نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2006: الفيزياء 2 - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

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ROYAUME DU MAROC

Ministère de l'Éducation Nationale, de l'Enseignement Supérieur,
de la Formation des Cadres et de la Recherche Scientifique

Présidence du Concours National Commun
École Mohammadia d'Ingénieurs

Concours National Commun d’admission

aux Grandes Ecoles d'Ingénieurs ou assimilées
Session 2006

ÉPREUVE DE PHYSIQUE Il

Filière MP

Durée 4 heures

Cette épreuve comporte 9 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est autorisé

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Concours National Commun - Session 2006 - Filière MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 9 pages.
L'usage de la calculatrice est autorisé.

On veillera à une présentation claire et soignée des copies. Il convient en particulier de rappeler avec

précision les | références | des questions abordées.

Indice de réfraction de l’air

Le problème propose l’étude et l'exploitation d’une méthode de mesure simple de l'indice de
réfraction de l'air. Une telle mesure est rendue difficile par le fait que l'indice de réfraction de l'air
est très proche de 1. Aussi recourt-on à une méthode interférentielle utilisant l’interféromètre de
MICHELSON. La première partie est une étude succincte et simplifiée du phénomène de réfraction
atmosphérique. La deuxième partie propose de retrouver quelques résultats généraux sur les
interférences à deux ondes. La troisième partie est consacrée à la mesure de l'indice de réfraction
de l'air alors que la quatrième partie propose de retrouver théoriquement les variations de l’indice
en fonction des paramètres d'état du système. Les quatre parties sont indépendantes entre elles. Au
sein de chaque partie, plusieurs questions sont indépendantes.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa
copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Dans les applications numériques, qui ne doivent pas être négligées, une attention particulière
sera prêtée au nombre de chiffres à utiliser pour afficher les résultats. Ce nombre, qui dépend en
général du niveau de précision recherché, ne doit en aucun cas dépasser le nombre de chiffres
significatifs permis par les données. La valeur numérique de toute grandeur physique doit être
accompagnée de son unité dans le système international des unités (SI). On notera i le nombre
complexe de module 1 et d'argument x/2.

Une feuille de papier millimétré recto-verso sera fournie à chaque candidat. Elle servira aux
représentations graphiques, une par face, demandées aux questions 3.1.16. et 3.2.6.2.

1** partie
Réfraction atmosphérique

La réfraction atmosphérique est une manifestation naturelle de l'existence de l'atmosphère
terrestre avec un indice de réfraction de l'air n # 1. Pour se rendre compte de ce phénomène
atmosphérique, considérons le modèle simple selon lequel on néglige la courbure de la Terre et
où l’on considère que l'atmosphère, de hauteur uniforme H, est isobare et isotherme. L'indice de
réfraction n de l'air est donc uniforme en tout point de l'atmosphère.

1.1. On considère un rayon lumineux, émis par exemple par une étoile et arrivant en haute
atmosphère sous un angle d'incidence ip.

1.1.1. Montrer à l’aide d’un schéma, qu’un observateur à la surface de la Terre reçoit ce rayon
sous un angle d'incidence 1 différent de iv.

1.1.2. Donner la relation entre ip, à et n. Pourquoi : est-il très proche de ip ?
1.13. En faisant un développement limité adéquat, exprimer À = ip — 1 en fonction 0610 et n.

1.14. Calculer numériquement À en minutes d’arc pour à = 09, ‏و‎ = 60° et io = 80° et
commenter les résultats obtenus. On donne n — 1 = 3x 107.

Épreuve de Physique II 1/9 Tournez la page S.V.P.

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1.1.5. Que dire du résultat obtenu pour ‏و‎ = 90° ? Expliquer.

1.2. Sur Terre, les étoiles paraissent souvent colorées lorsqu'elles se lèvent ou se couchent à
l'horizon. Pourquoi ?

2ème partie
Interférences à deux ondes

L'interféromètre de MICHELSON est un dispositif interférentiel à deux ondes aux usages mul-
tiples. Pour la présente étude, on considère (figure 1) un modèle d’interféromètre de MICHELSON
constitué de :

- un miroir plan M, pouvant tourner autour de l’axe ‏عبط‎ orthogonal au plan de la figure ;

— un miroir plan Ms pouvant tourner autour de l'axe Az, orthogonal au plan de la figure, et
subir un mouvement de translation parallèlement à la direction Oy ;

— une lame séparatrice ‏,م5‎ qui réfléchit la moitié de la lumière qu'elle reçoit et transmet l’autre
moitié. Elle est orientée à 45° des axes Oz et Oy et placée de sorte que son centre coïncide
avec O. On suppose que son épaisseur est nulle et qu'elle n’introduit aucun déphasage
supplémentaire.

