نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2025: الفيزياء 1 - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين
باختصار
هذا نموذج امتحان كتابي سابق لمباراة مباراة ولوج المدارس العليا للمهندسين لدى المباراة الوطنية المشتركة CNC (الأقسام التحضيرية) (2025)، منشور على وظيفة إنفو للاطلاع والتحميل المجاني بصيغة PDF مع تصحيح مقترح.
- الجهة المنظمة
- المباراة الوطنية المشتركة CNC (الأقسام التحضيرية)
- الدرجة
- مباراة ولوج المدارس العليا للمهندسين
- التخصص
- الفيزياء 1
- الدورة
- 2025
- عدد الصفحات
- 7
- لغة الأسئلة
- الفرنسية
- التصحيح
- تصحيح مقترح متوفر في هذه الصفحة
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— صفحة 1 — Concours National Commun - Session 2025 - Filière MP e On veillera à une présentation et une rédaction, claires et soignées des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les des questions abordées. e Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. e Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées. e Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties de l'épreuve sont relativement indépendantes entre elles. Microscope électronique à balayage La microscopie (en grec ancien, mikros et skopein signifient respectivement « petit» et «examiner ») est un ensemble de techniques d’imagerie objets de petites dimensions. Un microscope électronique est un type de microscope qui utilise un faisceau d'électrons pour illuminer un échantillon et en créer une image très agrandie. Le sujet est composé de deux parties indépendantes. La partie 1 est notée sur 4 points, la partie 2 sur 16 points. Données : - Charge d’un électron : و = —e =-1,60.10"”C. = Masse d’un électron : m, =9,11.10*'kg. - Constante de BOLTZMANN : k, =1,38.10 7. - Constante de PLANCK : h = 6,63.10 7.» - Vitesse de la lumière dans le vide : c = 3,00.10*m.s”*. - Accélération de la pesanteur : g =9,81m.s”. - leV - 1,6.107 77٠ + Équation de POISSON satisfaite par le potentiel électrostatique V : AV + 28-0 2 Partie 1 Accélération des électrons On s’intéresse dans cette partie à l’accélération des =; électrons dans une chambre d’accélération. Une zone de champ | électrique uniforme (figure 1) est établie entre deux armatures, (A, ) et (A, ) , planes, parallèles distantes de d, et séparées par du vide quasi-parfait (le champ est supposé nul en dehors et on néglige les effets de bord). La différence de potentiel entre les deux armatures est U =V,—V,, où V, est le potentiel de (A,) et V, celui de (A, )- Un électron assimilé à un point matériel, de masse m, et de charge q,, pénètre en A, , avec une vitesse nulle. On se place dans le référentiel du laboratoire (R) , supposé galiléen, associé à un repère cartésien (اككمت.ي4) . Dans les conditions de l’expérience, le potentiel électrostatique en un Ga cu point de l’espace entre les armatures ne dépend que de la ; ; Figure 1 : Accélération des coordonnée z du point, V=V(z). électrons Épreuve de Physique 1 1/7 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 2 — Concours National Commun - Session 2025 - Filière MP On néglige le poids de l’électron par rapport à la force électrostatique ainsi que tout frottement. On donne d, =10cm. 1. Définir un référentiel galiléen. Pourquoi est-il pertinent de considérer le référentiel du laboratoire comme galiléen dans cette étude ? 2. Établir l’expression du potentiel électrostatique V(z) en un point de l’espace entre les armatures. En déduire l’expression du champ électrostatique entre les armatures. 3. Établir l’expression vectorielle de la force de LORENTZ F, subie par l’électron en fonction de U, e, d, et 5 ; 4. Quel doit être le signe de la tension U entre les armatures de la cavité pour que les électrons soient accélérés ? 5. Justifier quantitativement que le poids de l’électron peut être effectivement négligé devant la force de LORENTZ. 6. On se place dans le cadre de la mécanique classique. Appliquer le théorème de l’énergie cinétique sous forme intégrale à l’électron dans le référentiel (R) entre (A, ) et (4, ) ? Exprimer puis calculer numériquement la vitesse y, acquise par l’électron lorsqu’il atteint l’armature (4, ) pour U =10kV , U =100kV et U =1000kV . Commenter. Partie 2 Microscope électronique à balayage La microscopie électronique est une technique de microscopie utilisant les diverses interactions électrons-matière pour produire des images en haute résolution de la surface d’un échantillon à analyser. Le premier microscope électronique fut conçu en 1931 par Ernst RUSKA (prix Nobel en 1986) avec une résolution de quelques dizaines de mm . Le microscope électronique à balayage (MEB ou SEM pour Scanning Electron Microscopy) a été proposé par Max KNOLL dès 1935. Dans un MEB, un faisceau d’électrons est envoyé sur l’échantillon à analyser qui, en réponse, réémet certaines particules. Ces particules sont analysées par différents détecteurs qui permettent de reconstruire une image en trois dimensions de la surface. Un MEB est constitué d’un canon à électrons, d’un