نموذج مباراة ولوج سلك تحضير التبريز في العلوم الفيزيائية - المركز الجهوي لمهن التربية والتكوين الدار البيضاء سطات 2018 - الفيزياء 2

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+XHA£+ | ‏المملكة المغربية الا 06ح‎
HCaeO+ | FORCE CIO À 2004417 ‏امت‎ SAR ‏وزارة التربية الوإمنية والتكوين الممني‎
À 500/578 ‏بالاللااء‎ À SOKXE ‏والتعليم العال م والبحث العلمي | لخن قو‎
Centre Régional des Métiers de 11201168110
et de Formation Casablanca-Settat
Concours d’Entrée en Première Année du Cycle de Préparation
À l’Agrégation de Sciences Physiques
Option : Physique
Session : Juillet-2018
ÉPREUVE DE PHYSIQUE II
Durée 4 heures
Cette épreuve comporte 11 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est autorisé
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Concours d'entrée en première année du cycle de préparation à l'agrégation de sciences physiques
(option : physique)
L'énoncé de cette épreuve comporte 11 pages.
L'usage de la calculatrice non programmable est autorisé.
On veillera à une présentation claire et soignée des copies. Il convient en particulier de rappeler avec
précision les des questions abordées.
Cette épreuve est constituée de deux parties totalement indépendantes. La première partie traite
l'effet Zeeman dans le cadre de la physique classique. La deuxième partie s'intéresse au principe de
fonctionnement d’une lentille électrostatique.
Dans le cas où un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale très lisiblement
dans sa copie, propose la correction et poursuit l'épreuve en conséquence.
Données :
e Célérité de la lumière dans le vide € = 3.00.10$ m.s7!
e Masse de l’électron me = 9,11.107%1 kg
e Charge de l’électron ‏و‎ = —e = —1,60.1071° C
e Permittivité diélectrique du vide ‏و‎ = 8,85.10 14 Fm !
» perméabilité du vide : po = 47.107 17.0171
e Lo et ‏و‎ vérifient la relation : ‏0م‎ 1
Formulaire :
‎rot(rot À) = gra (div A) — AA
| sin*(0)dO = —
e fonction sinus-cardinal :
sin(x) = _
e Formules de trigonométrie :
sin(a + b) — sin(a — b) = 2sin(b) cos(a)
« Divergence en coordonnées cylindriques d’un champ vectoriel & = a,(r,z)w, + a.(r,2)%, :
‏ور‎ SL Rs |
4 É ‘Or # Oz
e Rotationnel en coordonnées cylindriques d’un champ vectoriel 2 =a, 7 z)U, + a,(r, 2) Aus
RS 800: 86
‏تخ | - وأ‎ 7
His ( Oz Ôr ) 8
Épreuve de Physique II 1 FA Tournez la page 5.7.1
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(option : physique)
1** partie
Modèle de Thomson et effet Zeeman
À la suite de ses travaux sur les rayons cathodiques et de sa découverte de l’électron, Joseph John
Thomson, physicien anglais, émit l'hypothèse que les électrons étaient contenus dans les atomes. 1
proposa un modèle de l'atome qu'il surnomma lui-même “plum pudding model” . Les atomes de
Thomson sont constitués :
e d’une sphère pleine, positivement et uniformément chargée, dont le rayon est de l’ordre du
nanomètre ;
e d'électrons ponctuels qui peuvent vibrer librement à l’intérieur de la sphère. L’atome reste
électriquement neutre.
Ainsi l’atome d'hydrogène est représenté par une sphère de rayon R(charge +e), de centre O et un
électron (charge -e, masse m).
L'expérience de Rutherford conduisit à réviser en profondeur le modèle atomique.
1.1. Mouvement de l’électron dans l’atome de Thomson
L’atome d'hydrogène n’est soumis à aucune action extérieure. On s'intéresse à l’oscillation libre
de l’électron par rapport à la sphère de centre 0. On admet dans cette première partie que l’électron
ne perd pas d'énergie par rayonnement.
11.1. À l'instant t, l'électron est en M tel que OM = 7 - 2): > R). Montrer que l'électron
est soumis à un champ électrique É créé par la charge +e répartie uniformément dans la sphère de
rayon R tel que Fe kr'e,. Exprimer k en fonction de R, e et £o.
