نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2002: الفيزياء 2 - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

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ROYAUME DU MAROC

Ministère de l'Education Nationale Ministère de l'Enseignement
Enseignement Secondaire et Technique Supérieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique

Concours National Commun
d’Admission aux

Grandes Écoles d’Ingénieurs
Session 2002

ÉPREUVE DE PHYSIQUE II

Durée 4 heures

Concours MP

Cette épreuve comporte 7 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est autorisé

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Concours National Commun - Session 2002 — MP

L’énoncé de cette épreuve comporte 7 pages.
L’usage de la calculatrice est AUtOrISÉ.

On veillera à une présentation claire et soignée des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les

références |des questions abordées.

Quelques aspects de la Physique des plasmas

Un plasma est un gaz ionisé composé d’atomes ou molécules neutres, d'ions positifs et d'électrons. On
rencontre de tels milieux dans plusieurs domaines tels que par exemple :

— au laboratoire, le projet de fusion thermonucléaire contrôlée utilise un plasma dont la température
atteindrait, s’il est suffisamment confinée, les quelques millions de kelvin nécessaires pour déclencher
la fusion nucléaire ;

— dans la vie quotidienne, les tubes fluorescents et certaines lampes d’éclairage utilisent des décharges
électriques dans un gaz qui se trouve alors partiellement ionisé ;

— on estime enfin que 99% de la matière de l’Univers est sous forme de plasma (nuages interstellaires, … )

La composition d’un plasma est caractérisée par les densités, ou nombres de particules par unité de
volume, des différentes espèces : na pour les espèces neutres, n; pour les ions et n, pour les électrons. Le
plasma est globalement neutre.

Tout au long du problème, on assimilera les propriétés électromagnétiques du plasma à celles du vide
caractérisées par une permittivité électrique 0 et une perméabilité magnétique ‏.مر‎ Les électrons seront
supposés non relativistes et on négligera leur poids devant les autres forces mises en jeu.

Cette épreuve comporte cinq parties largement indépendantes entre elles.

Données utiles et notations
+ Masse de l’électron : me = 9,1 x 1073! kg;
+ Masse du proton : mp = 1,67 x 107?" kg ;
e Charge élémentaire :e = 1,6 x 10-"° C;
+ Célérité de la lumière dans le vide : co = 3,0 x 108 m.s7* ;
+ Perméabilité magnétique du vide : ‏مم‎ = 4x x 10-7 Hm—* ;
+ Constante de BOLTZMANN : ‏وم‎ = 1,38 x 10-23 J.K—! ;
+ Constante de PLANK réduite : h = 1/27 = 1,05 x 10-34 7

+ Laplacien scalaire en coordonnées sphériques (r, 0, ‏(ب‎ pour un champ scalaire f ne dépendant que de la
coordonnée r :

+ Identité vectorielle :

+ On rappelle enfin les équations de MAXWELL dans un milieu ayant les mêmes propriétés électroma-
gnétiques que le vide :

TE =2; V.5=0
x En LÉ ‏رد‎ LE

Épreuve de Physique II 1/7 Tournez la page S.V.P.

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Dans tout le problème (à, ; an d.) désignera une base orthonormée directe attachée au système de
coordonnées cartésiennes (x, y, z).

Pour les grandeurs évoluant sinusoïdalement avec le temps, on utilisera la notation complexe avec le
facteur exp —iwt où i est le nombre complexe de module 1 et d’argument 7/2. Conformément à la pratique
courante, les grandeurs complexes seront soulignées.

1** partie

Réponse d’un plasma à un champ électromagnétique

Le plasma est soumis à l’action d'un champ électromagnétique 2 2) On suppose que les ions positifs
sont fixes par rapport au référentiel d'étude supposé galiléen. Les électrons du plasma sont supposés en plus

soumis à une force du type « frottement visqueux » donnée par 7 = —me/T 7 où 7 est la vitesse de
l’électron et 7 une constante positive. On négligera la force d’origine magnétique.