système de lentilles magnétiques, de bobines de balayage, d’une pompe à vide et d’un détecteur d’électrons secondaires ( 0; (figure 2). Figure 2 : Principe du MEB 1. Fabrication d’un faisceau d’électrons Un canon à électrons à émission de champ est la source du faisceau d’électrons qui viendra balayer la surface de l’échantillon analysé. Il est composé d’une cathode, pointe conductrice très fine, (figure 3) que l’on porte à un potentiel négatif. Un champ électrique très intense, de 10° à 10" V.m”', est ainsi créé à l'extrémité de la cathode et permet alors d’extraire les électrons du sommet de la pointe par effet tunnel. Ces électrons sont ensuite accélérés à l’aide d’un champ électrique uniforme, créé entre l’électrode d’extraction et l’électrode d’accélération planes et parallèles et séparées par du vide quasi-parfait (figure 4). 1.1. Expliquer brièvement ce qu’est l’effet tunnel. Épreuve de Physique I 2/7 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 3 — Concours National Commun - Session 2025 - Filière MP 1.2. On montre que le champ électrique maximal situé au sommet de la pointe a pour expression En ms sx =4kV. On donne d =1mm. ىن . Calculer numériquement le champ électrique d’émission 5... Pour Jathode 1 ١ ointe 200 um Anode T Anode لا d’extraction d'accélération Figure 3 : Pointe de rayon de courbure سبحي Figure 4 : Canon à émission de champ 1.3. On note V, le potentiel électrique de l’électrode d’extraction par rapport à la masse. Quel doit être le signe de V, pour que les charges s’écoulent de la pointe de la cathode vers l’électrode d’accélération ? 1.4. On considère la vitesse initiale de l’électron مجحب à hauteur de l’électrode d’extraction. Calculer numériquement le potentiel V, si l’on veut communiquer à l’électron émis une énergie potentielle F,=15keV. 1.5. En déduire la valeur numérique du potentiel de la pointe V, par rapport à la masse. 2. Un vide quasi-parfait ! On assimile l’air à un gaz parfait. Le libre parcours moyen, /, défini comme étant la distance moyenne que parcourt une molécule entre deux chocs successifs, dépend du nombre de molécules par unité de volume n°, et de la section efficace de collisions que l’on peut déterminer par le diamètre effectif ه de la molécule. Il est donné par / = ل : 2 2.1. Exprimer la densité moléculaire n° en fonction de la température 7 et de la pression م de l’air. 2.2. En déduire l’expression de / en fonction de la température 7 et de la pression P de l’air. 2.3. Pour l’air à T=300K , on admet que le libre parcours moyen est donné par: lGnm) = 5710 . Calculer n° et / à la pression atmosphérique, à la pression de 10 P(mbar) “mbar “%mbar . Commenter le résultat obtenu. 2.4. Un vide quasi-parfait (de l'ordre de 10 à 10 Pa) est réalisé dans l'enceinte du microscope où se propage le faisceau électronique. Pourquoi ? 2.5. L’enceinte doit aussi être blindée. Pourquoi ? puis à la pression 10 3. Fonctionnement d’une lentille magnétique Une fois les électrons extraits et accélérés, ils doivent être regroupés de manière à former un faisceau cohérent. C’est le rôle des différentes lentilles de la colonne du microscope. Celles-ci Épreuve de Physique 1 3/7 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 4 — Concours National Commun - Session 2025 - Filière MP constituent l’étage condenseur et objectif. Ce sont ces lentilles qui permettent de « diriger » les électrons. Une lentille magnétique est constituée d'un enroulement de spires conductrices parcourues par un courant électrique, engendrant un champ magnétique axial (figure 5. L'ensemble des enroulements est enfermé dans une armature ferromagnétique qui piège le champ magnétique. Un anneau de cuivre, diamagnétique, permet aux lignes de champ de s’extraire localement de l’armature (figure 5b). En donnant à l’armature une forme particulière au voisinage de cet anneau (« pièces polaires ») (figure 5c), on concentre le champ magnétique au voisinage de l’axe. Figure 5 : Lentille électromagnétique La figure 6 schématise la lentille magnétique constituée par le champ magnétique non uniforme, d'axe de révolution Oz créé dans l'entrefer de pièces polaires, entre les plans (P) et (P,) symétriques par rapport au point O. On modélise la source du champ magnétique par une bobine plate de N spires circulaires de rayon a, de centre O, d’axe Oz et parcourue par un courant électrique d’intensité stationnaire Z (figure 7). Les composantes du champ magnétique ;- B(r.p.z) dans la base cylindrique (ce. sont respectivement B,(r,@,z) » B,(r,P.2) د B.