نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2001: الفيزياء 1 - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

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ROYAUME DU MAROC

Ministère de l’Éducation Nationale Ministère de l'Enseignement
Enseignement Secondaire et Technique Supérieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique

Concours National Commun
d’Admission aux

Grandes Écoles d’Ingénieurs
Session 2001

ÉPREUVE DE PHYSIQUE I

Durée 4 heures

Concours MP

Cette épreuve comporte 8 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est interdit

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L’énoncé de cette épreuve comporte 8 pages.
L'usage de la calculatrice est interdit.

On veillera à une présentation claire et soignée des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les

références | des questions abordées.

Résonance magnétique nucléaire —- RMN —

La résonance magnétique nucléaire ou RMN est une technique spectroscopique qui se base sur l’inter-
action entre les moments magnétiques nucléaires de la matière et un champ magnétique excitateur. La
précision et la sensibilité des mesures qui peuvent être effectuées font de la RMN une technique de carac-
térisation très utilisée dans divers domaines notamment en physique de la matière, en chimie organique. En
médecine, la RMN est utilisée comme technique d'imagerie : c’est l'imagerie par résonance magnétique ou
IRM.

Le présent problème aborde quelques aspects simples de la RMN. Il est composé de trois parties largement
indépendantes entre elles. Aucune connaissance préalable de la RMN n'est nécessaire pour répondre aux
questions du problème.

Lors des applications numériques dont l'importance ne doit pas être négligée, on se contentera de donner
les résultats avec un maximum de deux (2) chiffres significatifs. Pour simplifier les calculs numériques, on
prendra systématiquement 4 7 = 12,5.

Données utiles et notations
e Célérité de la lumière dans le vide : co = 3,0 x 105 m.s—* ;
e Perméabilité magnétique du vide : ‏مر‎ & 47 x 1077 Hm”* ‏ب‎

e Formule fondamentale de dérivation vectorielle reliant les dérivées par rapport au temps t d'un vecteur
À dans deux référentiels R et R'

dt R dt

14 14 ;
4 ‏ا‎ 0 x À
R'IR © étant le vecteur rotation instantané de R” par rapport à R et x désigne le produit vectoriel ;
e On rappelle les formules trigonométriques suivantes
1
1er ;
e sinp cosq = = [sin(p + q) + sin(p — q)]

2
e Dans tout le problème (T,, Ty, Ÿ:)

coordonnées cartésiennes (x, y, z) ;

désignera une base orthonormée directe attachée au système de

e j désignera le nombre complexe de module 1 et d'argument 7/2;

e Conformément à l'usage courant, les grandeurs complexes seront soulignées.

1°° partie
Champ magnétique tournant
Dans cette partie on se propose d'étudier une méthode de production de champ magnétique tournant à

l’aide de circuits filiformes classiques parcourus par des courants adéquats.

Épreuve de Physique I 1/8 Tournez la page S.V.P.

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1.1. On considère un solénoïde S, comportant n spires circulaires jointives par unité de longueur.
Les spires ont chacune un rayon a et une épaisseur négligeable, elles sont régulièrement espacées et sont
parcourues par un courant permanent /, orienté dans le sens indiqué figure |.

Dans toute la suite du problème, on s’intéresse au champ magnétique créé au voisinage du centre O, du
solénoïde. On négligera alors tous les effets de bord en adoptant le modèle de solénoïde infiniment long.

51

Figure 1: Solénoïde parcouru par un courant. (a) vue latérale, (b) vue en coupe.

1.1.1. Calculer le champ magnétique 72 1(x,0,0) créé par S, en tout point M (x, 0,0( de son axe. On
rappelle l'expression du champ magnétique 7 créé par une spire circulaire en tout point M de son axe 2
(figure 2)

a étant le rayon de la spire, / l’intensité du courant qui la parcourt et 2 à l’angle sous lequel la spire est « vue »
depuis le point M.

Figure 2: Spire circulaire parcourue par un courant.

1.1.2. Montrer à l'aide de considérations de symétrie de la distribution de courant qu'en tout point M
de l’espace le champ magnétique créé par S, peut s’écrire 7 1(M) = B,(M) 7

1.1.3. Montrer que B,(M) ne dépend que de la distance r du point M à l’axe du solénoïde.

1.1.4. En appliquant le théorème d’AMPÈRE à un contour judicieusement choisi, calculer le champ
magnétique en tout point de l’espace à l’intérieur ou à l’extérieur du solénoïde S,. Montrer en particulier,
qu’à l’intérieur de S,, B,(M) = k1, et donner l'expression de k.

