نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2025: الفيزياء 2 - شعبة PSI لولوج مدارس المهندسين
باختصار
هذا نموذج امتحان كتابي سابق لمباراة مباراة ولوج المدارس العليا للمهندسين لدى المباراة الوطنية المشتركة CNC (الأقسام التحضيرية) (2025)، منشور على وظيفة إنفو للاطلاع والتحميل المجاني بصيغة PDF مع تصحيح مقترح.
- الجهة المنظمة
- المباراة الوطنية المشتركة CNC (الأقسام التحضيرية)
- الدرجة
- مباراة ولوج المدارس العليا للمهندسين
- التخصص
- الفيزياء 2
- الدورة
- 2025
- عدد الصفحات
- 5
- لغة الأسئلة
- الفرنسية
- التصحيح
- تصحيح مقترح متوفر في هذه الصفحة
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— صفحة 1 — Concours National Commun - Session 2025 - Filière PSI - On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les références) des questions abordées. - Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. - Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées. - Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties de l'épreuve sont relativement indépendantes entre elles. Tornade atmosphérique Lorsque l’équilibre hydrostatique de l’atmosphère est rompu, les mouvements verticaux des masses d’air donnent naissance aux perturbations atmosphériques. Sous certaines conditions, certaines perturbations peuvent dégénérer en tourbillons, tornades, cyclones. Une tornade, de l'espagnol tornado, tourner, est une colonne de vents extrêmement violents ascendants en entonnoir et tourbillonnant. Elle prend naissance à la base d'un nuage d'orage de type cumulonimbus. Le cumulonimbus pompe l'air chaud et humide des basses couches de l'atmosphère. Ce phénomène météo a un pouvoir destructeur supérieur à celui d'un cyclone tropical au mètre carré, mais est de durée et d'étendue limitées : le diamètre est généralement compris entre 50 et 1000 m. Le sujet est composé de deux parties indépendantes. La partie 1 est notée sur 4 points, la partie 2 sur 16 points. Données : - Masse molaire de l’air : M, =29g.mol"". - Accélération de pesanteur : g=9,81m.s”. - Constante des gaz parfaits : 2 8,311.16 710/7٠ - Vitesse du son dans l’air : y =340m.s"". - 1 bar=1,013.10*Pa. - Équation fondamentale de la statique des fluides : —grad(P(M)) + u(M)g(M) =0. - Accélération d’une particule de fluide : à = "+ ( v.grad) ماقي grad | 5 | +701 /7 0 01 - En coordonnées cylindrique, et pour un champ scalaire f et un champ vectoriel À : ٠. Gradient : gradf = car 48 T dE : 07 70 .0ج LaGA) 104,94. r 07 roû 0 ° Rotationnel : rot À = 194. 34, 3 + SA, 34 €, (2080) = 2e ; ro0 7 ôz 7 r\ 07 00)" e — Théorème de STOCKES OSTROGARDSKI : $. us Adl= 1 rot (4) dS. ° Divergence : div(A)= Partie 1 Épreuve de Physique II 1/5 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 2 — Concours National Commun - Session 2025 - Filière PSI Champ de pression dans la troposphère On s’intéresse dans cette partie aux propriétés de la basse atmosphère terrestre (troposphère), d’altitude inférieure à 10m. L’air atmosphérique est assimilé à un gaz parfait de masse molaire M, en équilibre hydrostatique dans le champ de pesanteur 8 = —ge, uniforme, d'intensité g. Pour décrire l’atmosphère on se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen muni d’un repère cartésien (Oxyz) auquel on associe la base (eee) . L’axe Oz du repère est ascendant et la référence z =0 des altitudes est choisie à la surface de la Terre. On désigne par, T(z) la température de l’air, P(z) sa pression et u,(z) sa masse volumique à l’altitude 2. La pression de l’air au niveau du sol est P(z=0)= P, =1,0bar . 