Figure 1: Modèle d'interféromètre de MICHELSON.

2.1. Dire brièvement en quoi le modèle d’interféromètre de MICHELSON proposé, est-il différent
de l’interféromètre réel. On expliquera le rôle des éléments essentiels de l’interféromètre réel.

2.2. On rappelle les équations de MAXWELL dans un milieu optique transparent, linéaire,
isotrope et homogène d'indice de réfraction n :

Ÿ.E-0 3,x._058

2-48 وو

1
‏ون‎ est la célérité de la lumière dans le vide.

2.2.1. Donner les valeurs de l'indice de réfraction n pour l’eau pure et pour le verre ordinaire.

2.2.2. Montrer que le champ électrique É est solution d’une équation de propagation que l'on
établira et exprimer la célérité c de la lumière dans le milieu considéré en fonction de cp et n.

Épreuve de Physique II 2/9 ‏جب‎

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2.3. Par la suite on utilisera l’approximation scalaire dans le cadre de laquelle la lumière est
décrite par une grandeur scalaire #(M,t) appelée vibration lumineuse et représentant l’une des
composantes du champ électromagnétique de l'onde.

2.3.1. Écrire l'équation de propagation dont #(M, t) est solution.
On s'intéresse à la description de la propagation par onde plane.
2.3.2. Qu'appelle-t-on onde plane ?

2.3.3. Donner la solution générale (M, t) de l'équation de propagation précédente pour une
onde plane se propageant dans la direction Oz. Quelle interprétation physique peut-on donner à
chacun des termes qui constituent la solution ?

2.3.4. Donner le schéma d’un montage optique simple permettant de réaliser une onde quasi-
plane au laboratoire.

On considère maintenant le cas où (M, t) dépend du temps t et d’une seule coordonnée spatiale
notée 7 et représentant la distance entre le point M et une origine fixe O.

2.3.5. Établir dans ce cas, l'équation aux dérivées partielles vérifiée par &(r,t) = ‏.عاب‎ On
rappelle que le laplacien d’une une fonction f ne dépendant que de la variable sphérique r est
donné par :

r 2

23.6. En déduire que ‏حاب‎ t) est donnée par :
ET ‏4م ل‎ c
2.3.7. Que représente chacun des deux termes de cette solution. Comment qualifie-t-on l'onde

décrite par chacun des deux termes pris séparément ?

2.3.8. Donner le schéma d’un montage optique simple où l'on rencontre les deux ondes
précédentes.

3ème partie
Mesure de l'indice de réfraction de l’air

Dans cette partie, on se propose de montrer comment on peut réaliser des mesures très précises
de l’indice de réfraction n de l'air en utilisant un interféromètre de MICHELSON.

3.1. Étude de la figure d’interférence

On considère le montage représenté figure 2. Les deux miroirs M, et M» de l’interféromètre
sont perpendiculaires d’un à l'autre. La source est un Laser He-Ne de longueur d'onde dans le
vide A) = 632,8 nm. Elle éclaire l'interféromètre à travers un oculaire de microscope que l’on
peut assimiler à une seule lentille convergente L de courte distance focale f) = 5 mm. L'écran
d'observation Œ est placé à la sortie de l’interféromètre, perpendiculairement à la droite A,0.

3.11. Quelle est la couleur du faisceau Laser utilisé ?

Épreuve de Physique I 3/9 Tournez la page S.V.P.

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Figure 2: Interféromètre de MICHELSON en observation longitudinale.

3.1.2. Montrer à l’aide d’un schéma, que l'ensemble constitué de la source Laser et de l’oculaire
du microscope permet d'éclairer l'interféromètre de MICHELSON par une source ponctuelle mono-
chromatique 5. Où se trouve S ? On pourra poser SO = ‏.م‎

Soient S, et S2 les images de S à travers l’interféromètre :
- S, est l'image de S successivement par ‏م5‎ et M; ;
- ‏و5‎ est l'image de 5 successivement par M2 et Sy

3.13. Faire un schéma représentatif de l’interféromètre indiquant les positions des images ‏ر5‎
‎et 52. On indiquera aussi les positions de l'image intermédiaire S,, de 5 par S, ainsi que l’image
intermédiaire S,, de S par Ma.

3.1.4. Déterminer l'expression de la distance a = 5,5» séparant S et ‏وق‎ en fonction des
longueurs €, et £a des deux bras de l'interféromètre.

