نموذج مباراة ولوج السنة الأولى بالمدرسة الحسنية للأشغال العمومية EHTP 2024 - الرياضيات
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باختصار
هذا نموذج امتحان كتابي سابق لمباراة طالب مهندس - السنة الأولى لدى المدرسة الحسنية للأشغال العمومية (11/07/2024)، منشور على وظيفة إنفو للاطلاع والتحميل المجاني بصيغة PDF مع تصحيح مقترح.
- الجهة المنظمة
- المدرسة الحسنية للأشغال العمومية
- الدرجة
- طالب مهندس - السنة الأولى
- التخصص
- الرياضيات
- الدورة
- 11/07/2024
- عدد الصفحات
- 4
- لغة الأسئلة
- الفرنسية
- التصحيح
- تصحيح مقترح متوفر في هذه الصفحة
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Ecole Hassania des Travaux Publles_ 2023-2024
Concours d'Accès en Première Année
Epreuve de Mathématiques
11/07/2024 à 09h
Durée:3h
L'usage de caleulatrices ost interdit
- Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend quatre pages.
- Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédnetion (les copies illisibles ots mal
présentées seront pénalisées).
- Si un candidat çst amené à repérer ce qui peut Jui sernbler être une erreur d'énoncé, il Je signalera sur
sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il م été amené à
prendre.
- Le sujet comporte deux parties indépendantes.
PARTIE 1
« Notations
Pour tout nombre réel لما ع que l'intégrale généralisée [= ال اعم converge, on note g(x) ذا valeur
de cette intégrale,
Pour tout entier naturel non nul m tel que l'intégrale généralisée p” Len بن converge, on désigne par
Jun sa valeur.
On désigne par ف (respectivement 4} ما fonelion définie sur [0: +.50| par g(t) = 1—1+008(8) (respectivement
Ut) = $ = 1 + cos(1)).
L Etude des fonctions 6 et Y.
1. Etudier la fonction Ÿ, en déduire qu'il existe يتنا uombre rétl ى tel que, pour tout nombue réel 2
strictement positif, on ait l'inégalité : 0 > = < a.
2. Etudier la fonction ,ل en déduire qu'il existe un nombre réel 8 tel que, pour tout nombre réel ?
‘strictement positif, on ait l'inégalité : و > !=SA > s.]
11. Existence de la fonction و sur [0; +ccl.
1. Etablir la convergence de l'intégrale généralisée نمطا “ايز
9. En déduire que gr) existe pour tout x appartenant à (0; +co].
co بس كي م ب ع م ,ب د نت تا
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Ecole Hnssanin des Travaux Publles er 3
111. Limite de ها fonction و en +00.
1. Préciser le sigma de p(x1) — 9x2) pour 0 > ده > ra, En déduire que In fonction و admet une limite
finlo À en +00.
2. Déterminer la vnlour de À.
IV. Carnetèro C} do In fonction 9.
1. Monttar que la fonction و est continue sur [0; 4-cef.
2. Montrer que la fonction و est de lasse © nur ]0; +oof,
3. Montrer que la fonction 'و admet uno limite finie (que l'on précisera) en +00.
4. Montrer que la fonction و est de classe C2 sur 10; +.
5. Expliciter 9"(+) pour sppartonant à ]0:-+oo. |
6. Expliciter 9’(x) pour z appartenant à 0; “ol. La fonction و est-elle dérivable en جو
V. Expression explicite de fonction g(x).
1. Déterminer la limite ب عل ( lorsque x tend vers +00.
2. Expliciter une primitive de la fonction : جع In(x? + 1).
3. Expliciter g(x) pour x appartenant à ]0; +ool.
4. Déterminer g(0).
VI Etude de ff En" qe.
Justifier la convergence de l'intégrale généralisée "اقلمما نم ge pour tout entier naturel non nul m.
Pour tout entier relatif & tel que l'intégrale généralisée ا dt converge, on note /4 la valeur de cette
intégrale.
VIT. Etude de J;.
Justifier l'existence de J1 et établir une relation entre Ji et 9(0).
1/111. Etude de l'existence de .ل
Préciser la nature de l'intégrale généralisée 14 selon la valeur de l'entier relatif k.
IX. Etude de la nature de مل
Pour tout x appartenant à [£; oo et tout entier relatif k, on note J4(x) = £ dt.
1. Exprimer, pour tout entier naturel non nul m et pour tout nombre réel ع appartenant à [5:+<l,
l'intégrale [5 MM qe à l'aide des intégrales J4(x).