1. En utilisant l’équation d’état des gaz parfaits, établir l’expression de la masse volumique u,(z) de l’air en fonction de la pression P(z), de la température T(z) et des autres données. Calculer la masse volumique de l’air u,(z=0) au niveau du sol pour 7, =20°C.. 2: On suppose dans cette question l’atmosphère isotherme de température T(z)=T, 2 2090 2.1. Intégrer l’équation de la statique des fluides sur une colonne d’air et exprimer la pression atmosphérique P(z) en un point d’altitude z. 2.2. Calculer la pression P(H,) et la masse volumique de l’air u,(H,) au sommet du Toubkal 2.3. Par un développement limité de l’expression obtenue au 2.1, comparer le résultat précédent à celui obtenu si l’air était considéré comme incompressible. Qu’en concluez-vous ? 3. Des relevés expérimentaux montrent qu’en l’absence de mouvement des masses d’air, la température de l'air décroît avec l'altitude selon une loi affine, T(z)=T,-az , avec 3.1. Déterminer la loi de variation de la pression atmosphérique P(z). Calculer la pression P(H,.) et la masse volumique de l’air u,(H,) au sommet du Toubkal. Comparer aux résultats de la question 2.2 et commenter. 3.2. Montrer que, dans la basse atmosphère, on a une relation du type PT" = 70-4 . Calculer Partie 2 Modélisation d’une tornade On modélise une tornade par un cylindre d’axe vertical ascendant (Oz) et de rayon R. On assimile l’air, de masse volumique y, =1,3kg.m* , à un fluide en écoulement parfait, incompressible, homogène et stationnaire. La tornade (figure 1), de symétrie cylindrique d’axe (Oz) est décrite dans le système de coordonnées cylindriques (r,0,z) (figure 2) auquel on associe la base orthonormée directe 8 2 5) , par un vecteur tourbillon © vertical et uniforme à l’intérieur du cylindre, et nul à l’extérieur : Qe, si OsrsR 0 si r›R Épreuve de Physique II 2/5 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 3 — Concours National Commun - Session 2025 - Filière PSI Figure 1 : Une tornade Figure 2 : Schématisation d’une tornade On représente l’écoulement étudié par le champ de vitesse y = v(r,0,2)e, et le vecteur tourbillon © = Lis . Le champ de pesanteur est supposé localement uniforme 2 = —ge. . À la 2 5 périphérie de la tornade, la vitesse a pour module y, =180km.h"' . L’étude est faite dans le référentiel terrestre (R, ) = (O,x,y,z) supposé galiléen. On donne : R = 50m. La pression atmosphérique loin de la tornade étudiée est notée P,. Le nombre de Mach d’un écoulement est défini par : Ma = Ye où y, est l’ordre de grandeur 17 de la vitesse de l’écoulement et y, la célérité du son dans le fluide. 1. Que représente le vecteur tourbillon © ? 2. Justifier que la quantité 11- Hoi est homogène à une pression. Calculer sa valeur numérique et prévoir son sens physique. 3. Un gaz est compressible, cependant un gaz peut être en écoulement incompressible lorsque la vitesse de l’écoulement est inférieure à la vitesse du son. À partir d’ordre de grandeur, discuter l’hypothèse de l’écoulement incompressible pour l’air. Énoncer l’équation locale de conservation de la masse. L’écoulement est considéré stationnaire. Quelle simplification découle de cette hypothèse ? Exprimer la condition d’incompressibilité et montrer que la vitesse y ne dépend pas de 6. 0 جح بج د م : Calculer le rotationnel de y et montrer que la vitesse y ne dépend pas de z. : Montrer que l’expression du champ des vitesses v à l’intérieur et à l’extérieur du cylindre est donnée par : + 4) 9 si 077 ce si r=R 7 Justifier que la constante A est nécessairement nulle et déterminer la constante B . Commenter la valeur de v pour r=0. 9. L’écoulement de l’air est-il rotationnel ? 