3.15. En considérant le cheminement au sein de l’interféromètre des deux rayons lumineux
issus de S et qui interfèrent en un point M du champ d'interférence, montrer à l’aide d’une
construction graphique, que la différence de marche optique est donnée par :

3.1.6. Donner l'expression de l'intensité lumineuse en un point M du champ d’interférence en
fonction de à et ‏.وض‎ On notera Ip l'intensité totale injectée par la source 5 dans l’interféromètre.
Quelle est la nature géométrique des surfaces d’égale intensité ?

On dispose un écran (E) perpendiculairement à la droite joignant S; et ‏وق‎ (figure 3) à la distance
D du milieu du segment [S1, 52[. On note 7, = S,M et ra = ‏.ارو‎

3.1.7. Quelle est la nature géométrique des franges d’interférence obtenues sur l'écran 7

3.1.8. Exprimer ra — 7, en fonction de y, z, D et a. y et z étant les coordonnées du point M dans
le plan de l'écran (Œ).

Dans la pratique, on limite l'observation au voisinage du centre C de la figure d'interférence.
Dans ce cas, un développement limité donne :
‏ني رح‎ ra
‏ءءء‎ 2 D?
3.1.9. Donner dans ce cas, l'expression de l’ordre d'interférence ‏م‎ = 6/A0 au point M. Montrer
qu'il est maximum au centre 0 de la figure d'interférence obtenue sur l'écran E. Par la suite, on note
po la valeur de pen ©.

Épreuve de Physique I 4/9 =

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Figure 3: Observation longitudinale.

3.1.10. Montrer que les franges obtenues sur l'écran (E) sont des anneaux concentriques de
centre 0 et de rayon R, que l’on exprimera en fonction de n, a, Ao, D et po — 0.

On note E[p(C")] = ‏و‎ la partie entière de l’ordre d'interférence en C et on pose :
Po = ko +
€ est appelé ordre fractionnaire en C(0 ‹ € › 1).

3.1.11. Que vaut € respectivement dans le cas où le centre est brillant (maximum d'intensité) et
dans le cas où le centre est sombre (minimum d'intensité) ?

3.112. Que vaut p pour un anneau clair ? En déduire que les rayons des anneaux clairs peuvent
être écrits sous la forme :

et donner l'expression de m. Quelles sont les valeurs permises pour m ?

Pour vérifier expérimentalement la loi de variation des rayons des anneaux, on remplace l'écran
(E) par un capteur linéaire à barrette CCD (charge coupled device) ou DTC (dispositif à transfert de
charges). Cette barrette est composée de 2048 éléments photosensibles ou pixel (Picture Element)
indépendants. Chaque pixel a une largeur moyenne de 14 jm. La barrette CCD est reliée via
son boîtier électronique à un ordinateur qui, grâce à un logiciel approprié, affiche en temps réel
l'intensité lumineuse reçue par chaque pixel sous forme d'un graphique.

La figure 4 donne la disposition de la barrette par rapport aux franges d'interférence (figure 4(a))
ainsi que l'intensité lumineuse enregistrée par chaque pixel en fonction du numéro du pixel (figure

3.1.13. Pourquoi faut-il que la barrette CCD coïncide avec un diamètre commun des anneaux ?
Comment peut-on s'assurer de cela dans la pratique ?

3.1.14. Pour pouvoir pointer un maximum d'anneaux clairs, la barrette CCD a été décentrée
par rapport aux anneaux formant la figure d'interférence. Quel est l'intérêt de garder un anneau de
l'autre côté du centre ?

3.115. Déterminer les numéros de pixel des différents anneaux clairs présents sur le graphique
de la figure 4. En déduire la position du centre de la figure d’interférence ainsi que les rayons Rem
des différents anneaux brillants.

Épreuve de Physique II 5/9 Tournez la page S.V.P.

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7 S

192

intensité en niveau de gris

CCD 128
N 7 RAI
1 512 1024 1536 2048
position en pixel
(a) Disposition de la barrette CCD. (b) Enregistrement obtenu.

Figure 4: Disposition de la barrette CCD et enregistrement obtenu.

3.1.16. À l'aide d’une représentation graphique adéquate, montrer que la loi théorique donnant
les rayons des anneaux est vérifiée et en déduire la valeur de l’ordre fractionnaire au centre. Le
résultat obtenu est-il en accord avec la figure 7

Le miroir M; étant fixe, on translate M9 dans le le sens qui fait diminuer la distance a = 5,59.

3.1.17. Montrer que les anneaux voient leur rayons diminuer et finissent par disparaître en C.

3.2. Indice de réfraction de l’air

En partant du réglage précédent (3.1.2.), on place une cuve hermétique ‏فل‎ faces parallèles dans
l’un des bras de l’interféromètre de MICHELSON. La cuve C, de longueur intérieure 2, est placée de
sorte que ses faces soient parallèles au miroir M». L'intérieur de la cuve peut être mis à la pression
atmosphérique à l'aide d’un robinet. Une pompe à vide permet de réaliser un vide partiel au sein
de la cuve. Un manomètre indique la dépression AP = ‏رم — ام‎ P' étant la pression à l’intérieur
de la cuve et P la pression atmosphérique de travail ou pression ambiante. On note ‏كد‎ l'indice de
réfraction de l'air à l’intérieur de la cuve où la pression vaut P”.