2. En déduire l'existence de Ja,+1 pour Lout entier naturel p.
3. Quelle est le nature de l'intégrale généralisée J°* Lino? بن pour م entier naturel] non nul?
a —_—_ eZ. _ à
Ecole Hassania des Travaux ماتاشيط am
PARTIE II
Notations
On désigne par R l'ensemble des nombres réels, par N l'euseinble des nombres entiers naturrls et pas 0
l'ensemble des nombres rationnels. On note N° l'ensemble N — {0}. Etant donné un entier naturel not nu
n. on note {1,2,--. ,n] l'ensemble des entiers naturels ©: tels que 1 £ k£n.
Pour n entier naturel non nul, on note AA (R){respectivement M,,1(R)) l'espace vectoriel des matrice
carrées à n lignes (respectivement l'espace vectoriel des matrices colonnes à n lignes) à coefficients dans
Etant donné une matrice À, la notation À = (ai) signifie que a, est le coefficient de In ligne i et de là
colonne j de la matrice A.
On note Z, la matrice unité de A, (R) c'est-à-dire, telle que Z, = (a:ÿ) avec :
Pour tout ئئه بأ = 1 et pour tout i # 7, ريه = 0.
On note مل la matrice carrée de M,(R) dont tous les cuefficients sont égaux à 1 et K, la matrice colonne
dc Mna(R) dont tous les cocfficients sont égaux à 1. ب
L'espace vectoriel R° اكه rapporté à la base canonique (e1,62. تت ,en).
Soient n et a des nombres entiers tels que 2 > o <n—1.
On dit qu'une matrice Af = (m;5) € M, (R) vétifio la propriété (P) lorsqu'elle vérifie les quatre conditions
3 suivantes :
1. M est symétrique.
2. Pour tout i € {1,2,---.n}, m4 = 0.
3. Chaque ligue de كا comporte ه cocflicients égaux à 1 et n —e cocfficients égaux à 0.
.ل Pour tout (i,3) € {1,2,-+. ,n} x (1,2, ,n} avec رض le coefficient ms; = 0, si et seulement si,
il existe un entier k € {1,2,:-- ل( tel que my = ررد = 1. L'entier 4 est alors unique.
On pourra utiliser sans justification une conséquence de Ja propriété (P) :
Si mij = 1, alors pour tout entier kE{1,2,--: ,n}, on a le produit بريد = 0.
Soit M = (miÿ) > MAR). On suppose que In matrice كا vérifie la propriété (P).
1. Expression de M?. On note 173 (a;;)
1. Pour £€ {1,2,---,n}, calculer les coefficients ais.
2. Pour G,5)€{1,2,::-,n) x {1,2,--- ,n} avec à رك déterminer le coefficient a;; selon ها valeur de
776
3. Montrer que M? = J, — M + رولف où d est un nombre entier que l'on déterminera.
Dans la suite, on note f (respectivement #) l'endomorphisme de ,ال de matrice M (respectivement de
matrice J,), relativement à la base canonique (e1,e2,--: .e.) de .تلت On note id l'endomorphisme identité
Ecole Hassania des Travaux Publics 2023-2024
de لج
Soit ٠ le vecteur de R° dont ما matrice colonne des coordonnées relativement à la base canonique de R"
est Kn.
11. Relation entre n ot a.
1. Déterminer 771 ,(ف) l'image de l'application linéaire نت
2. Soit u un vecteur du noyau de f — aid. En calculant (fof)(u), montrer que u est colinéaire à w.
3. Montrer que 6 est une valeur propre de f et déterminer le sous-espace propre correspondant.
4. Déduire des questions précédentes, l'égalité n = a? + 1.
JIL. Valeurs propres de f.
Dans la suite, À est une valeur propre de f avec À # 6 ct w = Liu tie un vecteur propre de / associé à
la valeur propre À.
1. dustifer l'afirmntion : il existe une base de R° formée عل vecteurs propres de f.
2. Justifier l'égalité D, بع = 0. Que veut dy?
3. Montrer que À est racine de l'équation (E):r2+2+1-0=0.
4. On noto a et b les deux racines de l'équation (E). On suppose qu'une seule de ces racines est valeur
propre de f, par exemple .م En utilisant ln trace de l'endomorphisme f, exprimer » en fonction de
©. En déduire une impossibilité.