10. — À quelle distance du centre de la tornade la vitesse y est-elle maximale ? Que vaut cette vitesse vaux 7 11. — Déterminer les lignes de courant de la tornade en tout point de l’espace. 12. Représenter le champ des vitesses y(r) en fonction de +. Tracer quelques vecteurs vitesse le long d’une droite passant par l’origine en tenant compte de l’allure de v(r). Préciser l’allure des lignes de courant. Épreuve de Physique 1 3/5 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 4 — Concours National Commun - Session 2025 - Filière PSI 13. Calculer la circulation de y sur un cercle (C) , d'axe (Oz) et de rayon م orienté dans le sens trigonométrique. 14. Calculer l’accélération a d’une particule de fluide pour 02727 puis pour r= R. Vérifier que a se met sous la forme a = a(v,r)e, et commenter la signification de l’expression obtenue. 15. On s’intéresse maintenant au cas limite d’un vortex, tornade telle que R—0 et Q, ‹ mais en gardant la quantité 1 - 276,7 finie et non nulle. 15.1. Déterminer le champ des vitesses d’un vortex. Que représente la grandeur 1 ? 15.2. Montrer que le champ des vitesses d’un vortex dérive d’un potentiel ÿ. Etablir l’expression de .ن Quelle est la forme des équipotentielles ? 15.3. Montrer qu’un vortex brise l’invariance par rotation d’angle 6. 15.4. Tracer l’allure des lignes de courant et quelques équipotentielles. 15.5. Comparer brièvement le problème du vortex à celui d’un fil infini, d’axe (Oz) , parcouru par un courant électrique d’intensité 7 constante, et établir l’analogie existant entre © et v, d’une part, et le champ magnétique B et le vecteur densité volumique de courant ب de la magnétostatique, d’autre part. 16. On souhaite déterminer le champ de pression P(r) dans l’air dans les deux domaines, › R et 7 › R. On utilise pour cela l’équation de NAVIER-STOKES : da Ë ë ( v.grad) | = م - gradP + mAv 0 où Ay est le laplacien de y. 16.1. À quoi correspond chaque terme de l’équation de NAVIER-STOKES ? Préciser l’unité de cette équation. 16.2. Que vaut i dans le cas du champ de pesanteur ? 16.3. Simplifier l’équation de NAVIER-STOKES dans le cadre des hypothèses d’étude de la tornade et montrer que l’on obtient : Te, = F,-gradP راب Projeter l’équation de la question 16.3 sur 5 . Conclure. .16.4 16.5. Projeter l’équation de la question 16.3 sur 3 et déduire la relation P(r,z)=-u,gz+ fr), où f(r) est une fonction de 7 que l’on cherchera dans la question suivante. 16.6. Projeter l’équation de la question 16.3 sur 5 et déduire l’équation différentielle que vérifie la fonction f(r)- 16.7. On se place dans le domaine 7 = R. En tenant compte de la condition aux limites à grande distance de la tornade, montrer que la pression P(r) en tout point extérieur au cylindre de rayon R est donnée par : 27 FES - ويم - ترد وموم 27 16.8. Justifier que dans le domaine + = R, le théorème عل BERNOULLI est valable en tout point du fluide. Écrire le théorème de BERNOULLI et retrouver le résultat de la question précédente. 16.9. On se place dans le domaine y › R. En tenant compte de la continuité de la pression en r=R, montrer que la pression P(r) en tout point intérieur au cylindre de rayon R est donnée par : Épreuve de Physique II 4/5 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 5 — Concours National Commun - Session 2025 - Filière PSI 16.10. Justifier que dans le domaine + ‹ R, le théorème de BERNOULLI n’est valable que le long d’une ligne de courant. Dire, en justifiant, si l’on peut retrouver par ce théorème le champ de pression dans le domaine r‹R. 16.11. Déterminer l’équation d’une surface isobare et la représenter sur un schéma en coupe verticale contenant l’axe (Oz). 