1.1. Préliminaires
1.1.1. Quelle est la dimension de la constante 7 ? Justifier.
1.1.2. Quelle est l’origine de la force 7 ?
1.1.3. Écrire l'équation du mouvement vérifiée par la vitesse Ÿ d’un électron du plasma.
1.1.4. Exprimer le vecteur courant volumique J en fonction de ne, € et Ÿ.
1.1.5. En déduire l'équation différentielle vérifiée par 7.

1.2.  Pulsation plasma

1.2.1. À partir des équations de MAXWELL, établir l'équation de conservation de la charge et en
déduire l’équation différentielle vérifiée par la densité volumique de charge p.

1.2.2. Montrer que, si on néglige les causes d’amortissement, le plasma peut être le siège d’une
oscillation d'ensemble du gaz électronique. Exprimer la pulsation w, de ce mode propre d'oscillation de
charges, appelée pulsation plasma, en fonction de ne, €, Me 6660

1.2.3. Calculer w, ainsi que la longueur d’onde À, correspondante en précisant le domaine du spectre
électromagnétique auquel elle appartient, dans les cas suivants :

— ionosphère terrestre où ne = 101 m3;
— décharge dans un gaz où ne ‏نه‎ 1021 m73;

— sodium métallique de concentration atomique, ou nombre d’atome par unité de volume, CNa ‏يه‎
‎6,02 x 107$ m7° ; on supposera que chaque atome de sodium donne un électron de conduction ;

— aluminium métallique de concentration atomique Ca, = 2,65 x 1038 m7* ; on supposera que chaque
atome d'aluminium donne trois électrons de conduction.

On pourra présenter les résultats sous forme d’un tableau.

1.3. Conductivité électrique

Le champ électrique est un champ harmonique qui s'écrit en notation complexe 2 Es ‏درن‎ -1

1.3.1. Exprimer le vecteur courant volumique j en fonction ‏عل‎ 12, w, ‏بيرت‎ 20 et T.

Épreuve de Physique II 2/7

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1.3.2. Montrer que le plasma vérifie une loi d'OHM généralisée et en déduire la conductivité complexe
g(w) du plasma.

25 partie
Autoconfinement d’une colonne de plasma

Certaines expériences de physique nécessitent de confiner de la matière dans une région limitée de
l’espace. Le but de cette partie est de montrer qu’un plasma peut s’auto-contracter lorqu’il est parcouru par
un courant d'intensité suffisante. Pour cela on considère une colonne de plasma de symétrie cylindrique d’axe
Oz et de rayon R. Le plasma est traversé par un courant électrique d'intensité 1 constante dirigé suivant Oz
et uniformément réparti dans la section droite de la colonne de plasma. Le plasma est supposé en équilibre
thermodynamique local et on note n(r) la densité totale des particules à la distance 7 de l’axe. La pression
p(r) est donnée par la loi des gaz parfaits sous sa forme locale p(r) = n(r) kpT où kp est la constante de
BOLTZMANN et 7' la température thermodynamique supposée constante.

2.1. Déterminer l'expression du champ magnétique créé par le courant / en tout point de l’espace.

2.2. Exprimer la force magnétique dPn due au courant / qui s'exerce sur un élément de volume ‏بل‎ de
plasma. Quelle est l'effet d’une telle force ?

2.3. Montrer que les forces de pression qui s’exercent sur un élément de volume d7 peuvent être décrites
par une densité volumique donnée, en un point M où la pression est p(M), par 7, (M) = —Ÿ mp(M).
2.4. En déduire l’expression de la pression p(r) à l'équilibre thermodynamique local sachant que la

colonne de plasma est placée dans le vide.

2.5 Établir la formule dite de BENNETT traduisant la condition d'équilibre thermodynamique local du
plasma et reliant le nombre total N de particules par unité de longueur de la colonne de plasma et le courant
I qui la traverse.

2.6. Calculer le courant I nécessaire pour confiner une colonne de plasma de 30 em de diamètre. La
densité des particules supposées monoatomiques est no = 1029 m7* et leur énergie cinétique moyenne est
égale à 200 keV.

3ème partie
Effet d’écran dans un plasma

On se propose d'examiner, dans cette partie du problème, comment le potentiel électrostatique créé
par une charge ponctuelle est-il modifié dans un plasma. Pour ce faire, on commence par établir la loi de
distribution des charges avant de caractériser l’effet d’écran à l’aide notamment de la longueur de DEBYE.

