نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2009: الرياضيات 2 - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين
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باختصار
هذا نموذج امتحان كتابي سابق لمباراة مباراة ولوج المدارس العليا للمهندسين لدى المباراة الوطنية المشتركة CNC (الأقسام التحضيرية) (2009)، منشور على وظيفة إنفو للاطلاع والتحميل المجاني بصيغة PDF مع تصحيح مقترح.
- الجهة المنظمة
- المباراة الوطنية المشتركة CNC (الأقسام التحضيرية)
- الدرجة
- مباراة ولوج المدارس العليا للمهندسين
- التخصص
- الرياضيات 2
- الدورة
- 2009
- عدد الصفحات
- 3
- لغة الأسئلة
- الفرنسية
- التصحيح
- تصحيح مقترح متوفر في هذه الصفحة
الموضوع الرسمي لاختبار الرياضيات 2 في المباراة الوطنية المشتركة (CNC) دورة 2009 لولوج المدارس العليا للمهندسين والمؤسسات المماثلة، الخاص بطلبة الأقسام التحضيرية شعبة MP. يتضمن هذا النموذج 3 صفحة من نص الاختبار الأصلي. تجد في الموقع مواضيع باقي المواد والسنوات لنفس المباراة.
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📝 نص أسئلة النموذج (مستخرج آلياً من الصفحات الممسوحة)
استُخرج هذا النص آلياً من صور الامتحان وقد يحتوي على أخطاء في القراءة — الصور أعلاه هي المرجع.
— صفحة 1 —
Concours National Commun - Session 2009 - MP
L’énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP,
comporte 3 pages.
L'usage de la calculatrice est interdit .
Les candidats sont informés que la précision des raisonnements ainsi que le soin apporté à la rédaction et
à la présentation des copies seront des éléments pris en compte dans la notation. Il convient en particulier de
rappeler avec précision les | références | des questions abordées.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le sig-
nale sur se copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené
à prendre.
Notations
Pour tout (p,q) € N°*, on note M,,(R) l’espace vectoriel des matrices à coefficients réels, à p
lignes et و colonnes ; si M € M,,g(R), ‘M désigne la matrice transposée de M et rg (M) son rang.
Pour tout entier naturel k, P, désigne l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et de
degré ‹ k.
Dans ce problème, n désigne un entier naturel non nul et مه ,... بده بو des réels deux à deux
distincts ; on note 7 le polynôme 7 = (X — x0)(X — .م — )...رم
Enfin, pour tout entier naturel m, on définit l'application
fm: Pan — Rr+!
N.B. : La première et la deuxième partie du problème sont indépendantes, la troisième utilise les
résultats des deux premières.
1è7° Partie : Étude de l'application fn
Soit m un entier naturel.
1. Si R € P, est tel que pour tout : € {0,1,..,n}, R(x;) = 0, montrer que R est le polynôme nul.
2. Vérifier que fn est une application linéaire.
3. Dans cette question, on suppose que m › n + 1.
(a) Montrer que Ker f,, = (QT: Q € Pn-n-1}--
(d) Déterminer le rang de f,, ; l'application fn est-elle surjective ?
Montrer que les sous-espaces vectoriels Ker f,, et P, sont supplémentaires dans Pmn-
) En déduire la dimension de Ker f,, puis en donner une base.
4. Dans cette question, on suppose que m ‹ n.
(a) Montrer que fn est injective.
(b) Quel est le rang de fn ?
(c) À quelle condition sur les entiers n et m l'application fn est-elle surjective ?
Épreuve de Mathématiques I 1/3 Tournez la page S.V.P.
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Concours National Commun - Session 2009 - MP
5. (a) Montrer que pour tout y = (vo, Y1, … Yn) € R"**, il existe un unique polynôme P, € Pn
tel que fn(Py) = (yo; V1, › Yn)-
(b) Pour tout 4 € {0,1,...,n}, on note L; l'unique polynôme de P, tel que f,(L;) = €; où
(Eo,. En) désigne la base canonique de 10771 ; on rappelle que 80 = (1,0,..,0),50 =
i. Vérifier que pour tout couple (i, 7) d’élements de {0,1,..,n}, Li(x;) = 0;,; avec
dy = 1sii = j et 0 sinon.
