نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2015: الرياضيات 1 - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

Cette épreuve est la Mathématiques I du Concours National Commun (CNC) 2015, filière MP, concours d'admission dans les écoles d'ingénieurs marocaines (présidence : ENSEM Casablanca). Durée 4 heures, calculatrice interdite, 4 pages d'énoncé. C'est un problème en deux parties indépendantes : Problème 1, solutions de l'équation différentielle vectorielle F'' = A(t)F avec A(t) positive (espace des solutions, convexité de ||F||², normes, solutions bornées) ; Problème 2, théorème de Liouville pour les fonctions harmoniques positives sur Z^d, démontré à l'aide d'une marche aléatoire arrêtée en un temps de Poisson. Voici une correction méthodologique proposée.

💡 Avant de commencer : les deux problèmes reposent sur quelques idées qu'on réutilise tout le temps. Dans le Problème 1 : le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire (dimension 2n, unicité), la convexité de f = ||F||² (car f'' ≥ 0) et le fait qu'en dimension finie toutes les normes sont équivalentes et les bornés sont relativement compacts. Dans le Problème 2 : l'inégalité f(l) ≤ 2d f(k) pour l voisin de k, et le fait que P(Y_U = k) > 0 pour tout k. Le scan contient quelques coquilles que nous corrigeons (signalez-les sur la copie) : en 1.3 lire F(s) = u ; en 2.1 lire f(t) = ||F(t)||² ; en 2.4.2 lire ||F(0)|| ; en 5.x D_d = {−d, …, −1, 1, …, d−1, d}.

Problème 1 — Partie 1 : structure de Σ_A

1.1. Σ_A est un espace vectoriel

La fonction nulle est dans Σ_A. Si F, G ∈ Σ_A et α ∈ R, αF + G est deux fois dérivable et (αF + G)'' = αA F + A G = A(αF + G). Σ_A est un sous-espace vectoriel de l'espace des applications R⁺ → M_n,1(R).

1.2.1. F ∈ Σ_A ⇔ x_F ∈ Σ_B

F étant deux fois dérivable, x_F = (F, F') est dérivable et x_F' = (F', F''), tandis que B(t)x_F(t) = (F'(t), A(t)F(t)) (produit par blocs). Donc x_F' = B x_F ⇔ F'' = A F, c'est-à-dire x_F ∈ Σ_B ⇔ F ∈ Σ_A.

1.2.2. Φ est un isomorphisme

• Φ est bien à valeurs dans Σ_B (1.2.1) et linéaire (x_αF+G = αx_F + x_G).
• Injective : x_F = 0 ⇒ F = 0.
• Surjective : soit x = (X₁, X₂) ∈ Σ_B. Alors X₁' = X₂ et X₂' = A X₁. Donc X₁ est deux fois dérivable, X₁'' = A X₁, X₁ ∈ Σ_A et x = x_X1 = Φ(X₁).

Φ : Σ_A → Σ_B est un isomorphisme.

1.2.3. Dimension

(2) est un système différentiel linéaire x' = B(t)x à coefficients continus sur l'intervalle R⁺, d'inconnue dans M_2n,1(R). D'après le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire, x ↦ x(t₀) est un isomorphisme de Σ_B sur M_2n,1(R), donc dim Σ_B = 2n et dim Σ_A = 2n.

1.3. Problème de Cauchy

Pour (s, u, w) donné, Cauchy-Lipschitz linéaire fournit une unique x ∈ Σ_B avec x(s) = (u, w). Par la bijection Φ, F = Φ⁻¹(x) est l'unique élément de Σ_A tel que F(s) = u et F'(s) = w (l'énoncé écrit F(s) = v : il s'agit de u).

Problème 1 — Partie 2 : propriétés des solutions

2.1.1. Dérivée seconde de f = ||F||²

(On lit f(t) = ||F(t)||², le « f' » de l'énoncé étant une coquille.) f(t) = ^tF(t)F(t) est produit de fonctions deux fois dérivables, donc deux fois dérivable : f' = 2<F', F>, puis

f''(t) = 2||F'(t)||² + 2<F''(t), F(t)> = 2||F'(t)||² + 2 ^tF(t)A(t)F(t).

2.1.2. Convexité

Par l'hypothèse sur A, ^tF A F ≥ 0, donc f'' ≥ 0 : f' est croissante et f est convexe sur R⁺.

2.2.1. f est nulle sur [t₁, t₂]

Tout t ∈ [t₁, t₂] s'écrit t = λt₁ + (1−λ)t₂, λ ∈ [0,1]. Par convexité, 0 ≤ f(t) ≤ λf(t₁) + (1−λ)f(t₂) = 0. Donc f(t) = 0.