3.1. Loi de Boltzmann

Considérons un ensemble de charges q dont la densité no à l’équilibre est uniforme. Au sein de cette dis-
tribution, on place une charge test ‏ل‎ en un point 0 pris comme origine des coordonnées sphériques. On
note n(M) la nouvelle distribution des charges et V(M) le potentiel électrostatique résultant de cette pertur-
bation. On suppose que V(M) est à symétrie sphérique et que le système est à l’équilibre thermodynamique
à la température 1 constante. La pression est donnée par p(M) = n(M) ka T. On rappelle que les forces de
pression peuvent être décrites par une densité volumique donnée, en un point M où la pression est p(M'),

3.1.1. Écrire la condition d'équilibre des charges sous l'action de la force électrique et des forces de
pression et en déduire l'équation différentielle vérifiée par n(M).

Épreuve de Physique II 3/7 Tournez la page S.V.P.

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3.1.2. En intégrant l’équation précédente et en tenant compte des conditions aux limites montrer, que
la densité des particules n(M) obéit à la loi de BOLTZMANN

3.2. Longueur de Debye

On se propose maintenant d'appliquer les résultats précédents au plasma considéré. On admettra que la
loi de BOLTZMANN reste valable aussi bien pour les électrons que pour les ions. On supposera que les ions
positifs portent une seule charge élémentaire positive +e et on notera ny leur densité moyenne. On se propose
de déterminer le potentiel électrostatique V(M) qui règne autour d’un ion fixe pris comme origine.

3.2.1. Que vaut la densité moyenne des électrons ? Justifier.

3.2.2. On suppose que les densités n;(M) et ne(M) obéissent à la loi de BOLTZMANN.
3.2.2.1. Donner l'expression de la densité volumique de charge p(M) au point M du plasma.

3.2.2.2. Que devient l'expression de p(M) dans le cadre de l’'approximation de faible perturbation,
eV  kpT, que l’on adoptera dans toute la suite ?

3.2.3. On se propose de déterminer le potentiel qui règne autour d’un ion positif placé à l’origine.

3.2.3.1. Établir l'équation de POISSON reliant le potentiel électrostatique V et la densité volumique de
charge p.

3.2.3.2. En déduire que le potentiel électrostatique est solution de l'équation différentielle

‎où ‏ما‎ est une constante, appelée longueur ‏عل‎ DEBYE, que l’on exprimera en fonction de no, 1, ‏وى‎ et ‏.0ع‎

‎3.2.3.3. En déduire l’expression du potentiel électrostatique satisfaisant aux conditions aux limites
très loin de l’ion ainsi qu’à son voisinage. Justifier. Au besoin, on assimilera les ions à des sphères de rayon
négligeable devant la longueur de DEBYE ‏.ما‎

‎3.2.3.4. Tracer sur un même graphique V(r) et le potentiel créé par un ion de charge +e dans le vide.
Comparer et commenter.

‎3.2.4.1. Calculer le champ électrostatique É(M) en tout point M du plasma.

‎3.2.4.2. En déduire la charge électrique Qtotale(R) contenue dans une sphère de rayon R centrée sur
l’origine. Que vaut Quotate (R) lorsque R est très grand devant la longueur de DEBYE Ap ? Commenter.

‎4°" partie
Propagation d’une onde électromagnétique dans un plasma

‎Dans cette partie, on se propose d'étudier la propagation d’une onde électromagnétique dans un plasma.
Pour cela, on considère un plasma constitué d'ions de charges +e de densité no uniforme, fixes en première
approximation et d'électrons de densité no uniforme en l’absence de champ électromagnétique.

‎On étudie la possibilité de propagation dans la direction Oz au sein du plasma, d’une onde électroma-

‎gnétique plane décrite par le champ électromagnétique ( 2: B) ;
Par la suite, tout champ vectoriel 2 sera décomposé en une composante longitudinale parallèle à Oz,
notée 7, , et une composante transversale orthogonale à Oz, notée 0 1

‎Épreuve de Physique II 4/7

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4.1. Relations générales

4.1.1.1. Donner une définition aussi précise que possible de chacun des termes suivants : onde plane,
onde plane transversale, onde plane longitudinale.