16.12. On se place au niveau du sol. 16.12.1. Exprimer la dépression p(r) définie par p(r)= P, - P(r) en fonction de la quantité II et du rapport La Représenter l’allure de la dépression en fonction de y . Calculer la valeur maximale p, de p(r) et la comparer à P, =1,0bar . Justifier que le centre de la tornade est l’endroit le plus dangereux. 16.122. Estimer la force exercée par m” de toiture lorsque la tornade passe au-dessus d’une maison et justifier qualitativement pourquoi une tornade passant au-dessus d'une maison a tendance à en arracher la toiture. Application numérique : un toit horizontal de masse par unité de surface de 100kg.m”" vous paraît-il en danger ? Vaut-il mieux laisser les fenêtres ouvertes ou fermées pour limiter les dégâts si une tornade arrive assez vite sur une maison ? 16.12.3. On suppose maintenant que la tornade étudiée se trouve en pleine mer (masse volumique de l’eau de mer supposée incompressible ju, =10*kg.m7*). On suppose également que l’eau de mer n’est pas entraînée par la tornade. En exprimant qu’il n’y a pas de discontinuité de pression à la traversée de la surface libre de l’eau, donner l’expression de la cote &(r) de cette surface sous l’effet de la dépression de la tornade. Représenter graphiquement la forme de la surface de la mer. Calculer littéralement et numériquement l’élévation maximale €, . Commenter. 17. — On s’intéresse dans cette question à un modèle de vortex plus réaliste pour lequel l’intensité de rotation (appelé aussi vorticité) décroît de مد à 7 — +0. Le vortex de BURGERS est une solution stationnaire exacte de type tourbillon. La diffusion visqueuse qui tend à atténuer le tourbillon est opposée par un écoulement d’étirement-compression qui tend à amplifier le tourbillon. L’écoulement s’écrit comme : où y est le taux d’étirement (positif), م est un nombre à spécifier et v,(r) est la vitesse tournante. 17.1. Écrire la condition d’incompressibilité de l’écoulement et trouver la valeur de .يم 17.2. Montrer que la vorticité مه = roty est selon 9 uniquement. 2 ب =| الح = ا On montre que la vorticité est donnée par : م =, exp Je e. , où وه et n, sont deux 7 constantes positives. 17.3. Donner une signification physique à 7, ? 17.4. Exprimer v,(r)- 17.5. Quel est le comportement asymptotique de v,(r) pour L e‹l et pour Z ›› 1. Retrouve-t- 7 2 on le résultat de la question 8 ? Épreuve de Physique II 5/5 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com
✅ التصحيح المقترح
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Ce modèle est l'épreuve de Physique II du Concours National Commun (CNC) 2025, filière PSI, concours d'accès aux écoles d'ingénieurs. Thème : « Tornade atmosphérique ». Deux parties indépendantes : Partie 1 (4 points), champ de pression dans la troposphère ; Partie 2 (16 points), modélisation d'une tornade (vortex de Rankine puis de Burgers). L'énoncé fait 5 pages. Voici une correction proposée avec les démonstrations et les applications numériques.
💡 Idée clé de la Partie 2 : le tourbillon est uniforme dans le cœur (rotation solide, v = Ω0r) et nul à l'extérieur (v = Ω0R²/r) : c'est exactement l'analogue du champ magnétique d'un conducteur cylindrique parcouru par un courant uniforme.
Partie 1 — Champ de pression dans la troposphère
1. Gaz parfait : PV = (m/Ma)RT ⇒ μa(z) = P(z)Ma/(RT(z)).
Au sol : μa(0) = 1,013·10⁵ × 0,029 / (8,31 × 293,15) ≈ 1,21 kg·m⁻³.
2.1. Projection de la relation de la statique sur ez (axe ascendant) : dP/dz = −μag = −PMag/(RT0). En séparant les variables : P(z) = P0 exp(−z/H), avec la hauteur d'échelle H = RT0/(Mag) ≈ 8,56 km.