11.2. À l'instant t=0, l’électron est écarté de sa position d'équilibre par une perturbation
quelconque.
1121. Montrer que le mouvement de l’électron est plan.
112.2. Montrer qu'il décrit une trajectoire rectiligne ou circulaire ou elliptique avec une
pulsation w, telle que :
4720 73
112.3. Calculer la valeur de R pour laquelle la pulsation w, correspond à la fréquence ‏و‎
‎d’une raie du spectre de Lyman de l’atome d'hydrogène (1o = 121,8 nm). Commenter.
113. On admet que l’électron décrit une trajectoire circulaire de rayon a dans un plan Oxy
perpendiculaire à un axe OZ dans le sens direct. L'atome possède alors un moment dipolaire
D = -eT équivalent à deux dipôles élémentaires p,(t) et p,(t).
1131. Montrer que p,(t) et p,(t) s'expriment par :
pa(t) = po cos(aot); _py(t) = posin(unt)
où ‏وم‎ est une constante dont on donnera son expression en fonction de e et a.
1132. Montrer que l'énergie mécanique ‏ررك‎ de l’oscillateur constitué par l’électron s'exprime
sous la forme : |
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1.2. Champ électromagnétique dans le vide
12.1. Rappeler les équations de Maxwell dans le vide
12.2. On repère tout point M de l’espace à l’aide du repère (O, es É; es )
12.21. Déterminer l'équation de propagation vérifiée par le champ électrique.
12.22. Montrer qu'une onde plane rectiligne É = Eo cos(wt — kr) €, peut se propager dans
le vide. FE, est une amplitude constante.
‎du vecteur 7 .‏ عا ‎Préciser la direction de propagation et la valeur de la norme‏ .1.2.2.3
‎Donner l'expression du champ magnétique B associé. Faire un schéma représentant‏ .12.24
‎et 7 , le vecteur d'onde.‏ 72 127
122.5. On définit le vecteur de Poynting par R= — É AB. Donner la signification physique
de ce vecteur et son unité. Calculer sa valeur moyenne 7 sur une période, en fonction de ‏و2 روط‎ et
123. Un faisceau laser polarisé rectilignement est assimilable à une onde plane de section
1 mm°?. Pour une puissance transportée P; de 100 mW, calculer l'amplitude du champ électrique
correspondant .
12.4. On définit une onde Ë = Eo cos(uwt — kx) 2 + Eosin(wt — kr) e..
1241. Pourquoi cette onde est-elle appelée circulaire ?
12.42. Déterminer le champ associé et le vecteur de Poynting À. Conclure.
1.3. Champ électromagnétique rayonné par un dipôle
Pour r = OM > À = 2rc/w, le champ électromagnétique rayonné en M par un dipôle oscillant,
de moment dipolaire D = ‏وم‎ cos(wt) 2 placé en O est tel que :
—&? sin(0)
Eg = ———p cos(w(t — r/c)); B,, = Eg/c
ATEorc? dé
Les autres composantes sont négligeables.
13.1. Justifier, par des considérations de symétrie, la direction des champs É et B.
132. L'onde électromagnétique est-elle une onde plane ? quasi-plane ?
13.3. Exprimer le vecteur de Poynting 77 de cette onde et sa valeur moyenne (À) :
13.4. Montrer que l'énergie moyenne rayonnée par unité de temps à travers la sphère de rayon
rest:
الت
1.4. Rayonnement de l’électron dans le modèle de Thomson
L’atome d'hydrogène est modélisé comme un double dipôle oscillant appliqué en 0 : ‏وم‎ =
po cos(wt) ; ‏وم‎ = posin(wt). Il rayonne un champ électromagnétique.
Épreuve de Physique II Sp ll Tournez la page 5.7.1
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‏الله‎ ١
“6 9 | Y
‎Figure 1:
14.1. Montrer que le champ crée par p.(t) en un point M du plan de l'orbite (Oxy) de
l’électron est donné par :
721 = — = sin(a) cos(wt —wr/c)e x
En déduire le champ É associé aux deux dipôles en M. Quel est l’état de polarisation de l’onde dans
ce plan ?
