نموذج مباراة ولوج سلك تحضير التبريز في العلوم الفيزيائية - المركز الجهوي لمهن التربية والتكوين الدار البيضاء سطات 2016 - الفيزياء 2

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70/54 Cr OLO ‏جلي‎ à ‏المملكة المغربية‎
#CakO+ ١ 1034 LES ‏ا‎ = PÉTER ENT
A ON AK let 72305 9
Centre Régional des Métiers de l'Education
et de Formation-Grand Casablanca
Concours d’Entrée en Première Année du Cycle de Préparation
À l’Agrégation de Sciences Physiques
Option : Physique
Session : Juin-2016
ÉPREUVE DE PHYSIQUE II
Durée 4 heures
Cette épreuve comporte 18 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est autorisé
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Concours d'entrée en première année du cycle de préparation à l'agrégation de sciences physiques
(option : physique)
L'énoncé de cette épreuve comporte 18 pages.
L'usage de la calculatrice non programmable est autorisé.
On veillera à une présentation claire et soignée des copies. Il convient en particulier de rappeler avec
précision les des questions abordées.
Dans le cas où un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale très lisiblement
dans sa copie, propose la correction et poursuit l'épreuve en conséquence.
def distribution2 (n,q) :
tab = qx[0]
tab2 = ‏+*و‎ ]0[
tab3 = qaqx[0]
for t in range (0, q/2) :
for u in range (0, q/2) :
tab3[ -((txu)% (q/2)) ‏؟‎ q] = tab3[ -((txu)% (q/2)) $ aq] + 1
for t in range (0, q/2) :
for u in range (0, q/2) :
tabl -((txu)% (q/2)) ‏؟‎ q] = tab[ -((txu)$ (q/2)) ‏؟‎ q] + 1
for y in range (2,n+1) :
if (y ‏؟‎ 2 == 0) :
for j in range (q) :
for i in range (q) :
tab2[(i+j) % ql=tab2[(i+j) % ‏أو‎ + (tablil)xtab3l[;]
tab = qx[0]
8158© :
for j in range (q) :
for i in range (q) :
tab[(i+j) % ql=tab[(i+j) % ‏زو‎ + (tab2[i])xtab3[;j]
tab2 = qx(0]
if (n ‏؟‎ 2 == 0) :
return tab2
8159© ©:
return tab
Les signaux optiques peuvent être utilisés pour transporter une grande quantité d’information
sur d'importantes distances. Nous nous intéresserons ici à quelques caractéristiques d’une ligne de
transmission optique, dont le schéma synoptique est représentée dans la figure 1.
Les deux première parties traitent de la propagation guidée dans une fibre optique et des
problèmes associés qui altèrent la qualité de la transmission et qui limitent le débit. Dans une
troisième partie, nous nous intéresserons aux modules d'émission et de réception. Dans la quatrième
partie, nous présenterons la technique de multiplexage fréquentielle qui permet de faire transiter
dans une même fibre plusieurs informations simultanément. Enfin, la cinquième partie constitue
une analyse documentaire d’un article scientifique sur la diffusion d’un faisceau laser par une fibre
optique.
Les cinq parties peuvent être traitées de façon largement indépendante.
Première partie : Propagation guidée de la lumière
LA - Lois de Descartes
Épreuve de Physique 11 1 / 18 Tournez la page 5.7.1
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(option : physique)
Données émises ; Données reçues :
1 ‏ض 1 ض ض‎
‏ا‎ signal 6
électrique | 0 ٍ see
e(t) 500 ٍ
1 Faisceau 1 ‏ل ل‎
‏ا‎ laser ‏ا‎ Signal optique Signal optique ! Signal Traitement |!
1 [laser |] ‏ميهي بيب‎ — | dusignal |
‏ا دن ايت‎ transmis Fibre optique 181 ‏ا‎ NY ‏و‎ :
8 ) Ju ‘0 s
‏ل‎ | Modulateur ١ ْ ‏ل‎
‏ا ا‎ Photodiode
Emetteur a “Récepteur 7
Figure 1: Synoptique d’une ligne de transmission optique.
On considère un dioptre plan séparant deux milieux transparents et homogènes : le milieu (1)
d'indice n, et le milieu (2) d'indice n2. De la lumière se propage du milieu (1) vers le milieu (2).
On isole un rayon frappant le dioptre en I, et formant un angle ‏رن‎ avec (N), normale au dioptre
en I. on observe l'existence d’un rayon réfléchi dans le milieu (1) formant un angle ‏“أ‎ avec (N) et
éventuellement d'un rayon réfracté formant un angle ‏د‎ avec (N). Les angles sont non orientés.
