نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2020: الفيزياء - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

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المملكة المغربية
وزارة التربية الوطنية والتكوين اطهني
والتعليم العالي والبحث العلمي

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Royaume du Maroc
Ministère de l'Éducation Nationale, de la Formation Professionnelle,
de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Département de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

1 2

جابكة ‎Nasa‏ الحكايس بالرباحط
‎I A s Université Mohammed V de Rabat‏ ك3

CNC Z0OZ0

CONCOURS NATIONAL COMMUN

d’Admission dans les Établissements de Formation d’Ingénieurs
et Établissements Assimilés

Épreuve de Physique

Filières : MP

Durée 4 heures

Cette épreuve comporte 6pages au format A4, en plus de la page de garde
La calculatrice est autorisée

Page de garde

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e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il convient en

particulier de rappeler avec précision les numéros) des questions abordées.

* Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

* Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis pour les
questions suivantes. Les différentes parties du problème sont relativement indépendantes entre elles.

e Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé ou un oubli, il
le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives qu'il est
amené à prendre.

Oscillations. Couplages

On parle d’oscillations de grandeurs physiques lorsque celles-ci varient périodiquement ; elles
sont décrites par les mêmes équations quelle qu’en soit leur nature (mécanique, électrique, etc.). Dans
certaines situations les oscillations temporelles peuvent aussi se propager dans l’espace. Lorsque des
grandeurs physiques quelconques sont interdépendantes, on dit qu’elles sont couplées : c’est le cas
lorsqu’on a des liaisons entre oscillateurs (mécaniques, électriques, …), et on peut alors avoir des
transferts énergétiques.

Données
e Il peut être commode d'utiliser la notation complexe ; ainsi à une grandeur sinusoïdale fonction
du temps f(t) = Fy.cos(wt + @), on associe le complexe souligné f(t) = ‏,مما .و‎ où j? = —1, et

tel que f(t) représente sa partie réelle : f(t) = Re(f(t)) ; et on notera son conjugué par f”.
e On pourra noter par f(t) et f(t) les dérivées temporelles première et seconde d’une fonction

e Le champ de pesanteur ré est uniforme, vertical, descendant et de module ‏ع‎ = 9, 871.5

Exercice : le pendule simple (barème : 4 points sur 20)

On considère un pendule simple ponctuel M, de masse m, attaché à
l'extrémité d’un fil souple, inextensible, de longueur 1 et dont l’extré-
mité O est fixe; on étudie le mouvement relativement au référentiel
terrestre R(OXYZ) supposé galiléen et on utilisera la base cylindrique
{ Ü Ta ve }. Le mouvement de M a lieu dans le plan XOY vertical,
sa position est repérée par l'angle 0 = ( Ur om ), et le vecteur position
est OM = 1. 177 : voir figure 1.

A l'instant initial + = 0, le pendule a été écarté d'un angle ‏و0‎ puis
abandonné sans vitesse angulaire initiale 6(t = 0) = 0.

On néglige tout frottement. On posera ‏رن‎ = 0: ; Figure 1 — Pendule simple

1x ï

Exprimer, dans la base polaire, les vecteurs vitesse PM /r et accélération TM /R-
Déterminer l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur E,(60), on prendra E,(6 = 0) = 0.
Exprimer, en fonction de 6 et de ses dérivées, l'énergie mécanique E,, de M.

Déterminer, par la méthode de votre choix, l'équation différentielle vérifiée par 6.

TR ‏دن‎ NH

Cas de petits mouvements : 0 petit, sin(0) = 0, l'énergie mécanique est notée par E,,0-
Déterminer l'équation horaire 6(t) et donner l'expression de la période 10 du mouvement.

Épreuve de Physique 1/6 Tournez la page S.V.P

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6. Mouvements d’élongation angulaire 00 non petite ; on notera l'énergie mécanique par E,1-

6.1 Exprimer en fonction de 6 et des données. Établir l'expression donnant la période :

T1 = To.I(60), où I(60) est une intégrale qu’on explicitera sans la calculer.

6.2 On s’interesse à une autre méthode de calcul de la période. Pour cela, montrer qu’on peut
écrire l'équation du mouvement sous la forme : 2 + #.s(0).0 = 0, expliciter la fonction
s(60) et donner l'allure de son graphe pour —& › 0 › 00

6.3 Pour des élongations moyennes on peut approximer s(0) par le nombre s(69) › 0. En
posant eff = 8-5(00), donner l'expression de la nouvelle période T].