Les deux racines a et b de l'équation (E) sont donc des valeurs propres de f. Dans la suite. on suppose
IV. Relation portant sur r, s, a, bet o.
On note r la dimension du noyau de / - a id et م la dimension du noyau de f — b id.
1. Exprimer (a — b)? en fonction de x.
: es r s\/fa 1 2
2. Exprimer le produit matriciel en fonction عل ©.
1 1) \b 1
3. En déduire (r — s)(a — b) en fonction de o.
4. Pour quelle valeur de a a-t-on r = s? Que valent alors r et تي
V. On caractérise In matrice Af par une matrice diagonale semblable à M, et on suppose que a — b 6 ©.
1. Montrer que r = s. En déduire s et n.
2. Déterminer a et b et donner une matrice diagonale semblable à Af.
co FIN se
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التصحيح المقترح
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Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'accès en première année de l'École Hassania des Travaux Publics (EHTP), année 2023-2024, passée le 11/07/2024 à 9h. Durée : 3 heures, calculatrice interdite. Le sujet comporte deux parties indépendantes : une partie d'analyse (intégrale à paramètre g(x) = ∫0+∞ (1 − cos t)/t² · e−xt dt et intégrales de Dirichlet) et une partie d'algèbre linéaire (matrice d'adjacence vérifiant M² = J − M + (σ − 1)I).
💡 Les deux parties sont classiques : la première aboutit à ∫0+∞ sin t / t dt = π/2, la seconde est le théorème de Hoffman–Singleton (cas σ = 2 : le pentagone). Rédigez soigneusement les hypothèses de domination : c'est là que se jouent la plupart des points de la partie I.
PARTIE I
I. Étude des fonctions φ et ψ
1. φ(t) = t − 1 + cos t, φ'(t) = 1 − sin t ≥ 0, donc φ est croissante sur [0 ; +∞[ et φ(t) ≥ φ(0) = 0. Ainsi 1 − cos t ≤ t, et comme 1 − cos t ≥ 0, pour t > 0 : 0 ≤ (1 − cos t)/t ≤ 1. On peut prendre α = 1.
2. ψ(t) = t²/2 − 1 + cos t, ψ'(t) = t − sin t ≥ 0 (car sin t ≤ t pour t ≥ 0), donc ψ(t) ≥ ψ(0) = 0, soit 1 − cos t ≤ t²/2. Pour t > 0 : 0 ≤ (1 − cos t)/t² ≤ 1/2, β = 1/2.
II. Existence de g sur [0 ; +∞[
1. h(t) = (1 − cos t)/t² est continue et positive sur ]0 ; +∞[. En 0 : 0 ≤ h ≤ 1/2, h est bornée (elle se prolonge par continuité avec h(0) = 1/2). En +∞ : 0 ≤ h(t) ≤ 2/t², intégrable sur [1 ; +∞[ (Riemann, exposant 2 > 1). Donc ∫0+∞ h converge.
2. Pour x ≥ 0 et t > 0 : 0 ≤ h(t)e−xt ≤ h(t). Par comparaison de fonctions positives, l'intégrale converge : g(x) existe pour tout x ≥ 0.
III. Limite de g en +∞
1. Si 0 ≤ x1 ≤ x2, alors e−x1t ≥ e−x2t, donc g(x1) − g(x2) = ∫ h(t)(e−x1t − e−x2t) dt ≥ 0. g est décroissante et minorée par 0 : elle admet une limite finie λ ≥ 0 en +∞.
2. Pour x > 0 : 0 ≤ g(x) ≤ ∫0+∞ (1/2)e−xt dt = 1/(2x) → 0. Donc λ = 0.
IV. Caractère Ck de g
1. F(x, t) = h(t)e−xt est continue en x pour tout t, et |F(x, t)| ≤ h(t), intégrable et indépendante de x. Par le théorème de continuité des intégrales à paramètre (domination), g est continue sur [0 ; +∞[.
2. ∂F/∂x (x, t) = −(1 − cos t)/t · e−xt. Sur [a ; +∞[ avec a > 0 : |∂F/∂x| ≤ α e−at = e−at, intégrable. Par le théorème de dérivation sous le signe intégral, g est C1 sur [a ; +∞[ pour tout a > 0, donc sur ]0 ; +∞[, et g'(x) = −∫0+∞ (1 − cos t)/t · e−xt dt.
3. |g'(x)| ≤ ∫0+∞ e−xt dt = 1/x → 0 : lim+∞ g' = 0.