5 ‏ا‎ 2
milieu (1) 2 —<
d’indice 1
0" li
milieu (2) ١
d’indice n2 1
‎172
‎Figure 2: Lois de Descartes.
1. À quelle condition peut-on considérer que la lumière est constituée de rayons lumineux
indépendants ?
2. Énoncer les lois de Descartes relatives à la réfraction et à la réflexion.
3. Décrire le phénomène de réflexion totale : on précisera notamment la condition sur les indices
et la condition sur l’angle 1.
LB - Fibre optique à saut d'indice
Épreuve de Physique II 2/18 —
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Une fibre optique est un fin cylindre de verre, capable de guider la lumière sur de longues
distances. Un rayon lumineux rentrant à une extrémité de la fibre reste piégé à l’intérieur par
réflexion totale interne.
Une fibre optique à saut d'indice est constituée d’un cœur cylindrique d'indice ‏د‎ d'un
diamètre d'environ 50 um, entouré par une gaine d'indice n2 > n1.
gaine ‏جح‎
‎d’indice n2 0 ١
coeur 0
d’indice 1 0 |
Figure 3: Fibre à saut d'indice.
1 ni
00 0
Figure 4: Coupe dans le plan méridien d’une fibre à saut d'indice.
4. Montrer que tout rayon situé dans un plan contenant l’axe de la fibre et formant dans la fibre
un angle 0 avec l’axe peut se propager dans le cœur en restant dans ce plan si 0 > ‏ى0‎ avec 0.
une valeur critique de 0 que l’on déterminera en fonction de n1 et n2.
5. Que risque-t-il de se passer si on courbe trop la fibre ? On pourra illustrer au moyen d'un
schéma.
6. On définit l'ouverture numérique ON de la fibre par ON = n; sin(0.).
(a) Montrer que ON = \/nf — ni.
(b) On pose n1 = n2 + ôn : ôn est petit. Établir une expression approchée de ON à l’ordre le
plus bas non nul.
Épreuve de Physique II 31 18 Tournez la page 5.7.1
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(c) Évaluer ON pour ñn1 = 1,53 et n2 = 1,50.
(d) On considère que l'indice de l'air à l'extérieur de la fibre est égal à 1. Soit O le point de
l'axe de la fibre situé sur le dioptre air-cœur. On note ‏و0‎ l'angle d'incidence du rayon
lumineux entrant dans la fibre en 0 (figure 4). A quelle condition sur ‏و0‎ le rayon se
propage-t-il dans la fibre ?
1.0 - Modes de propagation
Le but de cette partie est de montrer que, dans une fibre optique, la lumière peut se propager
le long d’un nombre fini de rayons. Pour cela, nous considérons la lumière comme une onde
électromagnétique décrite par un champ électrique É etun champ magnétique B.
Données et rappels :
e 20 : permittivité diélectrique du vide.
e 10 : perméabilité magnétique du vide.
» Pour des vecteurs À quelconques :
roilroi(A)) = grad(diu( A)) —A(À)
7. Donner les équations de Maxwell dans le vide.
8. Établir l'équation de propagation de É dans le vide. Déterminer la vitesse de propagation de
l'onde c en fonction de £ et ‏من‎
‎9. justifier que la vitesse de propagation de l'onde dans un milieu transparent d'indice n est la
vitesse de propagation dans le vide divisée par n ?
On veut étudier la propagation d’un champ électrique É dans la fibre. Pour simplifier, le
“cœur” sera décrit par une couche plane d'indice n1, comprise entre les cotes x = —a et
2 = +a. Pour |x| > a, le milieu a un indice ‏ود‎ (figure 5). Pour chaque région (|x| > a ou
[x] > a), on cherche É sous la forme :
É = E(x)cos{wt-kz)e,; w>0; k>0
On pose w = cko et koÀo = 27
On utilisera la représentation complexe : on pose É = E(x)expj(wt — kz)e,
10. On cherche 2 = 2 exp j(wt — kz). Exprimer ER en fonction de E(x), ‏ىا‎ w, de) et des
vecteurs de base.
11. Justifier que E(x) et de) sont continus en x = +
12. On s'intéresse à la propagation dans la “gaine” : || > a.
(a) Écrire l'équation de propagation vérifiée par É dans ce milieu en tenant compte de la
question 9.
(b) En déduire l'équation différentielle vérifiée par E(x) pour |x| > a.
(c) Discuter la nature des solutions selon le signe de n2k5 — k. En déduire la condition pour
que la propagation soit guidée dans le cœur. On considère que cette condition vérifiée
dans la suite.