ii. Montrer que la famille (Lo, L1, …, Ly) est une base ع
(c) Si y = (Yo, V1, Yn) est un élément de 10771, exprimer le polynôme P, en fonction de
Lo, L1, …, سل Et Yo, V1, ---s Yn- Que vaut 2 L;?
i=0
9ème Partie : Problème aux moindres carrés
Soient م et q deux entiers naturels non nuls ; on muni l'espace vectoriel M, 1 (R) (resp. M4,1(R))
de son produit scalaire canonique noté › .,. ›, (resp. › ... ›, ) et on note ||.||, ( resp. ||.||a ) la
norme associée. On rappelle que › u,v ›,=" vu, u,v € Mp,1(R).
Si M € M,g(R), on note encore M l'application linéaire de M,,1(R) dans M,,1 (R) canonique-
ment associée à M ; ainsi Ker M = {r € M,1(R); Mx = 0} etImM = {Mzx; 1€ M,1(R)}.
On considère A € M,,((R) et b € M,,1(R) ; le problème aux moindres carrés associé à À et b est
la recherche des vecteurs de M, (R) minimisant la quantité ||b — ا عار lorsque x décrit .)ون
1. Siu € My,1(R) est un vecteur tel que ‘AAu =" Ab.
(a) Montrer que le vecteur b — Au est orthogonal à Im(A) et en déduire que Au est la
projection orthogonale de b sur Im(A).
(b) Justifier que ||b — Aul| = min{||b — Auf; x € My1(R)} et préciser tous les éléments
v € Mg1(R) en lesquels ce minimum est atteint.
2. Réciproquement, si u € M,,1(R) est un vecteur qui réalise le minimum de la quantité ||b— ع |
lorsque x décrit M,1(R), prouver que ‘AAu = Ab; on montrera pour cela que le vecteur
‘AAu — Ab est orthogonal à tous les vecteurs de M,,1(R).
3. (a) Montrer que si x € Ker (‘AA) alors › Ar, Ax ›p= 0.
(b) En déduire que Ker A = Ker (‘ AA).
(c) Comparer alors rg (A) = rg (AA).
(d) Montrer que Im(‘AA) C Im‘A et en déduire que ces deux sous-espaces vectoriels sont
égaux.
4. (a) Montrer qu’une solution du problème aux moindres carrés cité ci-dessus existe toujours
et qu’elle est exactement une solution d’un système linéaire à préciser.
(b) Montrer que le problème a une unique solution si et seulement siKer A = {0}
3ème Partie : Approximation polynômiale au sens des moindres carrés
On considère des réels yo, 1, …, مل qui sont respectivement les images des réels xo, T1, …, En par
une fonction ريب et on cherche à déterminer les polynômes P € Pn tels que la quantité
i=0
Épreuve de Mathématiques I 2/53 Tournez la page S.V.P.
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Concours National Commun - Session 2009 - MP
soit minimale, et à préciser la valeur minimale À, de ladite quantité.
On parle alors d’approximation polynômiale au sens des moindres carrés de la fonction م
aux points ro, T1, …, In ; Ce type d’approximation est particulièrement utilisé dans les problèmes
d'optimisation et de contrôle de qualité.
On utilise les notations des parties précédentes.
A. Étude dans lecaam›n+1
1. Donner un polynôme وله € P, tel que fn(Qo) = (yo, V1, .لملا
2. En déduire la valeur minimale À, de ®,,(P) lorsque P décrit P,, et préciser l’ensemble des
polynômes en lesquels ce minimum est atteint.
B. Étude dans le cas m › n
Dans cette section, on pose
1 20 ‹‹‹ 0 Yo
1 ms ++ a Yn
1. (a) Expliciter les coefficients de la matrice ‘AA.
(b) Montrer que la matrice À est de rang m + 1; on pourra montrer que ces colonnes sont
linéairement indépendantes ou utiliser une autre méthode.
(c) En déduire que la matrice “AA est inversible.
00
2. Soit P= لل a,X* € P,, On pose V, =
k=0
(a) Exprimer le produit AV, à l'aide des valeurs prises par P aux points ro, T1, …, Tn-
3. (a) Justifier qu'il existe un unique polynôme Py € Pn qui réalise le minimum de la quantité
®n(P) lorsque P décrit Pn-
(b) Montrer que V,, est l'unique solution du système linéaire ‘AAZ =" Ab, d’inconnue Z.
