نموذج مباراة ولوج المدرسة الوطنية للعلوم التطبيقية بمراكش 2005 - البصريات (ولوج السنة الثالثة)

Ce modèle est l'épreuve d'Optique du concours d'accès de l'ENSA de Marrakech (Université Cadi Ayyad, année universitaire 2004-2005), session du 15 juillet 2005. Le pied de page indique un concours d'accès en 3^e année. Durée : 45 minutes. Trois exercices : élargisseur de faisceau, fibre optique, interféromètre de Fabry-Pérot. Voici une correction proposée.

Exercice 1 — Élargisseur de faisceau

Le faisceau entre et sort parallèle : le système doit être afocal, c'est-à-dire que le foyer image de L₁ est confondu avec le foyer objet de L₂ (F′₁ = F₂). Par les triangles semblables de part et d'autre du foyer commun, le rapport des diamètres vaut d₂/d₁ = |f′₂/f′₁| = 10.

1. a) Lentille divergente puis convergente (montage de Galilée) : |f′₁| = 50/10 = 5 mm, soit f′₁ = −5 mm. Schéma : le faisceau de 2 mm traverse L₁ et diverge comme s'il venait de F′₁, situé 5 mm avant L₁. Ce point est aussi F₂, à 50 mm avant L₂, qui rend le faisceau parallèle avec un diamètre de 20 mm.

1. b) O₁O₂ = f′₁ + f′₂ = −5 + 50 = 45 mm.

2. Deux lentilles convergentes (montage de Képler) : f′₁ = +5 mm. Le faisceau converge en F′₁ = F₂, situé entre les lentilles, puis diverge jusqu'à L₂ qui le rend parallèle (20 mm, image renversée). Distance : O₁O₂ = 5 + 50 = 55 mm. Le montage de Galilée est plus court et n'a pas de point de focalisation réel, ce qui est préférable avec un laser puissant.

Exercice 2 — Fibre optique

a) Guidage par réflexion totale sur la gaine : n₁ sin r ≥ n₂ (r : incidence sur la gaine). À l'entrée, depuis l'air, sin i = n₁ cos r. La condition devient sin i ≤ √(n₁² − n₂²) = √(0,14 × 3,18) ≈ 0,667 : i_max ≈ 41,9°.

b) O.N. = sin i_max = √(n₁² − n₂²) ≈ 0,67.

Exercice 3 — Interféromètre de Fabry-Pérot

1) Entre deux faisceaux transmis successifs, le second a effectué un aller-retour supplémentaire dans la lame d'air d'épaisseur e, sous l'incidence i. Comme pour une lame à faces parallèles :

δ = 2e cos i et φ = 2πδ/λ = 4πe cos i/λ (les déphasages dus aux réflexions métalliques, identiques pour chaque paire, ajouteraient seulement une constante).

2) Soit a₀ l'amplitude incidente. Le 1^er faisceau traverse deux faces : a₁ = t²a₀ = Ta₀. Chaque faisceau suivant subit deux réflexions de plus (facteur r² = R) et un retard de phase φ :

a_n = T a₀ Rⁿ⁻¹ e^{−j(n−1)φ}, n = 1, 2, 3, …

3) La lentille L fait converger en P tous ces faisceaux parallèles ; on somme la série géométrique de raison R e^−jφ (|R| < 1) :

a = Σ a_n = T a₀ / (1 − R e^−jφ), et I = a·a* = T²I₀ / |1 − R e^−jφ|² = T²I₀ / (1 − 2R cos φ + R²).

Avec 1 − cos φ = 2sin²(φ/2) : I = T²I₀ / [(1 − R)² + 4R sin²(φ/2)].

4) Comme T = 1 − R, on divise par (1 − R)² = T² :

I/I₀ = A(φ, R) = 1 / [1 + m sin²(φ/2)], avec m = 4R/(1 − R)². A ne dépend que de φ et de R.

5) Allure de A(φ) sur [2(k − 3)π, 2(k + 3)π] :

• A est 2π-périodique. Ses maxima A = 1 sont en φ = 2pπ : 7 pics, en 2(k − 3)π, 2(k − 2)π, …, 2(k + 3)π.
• Ses minima A_min = 1/(1 + m) = (1 − R)²/(1 + R)² sont en φ = (2p + 1)π : 6 minima entre les pics.
• Plus R est proche de 1, plus m est grand et plus les pics sont fins. La largeur à mi-hauteur vaut Δφ_1/2 ≈ 4/√m = 2(1 − R)/√R. On obtient des anneaux brillants très fins sur fond presque noir, c'est l'intérêt du Fabry-Pérot en spectroscopie (finesse 𝓕 = π√R/(1 − R)).