4. ∂²F/∂x² = (1 − cos t)e−xt, majorée sur [a ; +∞[ par 2e−at, intégrable : g est C2 sur ]0 ; +∞[ et g''(x) = ∫0+∞ (1 − cos t)e−xt dt.
5. ∫0+∞ e−xt dt = 1/x et ∫0+∞ cos t · e−xt dt = Re ∫ e(−x+i)t dt = Re 1/(x − i) = x/(x² + 1). Donc
g''(x) = 1/x − x/(x² + 1) = 1/(x(x² + 1)).
6. Une primitive de 1/(u(u² + 1)) est ln u − ½ ln(u² + 1) = ½ ln(u²/(u² + 1)), qui tend vers 0 en +∞. Comme g'(+∞) = 0 : g'(x) = −∫x+∞ g''(u) du, soit
g'(x) = ½ ln(x²/(x² + 1)) pour x > 0.
Quand x → 0+, g'(x) → −∞. g étant continue sur [0 ; x] et dérivable sur ]0 ; x[, le théorème des accroissements finis donne (g(x) − g(0))/x = g'(cx) avec 0 < cx < x, qui tend vers −∞. g n'est pas dérivable en 0 (tangente verticale).
V. Expression explicite de g
1. x ln(x²/(x² + 1)) = −x ln(1 + 1/x²) ~ −x · 1/x² = −1/x → 0.
2. Par parties (u = ln(x² + 1), v' = 1) : ∫ ln(x² + 1) dx = x ln(x² + 1) − ∫ 2x²/(x² + 1) dx = x ln(x² + 1) − 2x + 2 arctan x (+ C).
3. g'(u) = ln u − ½ ln(u² + 1). Une primitive est G(u) = (u ln u − u) − ½(u ln(u² + 1) − 2u + 2 arctan u) = ½ u ln(u²/(u² + 1)) − arctan u. D'après V.1, G(u) → −π/2 en +∞. Comme g(+∞) = 0 :
g(x) = G(x) − lim+∞ G, soit g(x) = ½ x ln(x²/(x² + 1)) + π/2 − arctan x pour x > 0.
(Contrôle : pour x grand, g(x) ≈ −1/(2x) + 1/x = 1/(2x), cohérent avec III.2.)
4. Par continuité de g en 0 et x ln x → 0 : g(0) = π/2.
VI. Étude de ∫0π/2 [sin t]m/t dt
Sur ]0 ; π/2], la fonction est continue ; en 0, sinmt / t ~ tm−1, qui tend vers 1 (m = 1) ou 0 (m ≥ 2). Elle se prolonge par continuité en 0 : l'intégrale converge pour tout m ≥ 1.
VII. Étude de J1
Sur [ε ; X], par parties avec u = 1/t, v = 1 − cos t (dont la dérivée est sin t) :
∫εX sin t / t dt = [(1 − cos t)/t]εX + ∫εX (1 − cos t)/t² dt.
(1 − cos X)/X → 0 quand X → +∞ (car ≤ 2/X) et (1 − cos ε)/ε → 0 quand ε → 0 (car ≤ ε/2). Le dernier terme converge vers g(0). Donc J1 existe et J1 = g(0) = π/2.
VIII. Existence de Ik
- k = 0 : I0 = ∫π/2+∞ dt/t diverge (Riemann, exposant 1).
- k ≠ 0 : par parties, ∫π/2X eikt/t dt = [eikt/(ikt)]π/2X + (1/ik) ∫π/2X eikt/t² dt. Le crochet a une limite (le terme en X est majoré par 1/(|k|X)) et la dernière intégrale converge absolument (|·| ≤ 1/t²). Ik converge si et seulement si k ≠ 0.
IX. Nature de Jm
1. sin t = (eit − e−it)/(2i), et par la formule du binôme :
(sin t)m = (1/(2i)m) Σj=0m C(m, j)(−1)m−j ei(2j−m)t, d'où
∫π/2x (sin t)m/t dt = (1/(2i)m) Σj=0m (−1)m−j C(m, j) I2j−m(x).
2. Si m = 2p + 1 est impair, 2j − m est impair donc jamais nul : chaque I2j−m(x) a une limite finie quand x → +∞ (VIII). Avec VI (partie sur [0 ; π/2]), J2p+1 existe.
3. Si m = 2p, le terme j = p donne k = 0, de coefficient (−1)pC(2p, p)/(2i)2p = C(2p, p)/4p > 0, multiplié par I0(x) = ln(2x/π) → +∞ ; tous les autres termes convergent. Donc ∫0+∞ (sin t)2p/t dt diverge (vers +∞).