1.1.5. Déterminer le coefficient d'inductance propre À par unité de longueur du solénoïde.

1.2. On considère deux solénoïdes identiques de mêmes caractéristiques que celui étudié en 1.1. Chacun
de ces deux solénoïdes possède une résistance électrique R et un coefficient d’inductance propre total ‏.نا‎ Les
deux solénoïdes sont montés de sorte que l'axe du solénoïde ‏ري‎ coïncide avec l'axe Oz et celui du solénoïde
Sa avec l’axe Oy. Leur centres respectifs coïncident avec l’origine 0 du système d’axe utilisé. 11 n’y a aucun
contact électrique entre les spires de S, et celles de S».

Les deux solénoïdes sont insérés dans le circuit électrique représenté figure 3. Le condensateur utilisé est
supposé parfait et de capacité ‏.ا‎ L'ensemble est alimenté par un générateur de tension supposé parfait

Épreuve de Physique I 2/8

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Figure 3: Deux solénoïdes croisés insérés dans un circuit électrique. Pour des raisons de clarté, les spires ne
sont pas représentées dans la partie commune centrale.

délivrant une tension sinusoïdale basse fréquence

Dans toute la suite on se placera dans le cadre de l’approximation des régimes quasi-permanents (ARQP) et
on s’intéressera au régime sinusoïdal établi (ou forcé).

1.2.1. Déterminer l'expression de la valeur efficace 1, de l'intensité à; (t) du courant électrique circulant
dans le solénoïde ‏ري‎ ainsi que le déphasage ‏رم‎ de i; (t) par rapport à u(t).

1.2.2. Déterminer de même la valeur efficace I» de l'intensité i2(t) du courant circulant dans le
solénoïde ‏وي‎ ainsi que le déphasage ‏وم‎ de ia(t) par rapport à u(t).

1.2.3. Quelle condition doivent satisfaire ‏,نا‎ C et w pour que les déphasages ‏رم‎ et ‏وص‎ soient opposés
1.2.4. Quelles conditions doivent satisfaire R, L, C et w pour que le déphasage de à (t) par rapport à

ia(t) soit égal à 5 ?

1.2.5. Dans toute la suite du problème, les conditions établies en 1.2.3. et 1.2.4. sont remplies simul-
tanément. Déterminer /, et /».

1.2.6. Justifier succinctement pourquoi les résultats de calcul de champ magnétique effectués en 1.1.
restent-ils valables dans le cadre de l'ARQP.

1.2.6.1. Déterminer le champ magnétique résultant D au voisinage de 0 dans la région commune aux
deux solénoïdes. On négligera tous les champs magnétiques créés éventuellement par les fils de connexion.

1.2.6.2. Monter qu'il s’agit d’un champ magnétique de module B constant tournant dans le plan xOy
à une vitesse angulaire que l’on déterminera. Préciser le sens de rotation dans ce plan.
1.2.6.3. Calculer I,, I», C, L et B. Pour cela, on prendra U = 200 mV,R = 20 Q, f = = 10 kHz et

n = 108 m7!. On rappelle que 47 = 12,5.

27
1.2.7. Quel est le rôle du condensateur dans le montage de la figure 3 7

1.2.8. Quelle modification très simple doit-on apporter au montage de la figure 3 pour inverser le sens
de rotation du champ magnétique total ? Justifier succinctement la réponse.

Épreuve de Physique I 37/8 Tournez la page S.V.P.

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2ème partie
Théorie élémentaire de la RMN

Dans toute cette partie on considère un noyau atomique supposé ponctuel et fixe en un point O du
référentiel À du laboratoire supposé galiléen et auquel on attache un repère orthonormé direct R(O, xyz) de
vecteurs de base (T7 ‏مج‎ 17 , Ÿ -). Un tel noyau peut être considéré comme un dipôle magnétique élémentaire

rigide de moment magnétique 71. En outre, on admet que le noyau possède un moment cinétique intrinsèque
(ou spin) © relié au moment magnétique par la relation (que l’on ne cherchera pas à établir)

m=yT GB)
Le facteur y appelé rapport gyromagnétique est une constante positive indépendante du temps.