(r,p,z) - La position d’un électron, supposé non relativiste, est repérée par le point M de coordonnées cylindriques r(f), مم et مج (figure 7). L’axe Oz étant l’axe de symétrie de l’enroulement centrée en O, confondu avec l’axe de révolution du faisceau électronique. On négligera le poids de l’électron. On suppose que le faisceau électronique reste en permanence au voisinage immédiat de l’axe de la bobine. On note u, la perméabilité magnétique du vide. ( - ( 2 Bobinage produisant [11 q” ep me ee 0y70 2 21 8 7 d’électrons Figure 6 : Lentille magnétique Figure 7 : Repérage du point M 3.1. Justifier que le champ magnétique 2)0( créé par la bobine plate au point O' de son axe est porté par Oz, 20 كل B(O")e. : 3.2. Exprimer le champ magnétique 8)0( créé par la bobine plate au point 0. On posera dans 3.3. Tracer l’allure du module de B(O") en fonction de z . Dans quelle région le champ = 1 Bobine magnétique est-il intense ? 3.4. Dessiner l’allure des lignes du champ magnétique en précisant leur sens. Épreuve de Physique I 4/7 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 5 — Concours National Commun - Session 2025 - Filière MP 3.5. Justifier que le champ magnétique en un point M repéré par ses coordonnées cylindriques (r, P, z) s’écrit sous la forme : B(M)= B,(r, 6 +B,(r, 2e. . 3.6. En écrivant la conservation du flux magnétique à travers les surfaces limitant le volume d’un cylindre d’axe Oz, de rayon 7 et de longueur dz, montrer qu’au point M au voisinage de 7 903 (r, 2) 2 00 On considère un électron incident ayant coupé l’axe Oz عل l’enroulement au point A en amont de la lentille, sous l’angle .ن Dans la géométrie du champ magnétique étudié, la trajectoire de l’électron reste au voisinage immédiat de l’axe et on peut considérer que la composante axiale de B proche de l'axe ne dépend pas de بم B,(r,z)= B,(0,z) = B(z). L’électron est en mouvement à la l’axe du bobinage, on a B,(r,z)= vitesse y par rapport au référentiel du laboratoire (R) supposé galiléen. Sa vitesse initiale 2 en A est dans le plan méridien وحم et est quasi colinéaire à l’axe Oz (l’angle & que fait 0 avec l’axe Oz est de faible valeur). 3.7. Exprimer le vecteur position OM , le vecteur vitesse v(M,R) et le vecteur accélération a(M,R) de l’électron en coordonnées cylindriques dans le référentiel (R). 3.8. Écrire l’expression de la force de LORENTZ F, appliquée à un électron. 3.9. Justifier que le champ magnétique seul ne permet pas d'augmenter la vitesse de l’électron. 3.10. Ecrire le principe fondamental de la dynamique pour un électron dans le référentiel (R). 3.11. En considérant des électrons qui se déplacent selon les génératrices d'un cylindre, préciser l’effet de chacune des composantes, radiale B, et tangentielle B, du champ B. 3.12. Par projection du principe fondamental de la dynamique respectivement sur e, ; 3 et e, ; déduire trois équations différentielles que l’on numérotera respectivement (1), (2) et (3). 3.13. De la relation (2) établie dans la question précédente, déduire par intégration la relation : 2 “ dt 2 3.14. En reportant le résultat trouvé dans la question précédente dans la relation (1), montrer que + 0. Montrer que la constante d’intégration C est nulle. 4 1 + KrB’(z)=0, K étant fonction de e et m, à déterminer. l’on obtient 3.15. Que devient l’équation (3) si l’on néglige le terme du second ordre en r ? En déduire l’expression simplifiée de 5 ; 1 2 3.16. Montrer alors que l’on obtient l’équation différentielle en r(z) : a. -K'rB’(z), K' étant 2 fonction de e, m,, v, €t à à déterminer. Afin de déterminer la relation de © conjugaison de la lentille magnétique, on considère un électron incident ayant coupé l’axe de l’enroulement au point objet A puis dévié par la lentille et recoupe l’axe au point image A' (figure 8). On fait l'approximation des lentilles A Ou 0 02 A 7 minces en supposant que la distance entre les plans (RP) et (P,) est faible Figure 8 : Allure de la variation de + en fonction de z. devant la distance OA . Dans le deuxième Épreuve de Physique 1 5/7 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 6 — Concours National Commun - Session 2025 - Filière MP membre de la relation obtenue dans la question 3.16, on considère alors que 7 est constant et égal à n - On suppose ainsi que la lentille crée un champ magnétique nul partout sauf entre les cotes z(0,)=z, et z(O,)=z,. La figure 8 représente également allure de la variation de r(z) en fonction de z. 3.17. Quel est l’analogue du rayon lumineux de l’optique géométrique pour le microscope électronique ? 3.18. Exprimer ل et ا en fonction de OA, OA' et fs dz 12.2 dz 1-2 3.19. Montrer que l’on obtient 1 - + = . Commenter cette relation et exprimer la distance OA' OA f' focale f' de la lentille en fonction de e, m,, y, et de Ï *B’(z)dz. Justifier que J' est indépendante de la polarisation du champ magnétique. 3.20. La lentille magnétique est-elle convergente ou divergente ? Peut-on avoir l’autre type ? 3.21. De quel(s) paramètre(s) dépend la distance focale de la lentille magnétique ? 3.22. La tension accélératrice U étant fixée, sur quel(s) paramètre(s) peut-on agir pour modifier très précisément la valeur de f" ? 3.23. Pourquoi les lentilles magnétiques ne sont pas appropriées pour la focalisation des ions ? 3.24, Simplifier l’expression de f' en supposant B(z)= B, constant entre z, et z, et en prenant 3.25. Évaluer f' pour z,-z سساح : B,=1T et v,=2.10*m.s" . Conclure sachant que la distance focale d’un microscope est de l’ordre du millimètre. 