نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2016: الرياضيات 2 - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

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Ministère de l'Enseignement Supérieur de la Recherche
Scientifique de la Formation des Cadres

Présidence du Concours National Commun
École Nationale Supérieure des Mines de Rabat

CONCOURS NATIONAL COMMUN
d'admission aux Etablissements de Formation d'Ingénieurs et
Etablissements Assimilés

Session 2016

ÉPREUVE DES MATHÉMATIQUES II
Filière MP

Durée 4 heures

cette épreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est interdit

Page de garde

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Concours National Commun - Session 2016 - Filière MP

L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP,
comporte 4 pages.
L'usage de tout matériel électronique, y compris la calculatrice, est interdit.

Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des raisonnements
constitueront des éléments importants pour l'appréciation des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision
les références des questions abordées.

“51, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et
poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Le sujet de cette épreuve est composé d’un problème.

Durée : 4 heures

Problème

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2, on désigne par EF = #(lR) l'espace vectoriel des matrices
carrées d'ordre n à coefficients réels et on note par E* = Z(E,R), le R-espace vectoriel des formes linéaires
sur £, (une forme linéaire sur Æ est une application linéaire de Æ sur R). On rappelle qu’un hyperplan de E
est un sous-espace vectoriel supplémentaire à une droite vectorielle dans Æ. La matrice transposée de M est
notée ‘M. Si M € E, on note Vect( M) le sous-espace vectoriel de F engendré par M. On désigne par I, la
matrice unité de .,,(R) et pour tout s € N, on note [1,n] = {1,…,s}.
On définit l'application trace, notée Tr, de E vers R comme suit, pour tout M = (mi;)i‹ij‹n € E,
7

L'objet du problème est de montrer, dans la partie V, que tout hyperplan vectoriel de Æ contient au moins une
matrice inversible et dans la partie VI, que tout hyperplan vectoriel de E qui est muni d’un produit scalaire,
contient au moins une matrice orthogonale.

Partie I
Étude de quelques propriétés de l'application trace
1. (a) Montrer que Tr est une forme linéaire.
(b) Montrer que pour tous éléments À et B de E, Tr(AB) = Tr(BA) = Tr((‘A)(‘B)).
(c) Déterminer la dimension de ker Tr.
(d) Montrer que F = ker Tr © Vect(I,,).
(e) Vérifier que ker Tr est un hyperplan de F qui contient au moins une matrice inversible.
2. Soit ‏مب‎ l'application qui, à toute matrice M de F associe ÿ(M) = M + Tr(M)In.
(a) Montrer que est un automorphisme de F.
iii. En déduire que ‏م‎ est diagonalisable et déterminer les valeurs propres de ‏.ب‎
‎3. Soit J une matrice non nulle de Æ dont la trace est nulle. On considère ‏ثب‎ l'endomorphisme de E qui, à
toute matrice M de E associe (M) = M + Tr(M)J.
(a) Vérifier que le polynôme X? — 2X + 1 est un polynôme annulateur de ‏نب‎
‎(b) Montrer que 1 est la seule valeur propre de ‏.ل‎
‎(c) ‏ب‎ est-il diagonalisable ? Justifier la réponse.

Épreuve de Mathématiques 1 1/4 Tournez la page S.V.P.

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Partie II
Un premier résultat préliminaire

Soient F et G deux espaces vectoriels de dimensions respectivement finies ‏م‎ € N’ et m € N°. Soit u une
application linéaire de F vers G, de rang r tel que r € N. Æn,p(R) désigne l’espace vectoriel des matrices à
coefficients réels, à m lignes et p colonnes.

1. Soit F, un supplémentaire de keru dans F, on considère l'application v : F, — Im(u) telle que
2 — v(x) = u(x). Montrer que v est un isomorphisme.

2. On suppose que 0 › 7 › min(p, m) et on note # = (e, …, ep) une base de F, telle que (e;, …, €.) soit
une base de F, et (e,.4-1, …, €) une base de ker w. On pose, pour tout entier naturel ; € [1, r], €; = v(e;).