On négligera, tout au long de cette étude, le poids du noyau. On rappelle l'expression du moment M des
forces exercées par un champ magnétique B sur un dipôle magnétique rigide de moment magnétique 7?

M=mxB 0
x désignant le produit vectoriel.

2.1. Le noyau considéré est soumis à l’action d’un champ magnétique ‏و20‎ = Bo Ÿ. (Bo › 0) uniforme
et permanent dans R porté par l'axe Oz.

2.1.1. En appliquant le théorème du moment cinétique, donner l’équation régissant l’évolution ‏عل‎ ٠

2.1.2. Montrer que la norme ||7t|| du moment magnétique 77 ainsi que sa projection m. = 77 - Ÿ - sur
la direction du champ magnétique D ‏و‎ restent constantes au cours du temps.

2.1.3. Que peut-on dire alors de l'angle entre 72 et Bo ?

2.1.4. Déterminer les expressions des projections m, sur Ox et my sur Oy du moment magnétique
77 en fonction du temps en supposant qu’à l'instant + = 0,m, = my et m, = 0. On pourra poser
avantageusement m = my + j M, et résoudre l'équation différentielle vérifiée par m.

2.1.5. En déduire que le moment magnétique 77 effectue un mouvement de précession autour de la
direction de 270 caractérisé par un vecteur rotation instantané Vo que l’on exprimera en fonction de y et 270

2.1.6. Calculer numériquement ‏وه‎ = Do - 7 ‏و‎ ainsi que la fréquence correspondante ‏و/‎ en prenant
y = 2,7 x 108 u.S.L et Bo = 1 T. Dans quel domaine du spectre électromagnétique cette fréquence se situe-t-
elle ?

2.2. Au champ magnétique ‏و2‎ = By Ÿ ,, on superpose un champ magnétique 7 ‏رتح‎ Ÿ x uniforme,

perpendiculaire à Oz et tournant à la vitesse angulaire W = ‏ته‎ 7. Dans toute la suite, on supposera que
Soit R, le référentiel animé par rapport au référentiel / d’un mouvement de rotation uniforme à la vitesse

angulaire W = w Ÿ, et auquel on attache le repère orthonormé direct R,(O, XY7z) de vecteurs de base

(@ x, Ty, Ÿ:). On supposera qu’à l'instant + = 0, les axes des repères R et R, sont confondus. On posera
enfin 1 = Ÿ = Vo et 71 =-—" 21

2.2.1. Exprimer on

référentiel R , en fonction de mi ; Do et D 1:
017

2.2.2. En déduire (F) , dérivée par rapport au temps du moment magnétique 7 relativement
R1

) , dérivée par rapport au temps du moment magnétique 77 relativement au

au référentiel R ,, en fonction de V1, 0 et mi.

2.2.3. Décrire alors le mouvement de 7 dans le référentiel R | en précisant en particulier la significa-
tion physique du vecteur ‏ل‎ — T et en donnant la valeur de l’angle 0 qu’il fait avec l'axe Oz.

Épreuve de Physique I 4/8

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2.2.4. Décrire qualitativement le mouvement du vecteur 2.1 - D relativement au référentiel R. En
déduire alors celui du moment magnétique 71 dans R.

2.2.5. On s'intéresse à la composante de 77 selon l’axe Oz et on pose mi, = m, Ü,, m, étant la
projection de 77 sur 7 .. On suppose qu'à l'instant pris comme origine des temps (t = 0), m. = m' constante
positive.

َ ee z = sVcA :
2.2.5.1. Montrer que si la condition de résonance © - 0 est réalisée, la composante 772 subit un
premier retournement au bout d’un temps At que l’on déterminera.

2.25.2. Calculer At pour B, = 10-°$ Tety =2,7 x 10 0.8.

2.3. Prise en compte de la relaxation

En réalité, dans un échantillon macroscopique, seule la moyenne statistique Ml des moments magnétiques
microscopiques est accessible à la mesure. On admet que les résultats précédents obtenus pour le moment
magnétique microscopique 77 restent valables pour 11

À cause de l'agitation thermique, les atomes d'un tel échantillon entrent en collision les uns avec les autres.
Il en résulte une tendance à la désorientation des différents moments magnétiques microscopiques 77 et une
annulation de leur moyenne statistique 10 lorsqu’aucun champ magnétique n’est appliqué (relaxation).

