نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2018: الفيزياء 1 - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

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Concours Commun Marocain - Session 2018 - Filière MP

e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il convient en

particulier de rappeler avec précision les | références | des questions abordées.

* Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

* Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis pour les
questions suivantes. Les différentes parties du problème sont relativement indépendantes entre
elles.

e Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur dénoncé, il le signale
sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives qu'il est amené à
prendre.

Exemples de l'électricité dans notre entourage

Notre mode de vie actuel est fortement tributaire de l’utilisation de l'électricité. Pour subve-
nir à nos besoins, d’autres formes d'énergie (mécanique, chimique, nucléaire, etc.) sont converties
en énergie électrique. L'électricité est présente dans tout les aspects de notre quotidien : appareils
électroménagers, moyens de transports, moyens de communications, etc. Dans ce sujet, on aborde
quelques aspects du courant électrique comme l'effet Joule et des manifestations magnétiques.

Données :

- Masse de l’électron : m = 9,1.10-3!kg.

- Charge de l’électron : q = —e = —1,6.10-"°C.

- Conductivité électrique du cuivre : ye = 6.107S.m—!

- Vitesse de la lumière : c = 3.10.51

- Permittivité diélectrique du vide : ‏و‎ = 8,854.10 121.011

- Constante de Stefan : à = 5,67.10-8W.m7?.K-*

- Constante de la loi de Wien : ‏سس‎ = 2,90.10 6

1/3
- Pour un vecteur v, div(rot V)=0.
- D'autres données sont insérées dans le texte.

I Questions de cours

Un générateur électrique crée un champ électrique E supposé uniforme, dans un conducteur
métallique cylindrique (C) d’axe X'X de longueur AB = L, de section 5. Les porteurs de charges
libres, de charge q, de densité volumique n, sont supposés avoir le même vecteur vitesse 7 par
rapport au conducteur : voir figure 1.

Figure 1 — Conducteur parcouru par un courant électrique

1.1. Généralités sur les courants électriques
1.1.1. Exprimer la densité volumique des charges mobiles p(M) en un point M du conducteur.

1.1.2. Donner l’expression de la charge 430 contenue dans le volume élémentaire dv = 27 .4 5.41

Le vecteur densité volumique de courant 7 (M) est défini par : 430 = 7 (M).d 5 dt

Épreuve de Physique I 177 Tournez la page SVP

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1.1.3. Donner l'expression de 7 (M)
[.1.4. En déduire l'intensité 1 du courant dans le conducteur.
1.2. Bilan de la charge électrique en régime variable
On se propose d'établir le bilan local, unidirectionnel selon XX, de la conservation de la charge.
On raisonne sur la tranche de conducteur, de section S, comprise entre x et x+dx.
1.2.1. Donner l'expression de la charge dQ,r reçue grâce aux échanges surfaciques, en x et en
x+dx, pendant une durée élémentaire dt .
1.2.2. Exprimer la variation de la charge au sein de la tranche en fonction de p(x,t).
1.2.3. En déduire l'expression du bilan local de charge à une dimension, puis faire la généralisa-
tion à trois dimensions.
1.2.4. Retrouver ce bilan en partant de deux relations de Maxwell dans la matière.
1.3. Loi d'Ohm et effet Joule
On étudie le mouvement d’un électron de charge q = —e au sein d’un métal sous l’action du

champ électrique E du générateur et on modélise les frottements par une force F, = =
où T est une constante positive.

1.3.1. Par application du principe fondamental de la dynamique, déterminer l'expression du vec-
teur vitesse 7’ (t).
1.3.2. Donner, en régime permanent la vitesse limite, et le vecteur densité volumique / .

1.3.3. En déduire la loi d'Ohm locale et donner l'expression de la conductivité électrique y.
1.3.4. Exprimer la résistance R = 5 d’un fil de section s, de longueur 1 et de conductivité y.

1.3.5. En régime permanent, faire un bilan des puissances pour un porteur de charge ٠
1.3.6. En régime permanent, la puissance apportée par le générateur est dissipée sous forme de
chaleur : c’est l'effet Joule. Montrer que la puissance volumique de Joule est p,(M) =
1.3.7. Pour le conducteur ohmique, donner l'expression intégrale de la puissance totale de Joule
en fonction de l'intensité et de la tension.