‎Épreuve de Physique II 4/18 —‏
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‎1 111
Figure 5: Modélisation du coeur par une couche plane.
(d) On pose :
À = ‏بببيب‎
‏كاي‎ - 6
Écrire la solution E(x) sous la forme d’une combinaison linéaire de fonctions expo-
nentielles, en fonction de à et des constantes d'intégration qu'on ne cherchera pas à
déterminer pour l'instant ; on distinguera les cas x > a et x < —a.
13. On s'intéresse à la propagation dans le “cœur” : |x| < a.
(a) Écrire l'équation de propagation vérifiée par É dans ce milieu.
(b) En déduire l'équation différentielle vérifiée par E(x) pour || < a.
(c) À quelle condition sur n1 a-t-on E(x) fonction sinusoïdale de x? On considère cette
condition vérifiée dans la suite.
(d) On pose :
n = \/nik8 — k2
Exprimer E(x) en fonction de 7 et de constantes d'intégration qu’on ne cherchera pas à
déterminer pour l'instant.
On choisit de ne s'intéresser qu'aux solutions paires, c'est à dire E(x) = E(-x) Vx
14. Pour |x| > a, donner l'expression de E(x) en notant ‏وكل‎ son amplitude. Pour |x| > a, justifier
que dans chacun des cas, le coefficient d’une des exponentielles est nécessairement nul.
15. Représenter l'allure de E(x) en considérant 2an = 67 pour fixer les idées.
16. En utilisant les relations de continuité, établir la relation :
[k3ON?
tan(na) = HO — 1
17. Expliquer comment déterminer graphiquement les solutions de cette équation d’inconnue 7.
Ces solutions sont appelées modes”.
Épreuve de Physique II 5718 Tournez la page 5.7.1
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18. Exprimer le nombre total N de modes en fonction de ON, 20 et a.
19. Évaluer N pour Ào = 1 yum, ON=0,3 et a = 25 yum.
20. On admet que chaque mode correspondant à un rayon d'inclinaison donnée. Exprimer
la valeur de à permettant d’avoir une propagation le long d’un seul rayon. L'évaluer
numériquement pour ‏دير 1 = ول‎ et ON=0,3.
Deuxième partie : Absorption et dispersion
Le but de cette partie est de mettre en évidence les problèmes qui limitent le débit et la distance
sur laquelle on peut transporter l'information.
ILA - Absorption
Pendant longtemps, les pertes ont été un problème majeur de la transmission le long des fibres
optiques. Au début, la puissance injectée à l'entrée de la fibre était divisée par 1000 après 1 km
de parcours ! Aujourd’hui, elles présentent des pertes bien moindres que les autres câbles. De
plus, il est possible de placer à espace régulier le long de la fibre des amplificateurs de signal.
On définit le coefficient d'atténuation A (en dB/km) par :
A = 10log (5)
Avec P, désigne la puissance optique du signal à l’entrée de la fibre et P! la puissance optique
du signal récupéré au bout de 1 km de la fibre. À dépend de la longueur d'onde À.
21. À présente un minimum pour une longueur d'onde Ào = 1.6 yum.
(a) À quelle partie du spectre électromagnétique appartient 7
(b) Quel phénomène est souvent responsable de l'absorption dans cette partie du spectre ?
On considère un tronçon de fibre d’axe (Oz) compris entre z = 0 et z = L. On note P(z2) la
puissance du signal récupéré en 2. L'évolution de P(z2) vérifie la loi de Beer-Lambert :
dd —= —aP(2)
avec ‏نه‎ une constante positive.
22. Établir l'expression de la puissance récupérée à la sortie de la fibre de longueur L en fonction
de P. ,aæet L.
23. Exprimer les pertes relative ar = ‏يط‎ en fonction de ‏م‎ et L.
24. Pour ‏و2‎ = 1,6 pm, À = 0,2 dB/km. Déterminer la valeur numérique de a pour cette longueur
d'onde. On donne In(10) = 2.3.
‎Épreuve de Physique II 6/18 —‏
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25. Exprimer $£ pour L = 10 m et pour L = 1 km. Commenter.
ILB - Dispersion intermodale
Une fibre optique multimode transporte la lumière le long de plusieurs rayons. Les rayons
lumineux d’inclinaisons différentes n’ont pas le même chemin à parcourir dans la fibre, donc
le temps de parcours est variable. Il en résulte un étalement temporel du signal : ce phénomène
est la dispersion intermodale.
26. Soit Af,, la différence de temps de parcours entre deux rayons lumineux se propageant dans
une fibre optique (cœur d'indice n1, gaine d'indice n2) de longueur L, l’un sur l’axe de la fibre
et l’autre incliné de 4. = arcsin(n2/n1) par rapport à celui-ci (figure 4). Exprimer la longueur
parcourue par le rayon non parallèle à l’axe en fonction de L et 4... En déduire Af,, en fonction
de 111,172, Let c.
