نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2010: الفيزياء - شعبة BCPST لولوج مدارس المهندسين

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ROYAUME DU MAROC
Ministère de l'Éducation Nationale, de l'Enseignement Supérieur,
de la Formation des Cadres et de la Recherche Scientifique
Présidence du Concours National Commun
Ecole Supérieure des Industries du Textile et de l’Habillement
ESITH
Concours National Commun d'admission
aux Grandes Ecoles d'Ingénieurs ou assimilées
Session 2010
ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière BCPST
Durée 3 heures
Cette épreuve comporte 5 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est autorisé
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Concours National Commun - Session 2010 - Filière BCPST
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages.
L'usage de la calculatrice est autorisé.
On veillera à une présentation claire et soignée des copies. Il convient en particulier de rappeler avec
précision les des questions abordées.
Energie éolienne
Dans le cadre du développement durable, on s'intéresse à la création de petites unités de
production électrique à partir d'énergies renouvelables. On se propose ici d'étudier quelques
aspects de fonctionnement d’une éolienne de petite ou moyenne puissance, destinée à alimenter
des sites isolés. Le problème est composé de deux parties largement indépendantes. La première
partie traite la mise en rotation de l’hélice de l’éolienne par un transfert d'énergie cinétique du vent.
Dans la deuxième partie, on s'intéresse à la conversion de l'énergie mécanique de l’éolienne en
énergie électrique.
Dans les applications numériques, qui ne doivent pas être négligées, une attention particulière
sera prêtée au nombre de chiffres à utiliser pour afficher les résultats. Ce nombre, qui dépend en
général du niveau de précision recherché, ne doit en aucun cas dépasser le nombre de chiffres
significatifs permis par les données. La valeur numérique de toute grandeur physique doit être
accompagnée de son unité dans le système international des unités (SI).
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa
copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
1 partie
Transfert de puissance de l’air à l’éolienne
On s'intéresse dans cette partie à un écoulement axial de l'air autour de l’hélice d’une éolienne
(voir figure 1) en faisant les hypothèses suivantes :
e L'air est considéré comme un fluide parfait, homogène et incompressible de masse volumique
‎en écoulement dans un référentiel R lié au sol et supposé galiléen.‏ ,ملا
‎e On suppose l'écoulement de l’air stationnaire et à symétrie de révolution autour de l’axe de
‎rotation de l’hélice.
‎e La pression garde la même valeur sur une section droite du tube de courant. A grande distance
‎de l’hélice, la pression est uniforme et égale à la pression atmosphérique notée po.
‎e Les sections S1 et ‏وري‎ du tube de courant au niveau de l’hélice sont égales à S'(S4 = Sy = ٠
‎On note p1 la pression sur SA et ‏ورم‎ sur Sg.
° l'écoulement étant turbulent au niveau de l’hélice, on admet pour simplifier que la vitesse Ÿ
de l'air est la même entre S1 et ‏.رقص‎
‎1.1. Étude préliminaire de l’écoulement
‎111. Définir le débit massique et le débit volumique d’un fluide à travers une surface ‏.ند‎
‎112. Rappeler la loi de conservation de la masse.
‎Épreuve de Physique 1/5 Tournez la page S.V.P.
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—_———"û"#" û ااثنثن‎ +
Figure 1: Écoulement axial de l’air autour d’une hélice.
1.13. Écrireles expressions des débits massiques D,, ‏ول‎ et ‏ملل‎ de l'air à travers les sections
S1, 5 et 52 respectivement du tube de courant de la figure 1.
11.4. Montrer que ces débits massiques sont égaux : ‏م10 = نم10‎ = 7.
1.15. On note ‏زر‎ w et v les modules des vecteurs vitesses ‏رد‎ V2 et Ÿ respectivement. En
déduire deux relations entre ‏رق رو ررق‎ vi, vo et v.
1.16. Dans le cas d’un écoulement stationnaire, homogène et incompressible d'un fluide
parfait, BERNOULLI a établi la relation :
Que représente cette relation ? Quelle est la signification physique de chacun des trois termes ?
Par la suite, on néglige les effets de la pesanteur.
1.2. Force exercée par l’air sur l’hélice
12.1. Écrire la relation de BERNOULLI suivant une ligne de courant entre les sections S1 et ‏رض‎
‎d’une part et entre les sections SZ et ‏وى‎ d'autre part. En déduire l'expression de la pression ‏رم‎ en
fonction de po, ‏,نا‎ v1 et v, puis celle de ‏ورم‎ en fonction de po, 4, ‏ون‎ et v.
1.2.2. Écrire l'expression de la force F exercée par l'air sur l’hélice en fonction de ‏بيرم‎ pp, S et
es puis en fonction de ‏رو بر‎ u, S et 2 .. €, étant le vecteur unitaire de l’axe des z.
12.3. Écrire le bilan de quantité de mouvement pour le fluide situé entre les sections Si et So
du tube de courant.
12.4. En déduire l'expression de la force F exercée par l’air sur l’hélice en fonction de D,», 71
et ‏رد‎ puis en fonction de y, ‏رن ري‎ v1, v2 et FA :
12.5. Montrer que la vitesse v de l’air au niveau de l’hélice est donnée par l'expression :
_ 01 + ‏ون‎
‎Épreuve de Physique 275 ‏نج‎
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1.3. Étude de la puissance reçue par l’hélice : loi de BETZ
La production d'énergie se fait au préjudice de l'énergie cinétique du vent : lors de son passage
à travers l’hélice, une fraction de l'énergie cinétique de l'air est transférée à l’hélice qui se met en
rotation. La vitesse ‏وه‎ est donc nécessairement inférieure à ‏.رن‎ On notera P la puissance reçue par
l’hélice et on admettra l'expression suivante :
P= FT
13.1. Écrire l’expression de la puissance mécanique P cédée par l’air à l’hélice en fonction de
‏ملا‎ S,v, vi et vo.
