نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2015: الفيزياء 1 - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

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ROYAUME DU MAROC

Ministère de l'Enseignement Supérieur,
de la Formation des Cadres et de la Recherche Scientifique

Présidence du Concours National Commun 2015
Ecole Nationale Supérieure d'Électricité et de Mécanique

ENSEM

CONCOURS NATIONAL COMMUN

d'Admission dans les Établissements de Formation

d'Ingénieurs et Établissements Assimilés

Édition 2015

ÉPREUVE DE PHYSIQUE I

Filière MP

Durée 4 heures

Cette épreuve comporte 9 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est autorisé

page de garde

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Concours National Commun - Session 2015 - Filière MP

e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il convient en
particulier de rappeler avec précision les | références | des questions abordées.
e Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le

signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives
qu’il est amené à prendre.
Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

e Si un résultat donné par l’énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis pour les ques-
tions suivantes. Ainsi, les diverses parties de chaque problème sont relativement indépendantes
entre elles.

QUELQUES ASPECTS SUR L’UTILISATION DE VÉHICULES AUTOMOBILES

Cette épreuve est formée de plusieurs parties largement indépendantes. Son objet est d’étudier
quelques aspects relatifs à l’utilisation des véhicules automobiles. La première partie aborde le fonc-
tionnement thermodynamique du moteur d’une voiture. La deuxième et la troisième parties abordent
des aspects mécaniques du mouvement d’une voiture automobile ainsi que quelques considérations re-
latives au fléau des accidents de la route. Les causes des accidents relèvent de l’état des véhicules, de
l’état des routes, mais aussi en grande partie de l’erreur humaine. Il s’agit en particulier du non respect
des recommandations de la sécurité routière : usage des ceintures et airbags de sécurité, respect de la
distance réglementaire entre véhicules ; mais aussi d'éviter l’excès de vitesse. Enfin la quatrième partie
étudie la mesure de la vitesse des véhicules roulant par un radar Doppler.

Données :

e Tous les gaz considérés sont supposés parfaits.

e La constantes des gaz parfaits : R = 8,31 SI.

e La correspondance des températures : T(K) = t(°C) + 273.

e Le rapport des capacités thermiques molaires de l’air, à pression constante (C,) et à volume

constant (Cz) : Ya = = =1,4

e La relation de Mayer : CG — C, = R.
e Le champ de pesanteur : ‏و‎ = 9,8m.s7?.

e Vitesse de la lumière : ce = 3.108 m.s”*.

e La permittivité diélectrique du vide : ça = 8,85.10-"? SI.

Épreuve de Physique I 1/9

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Concours National Commun - Session 2015 - Filière MP

1 Étude thermodynamique d’un moteur de voiture

On étudie un moteur à explosion d’automobile (à quatre temps). Dans l’un des quatre
cylindres, on considère une quantité de matière formée de n moles d’un fluide qui décrit le cycle
de Beau de Rochas (ou d’Otto) entre les états notés A, B, C et D de façon supposée réversible :

— AB : compression adiabatique,

— BC : échauffement isochore,

— CD : détente adiabatique,

— DA : refroidissement isochore.

Les grandeurs : pression, température, volume et entropie sont notées respectivement P, T,

V et S. On appelle rapport volumétrique la quantité z = = . On désigne par 7 la température
maximale atteinte au cours du cycle.

Pour le fluide air-carburant, l’air étant en grand excès, on assimilera le mélange qui décrit
le cycle ABCDA à un gaz parfait unique, de coefficient y = # ‏ادح‎

1.1. Représentation du cycle

1.1.1. Représenter l’allure du cycle ABCDA dans un diagramme de Watt (P : ordonnée,
V : abscisse). Interpréter le sens de parcours et la signification de l’aire délimitée par
le cycle.

1.1.2. Pour chacune des transformations, déterminer l’allure de T(S) et tracer le cycle
ABCDA dans le diagramme (T, S).

1.2. Expression du rendement

1.2.1. Soient ‏م‎ et Qc les chaleurs reçues, lors d’un cycle, par le système de la source froide
et de la source chaude respectivement. Préciser les signes de ces deux grandeurs.
Donner l'expression du rendement r en fonction de Qr et Qc.