Une série d’impulsions lumineuses ultra-courtes est envoyée dans la fibre. On donne T
l'intervalle de temps séparant deux impulsions successives (figure 6).
signal
d’entrée
Figure 6: Signal d'entrée.
27. Représenter l'allure du signal récupéré à la sortie de la fibre dans le cas où Af,, > T'et dans le
cas où At, > T. Commenter.
28. On note BP, la bande passante de la fibre associée à la dispersion intermodale : BP»
représente la fréquence maximale des signaux pouvant transiter dans la fibre. Exprimer BP»
en fonction de n1, n, Let c.
29. On considère n1 = 1,53 et no = 1,50. Évaluer numériquement BP,, pour L = 10 m et pour
L = 1 km (on prendra c = 3 m.s_!). Commenter et proposer une solution.
30. Pour limiter la dispersion intermodale, on peut aussi utiliser la fibre à gradient d'indice : c'est
une fibre dont l'indice ‏ود‎ du cœur dépend de la distance r à l’axe. Quel doit être le sens de
variation de n1(r) ? Représenter qualitativement la trajectoire d’un rayon arrivant dans la fibre
en formant un angle 0 avec l'axe.
11.0 - Dispersion chromatique
Épreuve de Physique II 7 / 18 Tournez la page 5.7.1
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31. La lumière utilisée, même si elle est issue d’un laser, n’est pas parfaitement monochromatique.
Or l'indice n1 du cœur dépend de la longueur d'onde. Expliquer en quoi cela limite le débit
d'informations transitant dans la fibre.
32. Considérons dans un premier temps que le signal contient 2 longueurs d'onde. On s'intéresse
à la superposition de 2 ondes planes progressives harmoniques (OPPH), de même amplitude
So, de pulsations w et w + ‏سا‎ :
81(2,t) = So cos(wt — kz); s2(2,t) = So cos[(w + dw)t — (k + ôk)z]
1 (respectivement k + ôk ) étant lié à w (respectivement w + ôw) par une relation qu’on ne
cherchera pas à établir ici. On suppose que ôw et ôk positifs et on considère ‏سان‎ >> w ‏ما‎ € k.
(a) Établir l'expression de l'onde résultante s(2,t) = s1(2,t) + s2(z,t). On la mettra sous la
forme d’un produit.
(b) Commenter l'expression de s(z,t) : on justifiera que s(z,t) est le produit d’une fonction
aux variations spatiales et temporelles lentes, l'enveloppe, avec une fonction aux varia-
tions spatiales et temporelles rapides.
(c) Représenter l'allure de s(z,t = 0) en fonction de z.
(d) On admet que l'information est transportée par l'enveloppe. Quel est le temps ‏و7‎ mis par
l'information pour parcourir l’unité de longueur ?
Dans le cas où le spectre contient une infinité de longueurs d'onde, on caractérise la
dépendance du temps de propagation de l'information 7, par unité de longueur par rapport
, ‘ : ‏مام‎ : - dr,
à la longueur d'onde par la dispersion 170)2( définie par : D(À) = ++.
33. On se place à À», = 1,5 yum. Pour cette longueur d'onde, D est de l’ordre de 10 ps.nm°!.km |.
On note At. la différence maximale de temps de parcours entre les différentes composantes
monochromatiques. Sachant qu’on arrive à réduire la largeur spectrale A1 en sortie du laser
de façon à avoir AÀ = 1 nm, donner l’ordre de grandeur de At. pour L = 1 km. En déduire
l'ordre de grandeur de la bande passante BP. de la fibre associée à la dispersion chromatique
pour L = 1 km. Commenter.
Troisième partie : Emission-Réception
IIL.A - Emission
Pour transporter l'information, on utilise comme support la lumière issue d’un laser que l’on
fait passer dans un modulateur : l'intensité lumineuse en sortie du modulateur varie au cours
du temps en fonction du signal à transmettre.
Le modulateur étudié ici est un interféromètre de Mach-Zenhder.
On considère que le laser délivre une onde plane monochromatique de pulsation w, de
longueur d'onde dans le vide À. Le faisceau incident est séparé en 2 faisceaux de même
intensité : l’un se propage dans une fibre homogène d'indice n1 (voie 1), l'autre se propage
dans une fibre identique mais on intercale sur son trajet un milieu de longueur d dont on peut
faire varier l'indice n au moyen d’une tension électrique, image du signal à transmettre (voie
2). Les 2 voies ont la même longueur totale.
