نموذج مباراة ولوج المدرسة الوطنية للصناعة المعدنية ENIM 2009 - التحليل (حاملو DEUG)

Ce modèle est l'épreuve d'analyse du concours d'accès en 1re année de l'École Nationale de l'Industrie Minérale (ENIM), session de juillet 2009 (copie manuscrite de l'énoncé ; durée et barème non indiqués). Un exercice sur une intégrale à paramètre et un problème sur les intégrales de Gauss. Voici une correction détaillée proposée.

💡 Remarque sur l'énoncé : la copie manuscrite semble porter tx−1 au dénominateur de f. Avec cet exposant, le domaine ne serait pas ]0, +∞[ (l'intégrale diverge pour 0 < x ≤ 2) et les encadrements demandés seraient faux. Tous les résultats de l'exercice sont vrais avec f(x) = ∫1+∞ dt / (1 + t + tx+1) : c'est cette version, certainement celle de l'énoncé original, qui est corrigée ici.

Exercice 1

1°) Domaine de définition de f

L'intégrande t ↦ 1/(1 + t + t^x+1) est continue et positive sur [1, +∞[ ; seule la borne +∞ pose problème.

• Si x > 0 : 0 < 1/(1 + t + t^x+1) ≤ 1/t^x+1, et ∫₁^+∞ dt/t^x+1 converge (Riemann, x + 1 > 1). Donc f(x) existe.
• Si x ≤ 0 : pour t ≥ 1, t^x+1 ≤ t et 1 ≤ t, donc 1 + t + t^x+1 ≤ 3t et l'intégrande est ≥ 1/(3t), dont l'intégrale diverge. f(x) n'existe pas.

Conclusion : D_f = ]0, +∞[.

2°) f est décroissante sur ]0, +∞[

Soient 0 < x ≤ y. Pour t ≥ 1, t^x+1 ≤ t^y+1 (car ln t ≥ 0), donc 1/(1 + t + t^y+1) ≤ 1/(1 + t + t^x+1). Par croissance de l'intégrale (intégrales convergentes), f(y) ≤ f(x). f est décroissante.

3°) a) g est définie sur ]0, +∞[

Pour x > 0 et t ≥ 1 : 0 < 1/(t(1 + t^x)) ≤ 1/t^x+1, intégrable sur [1, +∞[. Donc g(x) existe.

3°) b) g(x) = ln 2 / x

Changement de variable u = t^x (bijection C¹ croissante de [1, +∞[ sur [1, +∞[) : du = x t^x−1 dt, donc dt/t = du/(x u). Alors

g(x) = (1/x) ∫1+∞ du / (u(1 + u)) = (1/x) ∫1+∞ (1/u − 1/(1 + u)) du = (1/x) [ln(u/(1 + u))]1+∞

= (1/x)(0 − ln(1/2)), soit g(x) = ln 2 / x.

3°) c) 0 ≤ f(x) ≤ ln 2 / x et limite en +∞

Pour t ≥ 1 : 1 + t + t^x+1 ≥ t + t^x+1 = t(1 + t^x) > 0, donc 0 ≤ 1/(1 + t + t^x+1) ≤ 1/(t(1 + t^x)). En intégrant : 0 ≤ f(x) ≤ g(x) = ln 2 / x.

Comme ln 2 / x → 0 quand x → +∞, le théorème des gendarmes donne lim_x→+∞ f(x) = 0.

4°) 0 ≤ ln 2 / x − f(x) ≤ 1/(2x + 1) et limite en 0⁺

ln 2 / x − f(x) = ∫1+∞ [1/(t + tx+1) − 1/(1 + t + tx+1)] dt = ∫1+∞ dt / [(t + tx+1)(1 + t + tx+1)].

L'intégrande est positive, d'où la minoration par 0. De plus t + t^x+1 ≥ t^x+1 et 1 + t + t^x+1 ≥ t^x+1, donc le produit est ≥ t^2x+2 et

ln 2 / x − f(x) ≤ ∫1+∞ t−2x−2 dt = [t−2x−1/(−2x−1)]1+∞ = 1/(2x + 1).

Limite en 0⁺ : f(x) ≥ ln 2 / x − 1/(2x + 1). Quand x → 0⁺, ln 2 / x → +∞ et 1/(2x + 1) → 1, donc lim_x→0⁺ f(x) = +∞.