4112. À partir des équations de MAXWELL, montrer l'existence d’un potentiel vecteur À et d’un
potentiel scalaire @.

4.1.1.3. À et à sont-ils uniques ? Expliquer.

4.1.2. Par la suite on imposera la condition supplémentaire V.4=0
4.1.2.1. Montrer qu'’alors À = 1
4.1.2.2. Que vaut alors 5, ? En déduire une relation simple entre B, et À.
4.1.2.3. Exprimer 21 en fonction de seulement.
4.1.2.4.  Exprimer de même 21 en fonction de vi seulement.

4.13.
4.1.3.1. Établir l'équation de POISSON pour le potentiel scalaire ‏نم‎
‎4.1.3.2. Montre que le potentiel vecteur À obéit à une équation de POISSON généralisée qui s'écrit

927 ;
Pourquoi cette équation fait-elle intervenir le potentiel scalaire 7

4.1.3.3. En déduire une équation différentielle reliant le potentiel vecteur À à 7x ;
4.1.3.4. En déduire aussi une équation reliant 7 6

4.1.4. Le passage de l'onde dans le plasma provoque un mouvement de ses électrons décrit par

le champ des vitesses (M, t). Il en résulte un courant électrique de vecteur volumique j ainsi qu’une
modulation de la densité volumique d'électrons qui devient alors n(z,t) = no + An(z, t). On se placera dans

l’hypothèse des faibles perturbations où |An(z,t)| no. On considérera donc An, mais aussi @, À, 72 ; 5, 7

et j comme des infiniment petits de premier ordre et on linéarisera en conséquence toutes les équations du
problème.

On s’intéresse au mouvement des électrons sous l’effet de la seule action du champ électrique. On néglige
donc le poids des électrons ainsi que l’action de la force magnétique.

On donne l’expression de l'accélération d d’un électron passant au point M à l'instant t, en fonction du
champ des vitesses Ÿ (M, t) :

On remarquera que le terme (7 ٠ V) T est un terme de second ordre en Ÿ.
4.141. Écrire l'équation du mouvement d’un électron du plasma siège de l’onde électromagnétique.
4.1.4.2. Exprimer 7 ; en fonction de e, me et pi uniquement.

4.1.4.3. Exprimer de même 7 en fonction de no, e et V.

4.1.5. Déduire de ce qui précède, l’équation différentielle que doit vérifier À.

Épreuve de Physique II 5/7 Tournez la page S.V.P.

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4.2. Conditions de propagation
On cherche à étudier la possibilité de propagation dans le plasma d’une onde électromagnétique plane
progressive et monochromatique décrite par le potentiel vecteur
i = À expi(kz —wt)
où À est un vecteur réel constant.

4.2.1. Établir la relation de dispersion entre k et w et faisant apparaître la pulsation plasma ‏ونس‎ =

noe?
0171+ 7

4.2.2.1. Tracer la courbe représentative de k en fonction de w. On tracera sur le même graphique, la
relation de dispersion pour une onde électromagnétique plane progressive monochromatique se propageant
dans le vide illimité.

4.2.2.2. Dans quel domaine de fréquence y'a-t-il propagation ? Que se passe-t-il dans l’autre domaine ;

on donnera dans ce dernier cas, l'expression du potentiel vecteur 7 et on la commentera.

4.2.3.1. Définir et calculer la vitesse de phase ‏.ين‎ Commenter.
4.2.3.2. Définir de même et calculer la vitesse de groupe ‏.ون‎ Commenter.

4.2.3.3. Quelle relation simple lie ‏من‎ et v, à la célérité co de la lumière dans le vide ?

4.3. Onde longitudinale

On examine dans cette partie la possibilité de propagation d’une onde électromagnétique longitudinale
progressive et monochromatique dont le potentiel scalaire est donné, en notation complexe, par d(z,t) =
doexpi(kz—wt).