Épreuve de Physique II 8 / 18 —
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(option : physique)
voie 1
‎faisceau faisceau
incident émergent
voie 2
Figure 7: Modulateur : interféromètre de Mach-Zenhder.
En sortie, le signal optique récupéré en sortie de la voie 1 s'écrit f1(f) = go cos(wt) et celui
récupéré en sortie de la voie 2 s'écrit f2(t) = go cos(wt + @), go est une constante.
34. Rappeler le théorème de Malus.
35. Exprimer ‏م‎ en fonction de n, n1, d et À.
36. On définit l'intensité 7 en sortie du modulateur par 1 = {[f1(t) + fo(t)]?}. Établi l'expression
de I en fonction de 6 et de lo = g8.
37. On souhaite transmettre des données numériques : l'information est alors codée sous la forme
d’une succession d’impulsions. Pour cela, on doit être en mesure de réaliser 1 = 0661 = 215.
(a) Exprimer en fonction de À et d la plus petite différence An entre les deux valeurs de
l'indice n permettant de transmettre ce signal.
(b) Calculer An pour À = 1,5 jm et pour d = 5 cm.
111.5 - Réception
Au bout du canal de transmission, l'intensité lumineuse est une image altérée du signal
électrique à transmettre e(t). Il faut donc transformer le signal optique de longueur d'onde À
en un signal électrique puis le mettre en forme pour reconstituer le signal initial. On propose
ici une étude simplifiée du système de réception.
38. La lumière est détectée par une photodiode : c'est un dipôle dont le rôle est de convertir la
puissance optique reçue P, en courant électrique de photo-détection io.
(a) Le rendement quantique r est défini par :
nombre d'électrons collectés
0 ‏و‎ 1 11
nombre de photons incidents
Sachant que l'énergie transportée par un photon vaut hc/X, avec h la constante de Planck,
exprimer le courant de photodétection ‏و‎ en fonction de la charge élémentaire e et de ‏ب‎
‎P,,À,hetc.
‎Épreuve de Physique II 97 18 Tournez la page S.V.P.
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(option : physique)
(b) Évaluer io pour P, = 10 mW,r = 0,8 et À = 1,5 ‏عر‎ On prendra h = 6, 67.10 34 7.8,
‏د‎ 1,6.10-19 0 1683.108 1.
On assimile la photodiode à une source idéale de courant délivrant ‏.و‎ Pour convertir ‏م‎
‎en tension, on utilise le montage représenté sur la figure 8a, constitué d’un amplificateur
opérationnel idéal et d’un conducteur ohmique de résistance R;. Le montage obtenu est un
montage trans-impédance.
70 io
Figure 8: Montage transimpédance.
39. Établir la relation entre la tension de sortie W, et io.
En réalité, la photodiode est assimilable à une source idéale de courant en parallèle avec un
condensateur de capacité ‏ين‎ (figure 8b). Par ailleurs, on tient compte du gain G limité de
l'A.O: VW = Ge. On se place en régime sinusoïdal forcé à la pulsation { et on considère G > 1.
40. Exprimer D en fonction de R7,G, Ca et Q.
41. Quelle est la pulsation de coupure ‏م1؟‎ du montage ?
42. G = 10° et Ca = 10 pF ; la tension de saturation Vu de l’amplificateur opérationnel vaut 15 V
et la valeur maximale de io est 0,01 A. On souhaite être en mesure de récupérer des signaux
de fréquence allant jusqu’à 100 MHz. Proposer une valeur pertinente pour R;.
Quatrième partie : Multiplexage-Démultiplexage
Le multiplexage consiste à faire transiter dans une même fibre optique plusieurs signaux
adressés à des destinataires différents. Dans le cas du multiplexage en longueur d'onde
(WDM, Wave Division Multiplexing), les différents signaux sont transmis par différentes
longueurs d'onde et sont envoyés simultanément.
À la sortie de la fibre, il faut pouvoir séparer les longueurs d’onde afin de faire transiter chaque
information vers son destinataire : c’est le démultiplexage. La solution retenue ici est celle du
réseau de diffraction.
43. Rappels de cours :
(a) Rappeler le principe d'Huygens-Fresnel.
(b) Quelles sont les conditions expérimentales permettant d'observer la diffraction de Fraun-
hofer ?
Épreuve de Physique II 10 / 18 —
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émetteur 1 = À récepteur 1
émetteur 2 == ET RE ‏الك > ووو د اس‎ récepteur 2
sas Fibre optique amet
: D anse ‏تسد‎ coupleur démultiplexeur Xn3 | récepteur 3 ‏ا‎
Figure 9: Principe du multiplexage en longueur d'onde.