1.2.2. Déterminer, pour chacune des transformations précédentes, les expressions du travail
et chaleur reçus par le fluide.

1.2.3. Exprimer le rendement + du moteur en fonction de x et y. Comment varie ce rende-
ment avec x ?

1.3. Calcul du rendement

Le piston d’un cylindre a une section S = 50 em? et une course utile de / = 7,5 em (entre

les points haut et bas). Le volume emprisonné en fin de compression est de 45cm%. À

l’admission, on donne : t4 = 77°C et P4 = 1,0.10° Pa.

La voiture roule à la vitesse constante v = 90 km.h7* et le tableau de bord indique que

le moteur fait N = 2800 tours.min7!. Dans ces conditions la voiture consomme ve =

5 L/100km. Le carburant a pour masse volumique ‏م‎ = 720 kg.m7* et sa combustion dégage

une chaleur q = 4,82.10* kJ.kg—*.

1.3.1. Calculer le rendement r du moteur.

1.3.2. Sachant qu’un cycle se fait en deux tours, déterminer la durée d’un cycle 7e.

1.3.3. Déterminer l’expression de la chaleur reçue pendant un cycle dans un cylindre par
la combustion du carburant. Faire l’application numérique.

1.3.4. Déterminer l’expression, puis la valeur de la température (théorique) Tn-

1.3.5. Quelle serait l’expression du rendement de ce moteur si le fluide décrivait un cycle
de Carnot entre les mêmes températures extrêmes.

1.3.6. Calculer la puissance mécanique ‏مط‎ développée par le moteur.

Épreuve de Physique I 2/9

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2 Étude du mouvement d’une voiture

Pour étudier le mouvement d’une voiture on peut la modéliser, sommairement, comme un
système (X) formé d’un ensemble de solides : (X) = (So) U(S1) ‏(وي) نا‎ U (53) ‏نا‎ (S4) (Figure 1).

(So) : représente la carrosserie schématisée comme un solide de forme parallélépipédique et
de masse M.

(S;)(1 › à › 4) : représente la roue ‏أ‎ les quatre roues de la voiture sont supposées toutes
identiques. Chaque roue ‏ري‎ est assimilée à un cylindre solide homogène de rayon r = 0,3m,
de centre G;, de masse m = 18kg et de moment d'inertie autour de l’axe du disque Ag, :
‏جح ل‎ tm,

La masse totale de la voiture avec sa charge (passagers et bagages) est M’ = 1400 kg. Son
centre de masse est noté G.

Tous les mouvements sont étudiés par rapport au référentiel R(OXYZ) galiléen lié au sol
et muni de la base cartésienne 0: 7 u›}. On négligera la résistance de l’air. Les liaisons
roues-carrosserie sont parfaites.

9

FIGURE 1

2.1. Préliminaire

2.1.1. On considère l’une des roues (S;). Exprimer le vecteur position 06 et le vecteur
vitesse 0 du barycentre G; dans la base cartésienne.

2.1.2. Donner l’expression du vecteur vitesse de glissement vw, du solide (S;) par rapport
au sol noté (S”).
Soit ‏غنات = له‎ le vecteur rotation de la roue (w = 2 ). On suppose que la roue roule
sans glisser sur le sol.

2.1.3. Donner alors la relation entre la vitesse linéaire w; et la vitesse de rotation w.

2.1.4. Déterminer l’expression de l’énergie cinétique de la voiture () par rapport au réfé-
rentiel 924 en fonction de m, M’ et ‏ني‎

2.1.5. Déterminer la résultante cinétique 7 (E/M) et le moment cinétique Es (2/MR) en G
de la voiture (E).

2.2. On s’intéresse maintenant au mouvement de la voiture, lors duquel son barycentre G se
déplace dans le plan vertical XOY avec une vitesse ‏له‎ = vu; et une accélération Ÿ = au.
Les roues avant (1) et (3) sont motrices.

Épreuve de Physique I 3/9

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On ‏ما موا‎ le sol ose sur us roue avant la réaction = = R, = T,ù} + N, ux et

la réaction = = 704 =T; 17 + ‏ولا‎ 17 N SUr une roue arrière.