(c) Que vaut Am ?
4. Application
On prend n = 3,m = 3, xo = —1,x, = 0,x2 = 1,73 = 2,90 = 1, = 2,92 = 1,943 = 0
(a) Calculer les matrices À et “AA.
(b) Calculer le vecteur “Ab.
(c) Résoudre le système linéaire ‘AAZ =‘ Ab, d'inconnue Z, par la méthode de pivot de
Gauss.
(d) Quel est le polynôme M de degré ‹ 3 qui minimise و© sur P3 ? Que vaut À3 ?
(e) Tracer le graphe de la fonction t — Py(t) et représenter les points (x;, y;) sur le même
graphique.
FIN DE L'ÉPREUVE
M.Tarqi-Centre Ibn Abdoune des classes préparatoires-Khouribga. Maroc
E-mail : [email protected]
Épreuve de Mathématiques I 3/3 FIN
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✅ التصحيح المقترح
هذا تصحيح مقترح من إعداد فريق wadifa-info لمساعدتك على فهم منهجية الإجابة — وليس تصحيحاً رسمياً صادراً عن الإدارة المنظِّمة. أسئلة هذا الامتحان محررة بالفرنسية، لذلك التصحيح محرر بالفرنسية أيضاً.
Épreuve de mathématiques du Concours National Commun (CNC) 2009, filière MP, concours d'admission aux grandes écoles d'ingénieurs marocaines. Le scan (3 pages, sans page de garde, donc sans durée indiquée ; calculatrice interdite) est une version ressaisie dont le pied de page indique « Épreuve de Mathématiques I ». C'est un problème d'algèbre linéaire en trois parties : l'application d'évaluation fm : P ↦ (P(x0), …, P(xn)) et l'interpolation de Lagrange, le problème aux moindres carrés (équations normales tAAx = tAb), puis l'approximation polynomiale au sens des moindres carrés avec une application numérique. Voici une correction méthodologique proposée.
💡 Avant de commencer : repérez les coquilles de l'énoncé et signalez-les sur la copie : fm est définie sur Pm (et non Pn) ; ε1 = (0,1,…,0) et εn = (0,…,0,1) ; Im M = {Mx ; x ∈ Mq,1(R)} ; la section 3.B traite le cas m ≤ n (sinon A ne peut pas être de rang m+1). Les outils : un polynôme de degré ≤ n ayant n+1 racines est nul, le théorème du rang, et le théorème de Pythagore pour la projection orthogonale.
1re partie : étude de l'application fm
- 1. R ∈ Pn admet n+1 racines distinctes x0, …, xn : plus de racines que son degré, donc R = 0.
- 2. fm(λP + Q) = ((λP+Q)(xi))i = λfm(P) + fm(Q) : fm est linéaire.
- 3(a) (m ≥ n+1) P ∈ Ker fm ⇔ x0, …, xn sont racines de P ⇔ π divise P (racines distinctes) ⇔ P = Qπ avec deg Q ≤ m − (n+1). Ker fm = {Qπ ; Q ∈ Pm−n−1}.
- 3(b) Division euclidienne par π (degré n+1) : tout P ∈ Pm s'écrit de façon unique P = Qπ + R, deg R ≤ n, et deg Q ≤ m−n−1. Donc Pm = Ker fm ⊕ Pn (l'intersection est nulle par la question 1).
- 3(c) Q ↦ Qπ est un isomorphisme de Pm−n−1 sur Ker fm : dim Ker fm = m − n, de base (π, Xπ, …, Xm−n−1π).
- 3(d) Théorème du rang : rg fm = (m+1) − (m−n) = n+1 = dim Rn+1 : fm est surjective.
- 4(a) (m ≤ n) Si fm(P) = 0 avec P ∈ Pm ⊂ Pn, la question 1 donne P = 0 : fm injective.
- 4(b) rg fm = dim Pm = m+1.
- 4(c) Surjective ⇔ m+1 = n+1 ⇔ m = n. Bilan : fm est surjective ssi m ≥ n.
- 5(a) fn est injective (4(a)) entre espaces de même dimension n+1 : c'est un isomorphisme ; Py = fn−1(y) existe et est unique.
