نموذج مباراة ولوج سلك المهندسين - كلية العلوم والتقنيات سطات - جامعة الحسن الأول - دورة 2011/2012 - الرياضيات

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SRG nt ‏اجتمعة‎
CONCOURS D'ENTRÉE 2011 /2012
Épreuve de Mathématique
8 3 heures
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une
‘utilisation de toute calculatrice ut de tout matériel électronique est interdite. Seule
part importante dans l'appréciation des copies,
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; 1"
l’utilisation d’une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa
et convergente et donner sa somme.
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<omposition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Problème 1
Partie À : Etude d’une intégrale
Pour tout entier naturel n,on pose :
1 gti
‏ب = وول‎
#2 ل١‎ 1+ ds
1. Calculer Jo.
2. Calculer ‏و7‎ + 1.100 déduire Z.
3. a)Quel est le signe de , ?
1
b)Montrer que : Z, + Lai = 2+3
1
En d: ‏كم‎
‎c)En déduire que : 273
d)Montrer que la suite (12) est convergente et calculer sa limite.
Partie B : Etude d’une série
1. a) Montrer par récurrence que :
pour tout entier naturel n non nul,
nm 11-1
2)-1(* = SN OT 172
k=1 k
pi
b) En déduire que la série de terme général 1)
2. a)A l’aide d’une intégration par parties, montrer que :
1 g2n+3
Li = ‏لام‎A(n +1) far (1+x?)
b) Etablir les inégalités :
23 1
x <
7 Jo (1+ Grey 7 2n+4
c) En déduire : Ain, nl, puis un équivalent ‏عل‎

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Partie C : calcul des intégrales 1, = 7 ‏ب‎
1
a) À l’aide d’un changement de variable ‏ع‎ = 22, prouver que : 1, = = 1 dx
2Jo 1+x
1 ‏سا‎ 1
b) En déduire que : [ 133 dx > 1( In 2 pour tout n non nul.
0 k=1
1 x
c) Application : calculer Î dx.
" 1+x
Problème 2
Partie A :
On considère la matrice À définie par :
—2 5 2
A=|-1 4 2
2 -—10 —5
1. Quel est le rang de A ?
2. Calculer det(A).A est-elle inversible? Donner A7! dans le cas échéant.
3. Montrer que À admet une seule valeur propre a. Expliquer pourquoi A n’est pas diago-
nalisable.
Partie B :
Soit f l’endomorphisme associé canoniquement à A.
On pose :
w = f(e1)
u = (f—al)(w)
‏م‎ = 2e + ‏وه‎
‎où (e1,€2,e3) est la base canonique de ‏يح‎
‎1. Montrer que (w,U2, Us) est une base de C%.
2. Montrer que (us, us) est une base de ‏امك‎
‎3. Donner la matrice B de f dans la base (U1, Uo, us).
4. Exprimer A en fonction de B et la matrice de passage de (e1,e2,e3) à (ui, Up, us).
5. Calculer 8“ et en déduire ‏كي‎
‎Application :
Soient (tn), (Yn), (zh) trois suites de nombre complexe définies par :
20 = Yo = 1,2 = 0
‏يبون‎ = En + ‏ملاة‎ + 22n
‏رجملا‎ = —Ln + dYn +22
Zn = ‏و22‎ — 10ÿn — 525
Trouver les expressions de ‏ارو‎ et z, en fonction de xo, Yo, Zo et n.
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