1.3.2. On pose x = —, Montrer que la puissance P reçue par l’hélice s'écrit sous la forme :
1Sv?
P = 1 L(1+x)(1-—x°)
1.3.3. Pour une vitesse ‏ره‎ donnée du vent en amont de l’éolienne, la vitesse en aval ‏ون‎ ne
pouvant pas s’annuler ; il existe une puissance maximale Pr que l’on peut extraire de la circulation
d’air (Loi de BETZ).
13.31. Pour quelle valeur x,, de x la puissance P est-elle maximale. Donner la valeur de
la puissance maximale Par (dite limite de BETZ) en fonction de des grandeurs y, S et v1. Tracer
l'allure de P(x).
13.32. Pour x = ‏رم‎ déterminer les expressions les expressions de w2 et v en fonction de ‏ردن‎
‎et l'expression de la force F exercée par l’air sur l’hélice en fonction de y, ‏ي‎ et v1.
13.4. Le rendement de l’éolienne est défini comme le rapport de la puissance P fournie par
l'air à l’hélice au débit d'énergie cinétique en amont de l’éolienne.
13.41. Écrire l'expression du débit de l'énergie cinétique É, à travers une section droite de
surface S où la vitesse est v1.
13.42. En déduire le rendement théorique de l’éolienne r;, en fonction de x.
1.3.5. Application numérique : y! = 1,3 kg.m su = 12m.s 7! ; S = 3,14 m°. Calculer Pur et
le rendement associé 1
13.6. Dans la pratique, le rendement théorique maximal pour une éolienne idéale n’est jamais
réalisé à cause des effets suivants :
e L'écoulement de l’air a une composante rotative due à la rotation de l’hélice.
e La force de trainée n’est jamais nulle à cause des frottements.
e L’hélice contient un nombre fini de pales.
Le rendement est alors plus faible et la puissance peut s’écrire :
Preei = 2 CS 21
où C, est le coefficient de performance. Il dépend de la géométrie, de l'’inclinaison des pales et de la
vitesse du vent.
13.61. Montrer que C, admet une valeur maximale à cause de la loi de BETZ.
Épreuve de Physique Gt 9 Tournez la page S.V.P.
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13.62. Calculer numériquement C, pour une puissance réelle ‏,و7‎ = 900 W.
2î"e partie
Transformation de l’énergie mécanique en énergie électrique
Cette partie consiste à étudier la conversion de l'énergie mécanique de l’éolienne en énergie
électrique : les pales de l’éolienne entraînent une génératrice électrique qui doit fournir une énergie
électrique “ utile ”.
La génératrice utilisée est une machine à courant alternatif. Le principe simplifié de cette
machine, telle qu’elle sera utilisée dans la suite, est représenté sur le schéma de la figure 2.
Génératrice Récepteur
= 1 nr |
=! LL 1!
Figure 2: Schéma équivalent de la génératrice connectée à un récepteur.
Sur ce schéma, e(t) désigne la force électromotrice (ou f.e.m.), i({) représente le courant délivré
par la machine (convention générateur) et L représente l’inductance équivalente du bobinage de la
machine. Le courant et la f.e.m. sont supposés sinusoïdaux, de même pulsation w. On peut alors
noter :
e(t) = EV2 cos(wt)
i(t) = 1/2 cos(wt + d)
E et I représentent respectivement la valeur efficace de e(t) et i(t). L'angle ‏ب‎ est le déphasage du
courant par rapport à la f.e.m.
La valeur efficace E et la pulsation w sont liées à la vitesse angulaire de rotation de l’hélice de
l'éolienne Q par les relations suivantes :
‎k et n sont deux constantes de fabrication de la machine. On prendra pour les valeurs numériques :‏
‎k=14V.s;n = 20 et L = 30 mH.‏
En régime permanent, l’éolienne tourne à vitesse constante ‏و‎ = 15,7rad.s”!. Dans ces condi-
tions, la valeur efficace de la f.e.m. ainsi que la pulsation w sont constantes.
2.1. Calculer les valeurs numériques de E et de w aïnsi que la fréquence f de toutes les grandeurs
sinusoïdales.
2.2. Quelle est, en tours/mn, la vitesse de rotation de l’éolienne notée No ?
2.3. La machine débite sur un récepteur résistif de résistance R = 1041. Déterminer les valeurs
numériques de 1, b et la valeur efficace V de la tension aux bornes du récepteur. Ecrire l'expression
numérique de la tension v(t) en notation réelle.
نج 4/5 ‎Épreuve de Physique‏
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2.4. La machine débite maintenant sur un récepteur purement inductif d’inductance L, = 20 mH.
Déterminer les valeurs numériques de 1, ‏ن‎ et V. Écrire l'expression numérique de la tension v(t).
2.5. On souhaite évaluer la puissance délivrée par la génératrice sur un récepteur résistif et
inductif de résistance À — 10 ( et d’inductance L, — 201177
2.5.1. Établir les expressions complexes puis réelles de l'intensité de courant i(t) qui traverse
le circuit électrique et de la tension v(t) aux bornes du récepteur.
2.5.2. En déduire l'expression de la puissance moyenne ?, délivrée au récepteur, en fonction
de E, R, L, L.etw.
2.5.3. Déterminer les valeurs numériques de 1, V et P,.
2.5.4. Calculer la puissance ‏و7‎ délivrée par le générateur de f.e.m. e(t). Comparer P, à P,.
Commenter.
2.6. Quelle est l'effet d’une variation de la vitesse de rotation de l’hélice { ?
FIN DE L'ÉPREUVE
Épreuve de Physique 5.1 5 FIN
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