142. Donner les composantes du champ É enun point P(OP = r) de l'axe Oz de l'orbite. En
déduire l’état de polarisation l’onde en P.
143. On admet que l'énergie moyenne rayonnée par unité de temps PR est celle de deux
dipôles d'amplitude po, de pulsation w.
Cette énergie correspond à une diminution PR = - ‏عد‎ de l'énergie mécanique 61 de l’oscillateur
constitué par l’électron.
1431. En déduire que ‏وم‎ et donc le rayon a de l'orbite de l’électron doit décroître.
On admet que la pulsation reste inchangée et que po décroît suffisamment lentement dans le temps
pour que le mouvement reste circulaire durant des intervalles de temps grand devant T = 2x/w
correspondant à la période de la radiation considérée de l'hydrogène (À = 434, 1 nm).
1432. Montrer que l’on peut écrire la relation suivante
‏عه‎ _ 6m
dt T
Donner l'expression de la constante de temps 7 et l'expression de &(t)
Épreuve de Physique II 4/11 ‏رج‎
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Figure 2:
143.3. Application numérique w = 4, 34.1015 rad.s-!. Calculer la constante de temps 7 et le
comparer à T. Conclure.
1.5. Diffusion de Rayleigh
Soit un milieu constitué d’atomes d'hydrogène. Le nombre d’atomes par unité de volume est
N. Une onde ‏سه سه‎ plane polarisée rectilignement se propage dans la direction Ox. Le
champ électrique est : Ë = ‏و15‎ cos(wt — kr) .. L'électron de l’atome oscille dans la direction €.
15.1. Montrer que le déplacement 2 de l’électron appartenant à un atome situé dans le plan
d’abscisse x est décrit par l'équation différentielle suivante :
2 ‏كس‎
‎2 + wÿz = ‏م‎ cos(wt — kx)
Justifier vos approximations.
15.2. On néglige le régime transitoire.
1.5.2.1. Donner l'expression z(t,x) du régime forcé à la pulsation w.
15.22. Donner l'expression du dipôle induit 7. On précisera son amplitude po.
15.3. Donner l'expression de l'énergie moyenne rayonnée par unité de temps PR par le dipôle
15.4. La puissance moyenne de l'onde traversant sous incidence normale une surface d’aire S
est P; = c0EË$/2. Exprimer Pr en fonction de P..
Épreuve de Physique II 5 1 Tournez la page 5.7.1
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15.5. En fait la puissance rayonnée qui correspond à une diffusion provient de la diminution
de P; et donc de Æ, lorsque l’onde se propage dans le milieu. On peut admettre que P; (et donc Eo)
dépend de x mais varie lentement selon x.
15.51. En réalisant un bilan énergétique dans un cylindre de section x et x+dx montrer que
l'on peut écrire :
dP(x) _ Pix)
dr 4
Exprimer 4 en fonction de N,w, wo, m, ‏ن‎ e. Préciser son unité.
15.52. Que devient l'expression de 4 pour w wo(cas de la diffusion Rayleigh) ? Calculer
alors les valeurs de 4 pour les ondes électromagnétiques correspondantes aux radiations rouge (800
nm) et bleu (400 nm). On prendra w correspondant à ‏م‎ = 121,8 nm et N = 1025 électrons par m*.
15.53. À l’aide de ces résultats donner une interprétation du bleu du ciel et de la couleur du
rouge de soleil au couchant.
1.6. Effet Zeeman
Dans le modèle de Thomson de l'atome d’hydrogène, le mouvement de l’électron en l’absence
de champ extérieur est celui d’un oscillateur harmonique de pulsation wo. On considère maintenant
une situation où l’atome est placé dans un champ magnétique uniforme constant Bo à l'instant t=0.
On utilise un système de coordonnées ayant pour origine 0 le centre du noyau. L’axe Oz est tel que
26 - 130 6 2. L'électron est repéré par le vecteur OM ٠. On suppose qu'avant d'appliquer 6
l’électron est sur une orbite circulaire de rayon a dont l'axe forme 1 ‏عاقصة‎ 0 avec Oz. Pour simplifier,
CPE creme; 12 ES 2: SE TV _ +1 = 2 ‏ب‎
‎on supposera que la position initiale de l’électron à l'instant t=0 est OM, = ‏وك (8)0م ه — و (0)صتقه‎
et sa vitesse initiale est ‏هوه = و7‎ € y.
