نموذج مباراة ولوج المدرسة الوطنية للعلوم التطبيقية بمراكش 2003 - البصريات (ولوج السنة الثالثة)

Ce modèle est l'épreuve d'Optique du concours d'accès de l'ENSA de Marrakech (Université Cadi Ayyad, année universitaire 2002-2003), session du 16 juillet 2003. Le pied de page indique un concours d'accès en 3^e année. Durée : 45 minutes. Un problème sur la fibre optique à saut d'indice, suivi d'une courte question sur le réseau de diffraction. Voici une correction proposée.

Fibre optique

1) L'optique géométrique s'applique si les dimensions transverses du guide sont grandes devant la longueur d'onde : a ≫ λ. Les effets de diffraction sont alors négligeables et l'on peut raisonner en rayons. Ici a = 40 µm et λ ≈ 1 µm : c'est le cas des fibres multimodes.

2) a) Réflexion totale sur la gaine si n_c sin i ≥ n_g. L'angle limite vérifie sin i_l = n_g/n_c : i_l = arcsin(1,490/1,515) ≈ 79,6°. Il faut i ≥ i_l.

2) b) En O : n_e sinθ = n_c sinθ′, avec θ′ = 90° − i (voir la figure). La condition i ≥ i_l s'écrit sinθ′ ≤ cos i_l = √(1 − n_g²/n_c²), d'où

O.N. = n_e sinθ_l = n_c cos i_l = √(n_c² − n_g²).

A.N. : n_c² − n_g² = (1,515 − 1,490)(1,515 + 1,490) = 0,025 × 3,005 = 0,0751, donc O.N. ≈ 0,274 et, avec n_e = 1, θ_l = arcsin 0,274 ≈ 15,9°. Tout rayon entrant avec θ ≤ θ_l est guidé.

3) a) Entre O (sur l'axe) et A₁ (retour sur l'axe), le rayon monte jusqu'à la gaine (hauteur a) puis redescend : longueur géométrique 2a/sinθ′. Avec sinθ′ = n_e sinθ/n_c :

(L₁) = n_c · 2a/sinθ′ = 2a n_c²/(n_e sinθ) (θ ≠ 0), et OA₁ = 2a/tanθ′.

3) b) Le rayon garde l'inclinaison θ′ sur l'axe. Pour une longueur l ≫ OA₁, le chemin géométrique vaut l/cosθ′, avec cosθ′ = √(1 − n_e²sin²θ/n_c²) :

(L) = n_c l/cosθ′ = n_c² l / √(n_c² − n_e²sin²θ).

4) a) La durée est le chemin optique divisé par c : 𝒯 = n_c² x / [c √(n_c² − n_e²sin²θ)].

4) b) 𝒯 croît avec θ.

• θ = 0 (rayon axial) : 𝒯₀ = n_cx/c = 1,515 × 2000/(3 × 10⁸) ≈ 1,01 × 10⁻⁵ s = 10,1 µs.
• θ = θ_l : n_e²sin²θ_l = n_c² − n_g², donc √(…) = n_g et 𝒯_max = n_c²x/(c n_g).
• Δ𝒯 = 𝒯₀(n_c − n_g)/n_g = 1,01 × 10⁻⁵ × 0,025/1,490 ≈ 1,69 × 10⁻⁷ s ≈ 0,17 µs (dispersion intermodale).

4) c) Deux impulsions sont distinguées si leur période T > Δ𝒯. Fréquence maximale : f_max = 1/Δ𝒯 ≈ 5,9 × 10⁶ impulsions par seconde (≈ 5,9 MHz) sur 2 km. Ce débit diminue quand la longueur augmente, d'où l'intérêt des fibres à gradient d'indice ou monomodes.

Réseau — nombre d'ordres visibles

Pas du réseau : a = 1 mm/500 = 2 µm. Sous incidence normale (i = 0), la relation donnée devient sin i′ = qλ/a. On prend pour la lumière blanche le domaine visible usuel 0,4 µm ≤ λ ≤ 0,8 µm.

• Premier ordre (q = 1) : violet, sin i′ = 0,4/2 = 0,2 ⇒ i′ ≈ 11,5° ; rouge, sin i′ = 0,8/2 = 0,4 ⇒ i′ ≈ 23,6° (22,0° si l'on arrête le visible à 0,75 µm). Le spectre du 1^er ordre s'étale entre ces deux angles, de part et d'autre de la normale.
• Ordres complets : l'ordre q est entièrement observable si qλ_max/a ≤ 1, soit q ≤ 2/0,8 = 2,5. On observe donc 2 ordres complets de chaque côté (q = ±1, ±2), en plus de l'ordre 0 blanc. L'ordre 3 est incomplet : son rouge exigerait sin i′ = 1,2 > 1. Le 2^e ordre (jusqu'à sin i′ = 0,8) empiète en outre sur le début du 3^e (dès sin i′ = 0,6).