2.3.1. Relaxation d’un moment magnétique

On admet que pour tenir compte des interactions microscopiques entre les atomes voisins, il suffit
d'ajouter dans l’équation du mouvement de 17 le terme de relaxation donné par

relaxation
T étant une constante positive.
2.3.1.1. À quoi la constante 7 est-elle homogène ?

2.3.1.2. Montrer que l’hypothèse de prise en compte de la relaxation mentionnée ci-dessus (2.3.1.) est
en accord avec la constatation expérimentale suivante : étant donné un échantillon de moment magnétique

moyen nul 01 = 0 (, lorsque, à l’instant to, on soumet un tel échantillon à la seule action du champ
magnétique Bo = Bo 7. son moment magnétique moyen M croît en fonction du temps et temps

exponentiellement vers la valeur Me ;

2.3.2. Équations de Bloch

Dans toute la suite, le moment magnétique M est soumis aux actions conjuguées du champ magnétique
270 = By Ÿ. uniforme et permanent dans R et du champ tournant 7 ‏ور رظح‎ décrits en 2.1. et 2.2. En
outre, on tiendra compte des phénomènes de relaxation décrits par l'équation (5) où Mo = My Ÿ..

2.3.2.1. Établir l'équation du mouvement du moment magnétique M relativement au référentiel R ;
défini en 2.2.

2.3.2.2. Établir les équations, dites de BLOCH, vérifiées par les composantes u, v et M. définies par les
relations

70 ح جر ‎٠‏ 17 حرطل
)6( ح عر ‎٠‏ 17 ح عد

M.=M ٠

2.3.3. Dans toute la suite du problème, on s'intéresse au régime établi (ou permanent dans le référentiel
tournant R 1).

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2.3.3.1. Montrer alors que les composantes u, v et M, sont données par
—T2w1 0

7 _ —=T701 7

(Tu ً

M, = M M

2.3.3.2. Tracer l'allure des courbes u(N) et v() en précisant les positions et les valeurs des maxima et
minima éventuels.

2.3.3.3. Déterminer la largeur à mi-hauteur A de la courbe v(2). Que représente AN pour la courbe

2.3.4. En réalité, dans la pratique, le champ magnétique tournant › 1 = B, Ÿ x est remplacé par un
champ alternatif Ba = 2B, cos(w't) TP; (w' › 0) de direction fixe dans R créé par un solénoïde très long
parcouru par le courant i(t) = 21 cosw't.

2.3.4.1. Montrer que le champ magnétique ‏و7‎ peut être décomposé en deux champs Bi et 2:
tournant autour de Oz respectivement dans le sens direct et le sens inverse. On donnera les expressions de
Bi et Bz.

2.3.4.2. En s'appuyant en particulier sur les résultats des questions 2.1.5. et 2.1.6. et en rappelant
la définition de la résonance (question 2.2.5.1.), montrer qu’une seule des deux composantes 22 où 5;
permettra d'atteindre la résonance. Exprimer le vecteur rotation instantané de cette composante en fonction
deu’.

2.3.4.3. Expliquer alors pourquoi, au voisinage de la résonance, l’évolution de M en présence de ‏و2‎
‎reste la même que celle prévue avec le champ tournant 7 L-

2.4. Détection de la réponse du milieu

On admet que l'échantillon étudié crée un champ magnétique 7 proportionnel au moment magnétique

K étant un coefficient de proportionnalité réel et positif que l’on ne cherchera pas à expliciter.
Pour détecter la réponse du milieu étudié, on place l'échantillon dans une bobine détectrice plate B, d’axe Oy
comportant N spires circulaires de surface S chacune.

