent être décrites par une densité volumique d’effort
donnée, en un point M où la pression est pa(M), par f(M) = —Vpa(M) . D'autre part, la
condition d'équilibre hydrostatique peut être généralisée par Ÿpa = JlaŸ-

1.2 Sondage de l’atmosphère
Un ballon-sonde est constitué par une enveloppe fermée (ballon) à laquelle est accrochée une
nacelle contenant des instruments de mesure : sondes de température, de pression, d'humidité,
d'hygrométrie, … ainsi que ceux nécessaires à la transmission radio des données. L’enveloppe,
la nacelle et les instruments qu’elle contient ont une masse totale m = 20 kg. Initialement
(z = 0 km) l'enveloppe est partiellement gonflée à l’aide d’une quantité de matière n d’hélium.
Au besoin, on pourra négliger la variation de la pression d’un point à un autre du ballon-sonde.
D'autre part, on négligera le volume de la nacelle devant celui du ballon.
Le diamètre du ballon ne peut dépasser une valeur critique & = 8 m. Au-delà de & = 8 m le
ballon éclate. On négligera la raideur de l’enveloppe.

1.2.1 Calculer numériquement la valeur du volume maximum VW, du ballon.

1.2.2 Exprimer la résultante F des forces qui s’exercent sur le ballon-sonde à une altitude 2 quel-
conque dans l’hypothèse de l’atmosphère isotherme et de l'équilibre hydrostatique. On expri-
mera le résultat en fonction de m, n, Myze, M, et g.

1.2.3 Montrer qu’il existe une valeur minimale ‏ممه‎ de la quantité de matière n d’hélium qui sert
à gonfler le ballon au-delà de laquelle le ballon peut décoller. En déduire le volume minimum
Vin qUi permet le décollage. Calculer numériquement Nmin ‏اه‎ Vmnin-

1.2.4 Le ballon est gonflé avec une masse my7e = 9 kg d’hélium.
1.2.4.1 Cela lui permet-il de décoller ?

1.2.4.2 Justifier brièvement pourquoi on peut considérer que lors de l’ascension du ballon, l’hélium
subit une détente adiabatique. Par la suite on supposera que cette détente est quasi-statique.

1.2.4.3 Calculer la valeur numérique du volume initial My du ballon.

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1.2.4.4 Déterminer l’expression littérale et en déduire la valeur numérique la hauteur maximale ‏وت‎
‎accessible par le ballon dans le cadre du modèle de l'atmosphère isotherme de température 70
(cf. 1.1.2). Que se passe-t-il lorsque 2 atteint zm ?

1.2.5 Lors de l’ascension du ballon, un système de transmission hertzienne permet de récupérer au
sol les données enregistrées. La figure 1 donne le profil de variation verticale de la température
relevé par le ballon-sonde dans la troposphère (0km › z › 11km). L'hypothèse d’une at-
mosphère isotherme est-elle vérifiée dans les premières couches de l’atmosphère ? Expliquer
brièvement pourquoi l'air au sol est plus chaud qu’en altitude.

1.2.6 Dans la troposphère règne un gradient de température dT,/dz = —T constant en première
approximation.

1.2.6.1 Déterminer graphiquement le gradient thermique 1 qui règne dans la troposphère.

1.2.6.2 Déterminer les expressions donnant l’évolution de la pression pa(z) et de la masse volumique
Ha(z) de l’air dans la troposphère.

1.2.6.3 Représenter graphiquement pa(z) et jra(z) en fonction de z et commenter en comparant avec
le modèle de l'atmosphère isotherme.

z (km)

265

Fig 1 : Profil vertical de température
mesuré par le ballon-sonde.

1.3 Stabilité de l’atmosphère

On se propose d’étudier la stabilité de la troposphère terrestre dans le cadre du modèle ” à gra-
dient de température ” dT4,/dz = —T constant. Pour cela, on considère un système mésoscopique
constitué d’un petit volume d’air V pouvant etre considéré comme infinitésimal à l’échelle ma-
croscopique mais contenant un très grand nombre de particules d’air. V sera considéré comme
un système fermé. Le système initialement en équilibre thermodynamique à l'altitude z; est
élevé d’une hauteur dz. On suppose que lors de ce déplacement le système n’échange pas de
chaleur avec l’air environnant. La transformation sera de plus supposée quasi-statique.

0

1.3.1 Quelle relation thermodynamique relie la température 7 et la pression ‏عل م‎ l’air constituant
le système au cours d’une telle transformation ?