- 1 ‏جلا‎ et ‏م ل‎ sont les forces de frottement de glissement.

— N, 1 et N, x : sont les réactions normales.

On notera f le coefficient de frottement roue-sol (on confondra le coefficient statique avec
le coefficient dynamique). On prendra f = 0,6.

Dans tout le problème on supposera que les roues roulent sans glisser sur le sol sauf lors
du freinage.

2.2.1. La figure 2 donne les variations du module de la vitesse au cours du temps.

20

FIGURE 2

Donner en fonction de ‏روا‎ ts et t les expressions de la vitesse v(t) et de l’accélération
a(t) dans les trois intervalles de temps.

2.2.2. Pendant | la phase. d'accélération le moteur exerce sur chacune des roues avant le
couple T = —Pu;. Déterminer l’expression P, de la puissance développée par le
moteur en fonction de r, v et T.

2.2.3. Pendant cette première phase du mouvement, déterminer l’expression du couple I’,
en fonction de r, m, M' et a.

2.2.4. En applicant les théorèmes de la résultante cinétique et du moment cinétique à la
voiture et aux roues, déterminer les quatre réactions 711, T5, N, et Na.

2.2.5. Comparer les forces N, et Na». Peut-il y avoir décollage des roues ? Expliquer.

2.2.6. Influence du couple du moteur.

2.2.6.1. Tracer (qualitativement) l’allure des graphes représentant les grandeurs : |T1|,
|T›|, f-|N;| et f.|N»| en fonction de I.

2.2.6.2. Discuter et commenter, pour quelles valeurs de l'on aura les conditions :
1. Pas de patinage (pas de glissement) des roues lors du démarrage.
2. Pas de décollage de roues.

2.2.7. Entre les instants ta et ‏وا‎ le véhicule freine et les roues glissent sur le sol. On
suppose que le moteur n’exerce aucun effort. Déterminer la relation entre la distance
de freinage d; et le coefficient de frottement f.

2.2.8. Citer au moins deux facteurs qui diminueraient la valeur du coefficient de frottement

2
3 Quelques situations à risques

3.1. Mouvement dans un virage.

Lorsque les véhicules abordent un virage avec une vitesse non convenable, ils peuvent
déraper (se déplacer latéralement) et sortir ainsi de leur route ; avec risque d’accident. On
étudie le mouvement d’une voiture lors d’un virage ayant la forme d’un quart de cercle de

Épreuve de Physique I 4/9

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rayon R et de centre C. Le barycentre G décrit un mouvement circulaire uniforme, situé
dans un plan horizontal, avec une vitesse de module constant v. On désigne par M' la
masse de la voiture.

On modélise la réaction du sol par une réaction R’ susceptible de faire déraper les roues
et donc la voiture latéralement selon l’axe CG, ce glissement latéral est caractérisé par le
coefficient de frottement f". L’expression de la réaction du sol peut s’écrire sous la forme :

7 9
‏ل‎ avec :

- 1" ‏شا‎ représente la force de frottement de glissement latéral, elle est colinéaire à la vitesse
de glissement latéral selon l’axe CG,

‎N'u'y est orthogonale à la force de frottement, et au plan de la route.‏ -

3.1.1. Comment peut-on justifier, simplement, que // # f pour une roue ?

3.1.2. On suppose que le virage est situé dans un plan horizontal (// XOZ). Rappeler
l’expression de l'accélération dans la base de Frenet ( 7 7 0701 = 71 A Un)

3.1.3. Montrer que pour éviter le dérapage, la vitesse de la voiture ne doit pas dépasser
une valeur limite : V › Urim-
Donner l’expression de cette vitesse limite en fonction de R, g et f". Faire l’applica-
tion numérique pour R = 20m et f' = 0,8.