11 Exemples de l'électricité domestique

On étudie des exemples d'échanges thermiques qui accompagnent la circulation de courants
électriques dans des conducteurs. Dans toute cette partie, on considère que l’air ambiant est à la
température constante Ty = 300K, et son coefficient de convection est h = 5S1.

IL1. Préliminaire sur les transferts thermiques

11.1.1. Rappeler la loi de Fourier de la conduction thermique dans un conducteur, on pourra ex-
ploiter son analogie avec la loi d'Ohm (vue en question 1.3.3 ). Expliciter les analogies entre
les grandeurs électriques et thermiques.

11.1.2. Le conducteur de température de surface T est entouré par l'air, donner l'expression du
flux surfacique thermique de convection er reçu par ce conducteur et donné par la loi de
Newton.

11.1.3. Rappeler la loi de Stefan donnant le flux thermique surfacique ‏ير‎ rayonné par un corps de
température T.

Épreuve de Physique I 2/7 Tournez la page SVP

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11.2. Fils de câblage d’un circuit électrique

Dans la pratique, les fils électriques sont sécurisés par une gaine, ou couverture, isolante électrique-
ment et conductrice thermiquement pour évacuer la chaleur.

On considère un long fil électrique cylindrique de cuivre de longueur L, et de rayon a et d’axe XX.
Il est parcouru par un courant électrique d'intensité 1 de densité volumique uniforme j =. rés
Il est chauffé grâce à l'effet Joule et la température y varie. Ce fil est enveloppé par une gaine de
polyéthylène (PE) cylindrique d'épaisseur e, et celle-ci est en équilibre thermique avec l'air ambiant.
On note par À et À, les conductivités thermiques respectives du fil et de la gaine. On se place en
régime permanent. Voir figure 2.

Air : T=To

Air T=To
Figure 2 — Conducteur gainé parcouru par un courant électrique

11.2.1. Justifier qu’on puisse considérer que la température en un point M, 0 › r › a+e,ne

dépende que de sa distance r à l'axe. Montrer qu’il y'a un flux thermique 7 ; radial.
I[.2.2. Exprimer la puissance de Joule dissipée par le fil vers la gaine.
11.2.3. Déterminer l'expression de la température T(r) dans la gaine.
IL2.4. Déterminer la loi de température T(r), pour 0 › r › a, dans le fil.
11.2.5. Donner l'expression de la température maximale du fil Trrax-

IL.2.6. Soit Tg la température de fusion de la gaine. Déterminer l'expression de l'intensité maxi-
male ‏وم‎ à Ne pas dépasser.

11.3. Lampe à incandescence

On considère une lampe à incandescence de puissance P=100W sous une tension efficace V = 220V.
Son filament de tungstène (symbole W) est cylindrique de longueur L = 0,5m et de rayon a = 15ym.
À cause de l'effet Joule le filament est porté à la température de fonctionnement 1

Pour le tungstène, on donne : la masse volumique up = 1,93.10*kg.m7° et la capacité thermique
massique (supposée constante) C = ‏و138[1‎ 1162-1
11.3.1. La variation de la conductivité électrique du tungstène avec la température (en ‏,لكا‎ peut
être modélisée ! par : yw(T) = k.T!25.m*, avec k = 1,67.10"°SI.
En déduire la valeur de 1

11.3.2. Lors de l'établissement de l’état d'équilibre du filament, on suppose la transformation adia-
batique, estimer le temps T mis pour atteindre la température 1

11.3.3. En régime permanent, si on suppose que la puissance électrique reçue est rayonnée, quelle
serait la valeur de la température de travail 1 ? Indiquez les approximations utilisées.

1. DC. Agrawal Lat. Am. J. Phys. Educ. Vol. 5, No. 2, June 2011

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11.3.4. Dans quel domaine du spectre électromagnétique le filament émet-il principalement?

IL4. Protection contre les surintensités par un fusible

Le fusible est un fil conducteur placé en série dans le circuit électrique à protéger. Il fond et ouvre le
circuit s’il est soumis à une forte chaleur engendrée par un courant intense.

