نموذج مباراة ولوج سلك المهندسين - كلية العلوم والتقنيات سطات - جامعة الحسن الأول - دورة 2011/2012 - الفيزياء

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me ‏سه‎
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CONCOURS D’ENTREE 2011 /2012
Epreuve de Ph Yvsique
3 heures
Problème 1 Étude d’un prisme
On considère un prisme d'angle À = 60° constitué d’un verre d'indice n. On appelle déviation
(notée D) l'angle entre le rayon transmis par le prisme et le rayon incident,
A Étude de la déviation d’un rayon lumineux
A.1  Rappeler, en précisant bien ce que sont les différentes grandeurs sur un schéma, les lois de
Snell-Descartes pour la réflexion et pour la réfraction.
A.2 On notera à ct 5 les angles d'incidence à l'entrée et à la sortie du prisme, ainsi que + et r’ les
angles des rayons réfractés à l'intérieur du prisme respectivement, côté entrée et côté sortie.
La convention de signe est trigonométrique pour À, à, et r, et horaire pour à, r' et D.
4.3 Quelles sont, pour un rayon incident situé dans le plan perpendiculaire à l’arête du prisme, les
relations entre angles d'incidence et angles de réfraction ? Montrer que A=r+r.
A4 Établir la relation : D = + — À.
Pour une valeur donnée de l'indice n, la déviation D est en fait seulement fonction ‏عل‎ Lorsque à
varie, la déviation D présente une valeur minimale, notée D,, dans la suite.
À.5 Montrer qu'au minimum de déviation les angles à et x’ sont égaux.
A.6 Établir la relation nsin (4) = sin (2x4). En déduire une méthode expérimentale pour mesurer
l'indice d'un matériau.
B Influence de la longueur d’onde
Le prisme estfabriqué dans un matériau dont l'indice est donné en fonction de la longueur d'onde
À dans le vide (exprimée en nanomètre) dans le tableau suivant,
À (em) | 404,6 | 435,8 | 486,1 | 508,6 | 546,1 578,01 643,8 | 706,5
2 1590 | 1,581 11,572 | 1,568 | 1,564 | 1,561 | 1,556 | 1,552
B.1 Loi de variation de l’indice avec la longueur d'onde En utilisant les couples de valeurs
(n, À) du tableau ci-dessus, montrer que l'indice r du matériau peut se mettre sous la forme : n = a+ ‏ص‎ ,
Calculer les valeurs de a et b pour À exprimée en nanomètre.

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B.2 Le minimum de déviation défini à la question A.6 varie-t-il fonction de la longueur d'onde ?
Dans toute la suite de ce problème, on suppose que l’on éclaire le Prisme avec un angle d'incidence
î égal à la valeur, notée io, correspondant au minimum de déviation pour une valeur de la longueur
d'onde dans le vide égale à 9 = 578,0 rm.
B.3 Calculer numériquement cet angle io.
7] 0 in À
B.4 Montrer que dans ces conditions, la dispersion angulaire ag obéit à la relation : g = ‏جد‎ : ES ;
pour cela on pourra différentier les différentes relations obtenues aux questions A.3 et A4, l'angle
d’incidence étant constant et égal à io.
B.5 Montage d’étude
Le prisme est placé dans le montage représenté ci-dessous. Ce montage comprend :
- ‏هلا‎ collimateur composé d’un objectif convergent O1 assimilable à une lentille mince convergente
de distancefocale image f” et d’une fente F perpendiculaire au plan de la figure, de largeur 4, et
centrée au foyer objet de O1.
— un objectif O2 identique à O1, dans le plan focal image duquel on peut donc observer le spectre
de la source qui éclaire la fente F.
02
01
FA
B.5.1 Expliquer le principe de fonctionnement du montage.
13.5.2 On éclaire la fente F par une lumière monochromatique de longueur d’onde À = 578,0 nm;
l'axe du collimateur fait avec la normale à la face d'entrée du prisme l'angle io calculé à la
question B.3.
Déterminer la position du centre de l’image de la fente F par l’ensemble du dispositif.
Sachant que a = —1 lorsque le prisme est réglé au minimum de déviation, déterminer, en
fonction de la largeur 1 de la fente source F, la largeur de cette image, toujours lorsque
À = 578,0 nm.
Dans la suite, on considèrera, pour simplifier, que celte largeur ne dépend pas de la longueur
d'onde.
B.5.3 La source éclairant la fente F contient maintenant deux longueurs d’onde voisines, À =
577,0 nm et ‏ول‎ = 579,0 nm. Le prisme étant réglé au minimum de déviation pour la longueur
d'onde ‏مل‎ = 578,0 nm, déterminer et calculer les positions des centres des images de F
7 in( 4
correspondant à ces deux longueurs d’onde ; on utilisera la relation g = ES de .
La fente F ayant une largeur de 1000 nm, comment doit-on choisir la focale image f’ de O1
et de O2 pour que les deux images soientjuste séparées ?
Application numérique : calculer la valeur limite de la focale f.
B.5.4 La source éclairant la fente F est maintenant une source de lumière blanche. Qu’observe-t-on
sur l’écran ? On précisera bien la répartition des différentes longueurs d'ondes.
B.5.5 Ce montage permet la visualisation des spectres ; quel autre montage peut-on utiliser ?