2.2.2. F est nulle

F est nulle sur [t₁, t₂] avec t₁ < t₂, donc F' est nulle sur ]t₁, t₂[. Pour s ∈ ]t₁, t₂[, F(s) = F'(s) = 0 ; la fonction nulle vérifie aussi ces conditions, donc par l'unicité de 1.3, F = 0.

2.3. Solutions F_v non bornées

Soit f = ||F_v||². f(0) = ||v||², f'(0) = 2<F_v'(0), F_v(0)> = 2||v||² > 0. Une fonction convexe est au-dessus de sa tangente : f(t) ≥ f(0) + f'(0)t = ||v||²(1 + 2t). Donc ||F_v(t)|| ≥ ||v|| √(1+2t) → +∞ quand t → +∞.

2.4.1. Ψ est un isomorphisme

Ψ est linéaire, entre deux espaces de même dimension 2n. Si Ψ(F) = 0, alors F(0) = F(b) = 0 avec 0 < b, donc F = 0 par 2.2.2. Ψ injective en dimension finie égale : Ψ est un isomorphisme.

2.4.2. ||F||_b = ||F(0)|| + ||F(b)|| est une norme

Homogénéité et inégalité triangulaire découlent de celles de ||.||. Séparation : ||F||_b = 0 ⇒ F(0) = F(b) = 0 ⇒ Ψ(F) = 0 ⇒ F = 0. C'est une norme. (Lire ||F(0)|| au lieu de ||f(0)||.)

2.4.3. ||F||_∞,b = sup_[0,b] ||F(t)|| est une norme

F est continue sur le compact [0, b], donc le sup est fini. Homogénéité et inégalité triangulaire : immédiates (sup d'une somme ≤ somme des sup). Séparation : sup nul ⇒ F(0) = F(b) = 0 ⇒ F = 0 (2.4.1). C'est une norme.

2.4.4. Équivalence

Σ_A est de dimension finie 2n, donc toutes les normes y sont équivalentes. (On a d'ailleurs directement ||F||_b ≤ 2||F||_∞,b.)

Problème 1 — Partie 3 : comportement des solutions

Existence et unicité de g_m,a : c'est Ψ⁻¹(a, 0) pour b = m (2.4.1).

3.1.1. t ↦ ||g_m,a(t)|| décroît sur [0, m]

f = ||g_m,a||² est convexe, positive, f(m) = 0. Pour 0 ≤ s < t ≤ m, écrivons t = λs + (1−λ)m avec λ ∈ ]0,1]. Alors f(t) ≤ λf(s) + (1−λ)·0 ≤ f(s). Donc f, puis √f = ||g_m,a||, est décroissante sur [0, m].

3.1.2. Suite bornée pour ||.||₁

||.||₁ est la norme ||.||_b pour b = 1. Pour m ≥ 1, 1 ∈ [0, m] donc ||g_m,a(1)|| ≤ ||g_m,a(0)|| = ||a||. D'où ||g_m,a||₁ ≤ 2||a|| : la suite est bornée.

3.1.3. Sous-suite convergente

(Σ_A, ||.||₁) est un espace vectoriel normé de dimension finie : théorème de Bolzano-Weierstrass, toute suite bornée admet une sous-suite convergente, de limite g_a ∈ Σ_A.

3.2.1. Convergence uniforme sur tout compact

Soit K compact de R⁺, K ⊂ [0, b]. En dimension finie, ||.||_∞,b et ||.||₁ sont équivalentes : il existe C avec ||G||_∞,b ≤ C||G||₁. Donc ||g_σ(m),a − g_a||_∞,b ≤ C||g_σ(m),a − g_a||₁ → 0 : convergence uniforme sur [0, b], donc sur K.

3.2.2. g_a(0) = a et décroissance

La convergence uniforme entraîne la convergence simple : g_a(0) = lim g_σ(m),a(0) = a. Pour 0 ≤ s < t, dès que σ(m) ≥ t (vrai pour m ≥ t car σ(m) ≥ m), 3.1.1 donne ||g_σ(m),a(t)|| ≤ ||g_σ(m),a(s)|| ; par passage à la limite, ||g_a(t)|| ≤ ||g_a(s)||.

3.2.3. g_a solution bornée

g_a ∈ Σ_A (limite dans Σ_A), donc solution de (1), et par 3.2.2 ||g_a(t)|| ≤ ||g_a(0)|| = ||a|| pour tout t ≥ 0.