Considérons un fusible constitué d’un fil cylindrique de plomb de longueur /, de rayon a, et d’axe
X'X. Le fil métallique est porté à ses deux extrémités à la température Ty, et sa paroi latérale est
adiabatique. Lorsqu'il est parcouru par un courant d'intensité I, il s’échauffe par effet Joule. On
note ‏باز‎ sa masse volumique, Cp sa capacité calorifique massique, ‏ود‎ sa conductivité électrique et
Àp sa conductivité thermique. Voir figure 3.

Paroi latérale adiabatique

Paroi latérale adiabatique

Figure 3 — Fusible

11.4.1. On suppose que la température est de la forme T(x, t). En raisonnant sur une tranche infi-
nitésimale d'épaisseur dx, établir l'équation différentielle vérifiée par la température.

11.4.2. En régime permanent, déterminer la loi de température T(x)

11.4.3. Donner la position Xmax du fil métallique où débute la fusion du métal lorsque le courant
atteint l'intensité maximale ‏ممما‎ Supportée par le fusible.

11.4.4. Déterminer l'expression de la température correspondante 1 ‏عدي‎

11.4.5. Soit T;, = 600K la température de fusion du plomb, déterminer l'expression du rayon
minimal @yrin tolérant un courant d'intensité Iyax = 25A.
Calculer a,in Sachant que 1 = 1cm, Yp = 4, 81.10°S.m7* et Ap = 35, 3.17.16 1.0171

11.4.6. Justifier pourquoi on utilise les fusibles plutôt en plomb, qu’en un autre métal.

111 Exemples d'électricité dans l'atmosphère

L'électricité atmosphérique influe sur les systèmes électriques usuels, surtout en présence de la
foudre qui est un courant de grande intensité entre les nuages et le sol terrestre.

111.1. Atmosphère nuageuse

On considère un nuage situé entre les altitudes 2 = h, = 2km et z = ha = 10km et de section
horizontale S = 1km*. Dans la modélisation proposée, on néglige tout effet de bord et on suppose
que les densités volumiques de charges ne dépendent que de l'altitude z; et que le champ électrique

peut se mettre sous la forme : 2 (M) = E(z). 77 2. Voir figure 4.

111.1.1. Près du sol, dans la région 0 › 2 ‹ hp, les charges positives sont réparties avec la densité
volumique de charges uniforme po.

Déterminer le champ électrique E(z) dans cette zone, en prenant E(z = 0) = 0.

111.1.2. Montrer que pour ‏و1‎ › 2 ‹ M, le champ électrique est uniforme, et donner sa valeur 0.

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Figure 4 — Distributions de charges d’une atmosphère nuageuse

II.1.3. À l’intérieur du nuage, on suppose que p(z) varie linéairement avec 2 dans l'intervalle
‏1م‎ › p(z) › —p1, où p1 = p(z = m) › 0 est la densité volumique de charges pour z = m.
Déterminer l'expression de p(z) pour 1, › 2 › 112. On pose hn = ere ,

IIL.1.4. Donner l'expression de E(z) dans le nuage.

IIL.1.5. Représenter l'allure du champ électrique dans la région 0 › 2 ‹ M1
111.2. Modélisation de la foudre

Le système nuage-sol peut être assimilé à un condensateur géant de capacité C. Si le champ entre
les armatures dépasse le champ disruptif Emax, il se forme un canal conducteur dans l'air. L'éclair
nuage-sol peut être modélisé schématiquement comme la décharge d’un condensateur de capacité
C, à travers ce conducteur, supposé ohmique, de résistance R. Le condensateur est initialement
chargé sous une tension continue up = 10717 positive. Voir figure 5.

Situation réelle Schéma électrique équivalent

1
\ ١ base du nuage

d'orage
ar 22225000 ionisé
condensateur air

Figure 5 - Décharge d’un condensateur

I.2.1. Établir l'équation différentielle vérifiée par la charge Q(t).
II.2.2. En déduire l'expression de l'intensité I(t).

IIL.2.3. Les variations de l'intensité du courant de la foudre sont représentées par la figure 6a et
modélisées par la figure 6b. Evaluer la charge écoulée par la foudre.

II[.2.4. Estimer l'énergie électrique Ee initiale de ce condensateur.