2.2. HT/H = 4167/8563 ≈ 0,487 : P(HT) = 1,0 × e−0,487 ≈ 0,61 bar (≈ 6,2·10⁴ Pa) ; μa(HT) = μa(0)·e−0,487 ≈ 0,74 kg·m⁻³.
2.3. Pour z ≪ H : P(z) ≈ P0(1 − z/H) = P0 − μa(0)gz, qui est exactement la loi d'un fluide incompressible de masse volumique μa(0). Au Toubkal, cette approximation donne P ≈ 1 − 0,487 = 0,51 bar au lieu de 0,61 bar (écart ≈ 17 %). Conclusion : l'air ne peut être traité comme incompressible que sur des dénivelés petits devant H (quelques centaines de mètres) ; en montagne, il faut tenir compte de sa compressibilité.
3.1. dP/P = −Mag dz / (R(T0 − αz)). En intégrant :
ln(P/P0) = (Mag/(Rα)) ln(1 − αz/T0), soit P(z) = P0(1 − αz/T0)Mag/(Rα), avec Mag/(Rα) ≈ 5,05.
Au Toubkal : T(HT) = 293,15 − 6,78·10⁻³ × 4167 ≈ 264,9 K (≈ −8 °C) ; P(HT) = (264,9/293,15)5,05 ≈ 0,60 bar ;
μa(HT) = PMa/(RT) ≈ 0,80 kg·m⁻³.
Comparaison : la pression est peu différente du modèle isotherme (0,60 contre 0,61 bar, ≈ 2,5 %), mais la masse volumique est sensiblement plus grande (0,80 contre 0,74 kg·m⁻³, ≈ 8 %) car l'air est plus froid en altitude. Le modèle isotherme est acceptable pour P, moins pour μa.
3.2. Comme T/T0 = 1 − αz/T0, on a P = P0(T/T0)n avec n = Mag/(Rα), c'est-à-dire PT−n = P0T0−n. Par identification avec PTk/(1−k) : k/(1 − k) = −n, d'où k = n/(n − 1) ≈ 5,05/4,05 ≈ 1,25. C'est une loi polytropique (équivalente à P1−kTk = cte, ou P/μk = cte) d'indice k ≈ 1,25, compris entre l'isotherme (k = 1) et l'adiabatique (γ = 1,4).
Partie 2 — Modélisation d'une tornade
1. Le vecteur tourbillon Ω = ½ rot v représente le vecteur rotation instantanée local des particules de fluide sur elles-mêmes (leur vitesse angulaire propre de rotation).
2. [μav²] = kg·m⁻³·m²·s⁻² = kg·m⁻¹·s⁻² = N·m⁻² = Pa : Π est homogène à une pression. v0 = 180 km·h⁻¹ = 50 m·s⁻¹ : Π = ½ × 1,3 × 50² ≈ 1,6·10³ Pa. C'est la pression dynamique (énergie cinétique volumique) : elle donne l'ordre de grandeur des écarts de pression créés par l'écoulement (≈ 1,6 % de P0).
3. Ma = v0/vs = 50/340 ≈ 0,15 < 0,3. Les variations relatives de masse volumique sont de l'ordre de Ma²/2 ≈ 1 % (ou Π/P0 ≈ 1,6 %) : l'écoulement peut être considéré comme incompressible.
4. ∂μ/∂t + div(μv) = 0.
5. En régime stationnaire, ∂μ/∂t = 0 : div(μv) = 0 — le débit massique à travers toute surface fermée est nul (le flux de μv est conservatif).
6. Écoulement incompressible et homogène : div v = 0. Avec v = v(r, θ, z)eθ : div v = (1/r)∂v/∂θ = 0, donc v ne dépend pas de θ.
7. Avec Aθ = v(r, z) seule composante : rot v = −(∂v/∂z) er + (1/r) ∂(rv)/∂r ez. Or rot v = 2Ω est porté par ez : ∂v/∂z = 0, v ne dépend pas de z. Il reste (1/r) d(rv)/dr = 2Ω.
8. • Pour r ≤ R : d(rv)/dr = 2Ω0r ⇒ rv = Ω0r² + A ⇒ v = Ω0r + A/r.
• Pour r ≥ R : d(rv)/dr = 0 ⇒ v = B/r.
