نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 1996 (المباراة المغربية المشتركة): الفيزياء الثانية - شعبة MM'/TA لولوج مدارس المهندسين

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Concours Commun Marocain Session : 1996
Options : MM'-TA Epreuve de Physique IT Durée : 4h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est
amené à prendre.
Des points sont attribués chaque fois qu'un énoncé de théorème ou une définition sont exigés.
Une phrase ou deux sont donc demandée(s) au candidat, le correcteur ne pouvant se contenter
d'une formule comme réponse à ce genre de question.
MECANIQUE
Les parties A et B sont indépendantes
Partie A
Une tige cylindrique, rigide homogène de masse m, de longueur L, est considérée comme filiforme
(r, rayon de son cercle de base est tel que r<<L). Elle se déplace dans le plan vertical des figures.
‏1ط‎ . Donner l'expression de son moment d'inertie par rapport :
a) à un axe qui lui est orthogonal passant par son centre d'inertie ;
b) à un axe qui lui est orthogonal passant par une de ses extrémités.
‏.2ط‎ L'extrémité A de cette tige AB repose sur un plan horizontal sans frottement. La tige est placée
initialement verticalement. On la lâche et cet équilibre instable est détruit, si bien qu'à un instant
ultérieur t, AB fait un angle 8 avec l'horizontal Ax (figure 1).
a) Que pouvez-vous dire de la direction et du sens de la force exercée par le sol sur l'extrémité A de la
Figure 1
tige ?
b) Préciser le mouvement de son centre d'inertie G.
À.3. La tige AB est posée en son milieu © sur un support (genre “couteau” de balance ) dont l'arête
horizontale Oz est perpendiculaire au plan de la figure 2.
On désigne par f le coefficient de frottement entre la tige et le support.
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‏جرس الل‎ ———— mm mm
Figure 2
a) Soient T et N les composantes tangentielle et normale de l'action en O du support sur la tige.
Exprimer les en fonction de 6, m et ‏ع‎ en supposant qu'il n'y a pas de glissement en 0.
b) Enoncer la loi de frottement de Coulomb et donner la valeur 6; de 6 à partir de laquelle la tige
glisse.
c) Si on communique à la tige AB une vitesse angulaire initiale @, à partir de la position initiale 65=0,
comment évolue 8 au cours du temps avant que le glissement commence ?
Partie B
Une tige (T) filiforme de longueur OB=2L est formée par deux tiges homogènes (T.) et (T2) similaires
à la tige précédente, de même longueur OA=AB=L et de masses respectives m, et m2=Smi. Elles sont
soudées en A dans le prolongement l'une de l'autre. Soit M=-6m; sa masse totale. (T) est mobile sans
frottement dans le plan xOy vertical autour d'une articulation parfaite d'axe 22 passant par l'extrémité 0
(figure 3). Le champ de pesanteur g est dirigé selon Ox vertical : g=gi.
1 ï J
Figure 3
Le mouvement est étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen. La position est définie par
l'angle ‏)حو‎ 0« ,0B). Les grandeurs vectorielles seront exprimées dans la base mobile (L,J, K=k ), 1 étant
le vecteur unitaire de OB et k celui de Oz (voir figure 3).
B.1. Détermination des éléments d'inertie et cinétiques de (T)
B.1.1. Soit G le centre de masse de (T). On pose : ‏اداح‎ Trouver la valeur numérique de ©.
B.1.2. Soit JA le moment d'inertie de (T) par rapport à À axe z'Oz. On pose Ja=BML”.
Trouver la valeur numérique de f.
Trouver également le moment d'inertie ‏ل‎ par rapport à l'axe Ac passant par G et parallèle à
202:
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Par la suite on appelle ‏'"معتصفاقصف"‎ : M, L, ‏ع‎ 0 et B ; et ‘'variables"' 6, les dérivées première d et
seconde Fa par rapport au temps.