111.2.5. Calculer la valeur de la capacité C du condensateur considéré.

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Intensité 1 (x10-5 ‏حزم‎ I(t) en kA

JT =90#

0 160 320 40 640 800 0 t,=80 t,=400 t, =900
Temps de décharge t (enps): ‏ويا‎

a : graphe I(t) b : modélisation du graphe I(t)

Figure 6 — Intensité du courant lors d’un éclair

111.3. Activité magnétique

Lors d’un coup de foudre l'air est ionisé dans un canal conduisant du sol au nuage orageux. On as-
simile l'éclair à un fil électrique cylindrique infini, d’axe OZ et de rayon a, parcouru par un courant
I(t), permanent, uniformément réparti dans une section droite.

111.3.1. Que peut on déduire des considérations d’invariances et de symétries, pour le champ ma-
gnétique B (r,0,z) crée par cette distribution. On utilisera la base cylindrique { 1 ,, Ve, 1/2
IIL.3.2. Déterminer le vecteur champ magnétique créé en tout point M de l’espace.

IIT.3.3. A partir de la force de Laplace, justifiez la tendance du canal de l'éclair à imploser.

La foudre engendre, donc, des champs magnétiques variables qui peuvent perturber les circuits
électriques domestiques. On considère le circuit électrique domestique qu’on assimile géométrique-
ment à un cadre carré de coté d = 5m, situé à la distance moyenne D de l'éclair. Le circuit électrique
et l'éclair sont coplanaires : voir figure 7.

10 0 2
à : circuit influencé par la foudre b : circuit seul

Figure 7 — Influence magnétique éclair-cadre

IIL.3.4. Justifier l'apparition d’une force électromotrice d’induction e(t), que l’on exprimera en res-
pectant la convention d'orientation du circuit.

Le circuit électrique est modélisé par une alimentation alternative de force électromotrice U(t) =
U,.cos(wt), une bobine d’inductance L et une résistance R en série : voir figure 7b.

111].3.5. Établir l'équation différentielle électrique complète de ce circuit, reliant I(t) et i(t), courant
circulant dans le circuit électrique en présence de l'éclair.

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IIL.3.6. On peut caractériser la perturbation de la foudre par € = ‏مسازياها‎ .On donne U, = 3117.
111.3.6.1. Montrer que pour avoir € › 1%, on doit avoir D › D,,;,; donner l'expression de la
q P min 0
distance minimale D,,;,. On justifiera les éventuelles approximations utilisées.
min ] PP

IIL.3.6.2. En vous inspirant de 111.2, donner un ordre de grandeur de Djin-

111.4. Décharge de la foudre dans le sol

Le sol est assimilé à un conducteur, homogène et isotrope, de conductivité ys = 2. 1072Sm7*. Quand
la foudre tombe sur un arbre, celui-ci peut être assimilé à une tige conductrice OZ parcourue par
un courant 1 = 0

7 Air
0 “M A B
Sol conducteur

Figure 8 - Distribution de courants dans le sol conducteur

111.4.1. En régime permanent, déterminer l'expression du vecteur densité de courant en un point
quelconque dans le sol j (M). On utilisera les propriétés de symétrie et d’invariance.

IIL.4.2. En déduire le potentiel électrique V(M) en un point quelconque M dans le sol en supposant
le potentiel nul à l'infini.

IIL.4.3. Déterminer l'expression de la différence de potentiel V = V4 — Vp, sachant que O, À et B
sont alignés et qu’on pose OA = 11, OB = D+p.

111.5. S’abriter sous un arbre, en temps d'orage?

Un homme, de masse m = 70kg, court avec un pas de 1m, vers l'arbre pour s’abriter d’un orage.
Estimez les risques qu’il peut encourir si l'arbre est touché par la foudre, sachant que celle-ci dure
90015. Les raisonnements seront accompagnés, d’abord, par des expressions littérales. On donne :

La résistance électrique de son corps vaut R = 2k0.

Pour ‏برأ‎ › Imax = 50mA, il y a risque de défibrillation cardiaque pouvant entrainer la mort.

La capacité calorifique massique de l’eau est C = 4,18.kJ.kg-*.K!

Figure 9 — Foudre se déchargeant à travers un arbre

Épreuve de Physique I 717 Fin

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