نموذج مباراة ولوج المدرسة الوطنية للصناعة المعدنية ENIM 2013 - الميكانيك (حاملو DEUG)

Ce modèle est l'épreuve de mécanique du concours d'entrée en 1re année de l'École Nationale de l'Industrie Minérale (ENIM, Rabat), réservée aux titulaires du DEUG, session de juillet 2013. Durée : 1 h 30. Deux problèmes indépendants, barème : I : 9 points, II : 11 points. Voici une correction détaillée proposée.

💡 Les deux problèmes sont des classiques : conservation de l'énergie + choc élastique pour le I, théorèmes généraux pour un solide en roulement pour le II. Écrivez toujours le système étudié, le référentiel et le théorème utilisé avant de calculer.

Problème I — Choc de deux pendules

1) Vitesse V₁ de A₁ juste avant le choc

Système : bille A₁, référentiel terrestre supposé galiléen. Le fil (tension perpendiculaire à la vitesse) ne travaille pas ; seul le poids travaille. Entre la position initiale (angle α, vitesse nulle) et la verticale, A₁ descend de la hauteur h = a − a·cos α = a(1 − cos α).

Théorème de l'énergie cinétique : ½ m1 V1² − 0 = m1 g a (1 − cos α), d'où

V₁ = √(2 g a (1 − cos α)) (on peut aussi écrire V₁ = 2 sin(α/2)·√(g a)).

2-a) Vitesses après le choc parfaitement élastique

Au moment du choc, les deux billes sont au point le plus bas, vitesses horizontales ; le choc est frontal. On oriente l'axe horizontal dans le sens de V₁. La bille A₂ est immobile avant le choc.

• Conservation de la quantité de mouvement : m1 V1 = m1 V'1 + m2 V'2
• Conservation de l'énergie cinétique (choc élastique) : m1 V1² = m1 V'1² + m2 V'2²

En écrivant les deux relations sous la forme m₁(V₁ − V'₁) = m₂V'₂ et m₁(V₁² − V'₁²) = m₂V'₂², puis en divisant, on obtient V1 + V'1 = V'2. En reportant, avec λ = m₁/m₂ :

V'₁ = (λ − 1)/(λ + 1) · V₁ et V'₂ = 2λ/(λ + 1) · V₁

2-b) Discussion du mouvement de A₁

• λ > 1 (m₁ > m₂) : V'₁ > 0, A₁ continue dans le même sens que A₂, plus lentement.
• λ = 1 (masses égales) : V'₁ = 0, A₁ s'arrête et A₂ part avec toute la vitesse V₁ (échange des vitesses).
• λ < 1 (m₁ < m₂) : V'₁ < 0, A₁ rebondit et repart en sens inverse.

3) Angles d'écart maximum α₁ et α₂

Même raisonnement énergétique qu'au 1) pour chaque bille partant de la verticale avec la vitesse V' : V'² = 2 g a (1 − cos αi), donc 1 − cos αi = V'²/(2 g a). Comme V₁² = 2 g a (1 − cos α) :

cos α₁ = 1 − ((λ − 1)/(λ + 1))² (1 − cos α)

cos α₂ = 1 − (2λ/(λ + 1))² (1 − cos α)

Remarque : ces résultats supposent que le fil reste tendu, c'est-à-dire que les billes ne dépassent pas l'horizontale (cos α_i ≥ 0).

4) Valeur de λ pour que les pendules remontent en sens contraire du même angle

Sens contraire : il faut V'₁ < 0, donc λ < 1. Même angle : |V'₁| = |V'₂|, soit (1 − λ)/(λ + 1) = 2λ/(λ + 1), d'où 1 − λ = 2λ :

λ = 1/3, c'est-à-dire m₂ = 3 m₁. On vérifie : V'₁ = −V₁/2 et V'₂ = V₁/2.

Problème II — Cylindre sur un plan incliné

Repère lié au plan : x descend le long de la ligne de plus grande pente, z perpendiculaire au plan vers le haut, y tel que le trièdre soit direct. I est le point de contact, CI = −R·e_z. Réaction du plan : F = −T·e_x + N·e_z (T est la composante tangentielle, orientée vers le haut de la pente).

1) Moment d'inertie J = 0,5·m·R²

Cylindre plein homogène de hauteur h, masse volumique ρ = m/(πR²h). On découpe en couronnes de rayon r, d'épaisseur dr : dm = ρ · 2πr h dr. Alors

J = ∫ r² dm = ρ 2π h ∫0R r³ dr = ρ 2π h R⁴/4 = (m/(πR²h)) · π h R⁴/2, soit J = ½ m R².

2) Composantes T et N de la réaction

Théorème du centre d'inertie appliqué au cylindre (poids + réaction) : m a_C = m g + F. Avec OC = x·e_x + R·e_z, l'accélération de C est ẍ·e_x. Le poids s'écrit m g = m g sin α·e_x − m g cos α·e_z. Projections :

• sur e_x : m ẍ = m g sin α − T, d'où T = m (g sin α − ẍ) ;
• sur e_z : 0 = N − m g cos α, d'où N = m g cos α.

3) Théorème du moment dynamique : T = ½ m R θ̈

En C (centre d'inertie), le poids a un moment nul. Moment de la réaction : CI ∧ F = (−R ez) ∧ (−T ex + N ez) = R T (ez ∧ ex) = R T ey. Le moment cinétique en C est J θ̇ e_y, donc J θ̈ = R T, et avec J = ½ m R² :

T = J θ̈ / R = ½ m R θ̈.

4) Condition de roulement sans glissement : ẋ = R θ̇

Vitesse du point I du cylindre : V(I) = V(C) + Ω ∧ CI = ẋ ex + θ̇ ey ∧ (−R ez) = ẋ ex − R θ̇ ex (car e_y ∧ e_z = e_x). Le plan étant fixe, pas de glissement signifie V(I) = 0, soit ẋ = R θ̇.

5) Roulement sans glissement si tan α < 3 f

Si le cylindre roule sans glisser, ẍ = R θ̈, donc T = ½ m ẍ. En reportant dans m ẍ = m g sin α − T : (3/2) m ẍ = m g sin α, soit ẍ = (2/3) g sin α et T = (1/3) m g sin α.

La loi de frottement exige T < N f : (1/3) m g sin α < f m g cos α, d'où tan α < 3 f.

6) Accélération du centre du cylindre

a) Roulement sans glissement : établi au 5), ẍ = (2/3) g sin α.

b) Glissement (tan α ≥ 3 f) : T = N f = f m g cos α, et m ẍ = m g sin α − f m g cos α, d'où ẍ = g (sin α − f cos α). (Le cylindre tourne alors avec θ̈ = 2T/(mR) = 2 f g cos α / R, sans que ẋ = R θ̇.)