3.1.4. On suppose maintenant que la route du virage est inclinée et forme avec le plan
horizontal XOZ un angle a.

FIGURE 3

3.1.4.1. Donner les expressions des deux composantes 7” et N' de la réaction en fonction

3.1.4.2. Déterminer l’expression de la vitesse ‏ىن‎ pour laquelle la réaction est orthogonale
à la route.

3.1.4.3. On suppose que la voiture aborde le virage avec une vitesse v telle que v ‹ ‏ون‎
‎Montrer qu’il n’y aura pas de dérapage si v › Umin €t exprimer la valeur minimale
Umin de la vitesse en fonction de R, g, f' et a. Commenter.

3.1.4.4. On suppose maintenant que la voiture aborde le virage avec une vitesse v qui
vérifie la condition : v › ve. Montrer qu’il n’y aura pas de dérapage si v ‹ Umax
et exprimer la valeur maximale ‏ممم‎ de la vitesse en fonction de R, g, f' et a.
Commenter.

Épreuve de Physique I 5/9

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3.1.4.5. Pour quelle valeur ‏مه‎ de l’angle à, on n’aurait pas dérapage dans l'intervalle des
vitesses 0 › v › ‏وعمسا‎ Déterminer l’expression de ‏ممعم‎

3.2. Etude d’un accident entre deux véhicules

Sur une route rectiligne parallèle à OX, on considère une voiture qui se déplace à une
vitesse constante ‏ون‎ derrière un camion qui roule dans le même couloir, et dans le même
sens à la vitesse constante v = kvo.

À un instant + = 0, pris comme origine des temps, le conducteur du camion freine brus-
quement (les feux de stop s’allument à l’arrière du camion) et le conducteur de la voiture
freine à un instant + = 1. On prendra la position de la voiture à t = 0 comme origine des
espaces et on note D la distance entre le devant de la voiture et l’arrière du camion.

Dès l'instant du freinage pour chaque véhicule, les roues glissent sur la route avec un coef-
ficient de frottement f qu’on supposera identique pour toutes les roues des deux véhicules.
On supposera également que les moteurs n’exercent plus d’efforts sur les deux véhicules. On
s’intéresse aux mouvements des deux véhicules entre leur freinage et leur immobilisation.

On donne : la masse de la voiture M’ = 1400 kg, D = 35m, vo = 90 km.h}, f = 0,6 et
3.2.1. On suppose ici que le conducteur de la voiture freine au même instant que le conduc-
teur du camion : t, = 0.
3.2.1.1. Déterminer les expressions des accélérations a et as respectives de la voiture et
du camion.
3.2.1.2. On désigne par ‏رك‎ et da les distances d'arrêt pour la voiture et pour le camion
respectivement. Montrer, en le justifiant, qu’il n’y a pas d’accident.
3.2.1.3. En réalité on doit tenir compte du facteur humain relatif au temps de réflexe,
c’est-à-dire que le conducteur de la voiture freine après le conducteur du camion
avec un retard t,. Donner l’expression de la valeur maximale t,m de ce retard
pour que l'accident soit juste évité.
Quelles autres précautions permettraient au conducteur de la voiture de diminuer
le risque d’accident.
3.2.2. On suppose que le conducteur de la voiture freine à l’instant t, = 2
3.2.2.1. Donner alors l’expression de la vitesse va de la voiture au moment du choc en
fonction des données vo, D, g, f, di et da.
Au moment du choc, le camion est supposé immobile. On suppose que les deux
véhicules restent accolés après le choc et on suppose le système voiture-camion,
noté (£"), comme pseudo-isolé pendant la très courte durée du choc. Entre l’ins-
tant du choc et l'instant d’immobilisation, ce système parcourt la distance de
pendant une durée 7.
3.2.2.2. En applicant la deuxième loi de Newton, exprimer la vitesse ‏زان‎ de la voiture
(donc de l’ensemble) juste après le choc en fonction de va sachant que la masse
du camion est M. = 9 M".
3.2.2.3. On suppose que le système (X”) glisse sur la route selon un mouvement unifor-
mément retardé avec le coefficient de frottement de glissement f.
Déterminer l’expression de la durée 7 avant l’immobilisation. Faire l’application
numérique si vu, = 8718-1
3.2.3. Effets d’un accident sur les usagers de véhicules
Les voitures modernes sont équipées de ceintures de sécurité qui retiennent les pas-
sagers sur leur siège afin de diminuer l’impact des accidents.