. ٠١ . + L
i i it
١ ٠ L
١ ١ ١
ÊÜ ١ +
x b 0 4١
Figure 10: Réseau de diffraction.
On considère un réseau constitué de N miroirs identiques infiniment longs, de largeur ‏ا‎
‎espacés d’une distance b comme l'indique la figure ci-dessous. Chaque miroir est incliné d'un
angle à par rapport au plan (Oxy).
Ce réseau est éclairé sous incidence normale au plan (Oxy) par une onde plane.
On s'intéresse à l'intensité diffractée à l'infini dans la direction du plan (Oxz) formant un angle
i avec les normales aux miroirs.
On considère dans un premier temps que la largeur des miroirs est très petite.
On note 7, l'intensité diffractée à l'infini sous cette hypothèse. La lumière est monochroma-
tique de longueur d'onde À.
44. Exprimer le déphasage © du rayon ayant frappé le centre du k-ième miroir par rapport à celui
ayant frappé le centre du (k+1)-ième miroir en fonction de b, i, ‏ه‎ et \(figure 10).
45. En déduire les directions dans lesquelles on récupère les maxima d'intensité, on exprimera la
relation en faisant intervenir un entier p.
Le réseau est maintenant éclairé avec une lumière polychromatique : les directions des maxima
d'intensité dépendent de ‏بذ‎ le réseau disperse la lumière et on obtient un spectre.
46. Exprimer pis àiet p £ 0 fixés. Comment choisir l’ordre ‏م‎ pour avoir la dispersion la plus
grande possible ?
47. L'’onde incidente contient 3 longueurs d'onde proches : ‏دسا‎ = 1530 nm, Am2 = 1545 nm,
Âm3 = 1560 nm, b = Gum et à = 0.25 rad. Par ailleurs, N est supposé suffisamment grand
pour que l’on puisse considérer qu'il n’y a quasiment pas de lumière récupérée en dehors des
directions déterminées précédemment.
Épreuve de Physique II 11/8 Tournez la page S.V.P.
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(option : physique)
(a) Donner le nombre maximal d'ordre visible.
(b) y-a-t-il recouvrement des ordres 2 et 3?
On tient maintenant compte de la largeur 1 non nulle des miroirs.
Pour comprendre l'effet que cela a sur la figure de diffraction, on revient à une onde
monochromatique de longueur d'onde À.
48. Considérons un seul miroir.
٠ ] ١ 1/2
3 ١ 0
1 ‏ىً‎
Figure 11: Diffraction par un seul miroir.
(a) Montrer que l'intensité 71. diffractée dans la direction i peut s’écrire, à une constante
multiplicative près sous la forme :
. 2 Als js :
Ta = 8116© Ts (sin(i) — sin(a))
(b) Dans quelle direction i a-t-on le maximum de 7, ? Commenter.
On admet que l'intensité ‏و1‎ diffractée par les N miroirs du réseau peut s’écrire : 1. = 1,14.
49. Montrer que l’ordre ‏م‎ coïncide avec le maximum de ‏و7‎ si a vérifie ‏حلم‎ bsin(2a). Expliquer
l'intérêt d’avoir un réseau de miroirs inclinés.
On suppose cette condition vérifiée. De plus, on considère que i et a sont petits.
50. On cherche à isoler l’ordre p le plus élevé possible.
(a) Quelle est la largeur angulaire de la tâche de diffraction ?
(b) En déduire que pour que l’ordre ‏م‎ + 1 coïncide avec une annulation de J4, on doit avoir
On considère à nouveau l'onde incidente polychromatique contenant les trois longueurs
d'onde ‏برضا‎ Am2 et Âm3. On prend b = 6 jm et à = 0,25 rad.
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(option : physique)
51. Calculer l’ordre po isolé. Y-a-t-il recouvrement des spectres ?
52. En s’aidant des questions précédentes, vérifier que le spectre d'ordre ‏وم‎ est visible dans son
intégralité.
53. Pourquoi utilise-t-on un réseau par réflexion plutôt qu'un réseau par transmission ?
Cinquième partie : Analyse documentaire
On demande au candidat de rédiger la conclusion de l’article ci-dessous. Celle-ci ne doit pas
dépasser 20 lignes.