2.4.1. Expliquer pourquoi la présence des champs Bo et ‏و72‎ ne perturbe pas la détection.

2.4.2. Déterminer l'expression de la force électromotrice (f.é.m.) e(t) induite dans la bobine détectrice
B. Montrer que l'on peut mettre e(t) sous la forme

e(t) = Vo cosw't + Vz sinw't (9)
et donner les expressions de Vy et Vz.
2.4.3. À l'aide d’une détection synchrone appropriée (3è"° partie), on peut mesurer séparément les

parties de la f.é.m. e(t) en phase et en quadrature de phase avec le champ magnétique excitateur ‏و72‎ . Quelle
courbe expérimentale doit-on tracer pour obtenir 7 7

3ème partie
Détection synchrone du signal
Dans cette partie, on se propose d'étudier la méthode de détection synchrone qui a permis d'extraire

séparément les deux composantes de la f.é.m. e(t), l’une en phase et l'autre en quadrature de phase avec le
champ magnétique excitateur.

Épreuve de Physique I 6/8

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3.1. Schéma de principe d’un détecteur synchrone

La figure 4 donne le schéma de principe d’un détecteur synchrone.

‎Urer ( t )

‎Figure 4: Schéma bloc de principe d’un détecteur synchrone.

‎La tension e(t) est prélevée aux bornes de la bobine détectrice B. Le but étant de mesurer séparément les
composantes Va et ‏ونا‎ de

‎e(t) = Vo cosu't + ‏ذا‎ sinu’t (10)
La tension de référence ‏مون‎ )6( est une tension en phase avec le champ magnétique excitateur
Var (t) = V cosu't (11)
Le circuit déphaseur a pour seul rôle d'ajouter un déphasage A, à la phase de la tension de référence
Vpre(t) = V cos(w't + Ag) (12)

‎La tension vmu, À la sortie du circuit multiplieur analogique est ensuite filtrée à l’aide d’un filtre passe-
bas (FPB) de pulsation de coupure w. et d'amplification À positive dans la bande passante. Un voltmètre
numérique placé à la sortie du filtre passe-bas permet de mesurer la valeur efficace de la tension de sortie.

‎Le multiplieur analogique utilisé est un composant non linéaire dont les impédances d'entrée seront
considérées infinies, l’'impédance de sortie nulle et la bande passante infinie. La tension de sortie du circuit
multiplieur ‏وميا‎ est proportionnelle au produit des deux tensions d’entrée

‎Umur ( t ) = 7
0

Ko étant une constante positive.

‎3.1.1. À quoi la constante Æy est-elle homogène 7

‎3.1.2. Donner l'expression de la tension vu (t) en fonction de V, Ko, Vo. Vz, w',tet Ag.

‎3.1.3. Montrer que cette tension peut s'écrire comme la somme de quatre termes, dont deux de
fréquence nulle. Dessiner alors le spectre en fréquence correspondant.

‎3.1.4. Donner l'expression de la tension ‏مون‎ à la sortie du filtre passe-bas sachant que sa pulsation de
coupure w, est très inférieure à la pulsation d’excitation w'.

‎3.1.5. Montrer qu’un choix judicieux du déphasage Ayp permet d’étudier séparément Vy et Vz.

‎3.2. Étude du circuit déphaseur

‎On peut étudier le principe de fonctionnement du circuit déphaseur à partir du circuit représenté figure 5.
© étant un condensateur de 10 nF et R un potentiomètre réglable de 0 à 100 k®. L'amplificateur opérationnel
utilisé sera considéré comme parfait et fonctionnant en régime linéaire.

‎Épreuve de Physique I 7/8 Tournez la page S.V.P.

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Upep ( t )

Figure 5: Circuit déphaseur à amplificateur opérationnel.

3.2.1. Déterminer la fonction de transfert harmonique H(jw") = = de ce montage.
3.2.2. Quelles sont les expressions de l’amplification H(w') = |H(jw')| et de la phase Ap =

7 ب )قاوية

3.2.3. Tracer le diagramme de BODE correspondant et en déduire le rôle du montage.

3.2.4. On suppose que le signal de référence veer(t) = Vu cosw't en phase avec le champ magnétique
excitateur a une fréquence f' = w'/2x = 10 kHz. Quelle valeur faut-il donner à R pour obtenir un déphasage

Ap= - 2 7 Quelle est alors l'expression ‏وو عل‎ à la sortie du détecteur synchrone 7

3.2.5. Comment peut-on prélever la tension vzrr(t) en phase avec le champ magnétique excitateur Ba ?

FIN DE L’ÉPREUVE

Épreuve de Physique I 8/8 FIN

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