16.1. Donner les équations du mouvement de l’électron sur les axes du trièdre Oxyz. On
utilisera la pulsation Q = eB5/2m.
1.6.2. Déterminer z(t) pour t > 0.
1.6.3. On introduit le nombre complexe Z = x + iy avec à? = —1.
16.31. Déterminer l'équation différentielle vérifiée par Z(#).
1.6.3.2. On considère dans toute la suite de cette partie que ( >> ‏وس‎ ; montrer que
Z(t) = (ia/2) exp(iQt) [(1 — cos(0)) exp(—iwot) — (1 + cos(8)) exp(iwot)]
1.6.3.3. En déduire les fonctions x(t) et y(t).
1.6.3.4. Déduire de ces résultats que le mouvement de l’électron est la superposition d’un
mouvement sinusoïdal de pulsation ‏وس‎ suivant Oz et de deux mouvements circulaires directs dans
le plan xOy de pulsation wi = wo + ( et ‏وس = وس‎ — ؟!٠‎
16.35. On peut admettre que ce mouvement confère à l’atome un moment dipolaire ÿ.
Donner les composantes de ce dipôle suivant le trièdre Oxyz.
16.4. On observe le rayonnement de l'atome dans la direction du champ magnétique, en
un point de l’axe Oz. Montrer que l'onde émise en présence de 26 est la superposition de deux
ondes polarisées circulairement de fréquence 7 + Ar et — Av très voisines. C'est l'effet Zeeman
longitudinal.
Donner l'expression de Av.
Calculer Az et Av/ pour Bo = 0,1 T et une fréquence 7 correspondant à la radiation à 434, 1 nm
de l'hydrogène. commenter.
ر7- 6/1 ‎Épreuve de Physique II‏
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16.5. On observe le mouvement dans une direction perpendiculaire au champ magnétique
c'est à dire dans le plan xOy. Montrer que l'onde émise est la superposition de trois ondes polarisées
rectilignement comportant trois fréquences très voisines. C'est l'effet Zeeman transversal.
1.7. Observation des raies Zeeman
On étudie expérimentalement l'effet Zeeman avec un interféromètre de Michelson.
17.1. Les interféromètres à deux ondes sont produits par des dispositifs à division du front
d'onde ou des dispositifs à division d'amplitude.
17.11. Préciser pour les deux types de dispositifs la localisation des franges en lumière
monochromatique dans les cas :
e d’une source ponctuelle ;
e d’une source étendue
On donnera un exemple de dispositif à division d'amplitude autre que le Michelson.
17.12. Quelest le rôle de la longueur de cohérence temporelle dans les conditions d'observation
des franges d'interférences ?
17.2. Un interféromètre de Michelson (figure3) est constitué d’une lame semi-réfléchissante,
non absorbante, appelée séparatrice S dont les facteurs de transmission et de réflexion sur les
amplitudes valent 1/2, et de deux miroirs plans M, et M; perpendiculaires l’un à l’autre. La
lame séparatrice SP est inclinée à 45° par rapport aux normales à M; et M2. L'interféromètre est
plongé dans l'air. On ne tiendra compte, ni des inconvénients liés à l'épaisseur non négligeable
de la séparatrice (qui sont supposés parfaitement corrigés grâce à une lame compensatrice), ni
d'éventuels changements de phase par réflexion. L'indice de l’air sera pris égal à 1.
On utilise comme source étendue une lampe spectrale de symétrie de révolution autour de l’axe
SO parallèle à l’axe Ox. On observe en lumière monochromatique dans le plan focal d’une lentille
mince convergente L d’axe optique Oy et de distance focale f’=1 m.
1.7.2.1. On part de la situation où les deux bras sont égaux OA; = O A2. Qu'observe-t-on ?
17.22. Pourquoi est-il nécessaire de diaphragmer la lentille ou de limiter l’inclinaison des
rayons incidents issus de la source primaire ?
17.3. On déplace M2 normalement à son plan d'une distance e = 1,05 mm dans la direction
des x positifs.