6.4 A l’aide d’un développement limité, exprimer la période 1+ en fonction de ‏و0‎ et de Ty. On
prendra sin(0) = 0 — tes.
7. Pour avoir un mouvement circulaire complet, de rayon 1, on doit lancer le pendule, en 60, avec
une vitesse initiale vo › Vo,m › 0; son énergie mécanique est notée E, 2.
Dans le cas vo = Vo,m, expliquer, sans calculs, les conditions vérifiées par la vitesse || 7(6=m)|
et par la tension || 7 (6 = (||
8. Représenter sur un même graphe les allures des portraits de phase pour les mouvements
d'énergies mécaniques E,,0, Em, et Em2-

Problèmes : oscillations; couplages (barème : 16 points sur 20 )

l‘’problème : des pendules … pas si simples
1.1. Le pendule de Foucault

On considère le référentiel terrestre R;(OXYZ) non galiléen, muni de la base cartésienne { Ta ee 7; 1:
Dans ce référentiel, on étudie le mouvement des petites oscillations d’un pendule simple consti-
tué d’une masse m suspendue à l'extrémité M d’un fil de longueur 1 dont l'autre extrémité est
fixe en 0 € OZ, 00 = h › 1; le point O a pour latitude À. On notera par 7 et Ÿ, respec-
tivement, la vitesse et l'accélération du mobile dans R;. À ‏رمحا‎ on a : OM(t = 0)(xo,vo = 0,20)

et V(t = 0)(%) = ‏ولا‎ = 0, = 0). Le référentiel R; tourne par rapport au référentiel géocen-

trique galiléen Rge(OoX0Y0Zo) avec le vecteur rotation Q = ‏م071‎ etQ = T = 7,27.10 5720.5 1:
voir figure 2. On note & le champ de pesanteur. Pour les applications numériques, on prendra
1= 20m, m=25k8, À. = =, l'amplitude initiale 6) = 5 :etonasin60 = 6.

À Pole nord

Y(nord)

Z(verticale)

‏كر مون‎
Os 2 À (latitude) 7

Equateur

(est) 3

Figure 2 — Pendule de Foucault dans le référentiel Terrestre

Épreuve de Physique 27/6 Tournez la page S.V.P

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‎Exprimer le vecteur ©) dans la base cartésienne et en déduire l'expression de la force d’iner-‏ .1.1.1
‎tie de Coriolis A = —2m 017.‏
‎JE ;‏ = ع ‎Proposer une estimation de la quantité‏ .1.2[
‎Dans le référentiel terrestre, le principe fondamental de la dynamique P.FD s’écrit :‏ .1.1.3

md = —M.g. 21/2 + T MO + FA

Expliquer pourquoi la force d'inertie d'entrainement n'apparait pas explicitement dans cette
expression du P.F.D.

1.1.4. Donner et justifier les approximations conduisant à supposer que le mouvement s'effectue
dans le plan XOY, et qu'il est régi par le système d'équations différentielles couplées :

On pose wy = TE = 5. ‏ل‎ = O.sin\ et on introduit la variable complexe : u = x + j.y, ‏رز‎ = —1.

1.1.5. Évaluer €’ = é et commenter.

L1.6. Établir l’équation différentielle vérifiée par u. Montrer que la solution peut être explicitée
sous la forme u = e—12* (a.eiet + ‏رك .ع‎ où x et B sont deux constantes complexes ; que
vaut w?

1.1.7. Déterminer les expressions approchées de x(t) et y(t).

1.1.8. À l’aide du logiciel Python, on a simulé la trajectoire en prenant Q” = 42 ; on obtient la
trajectoire représentée en figure 3.

Figure 3 — Simulation de trajectoire du pendule de Foucault dans le plan horizontal terrestre

1.1.8.1. Exprimer la durée + de la simulation en fonction de la période T = 2E.
1.1.8.2. Exprimer, en fonction de T, les instants ‏ا‎ et ‏وا‎ correspondant aux positions respectives

du mobile M,(t;) et 12 )12 (١ Déterminer l'angle ‏م‎ de rotation du vecteur OM, pendant
la durée T, en fonction des données.

1.1.8.3. Déterminer la période Tr d'oscillation du plan du pendule et le sens d’oscillation .

1.1.9. Expliquer et décrire qualitativement le mouvement observé du plan du pendule à l'équateur
où À = 0; et aux pôles nord et sud de latitudes respectives Ap, = 3 et ‏ون‎ = — z :

Épreuve de Physique 3/6 Tournez la page S.V.P

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L2. Botafumeiro; pendule de longueur variable.