- 5(b) i. fn(Li) = εi signifie exactement Li(xj) = δi,j. Explicitement Li = Πj≠i(X − xj)/(xi − xj).
- 5(b) ii. (L0, …, Ln) est l'image de la base canonique par l'isomorphisme fn−1 : c'est une base de Pn.
- 5(c) y = Σ yiεi, donc par linéarité Py = Σi=0n yiLi. Avec y = (1, …, 1) : Py = 1, donc Σ Li = 1.
2e partie : problème aux moindres carrés
- 1(a) Pour tout x : <Ax, b − Au>p = tx tA(b − Au) = tx(tAb − tAAu) = 0. Donc b − Au ⊥ Im A ; comme Au ∈ Im A, Au est la projection orthogonale de b sur Im A.
- 1(b) Pythagore : ‖b − Ax‖2 = ‖b − Au‖2 + ‖A(u − x)‖2 ≥ ‖b − Au‖2 : le minimum vaut ‖b − Au‖2. Égalité ⇔ Av = Au : le minimum est atteint exactement en v ∈ u + Ker A.
- 2. Pour h ∈ Mq,1(R) et t ∈ R : φ(t) = ‖b − A(u + th)‖2 = ‖b − Au‖2 − 2t<Ah, b − Au> + t2‖Ah‖2 est minimale en t = 0, donc φ'(0) = 0 : <Ah, b − Au>p = th(tAb − tAAu) = 0 pour tout h. Le vecteur tAAu − tAb est orthogonal à tout vecteur, donc nul : tAAu = tAb.
- 3(a) <Ax, Ax>p = tx(tAAx) = 0.
- 3(b) Ker A ⊂ Ker tAA est évident ; réciproquement (a) donne ‖Ax‖ = 0. Ker A = Ker tAA.
- 3(c) Théorème du rang (les deux matrices ont q colonnes) : rg A = rg tAA ; et rg tA = rg A. rg tA = rg tAA.
- 3(d) tAAx = tA(Ax) ∈ Im tA, donc Im tAA ⊂ Im tA ; mêmes dimensions (c) : Im tAA = Im tA.
- 4(a) tAb ∈ Im tA = Im tAA : il existe u avec tAAu = tAb, donc une solution existe toujours. Par 1 et 2 : les solutions sont exactement les solutions du système normal tAAx = tAb.
- 4(b) L'ensemble des solutions est u + Ker tAA = u + Ker A : solution unique ⇔ Ker A = {0}.
3e partie : approximation polynomiale au sens des moindres carrés
Φm(P) = Σi=0n (yi − P(xi))2, P ∈ Pm.
A. Cas m ≥ n+1
- 1. Q0 = Py = Σ yiLi (polynôme d'interpolation de Lagrange), qui est dans Pn ⊂ Pm.
- 2. Φm ≥ 0 et Φm(Q0) = 0 : λm = 0. Φm(P) = 0 ⇔ fm(P) = fm(Q0) ⇔ P − Q0 ∈ Ker fm : le minimum est atteint exactement en P = Py + Qπ, Q ∈ Pm−n−1.
B. Cas m ≤ n (l'énoncé imprime « m ≥ n », coquille)
- 1(a) En indexant de 0 à m : (tAA)k,l = Σi=0n xik+l = sk+l (matrice de Hankel des sommes de puissances).
- 1(b) Pour V = (a0, …, am), AV = fm(P) avec P = ΣakXk. Si AV = 0, fm étant injective (m ≤ n, 1re partie 4(a)), P = 0 et V = 0 : les m+1 colonnes sont libres, rg A = m+1. (Autre voie : les m+1 premières lignes forment un Vandermonde inversible.)
- 1(c) Ker tAA = Ker A = {0} et tAA est carrée d'ordre m+1 : tAA inversible.
- 2(a) AVP = t(P(x0), …, P(xn)).
- 2(b) Donc b − AVP = t(yi − P(xi))i et Φm(P) = ‖b − AVP‖n+12.
- 3(a) P ↦ VP est un isomorphisme de Pm sur Mm+1,1(R) : minimiser Φm revient à résoudre le problème aux moindres carrés en Z. Il a une solution (2e partie, 4(a)), unique car Ker A = {0} (4(b)) : il existe un unique P0.