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Problème 2 Mouvement d’un point sur un rail circulaire
Un petit objet assimilé à un point matériel M, de masse m, peut glisser sans frottement le long
d$un rail ayant la forme d$un demi-cercle de centre 0 et de rayon À, placé dans un plan vertical.
Le rail est supposé fixe par rapport au référentiel terrestre Z galiléen.
n
زلا
On repère la position du point M à l'instant t par l’angle @(t) = OM, OM(t). À l'instant 2 = 0,
l'objet est lancé du point Mo avec une vitesse w%.
Dans tout le problème, on utilisera une base de projection polaire (é7., ég).
On prendra pour valeur de l’accélération de la pesanteur g = 10 m.s”?.
À Les frottements sont négligés
A.1 Faire l'inventaire des forces appliquées à M, et les représenter sur un schéma clair lorsque le
point est dans une position A/(t) quelconque. On précisera les composantes de ces forces sur la base
polaire.
A.2 En utilisant une méthode énergétique, en déduire l'équation différentielle à laquelle satisfait la
fonction ٠
A.3 On suppose que la norme vo du vecteur vitesseinitial est suffisamment faible pour que la condi-
tion 0)6( << 1 rad soit satisfaite à chaque instant. Déterminer complètement l'expression de 6(€) dans
cette hypothèse en fonction de ‏و ود‎ Rett.
B Influence des frottements de l'air
On suppose à partir de maintenant que le point A subit au cours de son mouvement une force
de frottements fluide 7 = —aÿ, où à est une constante positive et 5, le vecteur vitesse du point M à
Finstant &. La condition O(t) << 1 rad reste également satisfaite à chaque instant.
B.1 En utilisant une méthode énergétique, établir la nouvelle équation différentielle satisfaite par la
fonction 4(4).
B.2 Les grandeurs m, g et R étant fixées, donner la condition portant sur a pour que le mouvement
soit pseudo-périodique.
B.3 On suppose la condition précédente réalisée, Exprimer #(+) sous la forme 0)0( = A exp —# + sin Qt.
On justifiera soigneusement l'établissement de cette relation et on exprimera À, 7 et ( en fonction de
vo, M, 9, Ret a.