A = 0 : sinon v → ∞ sur l'axe, ce qui est physiquement impossible (et le terme A/r ajouterait un tourbillon singulier sur l'axe, contraire à Ω uniforme).
Continuité de la vitesse en r = R (pas de nappe tourbillonnaire) : Ω0R = B/R ⇒ B = Ω0R².
Avec v0 = Ω0R : Ω0 = 50/50 = 1 rad·s⁻¹ et B = 2,5·10³ m²·s⁻¹.
En r = 0, v = 0 : l'axe de la tornade est une zone calme (« œil »), le cœur tourne en bloc comme un solide.
9. L'écoulement est rotationnel à l'intérieur (Ω = Ω0ez ≠ 0) et irrotationnel à l'extérieur (rot v = 0 pour r > R), bien que les particules y décrivent des cercles.
10. v croît linéairement jusqu'à R puis décroît en 1/r : v est maximale en r = R, vmax = Ω0R = v0 = 50 m·s⁻¹ = 180 km·h⁻¹.
11. v est partout colinéaire à eθ : les lignes de courant sont des cercles horizontaux (z = cte) centrés sur l'axe Oz (r = cte).
12. Graphe v(r) : droite de pente Ω0 de 0 à R (v0 en R), puis branche d'hyperbole v0R/r. Le long d'une droite passant par O, les vecteurs vitesse sont perpendiculaires à la droite, de longueur croissante proportionnellement à r jusqu'à R puis décroissante en 1/r. Les lignes de courant sont des cercles concentriques parcourus dans le sens de Ω0.
13. Γ(r) = ∮ v·dl = 2πr v(r) : Γ = 2πΩ0r² pour r ≤ R et Γ = 2πΩ0R² (constante) pour r ≥ R. Vérification par Stokes : c'est le flux de rot v = 2Ω0ez à travers le disque intérieur au cercle.
14. En régime stationnaire : a = grad(v²/2) + rot v ∧ v.
• r ≤ R : grad(Ω0²r²/2) = Ω0²r er et 2Ω0ez ∧ Ω0r eθ = −2Ω0²r er ⇒ a = −Ω0²r er.
• r ≥ R : rot v = 0 et grad(B²/(2r²)) = −B²/r³ er ⇒ a = −(Ω0²R⁴/r³) er.
Dans les deux cas a = −(v²/r) er : c'est l'accélération centripète d'un mouvement circulaire uniforme, dirigée vers l'axe.
15.1. Pour R → 0, tout point r > 0 est « extérieur » : v = Ω0R²/r eθ = (Γ/(2πr)) eθ. Γ est la circulation de la vitesse sur tout contour entourant l'axe une fois (intensité du vortex).
15.2. Pour r > 0, rot v = 0 : v dérive d'un potentiel, v = grad φ. Composantes : ∂φ/∂r = 0, (1/r)∂φ/∂θ = Γ/(2πr), ∂φ/∂z = 0 ⇒ φ = Γθ/(2π) + cte. Les équipotentielles θ = cte sont des demi-plans verticaux limités par l'axe Oz (demi-droites radiales dans un plan horizontal).
15.3. Le champ v est invariant par rotation autour de Oz, mais le potentiel ne l'est pas : une rotation d'angle θ0 change φ en φ + Γθ0/(2π), et après un tour complet φ augmente de Γ ≠ 0. φ est donc multiforme : le domaine (espace privé de l'axe) n'est pas simplement connexe et la circulation non nulle autour de l'axe empêche un potentiel uniforme (réponse probable quant à la formulation attendue).
15.4. Lignes de courant : cercles centrés sur l'axe ; équipotentielles : demi-droites issues de l'axe. Les deux familles sont orthogonales en tout point (v = grad φ est normal aux équipotentielles).