(a) Montrer qu’il existe une famille (€,+1,… Em) de vecteurs de G, telle que la famille © = (e1, …, Em)
soit une base de G.
(b) Déterminer Matæ « (u), la matrice de u relativement aux bases # et ©.
3. En déduire que pour toute matrice M de ‏,لظام‎ si 0 › r = rg(M) › min(m,p), alors il existe
deux matrices inversibles S et T respectivement de .#,7(R) et ,(R) telles que M = SJm,prT7! avec

Jp ( ; : ) € Mm,p(R) et I, la matrice identité de #,(R).

4. Quelle est la forme de la matrice Jm,p,r, dans chaque cas suivant, (0 ‹r=p‹m),(0‹r=m‹p)(
0‹r=m-= p)? ustifier la réponse.

Partie [I
Un deuxième résultat préliminaire

Soit L un espace vectoriel sur R de dimension finie s( s € N° ). Notons L* = Z(L,R) l'espace des formes
linéaires de L. Soit 4 = (L,,… L,) une base de L. On note, pour tout : € ]1, s], 1 la forme linéaire sur L définie
1 sii=j

; , le symbole de Kronecker.
0 sinon

de la façon suivante, pour tout entier j € ]1, s], /*(1;) = 8! où à = {
1. Montrer que 4* = (I, l£) est une famille libre de L*.

2. Soitr € Ltel quex = › æ;l;, montrer que, pour tout ÿ € [1, 4, 15 (æ) = x;.

3. En déduire que 4" est une famille génératrice de L*.

4. En déduire la dimension de L*.

Partie IV
Une caractérisation d’une forme linéaire sur F

Soit A une matrice de F, on définit l'application ‏رن‎ de E vers R, de la façon suivante, pour tout M de E,
1. Vérifier que da est une forme linéaire sur E.
2. Soit h l'application définie de E vers E* par À + h(A) = da.
Soit (à, 7) € [1, n] x [1, n], une matrice élémentaire E; ; = (er,1)i‹k.i‹n € ‏لاما‎ est définie comme suit,
pour tout couple d’entiers (k,/) € [1,n] x [1,n], ‏بن‎ = 61,67, (61, ( resp. 67) est le symbole de Kronecker
qui est défini dans la partie II).
(a) Vérifier que h est une application linéaire.

(b) i. On pose À = (az1)i‹ki‹n € (BR) et soit (i, j) € [1, n] x [1, n], calculer 6 4 (F;,;) en fonction
des coefficients de la matrice de À.

ii. En déduire que À est injective.

Épreuve de Mathématiques 1 2/4 Tournez la page S.V.P.

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(c) En déduire que h est un isomorphisme d'espaces vectoriels.

Partie V
Tout hyperplan de E contient au moins une matrice inversible
Soit H un hyperplan de F.
1. Montrer que pour toute matrice À non nulle de F qui n'appartient pas à H, on a EF = H © Vect (A).
2. Montrer qu'il existe une matrice B de E telle que H = ker(é5).

0 see 0 À

1 0
3. On note r = rg(B) et on considère la matrice de F, P, = | 0

0 0 1 0

(a) Montrer que P; est une matrice inversible.

; . Montrer
Tig = 0 sinon

(b) On suppose que 0 › r › net on note R, = (ri,j)1‹i,j‹n , AVEC {
que P, appartient à ker(br,).
4. En déduire que tout hyperplan H de F contient au moins une matrice inversible.

Partie VI
Tout hyperplan de E contient au moins une matrice orthogonale

L'espace vectoriel F étant muni du produit scalaire défini comme suit, pour toutes matrices M et N de E,
(M|N) = Tr(EM N). On rappelle que le groupe orthogonal et l’espace vectoriel des matrices symétriques de
E sont notés respectivement 6, = {M € EF; ‘MM = I,} et S, = {M € E; 'M = M}.

Soit N un élément de @,, on définit l'application Ov de E dans lui-même comme suit, pour tout P de E,
On(P) = NPN.

1. On pose À = (ai,j)1‹i,j‹n et B = (bi,j)1‹i,j‹n deux éléments de F.
11 11
(a) Montrer que (A|B) = 5 Ÿ ‏بريه‎
(b) Vérifier que tout hyperplan de F est l’orthogonal d’une matrice Y non nulle, cet hyperplan sera
noté #.