Le Botafumeiro est un encensoir d’une église, suspendu à une corde dont
on fait varier convenablement la longueur, et qui effectue des oscilla-
tions d'amplitudes de plus en plus grandes ; c’est le cas aussi des balan-
cements d’un acrobate, ou d’un enfant, sur une balançoire.
Par contre les balancements d’un objet suspendu au câble d’une grue
sont à éviter, car ils peuvent être dangereux (industrie, bâtiment, etc.) .
On peut modéliser ces situations à l’aide d’un pendule formé d’un
point M de masse m suspendu à un fil dont la longueur 1 passe ins-
tantanément de la valeur ‏1)م1‎ + «) à la valeur lo(1 — «) au passage par la
verticale OX, et reprend sa valeur lo(1 + x) aux positions extrêmes où sa
vitesse s’annule; avec 0 › « › 1 : voir figure 4.
Le référentiel terrestre R(OXYZ) est supposé galiléen.

Figure 4 — Pendule de
longueur variable

1.2.1. Lors d'un mouvement entre M,, et M, 4, le mobile part du point M, d'angle 6, avec une
vitesse nulle, et arrive en M, 4 avec une vitesse nulle.
Lors de son passage par la verticale, exprimer sa vitesse ‏)رده‎ = 07) au point M2.

1.2.2. En utilisant la conservation d’une grandeur mécanique, à préciser et à justifier, déterminer
‏)بره‎ = 0*) au point M, 3-

1.2.3. Déterminer alors la relation entre l'angle de montée 6, et l'angle 0,,.

1.2.4. Montrer que l'amplitude des balancements augmente.

1.2.5. Dans la phase retour, le mobile repart de M,+1,1 sans vitesse initiale. Exprimer, puis calculer
le nombre N d'aller-retours permettant d'atteindre un angle 0, = 5, sachant qu’ initialement

le pendule a été abandonné, sans vitesse initiale, en ‏و0‎ = ; on donne ‏و1‎ = 4m et à = 5 ;

1.2.6. Soit Ty = 2 NES la période du pendule de longueur ‏.و1‎ Exprimer la période T avec laquelle
la longueur 1 varie dans le temps, en fonction de Tr.

Pendant la durée T, séparant deux passages successifs du pendule M par le même point sur la verti-
cale, l'énergie cinétique Ec varie de AE, (l'énergie potentielle ne varie pas).

1.2.7. On suppose que ‏نه‎ ›› 1 ; exprimer la variation relative ‏علد‎ , en fonction de « à l’ordre 1.
PP q 0 38

1.2.8. On admet que la variation de l'énergie cinétique est de la forme ‏مله‎ = k.E,, où k est une
constante ; déterminer la loi de variation Ec(t), ainsi que la valeur de k.

1.2.9. En réalité, la longueur /(t) varie continument dans le temps. Par application du théorème
du moment cinétique, établir l'équation différentielle du mouvement.
Proposer une expression de 1)1( modélisant l'exemple étudié ci-dessus.

I[’”“problème : couplage de deux oscillateurs mécaniques par électromagnétisme
11.1. Préliminaire : champ magnétique crée par un dipole magnétique Zi

On considère une spire circulaire, de centre 0, d’axe 72/07, de rayon r' et parcourue par un courant

permanent d'intensité 7. Elle crée en tout point P, repéré par O'P = P,un champ et un potentiel
vecteur magnétiques. Dans l’approximation dipolaire + › ‏را‎ on montre qu'elle crée le potentiel
magnétique À (P) = 42. pan, où po = 4710 75.1 est la perméabilité magnétique du vide et nl est
le moment dipolaire magnétique de la spire.

Épreuve de Physique 4/6 Tournez la page S.V.P

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Pour tous champs de scalaire f et de vecteurs 25 , c' et w, on a les relations :
= ‏كه هب هب لج ب‎
7 ‏(طا .)5 دح(عد طاد‎ ; rot(f.B) = frotd + gradf ‏تم‎
‎11.1.1. Schématiser la spire orientée et donner l'expression de son moment magnétique mi.
11.1.2. Démontrer l'expression du vecteur champ magnétique B (P) = 755-[8-(0i 1°). 1° — (r*).wi].
On considère un aimant caractérisé par son moment dipolaire magnétique m1 = m. 1 ;, où m est
une constante positive. Dans la base cylindrique { Zn Tu Vs }, on repère sa position par le vecteur

OM = z. , ; cet aimant crée en P(p,0,z0) le champ magnétique B (P), et on a zo › z et MP =P.