Épreuve de Physique I 6/9

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3.2.3.1. On suppose ici que lors du choc, le conducteur est seulement retenu par la
ceinture de sécurité. Déterminer l’expression du module F, de la force moyenne
exercée par la ceinture sur le conducteur, durant la durée 7, en fonction des
données.

3.2.3.2. Faire l’application numérique sachant que le conducteur à une masse m, = 70 kg ;
Commenter ce résultat sachant que l’effet de cette force sur le thorax, est critique
au dessus de 800 daN pour une personne jeune, et de 400 daN pour une personne
âgée.

3.2.3.3. Au moment du choc, le passager à côté du conducteur n’avait pas mis sa ceinture
de sécurité. Sa tête entre en choc avec le pare-brise pendant une durée 7 = 6ms
au bout de laquelle ce dernier se brise. La tête de ce passager a une masse
ny = 3,6 kg et la surface de contact entre la tête et le pare-brise est s = 6cm?.
Estimer la pression moyenne exercée par le pare-brise sur la tête de ce passager.

3.2.3.4. Le passager derrière le conducteur n’ayant pas de ceinture de sécurité, va heurter
le siège du conducteur. Déterminer le module F3 de la force moyenne que ce

passager exerce sur ce siège, sachant que sa masse vaut a . Commenter.

Les ceintures de sécurité restent moins efficaces lors d'accidents à des vitesses élevées. Les
organes des passagers sont projetés contre la cage thoracique et la paroi abdominale et
le cerveau risque de s’écraser contre le crâne, entraînant éventuellement une paralysie à
vie. En plus des ceintures de sécurité, les voitures modernes sont équipées de systèmes
d'amortissement appelés airbags. Un airbag est un sac souple qui se gonfle très rapidement,
au moment de l’accident, par un gaz produit par décomposition d’une poudre solide (azoture
de sodium). Le déclenchement de ce processus est assuré par un capteur de décélération du
véhicule.
3.2.4. On suppose que l’airbag est déclenché et se remplit instantanément de gaz. L’airbag
est assimilé à un cylindre en nylon de rayon r, = 20cm et de hauteur h, = 50 cm.
On supposera que la température du véhicule reste constante, 7 = 300 K, durant
l’accident.
3.2.4.1. L’habitacle de la voiture est supposé étanche et a un volume intérieur de V, =
4 m3. Sachant que la pression initiale est P = 10° Pa, déterminer l’augmentation
de pression de pression p(M,t) (surpression) dans l’intérieur de la voiture.
3.2.4.2. Les sons perçus par l'oreille sont des ondes acoustiques où la grandeur ondula-
toire est la surpression p(M,t).
La surpression maximale supportée par l’oreille humaine (seuil de douleur) est
de 20 Pa. Conclure sur le son suivant l’ouverture de l’airbag. Commenter.

4 Utilisation de radars pour mesurer des vitesses

L’excès de vitesse est l’une des plus importantes causes d'accidents mortels. Pour contrôler
et sanctionner ces excès, les agents de contrôle routier utilisent un radar.

Cet appareil est formé d’une source fixe S qui émet des ondes électromagnétiques de fré-
quence v ; ces ondes seront réfléchies par le véhicule puis captées par le radar. Leur fréquence
sera alors ‏بر‎ : c’est l’effet Doppler.

4.1. Mesure de la vitesse d’un véhicule par un radar

Considérons une source S (radar) fixe qui émet des ondes électromagnétiques de fréquence
v = 5GHz, ces ondes se propagent dans l’air à la célerité c. On prendra le point S confondu
avec l’origine 0 des espaces et on notera M la position du véhicule contrôlé à l'instant ©

Épreuve de Physique I 7/9

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On consière que la trajectoire du véhicule est rectiligne suivant l’axe OX, avec une vitesse
constante v.

FIGURE 4

4.1.1. À l’instant t = 0, la voiture se trouve à la distance dy de la source S, et à cet instant,
S émet un premier signal qui arrive sur la voiture à l’instant + = to, puis se réflechi
vers S. Établir l’expression de to.