Diffusion d’un faisceau laser par une fibre optique
par Henri GAGNAIRE- Université Jean Monnet - Faculté des Sciences et Techniques 23, rue
du Docteur Paul Michelon, 42023 Saint-Etienne Cedex 2
Une expérience consiste à éclairer une fibre optique dénudée par un faisceau laser perpendic-
ulaire à l’axe de la fibre. La lumière est diffusée dans un plan perpendiculaire à la fibre. Pour in-
terpréter de manière correcte le diagramme de rayonnement obtenu, il faudrait utiliser la méthode
de Mie déduite de la théorie électromagnétique de la lumière. Cette méthode est décrite de manière
sommaire dans [1] et est reprise plus en détail en [2] pour la diffusion de la lumière par une fibre
d'indice uniforme. Elle permet de calculer l'intensité de la lumière diffusée tout autour de la fibre
quand on connaît le diamètre et l'indice de celle-ci. Calculs et expériences sont en excellent accord
[2]. Par contre, il est impossible d'utiliser cette méthode pour faire l'opération inverse c’est-à-dire
connaître les caractéristiques de la fibre à partir du diagramme de rayonnement. Nous allons voir
qu'on peut atteindre ce but avec une théorie beaucoup plus simple, aisément compréhensible par
des étudiants du premier cycle de l’enseignement supérieur.
Diagramme de rayonnement de la fibre
Le diagramme de rayonnement de la fibre est très contrasté lorsque la polarisation du faisceau
incident est parallèle à l’axe de la fibre. Il est symétrique par rapport au faisceau incident et peut
être décomposé arbitrairement en cinq parties. Lorsque l'angle 0 de diffusion par rapport au faisceau
incident augmente de 0 à 180°, on trouve successivement :
e la diffraction du faisceau incident par la fibre (0 > 0 > 10°).
e une alternance de franges sombres et brillantes que nous appellerons phénomène d’interférence
dans la suite et que nous étudierons plus particulièrement (Æ 10° > 0 <& 80°).
e une “accumulation” de lumière lorsque 0 est voisin de 100°. C'est l'équivalent pour une
fibre optique éclairée par une lumière monochromatique du deuxième arc-en-ciel “atmo-
sphérique”.
e une zone où l'intensité diffusée est très faible. C’est l'équivalent de la bande noire d'Alexandre.
e une “accumulation” de lumière lorsque 0 est voisin de 150°. C’est l'équivalent du premier
arc-en-ciel “atmosphérique” [3].
Épreuve de Physique 1 15.f 18 Tournez la page S.V.P.
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Pour appréhender qualitativement le diagramme de rayonnement, phénomène de diffraction exclu,
on peut considérer les différents rayons secondaires issus du même rayon incident (figure 12). Le
nombre de réflexions à l’intérieur de la fibre est limité à deux. Il est facile de calculer la déviation des
différents rayons en fonction de l'angle d'incidence i ou du paramètre d'impact X = sin? du rayon
incident (figure 13). Les déviations des rayons R1 et R2 possèdent des extrema respectivement pour
0 = 153° et 0 ‏ح‎ 1019 (valeurs calculées pour n = 1,457, indice de la silice quand À = 633 nm).
Ces rayons sont donc responsables du premier et du deuxième arc en ciel. De la position de ces
arcs-en-ciel on peut, a priori, déduire l'indice de la fibre [4].
rayon R2 rayon Re
i ‏َك‎
rayon incident N
NF Ke
rayon RI
Figure 12: La figure montre les quatre rayons secondaire issus du même rayon incident.
La figure 13 montre qu'entre 101° et 153°, il n'existe que le rayon réfléchi d’où une assez faible
quantité de lumière diffusée dans cette zone.
Par contre lorsque 0 est inférieur à 80°, il existe deux rayons, l’un À. est réfléchi à la surface de la
fibre, l’autre T est réfracté. Ces deux rayons ne correspondent pas à la même valeur des paramètres
d'impact donc pas au même rayon incident (figure 14). Les ondes partielles associées à ces deux
rayons peuvent interférer à l'infini. Les amplitudes que l’on doit associer à ces ondes partielles
dépendent de la valeur des coefficients de réflexion et de transmission de Fresnel à l'interface fibre-
air. Lorsque le faisceau incident est polarisé parallèlement à l’axe de la fibre, les amplitudes des
deux ondes sont équivalentes [2]. Ceci explique le bon contraste des franges.
جب 18 / 14 ‎Épreuve de Physique II‏
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Figure 13: Déviation des rayons en fonction du paramètre d'impact X sur la fibre.
Épreuve de Physique II 15 / 18 Tournez la page 5.7.1
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‎Figure 14: La figure montre la différence de marche entre les deux rayons R. et T déviés dans la
même direction.