3.26. Parallèlement à la convergence, le faisceau électronique subit une rotation d’angle .م Expliquer et tracer l’allure de la trajectoire d’un électron. 4. Pouvoir de résolution du microscope électronique Les électrons qui bombardent la surface de l’échantillon observé proviennent du canon à électrons. L’énergie cinétique qu’ils possèdent est celle qu’ils ont à la sortie du canon à électrons. Le pouvoir de résolution 6, d’un instrument correspond à la distance minimale qui doit séparer deux points de l’objet observé pour qu’ils soient correctement discernés par l’instrument. On peut montrer que le pouvoir de résolution d'un microscope (optique ou électronique) d’ouverture numérique ونه = nsinu est donnée par la relation رق =0,61 21 , À, étant la longueur d’onde dans le vide du 0 rayonnement utilisé, n l’indice du milieu dans lequel ce rayonnement se déplace et y l'angle de vue de l'objectif du microscope depuis l’échantillon (figure 9). Objectif Figure 9 : Angle de vue de l'objectif 4.1. Quel est le phénomène physique qui limite le pouvoir de résolution d’un microscope 7 Un microscope optique ne peut révéler des détails plus petits que l’ordre de grandeur de la longueur d’onde de la lumière visible. Expliquer pourquoi et donner une valeur numérique typique. 4.2. Expliquer ce qu’est la dualité onde corpuscule. Ces deux aspects sont-ils inséparables ? 4.3. En 1924, Louis DE BROGLIE émet l’hypothèse qu’il est possible d’associer à tout corpuscule matériel, de quantité de mouvement p , une onde de longueur d’onde À,,, - Donner l’expression de À, - Épreuve de Physique 1 6/7 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 7 — Concours National Commun - Session 2025 - Filière MP 44. Exprimer la longueur d’onde À,, associée à un électron non relativiste et de vitesse y; en fonction de h, m,, e et U. La tension d'accélération est habituellement de plusieurs milliers de volts, permettant à l'électron d'atteindre une proportion appréciable de la vitesse de la lumière c. À ces vitesses, les effets relativistes doivent être pris en compte. En mécanique relativiste introduite par EINSTEIN en 1905, l’énergie cinétique et la quantité de mouvement de l'électron s'écrivent respectivement, 4.5. Sachant qu’en mécanique relativiste, le théorème de l'énergie cinétique s’écrit de la même façon qu’en mécanique classique, montrer que la vitesse acquise par un électron de vitesse initiale nulle lorsqu’il est accéléré par une tension U est donnée par v, =c |1- Calculer y; pour U =10kV, U =100kV et U =1000kV . Commenter. 4.6. Montrer que la longueur d'onde des électrons est modifiée selon : À, = 1+ 7 2m,c” Retrouve-t-on l’expression obtenue dans la question 4.4 ? 4.7. On peut ainsi déterminer, en fonction de la tension accélératrice U , la longueur d’onde ;pg › dans l’hypothèse relativiste, et comparer ses valeurs avec celles de la longueur d’onde classique À;,p que l’on obtiendrait si l’on ne prenait pas en compte la relativité restreinte. Calculer Àjpp © موا POUF U=10kV , U=100kV et U=1000kV . En quoi, au vu des valeurs de À, €t de مومعة intrinsèque du microscope électronique ? 4.8. Pour un microscope optique, on prend n=1, u=85° et À, =589nm . peut-on dire que les effets relativistes limitent la résolution 4.8.1. Donner les valeurs des longueurs d’ondes extrêmes (dans le vide) du spectre visible. 4.8.2. À quelle couleur correspond la longueur d’onde À, = 589nm ? 4.8.3. Calculer l’ouverture numérique زمه et le pouvoir de résolution 6; pour le microscope optique. 4.9. Pour un microscope électronique, on prend لحم et u=10""rad . Les électrons sont accélérés par la tension - 100717 ٠ 4.9.1. Calculer l’ouverture numérique أن et le pouvoir de résolution 5; pour le microscope électronique pour la tension d’accélération U =100kV . Comparer 6° à لق et conclure. 4.9.2. On suppose l’ouverture numérique إن constante. Dans quel sens faut-il varier la tension accélératrice U si l’on souhaite améliorer la résolution des images obtenues ? 4.9.3. On souhaite obtenir un pouvoir de résolution de 10m. Quelle sera alors l’énergie cinétique des électrons envoyés sur l’échantillon ? 4.10. Expliquer l’intérêt d’utiliser des électrons plutôt que les photons de la lumière visible pour effectuer de la microscopie. Épreuve de Physique 1 7/7 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com
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Ce modèle est l'épreuve de Physique I du Concours National Commun (CNC) 2025, filière MP, concours d'accès aux écoles d'ingénieurs. Thème : « Microscope électronique à balayage ». Deux parties indépendantes : Partie 1 (4 points), accélération des électrons ; Partie 2 (16 points), canon à émission de champ, vide, lentille magnétique et pouvoir de résolution. L'énoncé fait 7 pages. Voici une correction proposée, avec les démonstrations et les applications numériques.
