نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2010: الرياضيات 2 - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

Ce sujet est l'épreuve de Mathématiques II de la filière MP du Concours National Commun (CNC) 2010 d'admission aux grandes écoles d'ingénieurs marocaines (présidence ESITH). Durée : 4 heures, calculatrice interdite. C'est un problème d'algèbre linéaire en trois parties : géométrie de l'ellipse dans ℂ, matrices unitaires et compacité de U(n), puis démonstration du théorème « pour toute matrice complexe A, il existe U unitaire telle que les coefficients diagonaux de UAU⁻¹ soient tous égaux ». Voici une correction méthodologique proposée.

💡 Avant de commencer : les parties 1 et 2 sont indépendantes et presque entièrement « de cours » : ce sont elles qui rapportent le plus de points. La partie 3 réutilise deux résultats clés : 1.3.4 (existence de z₀ de module 1 rendant (bz₀+c z̄₀)/a réel) et 2.8.3 (U(n) est compact). Retenez aussi que f n'est que ℝ-linéaire (à cause du conjugué), et que la trace est invariante par similitude : c'est elle qui donne la valeur commune des termes diagonaux.

1^ère partie — Un peu de géométrie

1.1. Question de cours

• Équation réduite : x²/a² + y²/b² = 1 avec a > b > 0.
• On pose c = √(a² − b²). Foyers : F(c, 0) et F'(−c, 0).
• Directrices : x = a²/c et x = −a²/c ; excentricité e = c/a (0 ≤ e < 1 ; e = 0 pour un cercle).

1.2.1. L'ensemble E_λ,μ

λe^iθ + μe^−iθ = (λ+μ)cos θ + i(λ−μ)sin θ. Donc x = (λ+μ)cos θ, y = (λ−μ)sin θ avec λ − μ ≠ 0, et quand θ décrit [0, 2π] on obtient tous les points de :

x²/(λ+μ)² + y²/(λ−μ)² = 1, ellipse de centre 0, de demi-axes λ+μ (sur Ox, grand axe car λ+μ ≥ |λ−μ|) et |λ−μ| (cercle si λμ = 0).

1.2.2. L'application r_w,φ

z ↦ w + e^iφ(z − w) fixe w et multiplie z − w par e^iφ : c'est la rotation de centre w et d'angle φ.

1.2.3. L'ensemble E_b,c

Avec z = e^iθ, b = λe^iε, c = μe^iτ :

bz + c z̄ = λe^i(ε+θ) + μe^i(τ−θ) = e^i(ε+τ)/2 (λe^iψ + μe^−iψ) avec ψ = θ + (ε−τ)/2.

Quand θ décrit un intervalle de longueur 2π, ψ aussi. Donc E_b,c = r_0,(ε+τ)/2(E_λ,μ) : image d'une ellipse centrée en 0 par une rotation de centre 0, c'est une ellipse centrée à l'origine.

1.3.1. Linéarité et injectivité de f(z) = bz + c z̄

• Pour α réel : f(αz + z') = αf(z) + f(z') car le conjugué de αz est α z̄. f est ℝ-linéaire (pas ℂ-linéaire si c ≠ 0).
• Si |b| ≠ |c| et f(z) = 0 : |b||z| = |c||z| donc z = 0 ; f injective.
• Si |b| = |c| = λ : si λ = 0, f = 0. Sinon z = e^{i(τ−ε+π)/2} donne f(z) = λe^i(ε+τ)/2(e^iπ/2 + e^−iπ/2) = 0 avec z ≠ 0.

Conclusion : f injective ⇔ |b| ≠ |c|.

1.3.2.

f injective ⇔ |b| ≠ |c| ; l'image du cercle unité est E_b,c, qui est une ellipse de centre 0 d'après 1.2.3.

1.3.3.

|b| = |c| = λ : f(e^iθ) = 2λ cos(θ + (ε−τ)/2) e^i(ε+τ)/2. Comme le cosinus prend toutes les valeurs de [−1, 1], l'image est le segment [−2|b|e^i(ε+τ)/2, 2|b|e^i(ε+τ)/2], centré en 0 (réduit à {0} si b = c = 0).

1.3.4. Existence de z₀

On cherche |z₀| = 1 avec f(z₀) ∈ ℝa (droite passant par 0 dirigée par a).

• f non injective : l'image est un segment contenant 0 ; il existe z₀ (cos = 0) tel que f(z₀) = 0, et 0/a = 0 est réel.
• f injective : dans le repère tourné de (ε+τ)/2, l'ellipse s'écrit X²/A² + Y²/B² = 1 avec A = λ+μ > 0, B = |λ−μ| > 0. Si la droite ℝa a pour vecteur directeur (cos δ, sin δ) dans ce repère, le point s(cos δ, sin δ) est sur l'ellipse pour s = (cos²δ/A² + sin²δ/B²)^−1/2. Ce point est de la forme f(z₀) avec |z₀| = 1, et f(z₀)/a ∈ ℝ.

2^ème partie — Matrices unitaires

2.1.

I_n, ou plus généralement diag(e^iθ₁, …, e^iθ_n).