Épreuve de Physique II 16 / 18 —
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La différence de marche géométrique entre les deux ondes s'écrit en fonction de 0 et de n :
ô= Df(n,0)
où D est le diamètre de la fibre et f(n.0) est donnée par :
f(n,0) = sin(0/2) + ‏دي‎ + 1 — 2n cos(0/2)
Le nombre N de franges entre deux angles ‏م0‎ et 01, donnés (0, > 0) est donc tel que :
NA= D{f(n,0m) — f(n,0m)]
Nous avons vérifié que ce nombre N est identique à celui que l’on peut calculer à l’aide de la
méthode de Mie [2]. Par conséquent il est ainsi possible de déterminer le diamètre D de la fibre,
si son indice est connu, en comptant le nombre de franges entre deux angles donnés.
Expérience
Le dispositif expérimental est schématisé sur la figure 15. L'élément principal est un goniomètre
BOUTY utilisé pour déterminer l'angle et l'indice d’un prisme. Pour cette expérience le collimateur
qui permet d'obtenir un faisceau de rayons parallèles et la plateforme qui supporte le prisme ne
sont pas nécessaires. Seuls sont conservés la lunette réglée sur l'infini et le dispositif de mesure des
angles.
hs lunette reglée
Pal 27 a l'infini
1 fibre 1
laser He Ne 8 3 + 7
polariseurs LA ‏بال‎
‎ie #7
goniomètre
Figure 15: Schéma du dispositif expérimental.
L’échantillon de fibre est maintenu dans le mandrin d’une mini perceuse ou plus simplement
avec de la pâte à modeler. Il est éclairé par le faisceau d’un laser Hélium Néon de 2 mW,
perpendiculaire à l’axe de la fibre. Le polariseur P; permet de rendre la polarisation de l'onde
incidente parallèle à l’axe de la fibre. L'orientation du polariseur P, modifie la quantité de lumière
reçue par la lunette. Quand les deux polariseurs sont pratiquement croisés, il est possible d'observer
le phénomène d'interférence sans dommage pour l'œil. L'utilisation de lunettes de protection n’est
pas nécessaire.
Dans un premier temps, on repère l’abscisse angulaire ‏مه‎ du maximum de diffraction qui
correspond à la direction du faisceau incident (ATTENTION : pas de visée directe dans ce cas.
Épreuve de Physique II 17 / 18 Tournez la page 5.7.1
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La valeur de ao peut être déterminée en observant la lumière sur un écran situé après la lunette).
Ensuite on repère les abscisses angulaires ‏مه‎ et ay de deux franges sombres et le nombre N de
franges entre ‏رمه‎ et a. Pour calculer D on utilise la relation précédente dans laquelle 03; = ax — a
et On = Am — 0.
Nous avons étudié une fibre dont le diamètre nominal est 200 ‏.دغر‎ Le nombre de franges entre
On = 18,73 et 0 = 74,68° est 257.
La valeur du diamètre est : D ‏ح‎ 192,7 yum.
L’incertitude relative sur le diamètre est :
AD 5 Af(0m ) + A f (Om)
où À f est l'incertitude sur la fonction f(n.0) due à une incertitude de mesure sur 0 :
A 20 20
En première approximation, la fonction f(n,0) varie linéairement avec 0 entre 20° et 70°. On peut
donc écrire :
fin, 0m) — f(n, 0m) & K(0M — 0m); Af = ‏قد‎
‎où K est une constante.
D'autre part l'expérience montre que l'incertitude de mesure ‏قد‎ sur la position angulaire d'une
frange repérée dans la lunette est de l’ordre du sixième de l’interfrange.
L'interfrange moyen vaut 01 — 0,,/N donc A6 & (015 — 0)/6N.
En définitive, la précision sur le diamètre est approximativement : AD/D ‏نه‎ 1/3N.
Elle est d'autant plus faible que N est grand. Pour la fibre que nous avons étudiée : 5D/D ‏يه‎
‎0,15% et nous pouvons écrire :
D = (192,7 +0,3)um
Le nombre de franges est proportionnel au diamètre de la fibre. Pour éviter une expérience trop
pénible, on peut étudier une fibre utilisée pour les télécommunications dont le diamètre extérieur
est 125 ‏.مر‎ L'indice d’une telle fibre n’est pas uniforme mais la différence d'indice entre le cœur et
la gaine est suffisamment faible pour que les calculs précédents soient valables.
Bibliography
[1] H.C. VAN DE HULST, Light scattering by small particles (1957) New-York : John Wiley.
[2] H. GAGNAIRE, Thèse d’tat (1985) Saint-tienne.
[3] H.M. NUSSENZWEIZ, Scientific American (1977) no 4, p. 116.
[4] H.M. PRESBY, J. Opt. Soc. Am. (1974) : 64 p. 280.
Épreuve de Physique II 18 / 18 FIN
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