💡 Résultats à retenir : v = √(2eU/me) n'est valable que pour U ≲ quelques dizaines de kV ; une lentille magnétique est toujours convergente (f' ∝ 1/∫B²dz) ; la résolution d'un MEB est limitée par la longueur d'onde de De Broglie, de l'ordre du picomètre à 100 kV.
Partie 1 — Accélération des électrons
1. Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d'inertie est vérifié : un point matériel isolé (ou pseudo-isolé) y est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme. Le laboratoire (référentiel terrestre) peut être considéré comme galiléen car la durée du phénomène (traversée en quelques nanosecondes) est infime devant la période de rotation de la Terre, et les accélérations d'entraînement et de Coriolis (≲ 10⁻² m·s⁻²) sont négligeables devant l'accélération de l'électron (≈ 10¹⁶ m·s⁻²).
2. Entre les armatures règne le vide (ρ = 0) : l'équation de Poisson se réduit à ΔV = d²V/dz² = 0, donc V est affine. Avec V(0) = V1 et V(d0) = V2 : V(z) = V1 + U z/d0. Champ : E = −dV/dz ez = −(U/d0) ez (uniforme).
3. FL = qeE = (−e)(−U/d0)ez : FL = (eU/d0) ez.
4. Pour accélérer l'électron de A1 vers A2 (sens +ez), il faut U > 0 (V2 > V1 : l'électron se dirige vers les potentiels croissants).
5. Poids : meg = 9,11·10⁻³¹ × 9,81 ≈ 8,9·10⁻³⁰ N. Force électrique (U = 10 kV) : eU/d0 = 1,6·10⁻¹⁹ × 10⁴ / 0,10 = 1,6·10⁻¹⁴ N. Rapport ≈ 6·10⁻¹⁶ : le poids est totalement négligeable.
6. Théorème de l'énergie cinétique entre A1 (v = 0) et A2 : ½me(v0c)² − 0 = W(FL) = qe(V1 − V2) = eU, d'où
v0c = √(2eU/me).
• U = 10 kV : v ≈ 5,9·10⁷ m·s⁻¹ (≈ 0,20 c) ;
• U = 100 kV : v ≈ 1,9·10⁸ m·s⁻¹ (≈ 0,62 c) ;
• U = 1000 kV : v ≈ 5,9·10⁸ m·s⁻¹ (≈ 2 c).
Commentaire : le dernier résultat dépasse c, ce qui est impossible ; dès que v n'est plus petit devant c (au-delà de quelques dizaines de kV), la mécanique classique n'est plus valable et il faut un traitement relativiste (voir Partie 2, question 4.5).
Partie 2 — Microscope électronique à balayage
1. Fabrication d'un faisceau d'électrons
1.1. L'effet tunnel est un phénomène quantique : une particule peut franchir une barrière de potentiel d'énergie supérieure à la sienne, ce qui est interdit en mécanique classique. La fonction d'onde décroît exponentiellement dans la barrière sans s'annuler ; la probabilité de traversée est non nulle, d'autant plus grande que la barrière est mince et basse. Le champ intense au sommet de la pointe amincit la barrière de surface du métal, ce qui permet l'émission d'électrons (émission de champ).
1.2. Emax = 2 × 4·10³ / (10⁻⁶ × ln(4·10⁻³/10⁻⁶)) = 8·10³ / (10⁻⁶ × ln 4000) ≈ 8·10³ / (8,29·10⁻⁶) ≈ 9,6·10⁸ V·m⁻¹, soit environ 10⁹ V·m⁻¹, dans la plage annoncée (10⁹ à 10¹⁰ V·m⁻¹).
1.3. Les électrons se déplacent vers les potentiels croissants : il faut Vp < Ve < Vacc. L'anode d'accélération étant reliée à la masse (Vacc = 0, figure 4), Ve doit être négatif (et supérieur au potentiel de la pointe).
1.4. À l'électrode d'extraction, l'électron (v = 0) a l'énergie potentielle Ep = qeVe = −eVe = 15 keV, qu'il convertira en énergie cinétique en rejoignant l'anode à la masse. D'où Ve = −15 kV.
1.5. La tension d'extraction Uep = Ve − Vp = 4 kV (électrode d'extraction positive par rapport à la pointe), d'où Vp = Ve − Uep = −19 kV (réponse probable : elle repose sur cette lecture du schéma de la figure 4).
2. Un vide quasi-parfait
2.1. Gaz parfait : PV = NkBT ⇒ n* = N/V = P/(kBT).
2.2. l = kBT / (π√2 σ² P) : le libre parcours moyen est inversement proportionnel à la pression.