2.2.

det(A*) est le conjugué de det A. Donc 1 = det(A*A) = |det A|², d'où |det A| = 1.

2.3. Les matrices unitaires d'ordre 2

• Sens direct : A unitaire ⇔ AA* = I₂ ⇔ les lignes de A sont orthonormées dans ℂ². La première ligne (u, v) vérifie |u|² + |v|² = 1. L'orthogonal de (u, v) est la droite complexe engendrée par (−v̄, ū). La seconde ligne vaut donc λ(−v̄, ū), et elle est unitaire ssi |λ| = 1.
• Réciproque : on calcule A*A. Terme (1,1) : |u|² + |λ|²|v|² = 1. Terme (1,2) : ūv − |λ|²ūv = 0. Terme (2,2) : |v|² + |u|² = 1. Donc A*A = I₂.

2.4.

D*D = diag(|λ₁|², …, |λ_n|²) : D est unitaire ⇔ |λ_k| = 1 pour tout k.

2.5. Cas réel

• 2.5.1 : si A est réelle, A* = ^tA, donc A*A = I_n ⇔ ^tAA = I_n : unitaire ⇔ orthogonale.
• 2.5.2 : les colonnes d'une matrice de permutation sont les vecteurs e_σ(1), …, e_σ(n), famille orthonormée. La matrice est donc réelle orthogonale, donc unitaire par 2.5.1.

2.6.

Si C₁, …, C_n sont les colonnes de A, alors (A*A)_i,j = C_i* C_j = <C_i, C_j>. Donc A*A = I_n ⇔ <C_i, C_j> = δ_i,j ⇔ les colonnes forment une famille orthonormée, donc une base, puisqu'il y en a n = dim ℳ_n,1(ℂ).

2.7.

U(n) ⊂ GL_n(ℂ) et I_n ∈ U(n). Si A, B ∈ U(n) : (AB)*(AB) = B*A*AB = I_n. De plus A⁻¹ = A* et (A*)*A* = AA* = I_n. Donc U(n) est un sous-groupe de GL_n(ℂ).

2.8. Compacité de U(n)

• 2.8.1 : le coefficient (i, j) de A*A vaut Σ_k ā_k,i a_k,j, polynôme en les parties réelles et imaginaires des coefficients de A. L'application est donc continue (on peut aussi invoquer la continuité de A ↦ A*, ℝ-linéaire en dimension finie, et du produit, bilinéaire).
• 2.8.2 : ||A||₂² = tr(A*A), où (A, B) ↦ tr(A*B) est un produit scalaire hermitien sur ℳ_n(ℂ). C'est la norme euclidienne canonique de ℂⁿ² : c'est une norme. Si A est unitaire : ||A||₂² = tr(I_n) = n, donc ||A||₂ = √n.
• 2.8.3 : U(n) = φ⁻¹({I_n}) avec φ(A) = A*A continue, donc U(n) est fermé. Il est borné (inclus dans la sphère de rayon √n). En dimension finie, fermé + borné ⇒ U(n) compact.

3^ème partie — Démonstration du résultat annoncé

3.1.1.

U est de la forme 2.3 avec λ = 1, et |u|² + |v|² = cos²α + sin²α = 1 : U est unitaire.

3.1.2. Calcul de A₁ et A₂

On a U* = (ū, −v ; v̄, u). Le calcul de UAU* donne, avec uv̄ = e^i(β−γ)cos α sin α :

A₁ = a₁cos²α + a₂sin²α + cos α sin α (b e^i(β−γ) + c e^{−i(β−γ)})

A₂ = a₁sin²α + a₂cos²α − cos α sin α (b e^i(β−γ) + c e^{−i(β−γ)})

Vérification : A₁ + A₂ = a₁ + a₂ = tr A.

3.1.3.1. p réel

Par 1.3.4 appliqué à a = a₁ − a₂ ≠ 0, il existe z₀ = e^iθ₀ tel que (bz₀ + c z̄₀)/(a₁ − a₂) soit réel. On choisit β − γ = θ₀ (par exemple γ = 0 et β = θ₀) : p est réel.

3.1.3.2. t = 1/2

p étant réel, t(α) = cos²α + p cos α sin α est une fonction réelle continue sur [0, π/2], avec t(0) = 1 et t(π/2) = 0. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe α ∈ [0, π/2] tel que t(α) = 1/2.

3.1.3.3.

On a (a₁ − a₂)p = b e^i(β−γ) + c e^{−i(β−γ)}, et 1 − t = sin²α − p cos α sin α. Donc :

A₁ = a₁(cos²α + p cos α sin α) + a₂(sin²α − p cos α sin α) = t a₁ + (1−t)a₂, et de même A₂ = t a₂ + (1−t)a₁.

Pour t = 1/2 : A₁ = A₂ = (a₁ + a₂)/2. Comme U* = U⁻¹, le théorème est établi pour n = 2 (le cas a₁ = a₂ est trivial avec U = I₂).

3.2.1. Continuité de f

f(M) = (m_i,i − m_j,j)_i,j est linéaire en dimension finie, donc continue. Directement : ||f(M)||_∞ ≤ 2||M||_∞, donc f est 2-lipschitzienne.