17.31. On peut montrer que le phénomène d'interférences observé est analogue à celui
d’une lame d'air à faces parallèles. Quelle est l'épaisseur de cette lame d'air équivalente ?
17.32. Justifier que la figure d’interférence obtenue est sous forme d’anneaux clairs et
sombres alternés. Déterminer la différence de marche à entre les deux rayons qui interfèrent en
un point de l'écran en fonction de e et i(angle d'incidence supposé très petit devant ٠
1.7.3.3. Calculer l’ordre d’interférence au centre de la figure d’interférence correspondant à
une raie de longueur d'onde incidente 434, 1 nm. En déduire le rayon du premier anneau brillant.
174. La source primaire est maintenant une lampe à hydrogène. À l’aide d’un filtre in-
terférentiel on sélectionne la radiation de longueur d'onde ‏.ما‎ Cette radiation n’est pas rigoureuse-
ment monochromatique : on admet que l'intensité lumineuse spectrale émise Z, = 15/Av est con-
stante entre vo — Av/2 et vo + Av/2; est la fréquence centrale de la raie.
Épreuve de Physique II 7/11 Tournez la page 5.7.1
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(option : physique)
dm mme ‏دل يع لدي دن سالا‎ Hs
Sp 1
‏يبب يه بت قالتاقا‎
Figure 3:
1.7.4.1. Montrer que l'intensité lumineuse détectée 1)6( au foyer 1 de la lentille pour une
distance e — O A2 — 041 s'exprime par :
27 Ave Are
I(e) = 21 1 + sin, (22) COS (=) |
où c représente la vitesse de la lumière dans le vide.
17.42. Onenregistre Z(e) en fonction du déplacement e à l’aide d’un photomultiplicateur.
On définit le contraste € des franges par la relation :
‏وموم ا‎ Toys
74 = MAL TNATL
Zn + Lin
OÙ ‏وما‎ représente l'intensité maximale et ‏نما‎ est l'intensité minimale. Déterminer le contraste >
des franges d’interférence en fonction de la distance e, de Az et de la vitesse de la lumière dans le
vide c.
Pour quelle valeur de e, le facteur € s’annule-t-il pour la première fois ?
Montrer alors que l’on peut déterminer la longueur de cohérence ‏.ىنا‎ = c/Av de la radiation.
17.5. On soumet maintenant la lampe à hydrogène à un champ magnétique intense et on
sélectionne à l’aide d’un filtre interférentiel les radiations de fréquence ‏رن‎ = v9 + Av et 22 = ‏وبر‎ — Av
dues à l'effet Zeeman. Pour simplifier on admettra que les deux raies ont une intensité d'émission
10 égale et qu’elles sont rigoureusement monochromatiques.
1.7.5.1... Déterminer l’éclairement /(e) au foyer F’ de la lentille en fonction du déplacement
‏ع‎ = OA — OAï.
17.52. Montrer qu'on peut déduire la valeur Az d’un enregistrement de I(e).
Épreuve de Physique II 8/ 1 ‏ر7-‎
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(option : physique)
1.7.5.3. Avec quel autre interféromètre pourrait-on mesurer Ar avec une plus grande
précision ?
2ème partie
Lentille électrostatique
Dans le microscope électronique, comme dans le microscope optique, la formation d’une image
agrandie de l’objet à observer nécessite l’utilisation de dispositifs capables de dévier la direction
de propagation de l’onde. Le but de cette section est d'étudier le principe de fonctionnement
d'une lentille électrostatique qui peut être utilisée pour dévier la trajectoire des électrons dans un
microscope électronique.
2.1. Champ électrostatique dans la lentille
Dans la région (8) de l’espace appelée » lentille électrostatique ١ règne un champ électrostatique
non uniforme Æ. La région (X) est vide de charge électrique et telle que : x? + y? > R? et
- > z > +. Le champ électrostatique É est produit par un dispositif invariant par rotation d’un
angle 0 quelconque autour de l'axe Oz et qui admet le plan z = 0 comme plan de symétrie.