Problème — Intégrales de Gauss

1°) Convergence de ∫_−∞^+∞ tⁿ e^−t² dt

La fonction est continue sur ℝ. Par croissances comparées, t² · |t|ⁿ e^−t² → 0 quand |t| → +∞, donc |tⁿ e^−t²| ≤ 1/t² pour |t| assez grand. L'intégrale converge absolument en ±∞ (Riemann).

2°) Convergence de ∫ P(t) e^−t² dt

Si P = Σ a_k t^k, alors P(t) e^−t² = Σ a_k t^k e^−t² est une combinaison linéaire finie de fonctions dont l'intégrale converge (1°). Par linéarité, l'intégrale converge.

3°) ∫_−∞^+∞ e^−t² dt = √π

Notons I = ∫_−∞^+∞ e^−t² dt > 0 et, pour R > 0, I_R = ∫_−R^R e^−t² dt. Par Fubini, I_R² = ∬_CR e^−(x²+y²) dx dy sur le carré C_R = [−R, R]². Le carré contient le disque D_R de rayon R et est contenu dans le disque D_R√2 ; l'intégrande étant positive :

∬DR ≤ IR² ≤ ∬DR√2.

En coordonnées polaires : ∬Dρ e−(x²+y²) dx dy = ∫02π ∫0ρ e−r² r dr dθ = π (1 − e−ρ²).

Donc π(1 − e^−R²) ≤ I_R² ≤ π(1 − e^−2R²). Quand R → +∞, I_R² → π, d'où I² = π et I = √π.

4°) a) I_n+2 = (n + 1)/2 · I_n

On écrit tⁿ⁺² e^−t² = tⁿ⁺¹ · (t e^−t²) et on intègre par parties sur [−A, A] avec u = tⁿ⁺¹, v' = t e^−t², v = −½ e^−t² :

∫−AA tn+2 e−t² dt = [−½ tn+1 e−t²]−AA + (n + 1)/2 ∫−AA tⁿ e−t² dt.

Le crochet tend vers 0 quand A → +∞ (croissances comparées). D'où I_n+2 = (n + 1)/2 · I_n.

4°) b) I_2n+1 = 0

La fonction t ↦ t²ⁿ⁺¹ e^−t² est impaire et son intégrale converge sur ℝ ; l'intégrale sur un intervalle symétrique est nulle : I_2n+1 = 0.

4°) c) I_2n = (2n)! √π / (2²ⁿ n!)

Récurrence sur n. Pour n = 0 : I₀ = √π = 0! √π / (2⁰ · 0!). Supposons la formule vraie au rang n ; d'après a) avec l'indice 2n :

I2n+2 = (2n + 1)/2 · (2n)! √π / (22n n!) = (2n + 2)(2n + 1)(2n)! √π / (2 · 2(n + 1) · 22n n!) = (2n + 2)! √π / (22n+2 (n + 1)!).

La formule est vraie au rang n + 1, donc pour tout n : I_2n = (2n)! √π / (2²ⁿ n!). (Remarque : l'énoncé écrit « 2²ⁿ n! » au dénominateur.)

5°) Convergence de u_p

La fonction t ↦ t^2p e^−t² / (t² + (2p)!) est continue sur ℝ (le dénominateur est ≥ (2p)! > 0) et positive. Comme t² + (2p)! ≥ (2p)!, on a

0 ≤ t2p e−t² / (t² + (2p)!) ≤ t2p e−t² / (2p)!,

dont l'intégrale converge (1°). Par comparaison de fonctions positives, u_p converge.

6°) 0 ≤ u_p ≤ I_2p / (2p)! et convergence de la série

En intégrant l'encadrement du 5° : 0 ≤ u_p ≤ I_2p / (2p)!. Avec 4°c :

I2p / (2p)! = √π / (22p p!) = √π · (1/4)p / p!.

La série Σ (1/4)^p/p! converge (série exponentielle, de somme e^1/4 ; ou critère de d'Alembert : le rapport des termes vaut 1/(4(p + 1)) → 0). Par comparaison de séries à termes positifs, la série de terme général u_p converge, et Σ u_p ≤ √π e^1/4.