2.3. À T = 300 K, kBT = 4,14·10⁻²¹ J :
| Pression | n* (m⁻³) | l |
|---|---|---|
| 1 atm = 1013 mbar | ≈ 2,4·10²⁵ | ≈ 6,6·10⁻⁵ mm ≈ 66 nm |
| 10⁻⁶ mbar (10⁻⁴ Pa) | ≈ 2,4·10¹⁶ | ≈ 6,7·10⁴ mm ≈ 67 m |
| 10⁻¹⁰ mbar (10⁻⁸ Pa) | ≈ 2,4·10¹² | ≈ 6,7·10⁸ mm ≈ 670 km |
Commentaire : sous vide poussé, le libre parcours moyen devient très grand devant les dimensions de la colonne du microscope (de l'ordre du mètre) : les molécules (et a fortiori les électrons du faisceau) ne subissent pratiquement plus de collisions.
2.4. Le vide (10⁻³ à 10⁻⁴ Pa, soit l ≈ 7 à 70 m) est nécessaire pour que les électrons ne soient pas diffusés ni ralentis par les molécules de gaz (faisceau fin et d'énergie bien définie) ; il évite aussi l'ionisation du gaz et les décharges sous haute tension, ainsi que la contamination et l'oxydation de la pointe émettrice et de l'échantillon.
2.5. Le blindage protège l'utilisateur des rayons X émis lorsque les électrons rapides frappent l'échantillon et les parois ; il isole aussi le faisceau des champs électromagnétiques extérieurs parasites qui le dévieraient.
3. Fonctionnement d'une lentille magnétique
3.1. Tout plan contenant l'axe Oz est un plan d'antisymétrie de la distribution de courants (courants orthoradiaux). Le champ magnétique (pseudo-vecteur) appartient aux plans d'antisymétrie ; en un point O' de l'axe, il appartient à tous les plans contenant Oz, donc à leur intersection : B(O') = Bz(O')ez.
3.2. Loi de Biot et Savart pour N spires (on intègre sur la spire, seule la composante axiale subsiste) : B(O') = μ0NI a² / (2(a² + z²)3/2) ez = (μ0NI/(2a)) sin³ψ ez, ψ étant le demi-angle sous lequel la spire est vue depuis O' (I compté positivement dans le sens de eφ).
3.3. Courbe « en cloche », paire en z, maximale en z = 0 (Bmax = μ0NI/(2a)), décroissant en 1/|z|³ loin de la bobine. Le champ est intense dans la région |z| ≲ a, c'est-à-dire au voisinage de O, dans l'entrefer entre les pièces polaires.
3.4. Les lignes de champ traversent la bobine parallèlement à l'axe (dans le sens de ez si I circule dans le sens de eφ, règle de la main droite), s'évasent en sortie et se referment à l'extérieur autour des enroulements ; elles sont orientées dans le sens de la règle du tire-bouchon.
3.5. Invariance par rotation autour de Oz : les composantes ne dépendent pas de φ. Le plan (M, Oz) est un plan d'antisymétrie des courants : B(M) appartient à ce plan, donc Bφ = 0. D'où B(M) = Br(r, z)er + Bz(r, z)ez.
3.6. Le flux de B est conservatif (div B = 0) : il est nul à travers la surface fermée du petit cylindre (rayon r, entre z et z + dz). Près de l'axe, Bz ≈ uniforme sur chaque disque : πr²Bz(z + dz) − πr²Bz(z) + 2πr dz Br(r, z) = 0 ⇒ Br(r, z) = −(r/2) ∂Bz/∂z.
3.7. OM = r er + z ez ;
v = ṙ er + rφ̇ eφ + ż ez ;
a = (r̈ − rφ̇²) er + (2ṙφ̇ + rφ̈) eφ + z̈ ez, avec 2ṙφ̇ + rφ̈ = (1/r) d(r²φ̇)/dt.
3.8. FL = qe v ∧ B = −e v ∧ B (pas de champ électrique dans la lentille).
3.9. FL·v = −e(v ∧ B)·v = 0 : la force magnétique ne travaille pas ; par le théorème de l'énergie cinétique, ‖v‖ reste constante. Le champ magnétique seul dévie les électrons mais ne les accélère pas.
3.10. me a(M/R) = −e v ∧ B.
3.11. Pour v = ż ez (électron parallèle à l'axe) : la composante Bz n'a aucun effet (ez ∧ ez = 0) ; la composante radiale Br donne une force −eżBr(ez ∧ er) = −eżBreφ, orthoradiale : Br met l'électron en rotation autour de l'axe. Ensuite, la vitesse orthoradiale ainsi acquise combinée à Bz produit une force radiale : c'est elle qui ramène l'électron vers l'axe (focalisation).
3.12. v ∧ B = rφ̇Bz er + (żBr − ṙBz) eφ − rφ̇Br ez. Projections :
(1) me(r̈ − rφ̇²) = −e rφ̇Bz ;
(2) me(1/r) d(r²φ̇)/dt = e(ṙBz − żBr) ;
(3) mez̈ = e rφ̇Br.
