نموذج مباراة ولوج المدرسة الوطنية العليا للمعلوميات وتحليل النظم (ENSIAS) لحاملي دبلوم التقني الجامعي DUT - جامعة محمد الخامس بالرباط - دورة 2023-2024 - اختبار الرياضيات

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‏و‎ À Université Mohammed V de Rabat 1
‏جاح م‎ Ecole Nationole Supérieure d'Infarmatique et d'Analyse des Systèmes |
ENSIAS Pr
Concours DUT - ENSIAS - 2023-2024
Épreuve de Mathématique
Durée 2H 30
Cet examen est composé de 3 parties.
Partie 1 :
On considère la fonction d’une variable réelle f ;: x — x f = 2 - dt
1+
LA-L.A.1) Déterminer l'ensemble de définition de f.
1.A.2) Etudier les variations de f sur cet ensemble.
‎Après avoir minorée f(x) sur l'intervalle 1,0] déterminer la limite de f(x) lorsque‏ (3.م,ا
‎x tend vers -1 par valeurs supérieures.‏
‎1.A.4) Etudier la branche infinie au voisinage de + de la courbe représentant f.
‎1.B Soient n € IN° et pour tout k 6 IN' les réels x, = £ ,on pose
1
‎0 k
k_ 2 1 eù en
‏بلا‎ - 1 + ( Lie 1 a+ 2(n+k) )
‎Montrer que y, est une approximation de f(x,)., en utilisant la méthode des trapèzes.
‎IC. 1.C.1) Montrer qu'il existe une suite réelle {Ax}ken telle que, pour tout n € IN:
FX) = Xio de x" + ‏(تعاه‎ au voisinage de O.
|.C.2) Calculer ce développement limité pour n = 5
|.C.3) Pour n > 2, exprimer À, en fonction de n
‎I.C.4) Etablir que pour n > 1, une expression de ‏ممة‎ en fonction de net 4,
‎Partie Il :
On considère l'équation différentielle : (1+x)y' = xy
On note la solution de cette équation sur l'intervalle ]0, +co[ vérifiant @(0) = 1
IA ‏(1.ح.اا‎ Justifier (sans calcul) l'existence et l'unicité de
I1.A.2) Calculer explicitement (x).
‎|٠١58 Pour montrer que ‏م‎ est développable en série entière au voisinage de 0 , on suppose
d'abord qu'il existe une suite (a, ex et un intervalle ouvert / contenant 0 tels
que: (x) = ‏امه 05ل‎ pourtoutx 6 ٠

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‎Université Mohammed V de Rabat 0 0‏ جر
‎Ecole Nationale Supérieure d'Informatique et d'Annlyon des systèmes A‏
‏سي بن ‎lt‏
‎1.8.1) Montrer à l’aide l'équation différentielle )1 + x)y' = xy que la suite (a, )uern
vérifie la relation de récurrence suivante :
ap = 1,4 = 01701 6 ‏قلا‎ na, +(n+1l)a,,; — a, ,50
1.8.2) A partir de la suite (ai )nesn , On pose b, = @, + ‏بمة‎ pour tout n 2 ٠
bn
‎Démontrer que b, vérifie la relation b,,, = Pret
‎1.8.3) En déduire, sous forme d’une somme, une expression de a, en fonction de n pour
tout n > 2
11.8.4) Si la suite (An)nerv est celle définie en 1.C.1), démontrer la relation :
An ‏كد ح‎ pour tout n 2
I1.C-On note E l’ensemble des suites réelles {ur}nesy telle que
VREIN" (n+1)uny1 + NUn — Un-1=0
‎I.C.1) Montrer que E, muni des opérations usuelles sur les suites réelles, forme un
espace vectoriel réel.
‎H.C.2) Montrer que E est un espace vectoriel de dimension 2.
I1.C.3) Déterminer l'ensemble des suites géométriques contenues dans E.
‎11.C.4) En utilisant la suite (a; )seyy de 11.B.1), déterminer une base de ‏ع‎ et en déduire
pour toute suite {u, }neyn de E une expression de ‏منا‎ en fonction de ‏يلا ,من‎etn.
‎Partie Ill :
‎On note l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à
IR,IXlet 8 = (LX,X2,...,X") sa base canonique.
‎Etant donné une famille de {n+1) réels distincts ay < ‏كيه كيه‎ a, on lui associe les
polynômes ‏روا‎ Li, ‏ماء... وما‎ de JR,[X] tels que
‎7 © [0n]-{i},Li(a) = ٠
Li(a;) = 1.
‎1) On prend n = 2,60 = 0,02 = 2 , An= À
‎Donner Lo,Li,b2,
‎Montrer que ‏روط)‎ Li, L, ( est une base de /R,[X]
‎Quelles sont les composantes d'un polynôme P de /R,[X1 dans la base (Lo, L:, 7
2) Former la matrice de changement de base de B = (1,X, X?) à B' = (Lo, La, Li)
3) Déterminer les polynômes P de 1R;[X]tels que P(X) = P(0) + P(1)X + P(2)X2
‎Bonne ch:

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Partie ١٠
On considère l'équation différentielle suivante :
x Qc + Dy" x (2 + 2x + 2)" + (x2 + 2x +2)Y = 0 (E)
HA HLA.1) Montrer que, si l'équation (E) admet des solutions polynomiales non nulle elles
27 ne peuvent être que de degré 1.
| NLA.2) Déterminer toutes les solutions polynomiales de (E) (Indication : (méthode de
variation de la constante).
١11.8- À l'aide d’une des solutions trouvées au III.A.2), montrer que la résolution de (E), sur
IR'se ramène à la résolution de l'équation différentielle :
G@+x)y"= ‏بود‎
étudiée dans la Partie II. En déduire le rapport avec la Partie ٠
Bonne chance |