3.2.2. L'application g_A(H) = ||f(HAH*)||_∞

• 3.2.2.1 : H ↦ HAH* est continue (coefficients polynomiaux en Re et Im des coefficients de H), f est continue et la norme est 1-lipschitzienne. Par composition, g_A est continue.
• 3.2.2.2 : g_A est continue à valeurs réelles sur le compact U(n) (2.8.3). Elle est donc bornée et atteint ses bornes. En particulier H₀ réalisant le minimum existe.

Remarque : ||f(M)||_∞ = max_i,j |m_i,i − m_j,j|. Pour n = 2, 3.1 fournit H avec g_A(H) = 0, d'où « donc n ≥ 3 » dans 3.2.3.

3.2.3.1. Permutation

Soit σ une permutation telle que σ(1) = i₀ et σ(2) = j₀ (i₀ ≠ j₀ car g_A(H₀) > 0), et P = Σ_k E_k,σ(k). Alors (PA'P*)_k,l = a'_σ(k),σ(l) : la diagonale de PA'P* est celle de A' permutée, donc g_A(PH₀) = g_A(H₀). PH₀ est unitaire (2.5.2 et 2.7), réalise encore le minimum, et le maximum est atteint en (i₀, j₀) = (1, 2).

3.2.3.2.

a'_1,1 ≠ a'_2,2 car leur écart vaut g_A(H₀) > 0. Par 3.1 appliqué à B, il existe U₀ ∈ U(2) telle que U₀BU₀* ait deux termes diagonaux égaux. Leur somme vaut tr(U₀BU₀*) = tr B = a'_1,1 + a'_2,2, donc chacun vaut (a'_1,1 + a'_2,2)/2.

3.2.3.3.

U*U = diag(U₀*U₀, I_n−2) = I_n : U est unitaire. En écrivant A' par blocs (B, C ; D, E), on obtient UA'U* = (U₀BU₀*, U₀C ; DU₀*, E). La diagonale est donc x₀, x₀, a'_3,3, …, a'_n,n avec x₀ = (a'_1,1 + a'_2,2)/2.

3.2.3.4.

Notons g = g_A(H₀) = ||f(A')||_∞. Les écarts diagonaux de UA'U* sont :

• 0 pour la paire (1, 2) ;
• |a'_i,i − a'_j,j| ≤ g pour i, j ≥ 3 (inchangés) ;
• |x₀ − a'_i,i| = |(a'_1,1 − a'_i,i) + (a'_2,2 − a'_i,i)|/2 ≤ g pour i ≥ 3.

Donc ||f(UA'U*)||_∞ ≤ ||f(A')||_∞. L'inégalité est stricte pour i ≥ 3. En effet, l'égalité imposerait |a'_1,1 − a'_i,i| = |a'_2,2 − a'_i,i| = g, avec ces deux complexes positivement liés (cas d'égalité de l'inégalité triangulaire). Ils seraient alors égaux, d'où a'_1,1 = a'_2,2, ce qui contredit g > 0. D'où |x₀ − a'_i,i| < |a'_1,1 − a'_2,2|.

3.2.3.5. Contradiction

Soit N(M) le nombre de paires {i, j} telles que |m_i,i − m_j,j| = g. D'après 3.2.3.4, le passage de A' à UA'U* ne crée aucune nouvelle paire maximale : les paires contenant 1 ou 2 ont maintenant un écart < g, les autres sont inchangées. Il supprime au moins la paire (1, 2) : N diminue d'au moins 1 et le maximum reste ≤ g.

Tant que N ≥ 1, la nouvelle matrice (H'AH'* avec H' unitaire) a encore un maximum égal à g, qui est le minimum. On peut donc recommencer : permutation (3.2.3.1), puis bloc U (3.2.3.3). Comme N ≤ n(n−1)/2, après un nombre fini d'étapes on obtient N = 0. On a alors H, produit fini de matrices de permutation et de matrices du type U, donc unitaire (2.7), avec ||f(HA'H*)||_∞ < ||f(A')||_∞.

Mais HH₀ ∈ U(n) et g_A(HH₀) = ||f(HA'H*)||_∞ < g = min g_A : contradiction.

3.2.4. Conclusion

L'hypothèse g_A(H₀) > 0 est absurde, donc g_A(H₀) = 0 : tous les coefficients diagonaux de H₀AH₀* sont égaux. Comme H₀* = H₀⁻¹, U = H₀ convient. La valeur commune est nécessairement tr(A)/n (invariance de la trace).

💡 À réviser pour le CNC MP (Maths II) : coniques (équation réduite, foyers, directrices, excentricité) ; nombres complexes et rotations ; matrices unitaires/orthogonales, produit hermitien, bases orthonormées ; groupes de matrices ; topologie en dimension finie (continuité des applications polynomiales, fermé + borné = compact, fonction continue sur un compact) ; théorème des valeurs intermédiaires ; invariance de la trace par similitude ; raisonnement par l'absurde avec une quantité entière strictement décroissante. Rédigez en citant précisément les numéros des questions utilisées (1.3.4, 2.8.3), comme l'exige l'énoncé.