- 3(b) D'après 2e partie 4(a) et 1(c) : VP0 = (tAA)−1 tAb, unique solution de tAAZ = tAb.
- 3(c) λm = ‖b − AVP0‖2 ; comme b − AVP0 ⊥ AVP0 : λm = ‖b‖2 − tb A VP0 = Σ yi2 − t(tAb)(tAA)−1(tAb). Si m = n, A est un Vandermonde carré inversible et λn = 0 (interpolation exacte).
4. Application : n = m = 3, points (−1, 1), (0, 2), (1, 1), (2, 0)
- (a) Lignes (1, xi, xi2, xi3) :
A = [[1, −1, 1, −1] ; [1, 0, 0, 0] ; [1, 1, 1, 1] ; [1, 2, 4, 8]].
Sommes de puissances : s0 = 4, s1 = 2, s2 = 6, s3 = 8, s4 = 18, s5 = 32, s6 = 66, d'où
tAA = [[4, 2, 6, 8] ; [2, 6, 8, 18] ; [6, 8, 18, 32] ; [8, 18, 32, 66]]. - (b) (tAb)k = Σ yixik : tAb = t(4, 0, 2, 0).
- (c) Pivot de Gauss sur la matrice augmentée :
L1 ← L1/2 : (2, 1, 3, 4 | 2).
L2 ← L2 − L1 : (0, 5, 5, 14 | −2) ; L3 ← L3 − 3L1 : (0, 5, 9, 20 | −4) ; L4 ← L4 − 4L1 : (0, 14, 20, 50 | −8).
L3 ← L3 − L2 : (0, 0, 4, 6 | −2) ; L4 ← L4 − (14/5)L2 : (0, 0, 6, 54/5 | −12/5).
L4 ← L4 − (3/2)L3 : (0, 0, 0, 9/5 | 3/5).
Remontée : z3 = 1/3 ; 4z2 + 2 = −2 ⇒ z2 = −1 ; 5z1 − 5 + 14/3 = −2 ⇒ z1 = −1/3 ; 2z0 − 1/3 − 3 + 4/3 = 2 ⇒ z0 = 2.
Z = t(2, −1/3, −1, 1/3). - (d) P0 = 2 − X/3 − X2 + X3/3 = (X3 − 3X2 − X + 6)/3. Vérification : P0(−1) = 1, P0(0) = 2, P0(1) = 1, P0(2) = 0. C'est le polynôme d'interpolation (m = n), donc λ3 = 0 ; contrôle par 3(c) : Σyi2 = 6 et <tAb, Z> = 8 − 2 = 6.
- (e) P0'(t) = t2 − 2t − 1/3 s'annule en t = 1 ± 2/√3 ≈ −0,15 et 2,15 : maximum local ≈ 2,03 près de t ≈ −0,15, minimum local ≈ −0,03 près de t ≈ 2,15, point d'inflexion (1, 1). La courbe cubique croissante-décroissante-croissante passe exactement par les quatre points (−1, 1), (0, 2), (1, 1), (2, 0).
💡 À retenir et à réviser pour le CNC MP : interpolation de Lagrange (base (Li), Σ Li = 1), noyau d'une application d'évaluation et divisibilité par π, théorème du rang, projection orthogonale et caractérisation par tAAu = tAb, égalités Ker A = Ker tAA et Im tAA = Im tA, matrice de Vandermonde. Entraînez-vous aussi au pivot de Gauss à la main (calculatrice interdite) et vérifiez toujours la solution en la réinjectant dans le système.
أسئلة شائعة حول هذا النموذج
هل يمكن تحميل هذا النموذج مجاناً؟
نعم. صفحات هذا النموذج (3) متاحة للاطلاع والتحميل مجاناً، وبدون تسجيل أو إنشاء حساب.
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نعم. تجد في هذه الصفحة، أسفل صفحات الأسئلة، تصحيحاً مقترحاً يشرح منهجية الإجابة والعناصر المنتظرة، من إعداد فريق وظيفة إنفو.
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هذا النموذج من مباراة نظمتها المباراة الوطنية المشتركة CNC (الأقسام التحضيرية). ويخصّ درجة: مباراة ولوج المدارس العليا للمهندسين.
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الدورة: 2009. والأسئلة باللغة الفرنسية.
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