15.5. Analogie avec la magnétostatique :
• div v = 0 ↔ div B = 0 ; rot v = 2Ω ↔ rot B = μ0j : donc v ↔ B et 2Ω ↔ μ0j ;
• circulation de v (Γ) ↔ théorème d'Ampère (μ0I) : Γ ↔ μ0I ;
• fil infini : B = μ0I/(2πr) eθ ↔ vortex v = Γ/(2πr) eθ ; la tornade de rayon R (Ω uniforme) ↔ cylindre conducteur parcouru par j uniforme (B ∝ r à l'intérieur, ∝ 1/r à l'extérieur).
16.1. μa∂v/∂t : terme d'accélération locale (instationnarité) ; μa(v·grad)v : accélération convective ; fv : densité volumique des forces extérieures à distance ; −grad P : densité volumique des forces de pression ; ηΔv : densité volumique des forces de viscosité. Chaque terme est une force volumique, en N·m⁻³ (kg·m⁻²·s⁻²).
16.2. fv = μag = −μag ez.
16.3. Régime stationnaire : ∂v/∂t = 0 ; fluide parfait : η = 0. Pour v = v(r)eθ : (v·grad)v = (v/r) ∂(v eθ)/∂θ = (v²/r) deθ/dθ = −(v²/r)er. D'où −μa(v²/r) er = fv − grad P.
16.4. Sur eθ : 0 = −(1/r)∂P/∂θ ⇒ P ne dépend pas de θ (symétrie de révolution).
16.5. Sur ez : 0 = −μag − ∂P/∂z ⇒ P(r, z) = −μagz + f(r).
16.6. Sur er : −μav²/r = −∂P/∂r ⇒ f'(r) = μav²(r)/r.
16.7. Pour r ≥ R : f'(r) = μaΩ0²R⁴/r³ ⇒ f(r) = −μaΩ0²R⁴/(2r²) + K. Loin de la tornade (r → ∞), P(r, 0) → P0, donc K = P0 : P(r, z) = P0 − μagz − μaΩ0²R⁴/(2r²).
16.8. Pour r ≥ R l'écoulement est parfait, incompressible, homogène, stationnaire et irrotationnel : la relation de Bernoulli est valable entre deux points quelconques du fluide (pas seulement sur une ligne de courant) : P + μav²/2 + μagz = cte. Loin de l'axe, en z = 0 : v = 0 et P = P0, donc cte = P0 et P = P0 − μagz − μaΩ0²R⁴/(2r²) : on retrouve 16.7.
16.9. Pour r ≤ R : f'(r) = μaΩ0²r ⇒ f(r) = μaΩ0²r²/2 + K'. Continuité de P en r = R : μaΩ0²R²/2 + K' = P0 − μaΩ0²R²/2 ⇒ K' = P0 − μaΩ0²R², d'où P(r, z) = P0 − μagz + μaΩ0²(r²/2 − R²).
16.10. Pour r ≤ R, l'écoulement est rotationnel : Bernoulli ne s'applique que le long d'une ligne de courant, avec une constante qui change d'une ligne à l'autre. Or ici chaque ligne de courant est un cercle (r et z fixés) sur lequel v, z et P sont constants : Bernoulli n'apporte aucune information sur la variation de P avec r. On ne peut pas retrouver le champ de pression par ce théorème ; il faut l'équation d'Euler projetée sur er.
16.11. Isobare P = P1 :
• r ≤ R : z = z1 + Ω0²r²/(2g) : paraboloïde de révolution, de sommet sur l'axe (point le plus bas) ;
• r ≥ R : z = z∞ − Ω0²R⁴/(2gr²) : la surface remonte vers une asymptote horizontale z∞ = (P0 − P1)/(μag).
Raccord continu (et à tangente continue) en r = R. En coupe verticale, l'isobare a la forme d'un entonnoir centré sur l'axe, creusé de Ω0²R²/g ≈ 255 m sous son asymptote : c'est la forme du « nuage-entonnoir » visible d'une tornade.
16.12.1. En z = 0, avec μaΩ0²R² = μav0² = 2Π :
• r ≤ R : p(r) = Π(2 − r²/R²) ;
• r ≥ R : p(r) = Π(R/r)².