3.3.1. Éléments de Σ₁

Toute combinaison linéaire Σc_ig_ei est dans Σ_A et vérifie ||Σc_ig_ei(t)|| ≤ Σ|c_i| ||e_i|| : solutions bornées.

3.3.2. Base de Σ₁

La famille engendre Σ₁ par définition. Libre : si Σc_ig_ei = 0, on évalue en 0 : Σc_ie_i = 0, donc tous les c_i sont nuls. C'est une base, dim Σ₁ = n.

3.3.3. Σ₂ sous-espace de dimension n

Par unicité (1.3 avec s = 0), F_αv+w = αF_v + F_w (les deux membres ont mêmes valeurs initiales). Donc v ↦ F_v est linéaire, d'image Σ₂ : Σ₂ est un sous-espace vectoriel. Injective : F_v = 0 ⇒ v = F_v(0) = 0. Donc dim Σ₂ = n.

3.3.4. Supplémentaires

Si F ∈ Σ₁ ∩ Σ₂, F = F_v est bornée (3.3.1) ; par 2.3, cela impose v = 0, donc F = 0. Comme dim Σ₁ + dim Σ₂ = 2n = dim Σ_A, Σ_A = Σ₁ ⊕ Σ₂.

3.3.5. Ouvert dense et dichotomie

• Ouvert : Σ₁ est un sous-espace d'un espace de dimension finie, donc fermé ; son complémentaire est ouvert.
• Dense : soit F ∈ Σ₁ et G ∈ Σ₂, G ≠ 0. Pour ε ≠ 0, F + εG ∉ Σ₁ (sinon εG ∈ Σ₁ ∩ Σ₂ = {0}) et F + εG → F quand ε → 0. Tout point de Σ₁ est donc limite de points de Σ_A\Σ₁.
• Si F ∈ Σ₁ : F est bornée (3.3.1).
• Si F ∉ Σ₁ : F = F₁ + F_v avec F₁ ∈ Σ₁ bornée par M et v ≠ 0. Alors ||F(t)|| ≥ ||F_v(t)|| − M → +∞ (2.3) : lim ||F(t)|| = +∞.

Conclusion : Σ₁ est exactement l'ensemble des solutions bornées (il ne dépend donc pas de la base choisie), et « génériquement » une solution tend vers l'infini en norme.

Problème 2 — Partie 1 : fonctions harmoniques sur Z^d

4.1. Caractérisation pour d = 1

Pour d = 1, V(k) = {k−1, k+1}. f est harmonique sur Z ⇔ ∀k, 2f(k) = f(k−1) + f(k+1) ⇔ ∀k, f(k+1) − 2f(k) + f(k−1) = 0 ⇔ (changement k → k+1) ∀k ∈ Z, f(k+2) − 2f(k+1) + f(k) = 0.

4.2. Dimension 2

L'ensemble est le noyau d'une application linéaire, donc un sous-espace de R^Z. La relation f(k+2) = 2f(k+1) − f(k) (et f(k) = 2f(k+1) − f(k+2) vers les indices négatifs) montre que f ↦ (f(0), f(1)) est un isomorphisme sur R². Dimension 2. Polynôme caractéristique (r − 1)², racine double 1 : f(k) = α + βk. Base : (k ↦ 1, k ↦ k) (on vérifie (k−1 + k+1)/2 = k).

4.3. Fonctions sur Z* harmoniques sur I(Z*)

I(Z*) = {x ∈ Z* : x−1 ∈ Z* et x+1 ∈ Z*} = Z \ {−1, 0, 1}. La condition porte séparément sur {1, 2, 3, …} (relation d'ordre 2 pour k ≥ 2, n'utilisant que des indices ≥ 1) et sur {…, −2, −1}. Comme en 4.2, f est affine sur chacune des deux demi-droites, et f ↦ (f(1), f(2), f(−1), f(−2)) est un isomorphisme sur R⁴. Dimension 4, base : 1_k>0, k·1_k>0, 1_k<0, k·1_k<0.

4.4.1. f(l) ≤ 2d f(k) pour l ∈ V(k)

2d f(k) = Σ_y∈V(k) f(y) ≥ f(l), car tous les termes sont ≥ 0 et l figure dans la somme.

4.4.2. f(l) ≤ (2d)^||l−k||₁ f(k)

Soit N = ||l − k||₁. On passe de k à l par un chemin k = x₀, x₁, …, x_N = l de N pas, chaque pas modifiant une coordonnée de ±1 (x_i+1 ∈ V(x_i)). En appliquant 4.4.1 à chaque pas : f(l) ≤ (2d)^N f(k) (récurrence sur N).