1.3.2 En différentiant la relation précédente, montrer que la variation de température d7' du système
entre les altitudes z; et ‏قت‎ + dz est telle que :

dz ١

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où ‏و1‎ est une constante positive que l’on exprimera en fonction du rapport, des capacités
calorifiques de l'air, de la masse molaire M, de l'air, de la constante À des gaz parfaits et de
l’intensité g du champ de pesanteur. Calculer numériquement P,-

1.3.3 Exprimer la résultante F des forces à laquelle est soumis le système ainsi déplacé à l'altitude
2 + dz en fonction de sa masse volumique ‏عر‎ à l’altitude z; + dz, de la masse volumique ‏متر‎ de

l'air environnant, du volume V et de l'intensité ‏و‎ du champ de pesanteur.

1.3.4 En déduire la force par unité de masse f à la quelle est soumis le système à l’altitude z; + ‏ع‎
‎en fonction de la température 7 du système, de la température T7, de l’air environnant et de
l'intensité du champ de pesanteur g.

1.3.5 Déduire de ce qui précède un critère de stabilité de l’air déplacé. Quelle est la valeur maximale
de T permettant d’avoir de l’air stable ?

1.3.6 Etablir l'équation du mouvement libre du système considéré.

1.3.7 En linéarisant l’équation du mouvement du système, déterminer la pulsation w de son mou-
vement en fonction de 1, ‏و ,و1‎ et T; = T'(2:). Application numérique : calculer w et la période
correspondante pour =; = 3 km.

2ème partie :
Mouvement d’un ballon-sonde

Dans cette partie, on se propose d’étudier quelques mouvements d’un ballon-sonde dans le
cadre d’un modèle simplifié. Pour cela on considère le système (S) constitué d’un ballon-sonde
de masse m, = 10 kg -y compris la masse du gaz ayant servi à gonfler le ballon- auquel est
suspendu une nacelle de masse ma = 20 kg -y compris la masse des instruments de mesure et

de transmission-.

On note M = m; + My la masse totale du système (S). Le ballon est supposé sphérique de
centre B et de diamètre constant à = 4 m. La nacelle est quant à elle supposée ponctuelle et
centrée au point C (figure 2) tel que BC = 3 m. On posera par la suite £, = BG et £a = GC.
La liaison entre le ballon et la nacelle est supposée rigide et sans masse. On supposera alors
que le système (S) se comporte comme un solide indéformable de moment d'inertie J par
rapport à l’axe (G, da) perpendiculaire à BC et passant par le centre d'inertie G de (S). Pour

les applications numériques on prendra J = 77 kg.m?.

En fin, on supposera que la masse volumique de l’air est constante et vaut ja = 1,3 kg.m7*.

L’atmosphère environnante du ballon-sonde est le siège d’un vent caractérisé par sa vitesse
V = Vü, uniforme et constante.

Fig 2 : Ballon-sonde en mouvement
dans le champ de pesanteur.

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On restreint l’étude au mouvement du système (S) dans le plan vertical constant (yOz). Le
système est repéré par les coordonnées cartésiennes (x,y,z) de son centre d'inertie G et par
Toutes les grandeurs vectorielles demandées seront exprimées dans la base (ü@,, ‏برلا‎ à) du repère
R(O,x,y, z) lié au référentiel terrestre R7 supposé galiléen.

2.1 Grandeurs cinématiques

2.1.1 Déterminer, littéralement puis calculer numériquement, la position du centre d’inertie G de

2.1.2 Exprimer le vecteur rotation instantané © de (S) relativement à R7.

2.1.3 Exprimer la vitesse 7(B) du centre B du ballon-sonde par rapport à R7, en fonction de y, z
et 0 et leurs dérivées ainsi que de Ç,.

2.1.4 Déterminer les composantes U,, U, et ‏ونا‎ de la vitesse relative U du centre B du ballon sonde
par rapport à l’atmosphère environnante.

2.2 Bilan de forces
En plus de son poids P, le système (S) est soumis à l’action des forces pressantes de l’atmosphère
qui peut être décomposée en :

- la poussée d’ARCHIMÈDE Tia (c£. 1.1.3) dont on suppose qu’elle reste applicable en régime
dynamique ;

- la force de résistance de l’air donnée par :
8 1 › 5
1) - purs HaAUU

où C, = 0,8u.S.1 est un coefficient positif constant appelé coefficient de traînée et U = ||U||
le module de la vitesse relative du système (S) par rapport à l’air ambiant. On posera par la
suite : k = 070 Ha-
Dans le cadre du modèle simplifié adopté, on supposera que ces deux forces n’agissent pas sur
la nacelle et que leur point d'application est le centre B du ballon.