3.13. Avec Bz = B(z) et Br = −(r/2) dB/dz : żBr = −(r/2)(dB/dz)ż = −(r/2) dB/dt le long de la trajectoire. En multipliant (2) par r : me d(r²φ̇)/dt = e(rṙB + (r²/2) dB/dt) = e d(r²B/2)/dt. Intégration : mer²φ̇ = er²B(z)/2 + C. Au point A, l'électron coupe l'axe : r = 0, d'où C = 0. Donc φ̇ = eB/(2me) (pulsation de Larmor).
3.14. Dans (1) : r̈ = rφ̇² − (e/me)rφ̇B = r(eB/2me)² − r(e/me)(eB/2me)B = −r e²B²/(4me²). D'où d²r/dt² + KrB²(z) = 0 avec K = e²/(4me²).
3.15. Dans (3) : mez̈ = e r (eB/2me)(−(r/2)dB/dz), terme d'ordre r². En le négligeant : z̈ = 0, donc ż = cte = sa valeur en A : dz/dt = v0 cos α (≈ v0).
3.16. d/dt = ż d/dz et ż constant ⇒ r̈ = v0²cos²α d²r/dz². D'où d²r/dz² = −K'rB²(z) avec K' = e²/(4me²v0²cos²α).
3.17. L'analogue du rayon lumineux est la trajectoire d'un électron (le faisceau électronique joue le rôle du pinceau lumineux).
3.18. Hors de la lentille, B = 0 et r(z) est affine (figure 8). Lentille mince (O1 ≈ O ≈ O2), mesures algébriques sur l'axe orienté par ez (OA < 0, OA' > 0) : (dr/dz)z1 = r0/(0 − OA) = −r0/OA et (dr/dz)z2 = (0 − r0)/OA' = −r0/OA'.
3.19. On intègre 3.16 de z1 à z2 avec r ≈ r0 :
(dr/dz)z2 − (dr/dz)z1 = −K'r0∫z1z2B²dz, soit −r0/OA' + r0/OA = −K'r0∫B²dz, donc
1/OA' − 1/OA = 1/f' avec f' = 4me²v0²cos²α / (e²∫z1z2B²(z)dz).
C'est la relation de conjugaison de Descartes d'une lentille mince (origine au centre) : A' est l'image de A indépendamment de r0 (stigmatisme approché, conditions de Gauss). f' dépend de B² : inverser le courant (B → −B) ne change rien, f' est indépendante de la polarisation du champ.
3.20. f' > 0 toujours : la lentille magnétique est toujours convergente. On ne peut pas obtenir une lentille magnétique divergente de ce type (à symétrie de révolution et champ statique).
3.21. f' dépend de la vitesse v0 (donc de la tension accélératrice U), du rapport me/e de la particule, de l'angle α (faiblement, cos²α ≈ 1) et du profil du champ via ∫B²dz (courant I, nombre de spires N, géométrie des pièces polaires et de l'entrefer).
3.22. U fixée, on agit sur le courant I dans la bobine : B ∝ NI, donc f' ∝ 1/I² ; le courant se règle électriquement de façon fine et continue (mise au point).
3.23. Avec v0² = 2qU/m (α ≈ 0) : f' = 4m²v0²/(q²∫B²dz) = 8mU/(q∫B²dz), proportionnelle à la masse. Pour un ion, m est au moins 1836 fois plus grande que me : la distance focale serait des milliers de fois plus longue, ou il faudrait des champs irréalisables. On utilise donc des lentilles électrostatiques pour les ions.
3.24. B = B0 entre z1 et z2, α ≈ 0 : f' = 4me²v0² / (e²B0²(z2 − z1)).
3.25. f' = 4 × (9,11·10⁻³¹)² × (2·10⁸)² / ((1,6·10⁻¹⁹)² × 1² × 10⁻³) ≈ 5,2·10⁻³ m ≈ 5 mm. Cet ordre de grandeur (millimètre) est bien celui des objectifs de microscopes électroniques : le modèle est cohérent.
3.26. Dans la lentille, φ̇ = eB/(2me) ≠ 0 : l'électron tourne autour de l'axe tout en convergeant. Angle total : Δφ = ∫(eB/2me)dt = (e/(2mev0))∫B dz ; avec les valeurs de 3.25 : Δφ = eB0(z2 − z1)/(2mev0) ≈ 0,44 rad ≈ 25°. Allure : segment de droite dans le plan méridien φ = 0 avant la lentille, portion hélicoïdale (arc tournant autour de l'axe) dans l'entrefer, puis segment de droite dans un autre plan méridien tourné de Δφ, qui recoupe l'axe en A'. Conséquence : l'image est tournée par rapport à l'objet.
4. Pouvoir de résolution du microscope électronique
4.1. Le phénomène limitant est la diffraction (par la pupille de l'objectif) : l'image d'un point est une tache de largeur ~ λ/ω0, et deux points plus proches que δm donnent des taches confondues (critère de Rayleigh). Comme ω0 = n sin u ≲ 1, δm est au mieux de l'ordre de λ ; pour la lumière visible (λ ≈ 400 à 800 nm), δm ≈ 0,2 à 0,3 µm.