Le champ électrostatique est nul en dehors de la région (R).
x région (R)
PAS ‏ايج روما للد الات‎ nu re ne ‏جد‎ 1 >
0 1 ! 2 ١
! 1 0 1
1 1 ! 1
1 0 1 1
1 ! 0 1 1 2
١ 1 ١ ١ /
fm mm ‏مح‎
2.11. Montrer, en évoquant des arguments clairs, que le champ électrostatique É s'écrit en
coordonnées cylindriques (r, 0, z) d'axe Oz sous la forme :
1 F(r,2) ‏ول (6)52 جل‎ (1)
où F et G sont deux fonctions quelconques des coordonnées r et z uniquement que l’on ne
demande pas d’expliciter pour le moment. (%,, #9, %.) est la base orthonormée locale du système
de coordonnées cylindriques.
2.12. Que vaut G(r,2) dans le plan z = 07 Justifier.
2.13. Rappeler les équations locales vérifiées par le champ électrostatique É dans la région
Épreuve de Physique II JL Tournez la page 5.7.1
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(option : physique)
2.14. En déduire que les composantes F et ‏ى‎ du champ électrostatique vérifient les équations
aux dérivées partielles suivantes :
OF 06 _ 0
Oz dr (2)
O(r F) O(rG) _ 0
Or 8z
2.15. Le dispositif qui crée le champ électrostatique É dans la région (À) impose
17 )72( ‏07ح‎
avec 8 = 2Uo/R?, ‏ونا‎ étant une constante. En déduire que G{(r,z) = 8 z et donner l'expression de
B' en fonction de 2.
2.16. Montrer que le champ électrostatique É dérive d’un potentiel électrostatique @ que l'on
exprimera en fonction de U, r et z.
2.17. Quelle est la nature de la surface équipotentielle passant par l’origine ? Justifier la
réponse et représenter graphiquement cette surface. Que représente Uo ?
2.2. Mouvement de l’électron dans la lentille
À l'instant choisi comme origine, un électron pénètre dans la région (R) au point 15 de coor-
données r — r0 >> R, 2 ‏ح‎ —{ avec une vitesse 70 = VO Ms vo > 0. Dans toute la suite, on négligera
l'action de la pesanteur sur le mouvement de l’électron.
2.2.1. En exploitant la projection du théorème du moment cinétique sur l’axe Oz, montrer que,
dans la région (Æ), le mouvement de l’électron se fait dans un plan méridien 0 = constante.
22.2. Établir les équations différentielles vérifiés séparément par r et z. À quelle condition
sur ‏رونا‎ le mouvement de l’électron est-il confiné au voisinage de l'axe Oz. En supposant que cette
condition est satisfaite dans toute la suite, montrer que les équations différentielles précédentes
peuvent s’écrire :
d?r 2 d?z 2
— + 077 =0 et — —2w"z=0 3
dt? dt? 2)
et donner l'expression de w en fonction de e, m., Us et R.
2.2.3. Résoudre l'équation différentielle en z et déterminer l'expression de z(t) vérifiant les
conditions initiales.
2.24. Dans toute la suite, on suppose satisfaite la condition w{ >> ‏.و‎ Montrer alors, que la
vitesse 2 de l’électron reste pratiquement égale à ‏وده‎ et en déduire la durée 1 nécessaire à l’électron
pour traverser la zone (Æ).
2.2.5. Résoudre de même l'équation différentielle en r et montrer que la trajectoire électronique
reste au voisinage de l'axe Oz. Quelle est l'hypothèse correspondante en optique ?
2.2.6. Déterminer les composantes du vecteur vitesse de l'électron au point J de sa sortie de la
région (R).
2.27. Montrer que le mouvement de l’électron est rectiligne uniforme en dehors de la région
هب 711 :10 ‎Épreuve de Physique II‏
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2.28. Déterminer la coordonnée ‏بسحت‎ du point d'intersection de la trajectoire électronique avec
l'axe Oz. La position de 1" dépend-elle de 1, ? Justifier le nom de foyer donné à 1. Cette lentille
électrostatique est-elle convergente ou divergente ? Comment peut-on agir sur la distance focale de
la lentille.
2.29. Application numérique : calculer ‏ضع‎ pour £ ‏ح‎ 1,0 x 10-4 metw{/vo = 102
Épreuve de Physique II 11/7 1 FIN
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