نموذج مباراة ولوج المدرسة الوطنية العليا للمعلوميات وتحليل النظم (ENSIAS) لحاملي دبلوم الدراسات الجامعية العامة DEUG - جامعة محمد الخامس بالرباط - دورة 2023 - اختبار الرياضيات

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ENSIAS
DS LANTA Per à
‏را‎ ass
CONCOURS D'ACCÈS À L'ENSIAS
POUR LES CANDIDATS TITULAIRES DU DEUG
Epreuve de Mathématique
Durée 2 heures
شكس ب ——————————— =
Partie 1 :
On appelle 8 la fonction de R dans R, paire et périodique de période 2x, définie par :
Vre 0 5 ] 9) = x
‏«لا‎ © [4x] e(x) = (x - £) 6 - 3x )
1.1. Tracer les graphes des fonctions 0 et 81, dérivée de la fonction 0.
1.2. Déterminer la série de Fourier associée à la fonction ٠
\ Etudier sa convergence.
Partie 2 :
Ce problème consiste à chercher les fonctions U de classe C’sur Q=[0,x] x IR et C? sur [0,7] x IR'+
et vérifiant les conditions suivantes :
رن 0م22 - ‎E[Dr)xR!, LUN‏ )ل
ال١ ‏بتك‎ VO) - ‏معن‎ - 0 (2)
a Vre[0,x], lim Ur =0 (3)
Vxe[0x], U(x0)= ‏ول‎ (4)
Une fonction U vérifiant les quatre relations (1), (2),(3) et (4) est dite solution du problème
(P).
On se propose de chercher des solutions de l'équation différentielle (1) sous la forme de
fonctions F définies sur ( par :
VA) € A, VO) = 8) AC)
où ‏ع‎ est une fonction réelle de classe C2 sur [0, x] et une fonction réelle de classe C? sur
Question 1.
4
Ÿ 14, Montrer que si les fonctions ‏ع‎ et A sont solutions des équations différentielles :
{ 8"(x)-ug(x) = 0
KG) -mh(r) = 0
OÙ H est un réel quelconque, alors la fonction V : (x,1) + V(x,1) = g(x).A(r) vérifie (1).
{ 2 .
‏ب‎ 10101167 toutes les solutions des équations différentielles précédentes.

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V 1.3. On prend ‏نا‎ = -k?, & > N°. Déterminer une suile de fonctions (1, han :
Ye: AR -R
Ro ‏اقفتا‎ ga(x)a(n)
vérifiant (1), (2) et (3).
Question 2.
Soit: 4H: © - R
Ge) HG) = ‏زج‎ de sin(kx)e ‏تا‎
ksl
etpourke N°. R: Q - ©»
0 — ‏نام وطإدان = موا‎
11 s’agit de déterminer les coefficients (di},,,- pour que la fonction soit solution du
problème (P).
2.1. A l’aide de la relation (4), déterminer les coefficients (di ‏ايل‎
V 2.2 Montrer qu’alors, la fonction H est deux fois dérivable par rapport à x et une fois par
rapport à s avec :
VE ‏رن“ رعم]‎ À DO = 3 ‏ل ان‎ un)
a veneprlxR:, (= DE La CLIP
Question 3.
V Trouver une solution au problème (P).
Bonne chance !