4.1.2. Établir l’expression de l’instant t, d’arrivée du signal réfléchi en S.

4.1.3. À l’instant t = T, la voiture est en M, et à cet instant la source émet un deuxième
signal. Ce dernier atteint la voiture à l'instant t = ta puis se réfléchi. Établir l’ex-
pression de l'instant ta.

4.1.4. Établir l'expression de l’instant t3 d’arrivée du deuxième signal réfléchi en S.

4.1.5. Établir l’expression de la période 7 qui sépare l’arrivée en S des deux signaux
réfléchis (successifs). En déduire l’expression de la fréquence ‏أب‎ des signaux réfléchis.
Comparer 7 à T” et commenter.

4.1.6. Déterminer la relation entre la vitesse v du véhicule contrôlé et l’écart ‏بر‎ = v'—v
entre les deux fréquences.
4.1.7. On donne dv = 972 Hz, calculer la valeur v de la vitesse du véhicule et commenter

sachant que la vitesse maximale autorisée est de 80 201.71
4.1.8. Donner d’autres exemples d'application de l'effet Doppler dans d’autres domaines.

4.2. On se propose d’étudier sommairement le principe de la détection radar.

4.2.1. Un radar comporte une source S émettant une onde électromagnétique plane progres-
sive selon 72 et sinusoïdale de fréquence v. Donner l’expression du champ électrique

‎E:;(M,t) de cette onde supposée polarisé selon 077 et d'amplitude Fo.‏

4.2.2. Donner l’expression du champ magnétique B;(M,t) de l’onde émise.

4.2.3. On suppose que cette onde arrive sous incidence normale sur un plan conducteur
parfait D disposé orthogonalement à l’axe SX au point d’abscisse x = ‏عض‎
‎Donner les relations de passage vérifiées par le champ électromagnétique sur l’in-
terface H. En déduire l’existence d’une onde réfléchie. On pourra noter le champ

électrique de cette onde sous la forme : E,(M,t) = Eor COS(wW,t + ‏هم‎

Le plan conducteur parfait est un véhicule mobile qui se déplace le long de l’axe OX à la
vitesse constante 7 = vu; (v › c) par rapport au référentiel R(OXYZ) supposé galiléen

lié à l'émetteur fixe. On note R'(0’X"Y’Z') le référentiel lié au véhicule.

4.2.4. Montrer que les champs électriques incident et réfléchi dans M’ sont donnés en fonc-

tion des champs électriques mesurés dans À par les deux relations :

4.2.5. Donner l’expression de la position du véhicule mobile : xy-(t).
4.2.6. Ecrire la relation de passage en x = ‏ع‎ pour le champ électrique dans 24

Épreuve de Physique I 8/9

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4.2.7. Déterminer la relation entre la fréquence y, de l’onde réfléchie et la fréquence v de
l’onde incidente.

4.2.8. Pour détecter l’onde réfléchie au niveau du radar, on exploite la force électromotrice
induite (fém) e dûe au flux du champ magnétique réfléchi. On considère la fém déve-
loppée dans un cadre métallique rectangulaire placé orthogonalement à 01 (Figure
5). Le cadre a pour largeur 1 = 5mm et pour longueur L = 10cm et comporte
N = 1000 spires en série ; ses bornes sont reliées à un voltmètre électronique pour
mesurer e.

Rappeler la loi de Faraday donnant l’expression de la fém induite e.

L 2 ‏ا‎

١

١

FIGURE 5

4.2.9. Exprimer la longueur d’onde À, de l’onde réfléchie au niveau du cadre. Justifier que
l’on puisse considérer le champ magnétique réfléchi comme uniforme sur le cadre et
en déduire l’expression de son flux @ à travers le cadre.

4.2.10. En déduire l’expression de la valeur efficace de la tension instantanée détectée en
fonction de /, L, N, c, v, et Ep.

4.2.11. La plus petite valeur de la tension détectable est Vzery = 10,4 V, déterminer la
puissance moyenne par unité de surface mise en jeu par le radar.

FIN DE L’ÉPREUVE

Épreuve de Physique I 9/9

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