(c) Montrer que pour toute matrice orthogonale N de E, Ov est un automorphisme d'algèbres de F.
(d) Vérifier que pour toutes matrices N, et ‏وا‎ orthogonales de E, On, 9 Ov, = OnaN1€t (On, )7* = ‏بر‎
‎2. Montrer que pour toute matrice orthogonale N de ‏رك‎ On est une bijection de ‏م‎ sur lui-même.
3. Montrer que pour toute matrice orthogonale N de FE, On est une bijection de ./, sur lui-même.
4. Soit Y une matrice non nulle de F, P un élément de F et N une matrice orthogonale de F, montrer que
la matrice P appartient à 2/1 si et seulement si On(P) appartient à Æ, (Y)-

1
5. On suppose dans cette question que n est pair. Soit Y un élément non nul de F. On pose Y, = 3 (Y+Y).
(a) Montrer que G, N74 24 = On VI OH,
(b) Montrer qu’il existe une matrice orthogonale U de F telle que ‏“لآ‎ = 0y(Y;) soit diagonale.

(c) On considère la matrice suivante Q = ‏؛‎ m | ” | 0 de E, vérifier que Q € ‏0م05 م6‎ 277
100.0

Épreuve de Mathématiques 1 3/4 Tournez la page S.V.P.

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(d) Montrer que ‏لك 0م € (90) ن:0‎

(e) En déduire que si n est un nombre pair, alors tout hyperplan #- de E contient au moins une
matrice orthogonale et symétrique.

6. On suppose maintenant que n = 2p + 1 où p › 1. On rappelle qu’une matrice orthogonale est positive
si son déterminant est égal à 1. Soit Y une matrice non nulle de F.

(a) Montrer qu'il existe une matrice orthogonale U de E, telle que les éléments diagonaux d1,1, ‏بعك‎ …, dn,n
de D = 0(Y) vérifient |d; 1| £ |da,9| ‹ … ‏اها ك‎

(b) Si d,,n = 0, déterminer dans ce cas, une matrice orthogonale et positive appartenant à ‏كا‎

(c) On suppose que ‏جيم‎ 0 et on considère la suite (€4)1‹p‹n définie de la façon suivante, pour tout
entier k tel que 1 › k › n, €, est le signe de ‏رمك‎ si dj. x # 0, et €, = 1 si ‏يك‎ = 0.
Soit P” = (pi,;)1‹i,j‹n, la matrice carrée diagonale d'ordre 2p — 1, telle que, pour tout entier k,
1‹k‹2p— 1, p},, = (=1)*e,. On pose aussi, pour tout réel a,
AZ ( E2p COS © E2p Sin ‏م‎ ) Mo(R) et P, = ( P 0 ) € Mopr1(R).

Egp+1 SIN ‏دجمو‎ 086 0 A

. Vérifier que P, est une matrice orthogonale.
ii. Montrer qu'il existe trois réels a,b et c dépendant de (dpr)i‹k‹nr dap+1,2p7 dopop+1 et de
(E)1‹k‹n tels que (P,|D) = a cos a + bsin à — c, avec a › 0.
VETR et cos f = V5 ;
On suppose dans cette question que |c| ‹ a.
Montrer qu’il existe au moins un réel ‏ه‎ tel que Va? + ‏خط‎ sin(a + 8) = c.

iii. Soit / un réel tel que sin #8 =

iv. Soit (an)n›1 Une suite croissante de nombres réels positifs. Montrer que pour tout entier p › 1,
2p—1
0‹ ‏مر 1- ( 3م‎ ِ laz ‹ d2p + 20+1٠
k=1
v. En déduire qu'il existe un réel ‏مه‎ tel que (Pag|D) = 0.
vi. En déduire que la matrice ‏ن:0‎ (Pao) € On NH.

vii. Établir que si n est un nombre impair, alors tout hyperplan #- de E contient au moins une
matrice orthogonale et positive.

FIN DE L'ÉPREUVE

Épreuve de Mathématiques I 4/4 FIN

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