Figure 5 — Champ magnétique crée par un dipôle magnétique
11.1.3. Reproduire, sur votre copie, le plan 11) mi, MP) , représenter quelques lignes du champ ma-
‏ا ا ا‎ AA ‏ل‎ A: à à
gnétique B crée par le dipôle ni et indiquer ses pôles nord (n) et sud (s) sur ce schéma.
IL1.4. Le champ magnétique crée par 77 a pour expression : 7 )7( = B,( 7): ‏و17‎ +B.(P). ‏م17‎
Expliquer pourquoi ‏و8‎ = 0, et donner les expressions des fonctions ‏رماع‎ z, zo) et h(p,z,Zo).
11.2. Interaction entre un dipôle 777 en mouvement, et une spire (S) de rayon p fixe en zo = cte.
11.2.1. Lorsque l'aimant se déplace avec une vitesse 7 = 0.17 ;, par rapport au référentiel galiléen
R(OXYZ), déterminer le champ électromoteur z (P) induit en un point P de la spire.
En déduire l'expression de la f.é.m induite es.
IL.2.2. La spire a pour résistance rs = À, N € IN* et son inductance est négligée Ls = 0.
Exprimer l'intensité / du courant induit.

11.2.3. Déterminer la force de Laplace 7: exercée par le dipôle ni sur la spire. Commenter son
sens à la lumière de la loi de Lenz.
11.2.4. Tracer l'allure du graphe f1,z(z) = 7 L-  z, en indiquant les valeurs particulières.
IL.3. Interaction entre l’aimant mobile et une bobine, fixe, de N spires régulièrement réparties sur
l'étendue 20 — à ‹z‹2wo+ $, où / est la longueur de la bobine ( 1 ›› ‏م‎ ); on pourra poser n = N ;
11.3.1. Déterminer l'expression de la f.é.m e induite dans cette bobine. Montrer qu’on peut l'écrire
en fonction de la vitesse v du dipôle magnétique sous la forme e = —".v, déterminer l’ex-
pression de la constante “y; on notera J l'intégrale qui s’introduit et qu’on ne calculera pas.

11.3.2. Déterminer la composante de la force de Laplace F,,; = F L- 1 ; exercée par le dipôle ni sur
toute la bobine. Montrer qu'on peut l'écrire F, ; = 5.0 et déterminer l'expression et le signe
de la constante ô.

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IL4. Oscillateurs mécaniques couplés par électromagnétisme

On étudie un couplage par électromagnétisme entre les mouvements de deux aimants attachés à
deux ressorts. Ces aimants sont caractérisés par leurs moments dipolaires magnétiques nl, et M2;
ils se meuvent en vis-à-vis de deux bobines, et y créent, alors, des forces électromotrices induites +

1

‎RRQ = 0‏ لاا دحتت

‏زراك‎
‎Bobine 2 yZ Bobine 1

‎Bobine 2 ; Bobine 1

‎Figure 6 - Oscillateurs mécaniques couplés par électromagnétisme

‎11.4.1. Les deux bobines sont identiques et ont même résistance R, = ‏يا‎ = R; elles sont placées en
série et le circuit équivalent est représenté dans la figure 6 (b).
Déterminer l'expression du courant induit 7.

‎Les deux ressorts sont identiques, ils ont même longueur à vide ‏و1‎ et même raideur 1. L'origine des
espaces z = 0 est prise à la position d'équilibre des deux mobiles (i = 0).

‎Les deux aimants ont même masse M et leurs élongations zy et ‏و2‎ sont repérées à partir de l'équilibre ;
on supposera |z1| › ‏مم2‎ et |z2| › 20, p. Voir figure 6 (a).

‎11.4.2. Exprimer l'intensité 1 en fonction des vitesses 2, et 2, respectives des dipôles magnétiques
mi 1 et M». On fera intervenir la constante 7.

‎11.4.3. Donner les expressions de la force F,; exercée par la bobine 1 sur le dipôle ni, et de la force
F,, exercée par la bobine (2) sur le dipôle M2.

‎IL5. Étude des mouvements
IL5.1. Écrire le système d’équations différentielles vérifiées par les élongations z, et z2. On posera
‏عن‎ = # et À = + ; on supposera w › À.
IL5.2. On introduit les variables 2 = z, + ‏وت‎ et z/ = 7, — 29, déterminer la forme de z(t) et z'(t).

‎11.5.3. Déterminer les expressions de z1(t) et za(t), sachant qu'à ‏رمحا‎ z1(t = 0) = z10 › 0 et z2(t =

‎! Donoso et al. Eur. J. Phys. 31 (2010) 433-452.

‎Fin de l'épreuve de physique.

‎Épreuve de Physique 6/6 Fin

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