B.1.3. Exprimer pour (T) en fonction des constantes et des variables :
a) la résultante cinétique P et sa dérivée _ (dans la base Ï 4 1 K),
5 à : | ‏لل‎
‎b) le moment cinétique scalaire LA par rapport à A et TE
c) l'énergie cinétique E,,
d) l'énergie potentielle de pesanteur ‏مط‎ (E,=0 pour 8—0).
B.2. Equation du mouvement de la tige
La tige est abandonnée sans vitesse d'une position 8(0)=64.
B.2.1. Enoncer le théorème du moment cinétique puis l'appliquer et en déduire l'équation (D) liant
—— à 6 et aux constantes.
B.2.2. Enoncer le théorème de l'énergie cinétique (ou un théorème équivalent) puis l'appliquer et en
déduire une équation liant ol à 6 et aux constantes. Retrouver l'équation du mouvement.
B.3. Calcul de la réaction d'axe
B.3.1. Enoncer le théorème du centre de masse (ou théorème de la résultante cinétique), l'appliquer à
la tige, et en déduire, en fonction de 0 seulement et des constantes, les composantes (Rx,Ry) sur
(1,7 ,K) de la résultante des forces de liaison qu'exerce l'articulation sur la tige.
B.3.2. Calculer numériquement ces composantes quand 6 = 5 puis 0-0. On prendra : 60= ;
M=12 kg ; L=1 m ; g=9,8 ms? ; a = 3% ‏م‎
‎3.4. Calcul de la contrainte à la soudure des tiges
On veut évaluer le système des forces intérieures qu'exerce au cours du mouvement la tige T; sur
la tige 17 à l'endroit de la soudure, en A.
Cette action sera représentée par une force T =T, I +T, J appliquée en A et un couple de moment
1 suivant le vecteur K=k.
Suivant une démarche analogue à la précédente, mais appliquée à la tige 15 seule :
B.4.1. Appliquer le théorème de la résultante cinétique à la tige 12 :
B.4.2. Appliquer le théorème du moment cinétique par rapport à un axe parallèle à A, passant par un
point que l'on précisera ;
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3.4.3. Déterminer 1:.)0( et Ty(0) ;
B.4.4. Déterminer I'(0) ;
B.4.5. Calculer les valeurs maximales prises par [TX et [T;|, et comparer au poids mg de T2.
B.4.6. La soudure casse si ||T|| dépasse la limite de rupture supposées égale à 4mg ; se produit-elle
pendant le mouvement ? 51 oui, à quel endroit ?
THERMODYNAMIQUE
1 16-1
Figure 1
Le système étudié est une tige métallique OA horizontal, homogène, de masse m, fixée en O (figure 1).
Le travail des forces de pression extérieure, exercées par l'air ambiant, sera supposé négligeable.
La tige est soumise à son extrémité A à une force F de direction OA. La force F est soit de traction,
soit de compression.
Sur l'axe Ox, parallèle à OA, d'origine 0, le sens positif est défini par le vecteur unitaire 1 de 0 vers
A. On pose F=Fi.Pour F=0, à la température To, la longueur de la tige est Lo. Pour une force F, à la
température T, la longueur à l'équilibre est L.
On suppose que dans un certain domaine de F et de T l'équation d'état de la tige est donnée par la
relation linéaire approchée :
L=Lo[I+AT-To)+UF].
On suppose que les coefficients À et 1 sont constants (indépendants de T et F).
Pour une transformation élémentaire quasi-statique, la chaleur 690, reçue par la tige peut se mettre sous
l'une des formes différentielles suivantes :
ÊQ.=CLAT+AdL ou 8Q.=CFdT+BdE.
CL et A étant, a priori, fonctions des variables indépendantes T et L ; CF et B, fonctions des variables
indépendantes T et F.
Données : m=0,05 kg ; À=1,4 107 1 ; p=1,5 10 ° N°! ; Lo=2,0 m ; à To=273 K, la chaleur massique à
longueur constante vaut c=460 J. K” kg L
1.1. Donner une signification physique, ainsi que la nature intensive ou extensive des constantes
À, ‏من بلا‎ Cr, À et B ; donner une unité pour les quatre derniers coefficients.