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3.4  L’allure de la courbe représentative des variations de la fonction 0)2( est donnée ci-dessous.
620 |
010
قف
ما
On appelle décrément logarithmique la grandeur sans dimension 6 = ‏دا‎ a où T désigne la pseudo-
période. Exprimer a en fonction de 6, m et T. Par lecture graphique, déterminer les valeurs de T et 6.
En déduire celle de ‏به‎ (sans omettre de préciser son unité), sachant que m < 100 ‏.و‎
Problème3 Équilibre métastable
On dit qu’un système est en équilibre métastable lorsqu’étant dans un état d'équilibre stable, il est
susceptible d'évoluer vers un autre état d ‘équilibre plus stable sous l'effet d’une petite perturbation.
On considère un anneau de masse m, assimilable à
un point matériel M, qui se déplace sur une piste fixe
formée de deux parties circulaires :
— la partie (1) allant de À à B, de rayon Ai et de centre
Ci,
- la partie (2) allant de B à S, de rayon R2 > Ri et de
centre C2.
Les centres Ci et C2 sont situés sur la même verticale.
L'ensemble de la piste est placé dans un plan vertical.
Sur la partie (1), on repère le mouvement du point matériel par l’angle 6 que fait le vecteur Gi
avec la verticale descendante. Sur la partie (1) 8 varie entre -5 (position en À) et + (position en B).
Sur la partie (2) 0 varie entre 7 et 5% (position en S).
Le glissement de l'anneau à lieu sans frottement. Le référentiel d'étude est supposé galiléen et le
champ de pesanteur à pour intensité g.
A Étude énergétique
A.1  Exprimer l'énergie potentielle de pesanteur ‏ول‎ de l'anneau M en fonction des constantes m, 9,
R1, R2 et de la variable 0 en prenant ‏ول‎ = 0 au point B et en distinguant les cas — > 0> 7 (anneau
sur la partie )1(( ‏اه‎ > 0 > 55 (anneau sur la partie 2):
‏ا‎ Tracer l'allure de la courbe E, (8).
A.3 Quelles sont les positions d’équilibres de l'anneau ? Préciserleur stabilité.

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B Réponse à une perturbation
L’anneau M étant initialement sur la partie (1) au point E défini par 0 = 0, il subit une petite
perturbation dont on admet qu’elle équivaut à le lancer sur la piste avec une vitesse 70 horizontale,
B.1 À quelle condition sur vo, 9 et R1, l’anneau peut-il atteindre le point 7 Que se passe-t-il si
cette condition n’est pas satisfaite ?
B.2 Cette condition étant remplie, exprimer la vitesse up de passage en D en fonction des données.
B.3 Quelle doit être la vitesse minimale au point D pour que l’anneau sorte de la piste en 7
Conclure.
C Petites oscillations autour de la position d'équilibre
On considère dans cette partie que la vitesse vo est insuffisante pour que l'anneau puisse atteindre
la partie (2). Le point matériel oscille donc autour de sa position d'équilibre stable. On supposera
l'amplitude des oscillations faibles pour que l’on puisse considérer que sin 0 0.
C:1  Énoncer et démontrer le théorème de l'énergie cinétique.
C:2 Déterminer l'équation différentielle du mouvement à partir d’une approche énergétique.
C.3 Retrouver cette équation différentielle à partir d’une autre méthode.
C4 Exprimer la période des oscillations en fonction de get R1.
C.5 Sachant que 0)0( = 0 et v(t = 0) = ‏روه‎ déterminer l'expression ‏عل‎ ٠
Exercice 1 Petites oscillations au voisinage d’une position d’équilibre
stable
Petites oscillations au voisinage d’une position d ’équilibre stable
On considère un élastique de masse négligeable de constante de raideur k et de longueur à vide lo
ainsi qu’une particule M de masse m. On réalise un quart de circonférence de centre 0 et de rayon a.
L'élastique est accroché en À, passe par B dans un petit anneau (AB = {5). La particule M coulisse
sans frottement sur le cercle. On note ‏و‎ l'accélération de pesanteur.
1. Chercher la position d'équilibre stable (on notera a la valeur de l'angle 0 à l'équilibre stable).
2. Établir l’équation différentielle du mouvement de M.
3. Calculer & dans le cas où a = TE, et calculer la période des petites oscillations autour de la
position d'équilibre stable. On posera 0)0 = à + e(é) avec e 1. On admet alors que cose = 1
etsine=e.