4.4.3. Un zéro rend f nulle

Si f(k) = 0, alors 0 ≤ f(l) ≤ (2d)^N·0 = 0 pour tout l : f = 0.

4.4.4. Contrôle du logarithme

Si f n'est pas nulle, f > 0 partout (4.4.3), et ln f(l) ≤ ||l−k||₁ ln(2d) + ln f(k). En échangeant k et l (||k−l||₁ = ||l−k||₁) on a l'inégalité inverse, d'où |ln f(l) − ln f(k)| ≤ ||l−k||₁ ln(2d).

Problème 2 — Partie 2 : théorème de Liouville discret

Notation : pour i ∈ D_d, s_i = sign(i)e[|i|] ; i ↦ s_i est une bijection de D_d sur V(0) = {±e[j]}, donc Y_n+1 est un voisin uniforme de Y_n. Y_n ne dépend que de X₀, …, X_n−1, donc est indépendant de X_n et de U.

5.1.1. |g(Y_n)| ≤ exp(an + b)

||Y_n+1||₁ ≤ ||Y_n||₁ + ||s_Xn||₁ = ||Y_n||₁ + 1, donc par récurrence ||Y_n||₁ ≤ n. Comme a ≥ 0 : |g(Y_n)| ≤ exp(a||Y_n||₁ + b) ≤ exp(an + b).

5.1.2. Espérance de g(Y_U)

Y_U(ω) = Y_U(ω)(ω) est une variable discrète ({Y_U = k} = ∪_n {U = n} ∩ {Y_n = k}). Par 5.1.1 appliqué en n = U(ω) : |g(Y_U)| ≤ exp(aU + b). Par le théorème de transfert pour U ~ P(λ) :

E(exp(aU + b)) = e^b Σ_n≥0 e^an e^−λ λⁿ/n! = e^b e^−λ e^λea = exp(b + λ(e^a − 1)).

g(Y_U) est dominée par une variable intégrable, donc intégrable, et E(|g(Y_U)|) ≤ exp(b + λ(e^a − 1)).

5.1.3. E(g(Y_U)²) = Σ g(k)² P(Y_U = k)

g² vérifie l'hypothèse de 5.1 avec (2a, 2b) : |g(k)|² < exp(2a||k||₁ + 2b). Par 5.1.2, g(Y_U)² est d'espérance finie. Y_U étant à valeurs dans l'ensemble dénombrable Z^d, le théorème de transfert (pour une fonction positive) donne E(g(Y_U)²) = Σ_k∈Z^d g(k)²P(Y_U = k) dans [0, +∞] ; la valeur étant finie, la famille est sommable et l'égalité a lieu.

5.2.1. Moments d'ordre 2 et formules

Par 4.4.2 (f(0) = 1), f(k) ≤ (2d)^||k||₁ = exp(ln(2d)||k||₁) < exp(ln(2d)||k||₁ + 1) : hypothèse de 5.1 avec a = ln(2d), b = 1. Donc f(Y_j) est bornée par e(2d)^j (moment d'ordre 2 évident) et f(Y_U) a un moment d'ordre 2 (5.1.3). Ensuite, f(Y_U)² = Σ_n 1_{U=n} f(Y_n)², série de variables positives : par convergence monotone puis indépendance de U et Y_n,

E(f(Y_U)²) = Σ_n P(U = n)E(f(Y_n)²) = e^−λ Σ_n≥0 (λⁿ/n!) E(f(Y_n)²), et de même (f ≥ 0) E(f(Y_U)) = e^−λ Σ_n≥0 (λⁿ/n!) E(f(Y_n)).

5.2.2. E(f(Y_n)) = 1

Y_n (à valeurs dans un ensemble fini) et X_n sont indépendants, donc

E(f(Y_n+1)) = Σ_k Σ_i∈Dd P(Y_n = k)(1/2d) f(k + s_i) = Σ_k P(Y_n = k) (1/2d)Σ_y∈V(k) f(y) = Σ_k P(Y_n = k) f(k) = E(f(Y_n)).

Par récurrence E(f(Y_n)) = f(Y₀) = f(0) = 1, puis E(f(Y_U)) = e^−λ Σ λⁿ/n! = 1.