1.2. Donner l'expression du travail algébrique élémentaire ÔW,, reçu par la tige lors de cette
transformation.
1.3. En utilisant les variables indépendantes T et L, écrire les expressions différentielles dU et dS de
l'énergie interne et de l'entropie de la tige.
‎1.4. Montrer que À = T— et que C4 est indépendant de L.
1.5. Exprimer CL en fonction de m et c, puis la différence ‏براحن‎ en fonction ‏يبنا م067‎ LoetT.
Application numérique : Calculer CL et Cr-CL à To=273 K et conclure.
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Par la suite on supposera que Cr et CL ne dépendent pas de 1
1.6. Etablir les expressions des fonctions énergie interne U(T,L) et entropie S(T,L) à des constantes près.
1.7. Montrer qu'on peut déduire les expressions approchées suivantes, pour T voisin ‏عل‎ 1:
U(T,F) = CRT + à ‏“مكنا‎ +ALFT +constante,
5)1.,( ‏ماح‎ 7 +AL,F +constante.
2. En utilisant les variables indépendantes T et F, et en introduisant une fonction enthalpie définie par
H=U-FL, établir de même que B=ALOT et que Cr est indépendant de F. Retrouver les expressions de
U(T:F) ét STE).
3.1. La tige est soumise à une force de traction F,=1500 N, sa température est To=—273 K. Quelle est à
l'équilibre la variation ‏ملحا‎ 7 Faire l'application numérique.
3.2. On diminue progressivement la force de 1 à O, la transformation étant supposée quasi-statique et
adiabatique. La température finale est 1 et la longueur ‏.ما‎ Calculer 12-10 et ‏.مما‎ Faire
l'application numérique.
3.3. À partir du même état initial (To,L1,F,), on annule brutalement la force appliquée, la tige étant en
contact de l'air ambiant à la température Tç—273 ‏.كا‎ Deux phases se succèdent alors :
-au cours de la première phase, brève, l'échange thermique avec le milieu ambiant est
négligeable, la longueur passant de ‏ما‎ à L; et la température de ‏و1‎ à T; ;
- au cours d'une deuxième phase, l'équilibre thermique se réalise et la longueur revient à Lo.
On admettra qu'à tout instant de la transformation, la température T de la tige reste uniforme et que
l'équation d'état reste applicable.
a) Calculer T;-T, et L3-L. Faire l'application numérique.
b) Calculer la quantité de chaleur reçue par la tige au cours de la transformation. Faire l'application
numérique.
c) Calculer la variation d'entropie de l'univers {tige+milieu ambiant}
4. On se propose d'étudier la courbe donnant F en fonction de AL=L-L, à température de la tige constante
‎F=f(AL) représentée figure 2 :‏
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‎E,‏ رلا ا ع ايه مره اه ري ريه اه ره ره مره ‎Fr EEE EE‏
‎Rupture‏
‎LL,‏ 5
‎Figure 2‏
- la loi linéaire précédente est valable dans le domaine [0,FE],
- dans le domaine [F£,FR], d'une part la relation n'est plus linéaire et d'autre part, si, après avoir
augmenté la force de 0 à une valeur F? du domaine [F£,FR], on diminue ensuite progressivement la
force, le point représentant l'état de la tige décrit la droite ‏.0ط‎ A partir de 0 par un nouvel
accroissement de F, on peut atteindre P et décrire ensuite PER. En ER la tige se rompt.
4.1. Supposons qu'on exerce, à température de la tige constante, une force F<F5. La transformation est-
elle réversible ? Justifier la réponse.
a) Que représente OO" ?
b) La transformation OEPO' est-elle réversible 7 la transformation PO" l'est-elle ? Peut-on parler de
transformation quasi-statique de E en P ? Justifier chaque réponse par un commentaire.
4.3. Peut-on toujours définir une équation d'état pour le fil ?
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