Allure : maximum 2Π sur l'axe, parabole décroissante jusqu'à Π en r = R, puis décroissance en 1/r² vers 0.
pmax = 2Π = μav0² ≈ 3,3·10³ Pa ≈ 0,033 bar, soit environ 3 % de P0. Le centre est l'endroit le plus dangereux : la dépression y est maximale (et le passage brutal de l'extérieur au centre crée les plus grands écarts de pression sur les structures).
16.12.2. Si la maison est fermée, l'air intérieur reste à P0 tandis que la pression au-dessus du toit tombe à P0 − p. Force nette vers le haut par m² : F/S = p, jusqu'à ≈ 3,3·10³ N·m⁻² au centre (et 1,6·10³ N·m⁻² en r = R). Poids du toit par m² : 100 × 9,81 ≈ 9,8·10² N·m⁻². La force de dépression dépasse le poids (d'un facteur 3 au centre, et tant que p > 981 Pa, c'est-à-dire pour r < 64 m environ) : le toit est en danger, il est soulevé et arraché (le vent latéral fait le reste). Dans le cadre de ce modèle, il vaut mieux laisser les fenêtres ouvertes : la pression intérieure s'équilibre avec la pression extérieure et la force nette sur le toit diminue.
16.12.3. La mer étant au repos, la pression y est hydrostatique ; à une profondeur fixée sous la surface, elle est la même quel que soit r. Continuité de la pression à la surface libre (cote ζ(r)) : P0 − p(r) + μegζ(r) = P0 (en négligeant μa devant μe), d'où
ζ(r) = p(r)/(μeg) : ζ = Π(2 − r²/R²)/(μeg) pour r ≤ R et ζ = ΠR²/(μeg r²) pour r ≥ R.
La surface forme un dôme centré sur l'axe (calotte parabolique puis décroissance en 1/r²).
ζm = 2Π/(μeg) = μav0²/(μeg) ≈ 3250/9810 ≈ 0,33 m.
Commentaire : surélévation modeste (effet « baromètre inverse », environ 1 cm par hPa de dépression) ; les fortes surcotes observées lors des tempêtes sont surtout dues à l'entraînement de l'eau par le vent, négligé ici.
17.1. div v = (1/r)∂(rvr)/∂r + ∂vz/∂z = γ[(1/r)(−2r) + α] = γ(α − 2) = 0 ⇒ α = 2.
17.2. vr = −γr ne dépend que de r, vz = 2γz que de z, vθ que de r :
composante r : (1/r)∂vz/∂θ − ∂vθ/∂z = 0 ; composante θ : ∂vr/∂z − ∂vz/∂r = 0 ; composante z : (1/r)d(rvθ)/dr.
Donc ω = (1/r) d(rvθ)/dr ez, porté par ez uniquement.
17.3. r0 est le rayon du cœur du tourbillon : la vorticité est concentrée dans un cylindre de rayon ~ r0 (elle y est divisée par e à r = r0). Il résulte de l'équilibre entre l'étirement (γ), qui concentre le tourbillon, et la diffusion visqueuse, qui l'étale (on peut montrer que r0 = √(2ν/γ), ν viscosité cinématique).
17.4. d(rvθ)/dr = ω0r e−r²/r0², avec rvθ = 0 en r = 0 : rvθ = (ω0r0²/2)(1 − e−r²/r0²), d'où vθ(r) = (ω0r0²/(2r))(1 − e−r²/r0²).
17.5. • r ≪ r0 : 1 − e−x ≈ x ⇒ vθ ≈ (ω0/2) r : rotation solide avec Ω0 = ω0/2.
• r ≫ r0 : vθ ≈ ω0r0²/(2r) : vortex irrotationnel en 1/r, avec B = ω0r0²/2 (Γ = πω0r0²).
On retrouve les deux comportements de la question 8 (avec R ~ r0) ; le vortex de Burgers les raccorde continûment, sans le point anguleux du modèle de Rankine en r = R.
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المصدر: مباريات ولوج المدارس والمعاهد العليا