5.3. H et le produit scalaire S

• H est un sous-espace de R^Zd : 0 ∈ H, (αf)² = α²f², et (f₁ + f₂)² ≤ 2f₁² + 2f₂².
• S est bien défini : |f₁f₂| ≤ (f₁² + f₂²)/2 ; S est bilinéaire, symétrique, positive (S(f, f) = E(f(Y_U)²) ≥ 0).
• Définie : pour tout k ∈ Z^d, avec n = ||k||₁, P(Y_U = k) ≥ P(U = n)P(Y_n = k) ≥ e^−λ(λⁿ/n!)(1/2d)ⁿ > 0 (un chemin de n pas mène de 0 à k). Si S(f, f) = Σ f(k)²P(Y_U = k) = 0 (5.1.3), alors f(k) = 0 pour tout k.

S est un produit scalaire sur H. Ce fait « P(Y_U = k) > 0 pour tout k » est la clé de la fin du problème.

5.4.1. Les f_i sont dans E

m ∈ E n'est pas nulle (m(0) = 1), donc m > 0 partout (4.4.3). Pour x ∈ Z^d, V(x + s_i) = V(x) + s_i, donc (1/2d)Σ_y∈V(x) f_i(y) = (1/2d)Σ_z∈V(x+si) m(z)/m(s_i) = m(x + s_i)/m(s_i) = f_i(x). f_i est harmonique, strictement positive, et f_i(0) = m(s_i)/m(s_i) = 1 : f_i ∈ E.

5.4.2. m combinaison convexe des f_i

Harmonicité de m en x : m(x) = (1/2d)Σ_i∈Dd m(x + s_i) = Σ_i λ_i f_i(x) avec λ_i = m(s_i)/(2d) > 0. En x = 0 : Σλ_i = m(0) = 1. m = Σλ_if_i est une combinaison convexe.

5.4.3. m = f_i, puis m = 1

Comme Σλ_if_i = m et Σλ_i = 1, en développant :

Σ_i λ_i||f_i − m||₂² = Σλ_i||f_i||₂² − 2S(Σλ_if_i, m) + ||m||₂² = Σλ_i||f_i||₂² − ||m||₂² ≤ 0,

car ||f_i||₂ ≤ ||m||₂ (maximalité, f_i ∈ E). Les λ_i étant > 0 et S définie, f_i = m pour tout i, i.e. m(x + s_i) = m(s_i)m(x).

Posons c_j = m(e[j]) > 0 et c'_j = m(−e[j]). Alors m(x) = m(x + e[j] − e[j]) = c_jc'_jm(x), donc c'_j = 1/c_j, et m(k) = Π_j c_j^k_j. L'harmonicité en 0 donne 1 = (1/2d)Σ_j(c_j + 1/c_j). Or c + 1/c ≥ 2 avec égalité si et seulement si c = 1 ; la somme valant exactement 2d, tous les c_j valent 1. m est la constante 1.

5.5. Conclusion : f constante

f ∈ E. V(f(Y_U)) = E(f(Y_U)²) − (E f(Y_U))² = ||f||₂² − 1 (5.2.2) ≤ ||m||₂² − 1 = E(m(Y_U)²) − 1. Comme m = 1, le membre de droite est nul, donc V(f(Y_U)) = 0 : f(Y_U) = 1 presque sûrement. Puisque P(Y_U = k) > 0 pour tout k (5.3), f(k) = 1 pour tout k : f est constante.

5.6. Le résultat général

Soit f harmonique sur Z^d et minorée par c. Alors g = f − c est harmonique et positive. Si g(0) = 0, g = 0 (4.4.3) et f = c. Sinon h = g/g(0) ∈ E, donc h = 1 par 5.5 et f = c + g(0) est constante. Si f est majorée, on applique ce qui précède à −f, qui est harmonique et minorée.

💡 À retenir et à réviser pour le CNC MP : Cauchy-Lipschitz linéaire (dimension de l'espace des solutions, réduction d'une équation d'ordre 2 à un système d'ordre 1) ; convexité via f'' ≥ 0 et inégalité de la tangente ; normes en dimension finie (équivalence, Bolzano-Weierstrass, sous-espaces fermés d'intérieur vide) ; suites récurrentes linéaires d'ordre 2 ; probabilités discrètes : théorème de transfert, loi de Poisson et sa série génératrice E(e^aU) = e^λ(ea−1), indépendance, variance nulle ⇒ variable presque sûrement constante ; produit scalaire et cas d'égalité (l'identité Σλ_i||f_i − m||² = Σλ_i||f_i||² − ||m||² est à connaître). Sur la copie, signalez les coquilles de l'énoncé (u/v en 1.3, ||F(t)||² en 2.1) avant de les corriger : c'est explicitement demandé par le préambule.