2.2.1 Quelle est la dimension de C, ? Calculer numériquement k.

2.2.2 Donner l’expression de la poussée d'ARCHIMEDE TL, agissant sur le ballon-sonde et calculer
numériquement son module que l’on notera II4 par la suite.

2.2.3 Déterminer les composantes F,, FH, et F, de la résultante F des efforts qui s’exercent sur le
système (S).

2.2.4 Déterminer de même, les composantes M,, M, et M, du moment résultant M en G des efforts
qui s’exercent sur le système (S).

2.3 Equations dynamiques du mouvement
Écrire, en projection sur (à,, ‏,لول برا‎ le théorème de la résultante cinétique et le théorème du
moment cinétique appliqués au système (S) relativement au référentiel terrestre R7.

2.4 Régime établi
On se propose d'étudier un régime particulier du mouvement du ballon-sonde pour lequel le
centre de gravité G se déplace à vitesse constante et l’angle 0 reste constant. Ce régime sera
appelé régime établi dans la suite du problème.

2.4.1 Préciser la direction de la vitesse Up de (S) par rapport au vent dans ce régime et exprimer
son module ‏وت‎ = ||U0|| en fonction de k, M, ‏و‎ et ‏.م11‎ Calculer numériquement ‏.ون‎

2.4.2 Quelle est la valeur de l’angle 0 en régime établi ?

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2.5 Perturbation verticale du régime établi

Le système (S) étant en régime établi d’ascension à la vitesse 77 constante, à l'instant pris
comme origine, il rencontre une perturbation qui modifie instantanément sa vitesse verticale #
de e.(0). On se propose alors d’étudier l'influence de cette perturbation, supposée petite, sur
le mouvement d'ascension du ballon-sonde. Pour cela on pose à un instant t › 0 :

et on considère e,(t) comme petit. La perturbation étudiée ne modifie ni y ni 0.
2.5.1 Écrire l’équation différentielle dont ‏يت‎ (t) est solution.

2.5.2 En linéarisant l’équation différentielle ainsi obtenue, montrer que celle-ci peut se mettre sous

la forme :
de, 2

0 = وج عد
‎dt M‏
‎en fonction de k et Up. Calculer numériquement ax.‏ ره ‎et donner l’expression de‏

2.5.3 Donner l'expression de ez(t) et commenter le résultat obtenu en discutant la stabilité du régime
établi.

2.5.4 Donner l’expression d’un temps caractéristique 7 de l’évolution du régime établi et calculer sa
valeur numérique. Commenter.

2.6 Perturbation horizontale du régime établi
Le système (S) étant en régime établi d’ascension à la vitesse Uv constante, à l’instant pris
comme origine, il rencontre une perturbation qui modifie instantanément sa vitesse horizontale
ÿ de e,(0) et l’angle 0 de ep(0). On admet que la composante verticale de la vitesse du ballon-
sonde n’est pas modifiée par la perturbation considérée. On se propose alors d'étudier l'influence
de cette perturbation, supposée petite, sur le mouvement d’ascension du ballon-sonde. Pour
cela on pose à un instant t › 0 :

et on considère e,(t) et e9(t) comme petits.
2.6.1 Vérifier, qu’au premier ordre non nul, le module U de Ü n’est pas modifié par la perturbation.

2.6.2 En linéarisant les équations différentielles dont ey(t) et eo(t) sont les solutions montrer que :

7 dey ; A deg

‎d2e de‏
وقوه وعي + ووه ا لور ل

et donner les expressions des constantes ‏مه موه بيه‎ et à4 en fonction de k, ‏ب .ونا‎ M et ‏.و‎
‎Calculer numériquement ces constantes.

2.6.3 On cherche des solutions de (9) sous forme harmonique telle que :
Ey(t) = A exput

et) = B exput

où À, B et w sont trois constantes réelles ou complexes.

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2.6.3.1 Montrer que A et B sont quelconques et w est solution de l'équation de troisième degré :

et donner les expressions littérales et calculer les valeurs numériques des constantes ‏بد‎ Ca et
C3.

2.6.3.2 La résolution numérique de (11) donne les solutions :

T2

avec 7, = 0,30 s, % = 3, 14 s et Q = 1,70 8
En déduire la solution générale de (9) en déterminant les constantes d’intégration à l’aide de
conditions initiales adéquates que l’on précisera.

2.6.3.3 Interpréter les solutions obtenues et discuter de la stabilité horizontale du mouvement du
ballon-sonde dans le régime établi. Quel est le temps dt au bout duquel l’effet de la perturbation
horizontale se dissipe à 99% ?

fin de l’énoncé

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