4.3.1. Exprimer /; en fonction de ‏,و2‎ k, w et ‏م‎
‎4.3.2. En déduire une expression de D; en fonction de ‏,و2‎ no, €, k, w et à
4.3.3. Établir une autre expression de 7; en fonction de e, me, w, k et ‏ل‎

4.3.4. En déduire que pour, k quelconque, il existe une seule pulsation permettant la propagation
d’une onde longitudinale dans le plasma. Donner l'expression de cette pulsation et commenter.

5ème partie
Effets collectifs dans un plasma - Plasmons

Dans cette partie du problème, on se propose de donner une interprétation physique de la pulsation
plasma w, introduite dans les parties précédentes. Cette pulsation apparaîtra comme étant celle d'oscillation
collective du gaz de charges. On pourra alors introduire la notion de plasmon. On exposera enfin une
méthode d'excitation des plasmons dans un matériau solide.

5.1. Préliminaire

5.1.1. On considère une distribution superficielle de charge o uniforme confondue avec le plan r0y
placée dans le vide. Établir l’expression du champ électrique créé par cette distribution en un point situé à
une distance h du plan xOy très faible devant les dimensions linéaires caractéristiques de la distribution.

5.1.2. On considère à présent deux distributions du même type que la précédente caractérisées par
les densités superficielles +o et —o ; à › 0. Les deux distributions sont séparées d’une distance d très faible
devant leur dimensions linéaires caractéristiques. Établir l'expression du champ électrique qui règne dans
l’espace compris entre les deux distributions.

Épreuve de Physique II 6/7 ‏هب‎

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5.2.  Oscillations longitudinales d’une colonne de plasma

On considère un cylindre de plasma d’axe Oz, de hauteur h très faible devant ses dimensions linéaires
transversales caractéristiques. Il contient des ions de charge +e et de masse m; et des électrons. On désigne
par no la densité à l’équilibre des électrons égale à celle des ions. On suppose que les ions sont fixes.

On déplace l’ensemble des électrons d’une distance z petite devant h de sorte que la distribution de charge
résultante est équivalente, lorsque 2 # 0, à celle étudiée en 5.1.

5.2.1. Pourquoi peut-on considérer les ions comme étant fixes en première approximation ?
5.2.2. Déterminer la densité équivalente a.

5.2.3. Quelle est la force qui agit sur un électron du plasma ?

5.2.4. Établir l'équation différentielle du mouvement des électrons.

5.2.5. Montrer que les électrons du plasma effectuent des oscillations collectives à une pulsation que
l’on exprimera en fonction de no, €, me et ‏.ومع‎ Commenter.

5.3.  Plasmon

Un plasmon est une oscillation de plasma quantifiée d'énergie hw, et d’impulsion 73 Pour observer
l’excitation de plasmon, on soumet une fine couche métallique au bombardement par un faisceau ho-
mocinétique d'électrons d'énergie cinétique initiale donnée Æ.. On compte le nombre des électrons N, ayant
traversé la couche tout en mesurant leur énergie cinétique. Le tracé de N, en fonction de la perte d’énergie
AE = 1. - ‏ها‎ des électrons constitue un spectre de pertes d'énergie (figure 1).

)نه 120 90 6 30 0

Figure 1: Spectre des pertes d'énergie AZ subies par des électrons d'énergie cinétique initiale 2 = 50 keV
traversant une couche mince d’aluminium d’épaisseur 240 nm. D’après P. TREBBIA et C. COLLIEX.

5.3.1. En exprimant une loi de conservation, donner l'expression de l’énergie cinétique EC) d’un
électron ayant excité un seul plasmon.

5.3.2. Donner de même l'expression de l'énergie cinétique 217 d’un électron ayant excité n plasmons.

5.3.3.  Lafigure 1 représente le spectre des pertes d’énergie subies par des électrons d'énergie cinétique
initiale Fe, = 50 keV traversant une couche mince d'aluminium d'épaisseur 240 nm.

5.3.3.1. Déterminer à partir du graphe, l’énergie du plasmon de volume ainsi mis en évidence.

5.3.3.2. En déduire la densité électronique no de la couche mince d'aluminium considérée.

FIN DE L’ÉPREUVE

Épreuve de Physique II 7/7 FIN

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