4.2. Dualité onde-corpuscule : la lumière et la matière présentent selon l'expérience un comportement ondulatoire (interférences, diffraction) ou corpusculaire (effet photoélectrique, impacts localisés, quantification des échanges d'énergie). Les deux aspects sont complémentaires et indissociables : ils décrivent le même objet quantique, même si une expérience donnée n'en révèle qu'un à la fois (ex. : fentes d'Young éclairées particule par particule, où les impacts individuels reconstruisent la figure d'interférence).
4.3. λLDB = h/p, p = ‖p‖.
4.4. ½mev² = eU ⇒ p = mev = √(2meeU) ⇒ λLDBc = h/√(2meeU).
4.5. Théorème de l'énergie cinétique : (γ − 1)E0 = eU ⇒ γ = 1 + eU/E0. Or 1/γ² = 1 − v²/c² ⇒ v0r = c√(1 − 1/(1 + eU/E0)²), avec E0 = mec² ≈ 8,20·10⁻¹⁴ J ≈ 512 keV.
• U = 10 kV : v ≈ 5,84·10⁷ m·s⁻¹ (0,195 c ; valeur classique 0,198 c) ;
• U = 100 kV : v ≈ 1,64·10⁸ m·s⁻¹ (0,548 c ; classique 0,625 c) ;
• U = 1000 kV : v ≈ 2,82·10⁸ m·s⁻¹ (0,941 c ; classique 1,98 c).
Commentaire : v reste toujours inférieure à c ; l'écart avec le calcul classique est faible à 10 kV (≈ 1,5 %), notable à 100 kV (≈ 14 %) et énorme à 1000 kV.
4.6. Relation énergie-impulsion : E² = p²c² + E0², avec E = E0 + eU. D'où p²c² = (eU)² + 2eUE0 ⇒ p = √(2meeU(1 + eU/(2mec²))). Donc λLDBr = h/p = λLDBc / √(1 + eU/(2mec²)). Pour eU ≪ mec², la racine tend vers 1 : on retrouve bien l'expression classique de 4.4.
4.7.
| U | λc | λr | λr/λc |
|---|---|---|---|
| 10 kV | 1,23·10⁻¹¹ m | 1,22·10⁻¹¹ m | 0,995 |
| 100 kV | 3,88·10⁻¹² m | 3,71·10⁻¹² m | 0,955 |
| 1000 kV | 1,23·10⁻¹² m | 8,7·10⁻¹³ m | 0,71 |
Interprétation (réponse probable, la formulation de la question étant ambiguë) : l'écart entre les deux calculs devient important au-delà de 100 kV, et c'est λr qu'il faut utiliser. La longueur d'onde est en fait plus courte que la prévision classique, mais augmenter U au-delà de quelques centaines de kV demande des installations beaucoup plus lourdes (isolement, blindage contre les rayons X, dégâts sur l'échantillon) pour un gain de résolution qui reste de l'ordre du picomètre ; en pratique, la résolution réelle est surtout limitée par les aberrations des lentilles et par la faible ouverture u.
4.8.1. Spectre visible : de ≈ 400 nm (violet) à ≈ 800 nm (rouge) (souvent 380–780 nm).
4.8.2. λ0 = 589 nm correspond au jaune (raie D du sodium).
4.8.3. ω0o = 1 × sin 85° ≈ 0,996 ; δmo = 0,61 × 589 / 0,996 ≈ 361 nm ≈ 0,36 µm.
4.9.1. ω0e = sin(10⁻²) ≈ 1,0·10⁻². À 100 kV, λr ≈ 3,71·10⁻¹² m : δme = 0,61 × 3,71·10⁻¹² / 10⁻² ≈ 2,3·10⁻¹⁰ m ≈ 0,23 nm. δmo/δme ≈ 1,6·10³ : malgré une ouverture 100 fois plus faible, le microscope électronique résout des détails environ 1600 fois plus fins, à l'échelle atomique.
4.9.2. δm ∝ λ, et λ diminue quand U augmente : il faut augmenter la tension accélératrice U.
4.9.3. λ = δmω0/0,61 = 10⁻¹² × 10⁻² / 0,61 ≈ 1,64·10⁻¹⁴ m ; p = h/λ ≈ 4,0·10⁻²⁰ kg·m·s⁻¹, pc ≈ 1,21·10⁻¹¹ J ≈ 75,8 MeV ≫ E0. Ec = √(p²c² + E0²) − E0 ≈ 75 MeV (≈ 1,2·10⁻¹¹ J) : électrons ultra-relativistes, énergie irréaliste pour un microscope (il faudrait une tension de l'ordre de 75 MV).
4.10. Intérêt des électrons : leur longueur d'onde (quelques pm) est des milliers de fois plus petite que celle de la lumière visible (≈ 500 nm), d'où une résolution bien meilleure ; étant chargés, ils sont facilement accélérés, focalisés par des lentilles électromagnétiques et déviés pour balayer l'échantillon ; leur interaction avec la matière produit des électrons secondaires qui renseignent sur le relief (image en 3D, grande profondeur de champ).
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المصدر: مباريات ولوج المدارس والمعاهد العليا