PARTIE II
Rappel utile : (M²)ij = Σk mikmkj = nombre d'indices k tels que mik = mjk = 1 (M est symétrique à coefficients 0/1).
I. Expression de M²
1. aii = Σk mik² = Σk mik = σ (chaque ligne a σ coefficients égaux à 1).
2. Pour i ≠ j : si mij = 1, tous les produits mikmjk sont nuls, donc aij = 0 ; si mij = 0, il existe un unique k avec mik = mjk = 1, donc aij = 1. En résumé aij = 1 − mij.
3. Hors diagonale, (Jn − M + dIn)ij = 1 − mij = aij ; sur la diagonale, 1 − 0 + d doit valoir σ, d'où d = σ − 1 et M² = Jn − M + (σ − 1)In, soit f² = φ − f + (σ − 1)id.
II. Relation entre n et σ
1. Toutes les colonnes de Jn sont égales à Kn : Im(φ) = Vect(v) (rang 1). Plus précisément φ(x) = (Σ xi) v.
2. Si f(u) = σu, alors (f∘f)(u) = σ²u. Mais f² = φ − f + (σ − 1)id, donc σ²u = φ(u) − σu + (σ − 1)u, soit φ(u) = (σ² + 1)u. Comme σ² + 1 ≠ 0, u = φ(u)/(σ² + 1) ∈ Im φ = Vect(v) : u est colinéaire à v.
3. MKn a pour coefficients les sommes des lignes de M, toutes égales à σ : f(v) = σv avec v ≠ 0. σ est valeur propre et, d'après 2, ker(f − σ id) = Vect(v).
4. Appliquons 2 à u = v : φ(v) = (σ² + 1)v. Or JnKn = nKn, soit φ(v) = nv. Donc n = σ² + 1.
III. Valeurs propres de f
1. M est réelle symétrique : par le théorème spectral, elle est diagonalisable dans une base orthonormée de vecteurs propres.
2. Des vecteurs propres d'une matrice symétrique associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux : w ⟂ v, soit Σ xi = 0. Alors φ(w) = (Σ xi)v = 0.
3. f²(w) = λ²w et f²(w) = φ(w) − f(w) + (σ − 1)w = (−λ + σ − 1)w. Comme w ≠ 0 : λ² + λ + 1 − σ = 0.
4. Si seule a était valeur propre (en plus de σ, de multiplicité 1 d'après II.3 et la diagonalisabilité), a serait de multiplicité n − 1 = σ². La trace de M est nulle (diagonale nulle) : σ + σ²a = 0, donc a = −1/σ. En reportant dans (E) : 1/σ² − 1/σ + 1 − σ = 0, soit 1 − σ + σ² − σ³ = 0, c'est-à-dire (1 − σ)(1 + σ²) = 0, donc σ = 1 : impossible puisque σ ≥ 2.
IV. Relation entre r, s, a, b et σ
On a a + b = −1, ab = 1 − σ ; M étant diagonalisable, 1 + r + s = n, donc r + s = σ² ; la trace donne σ + ra + sb = 0.
1. (a − b)² = (a + b)² − 4ab = 1 − 4(1 − σ) = 4σ − 3.
2. (r s ; 1 1)·(a 1 ; b 1) = (ra + sb, r + s ; a + b, 2) = (−σ, σ² ; −1, 2).
3. En prenant les déterminants : (r − s)(a − b) = −2σ + σ², soit (r − s)(a − b) = σ(σ − 2).
4. Comme a ≠ b, r = s ⇔ σ(σ − 2) = 0 ⇔ σ = 2 (σ ≥ 2). Alors r = s = σ²/2 = 2.
V. Cas a − b ∉ ℚ
1. Si r ≠ s, alors a − b = σ(σ − 2)/(r − s) serait rationnel : contradiction. Donc r = s, puis d'après IV.4 σ = 2 et n = σ² + 1 = 5. (On vérifie : a − b = √5 ∉ ℚ.)
2. a et b sont les racines de x² + x − 1 = 0 : a = (−1 + √5)/2, b = (−1 − √5)/2. M est semblable à
D = diag(2, (−1 + √5)/2, (−1 + √5)/2, (−1 − √5)/2, (−1 − √5)/2).
(Exemple : la matrice d'adjacence du pentagone vérifie (P) et a exactement ce spectre.)
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