3.2.1. Calculer la différence de marche optique dy des deux ondes lumineuses qui interfèrent
en 0 et en déduire la nouvelle distance ‏وري = كه‎ entre les deux images de la source S par
l'interféromètre en fonction de €, 4, £a, netn'.

3.2.2. Donner l'expression de l'intensité lumineuse 7 en un point M de coordonnées y et ‏ع‎
‎du champ d'interférence. On notera encore ‏و71‎ l'intensité totale injectée dans l’interféromètre et on
négligera les réflexions sur les faces de la cuve.

3.2.3. Quel est l’ordre d’interférence ‏م‎ au point M ? En déduire que, lorsque la pression dans
la cuve augmente de 7 à P, les anneaux défilent dans le champ d’interférence. On rappelle que
l'indice de réfraction d'un gaz augmente lorsque sa pression augmente.

3.24. Exprimer la variation AÂpo = po — ‏وم‎ de l’ordre d’interférence en C lorsque la pression
dans la cuve passe de 7 à P. Que représente App ?

Épreuve de Physique II 6/9

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3.25. En déduire que l'indice de réfraction de l'air dans les conditions de l'expérience est donné
par:

No Ào
22

n=l1+

‎étant le nombre de franges qui défilent au centre C de la figure d'interférence, lorsque la pression‏ وا
‎dans la cuve passe de 0 (vide parfait) à P (pression atmosphérique ambiante).‏

‎3.2.6. Conduite d'une expérience de mesure d'indice

‎Pour mesurer l'indice de l'air par la méthode précédente, on utilise un détecteur de lumière relié
à une système informatique d'acquisition. Le détecteur, qui peut être considéré comme ponctuel en
bonne approximation, est placé au centre 0 de la figure d'interférence. La mesure de l'indice se fait
alors selon les étapes suivantes :

‎- Le robinet de communication de la cuve à faces parallèles C avec l'extérieur étant fermé, on
commence par créer une dépression AP au sein de C.

‎- On lance l'enregistrement de l'interférogramme et on ouvre le robinet pour laisser rentrer l'air
dans la cuve.

‎— On répète cette opération pour différentes valeurs de la dépression AP.

‎La figure 5 donne les interférogrammes obtenus pour différentes valeurs de AP. L'expérience a
été réalisée sous une pression atmosphérique P = 969 hPa et une température 0 = 21 °C.

‎AP=-400 hPa AP=-500 hPa AP=-600 hPa
32 ‏ب‎ 3
10 20 30 temps(s) 10 20 30 temps (s) 10 20 30 temps (s)
AP=-100 hPa AP=-200 hPa AP=-300 hPa
10 20 30 temps (s) 10 20 30 temps(s) 10 20 30 temps (s)

‎Figure 5: Interférogrammes obtenus pour différentes valeurs de la pression 7 = P + AP dans la
cuve à la température 0 = 21 °C sous la pression ambiante P = 969 hPa.

‎3.2.6.1. Déterminer le nombre N des franges d'interférence qui défilent à l'ouverture du
robinet pour les différentes valeurs de AP. On présentera les résultats sous forme d'un tableau.

‎3.2.6.2. Tracer la courbe représentative du nombre N de franges qui défilent à l'ouverture du
robinet, en fonction de la pression P” à l'intérieur de la cuve C.

‎3.2.6.3. Déterminer graphiquement le nombre Ny de franges qui défilerait si la cuve était
initialement parfaitement vidée.

‎3.2.6.4. En déduire la valeur de n — 1. Données : ‏مل‎ = 632,8 nm et € = 50 mm.

‎Épreuve de Physique II 7/9 Tournez la page S.V.P.

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4°me partie
Modèle de variation d'indice
Dans cette partie, on se propose d'utiliser le modèle de l'électron élastiquement lié pour se rendre
compte des variations de l'indice de réfraction de l'air en fonction des paramètres pression P et

température T. On suppose alors qu’un électron optique* est lié élastiquement à l'atome, d'azote ou
d'oxygène, avec une force de rappel que l’on écrit sous la forme simplifiée :

7, -meuê ?

où 7 désigne le déplacement de l'électron par rapport à sa position d'équilibre correspondant à un
moment dipolaire nul. Pour tenir compte de l'amortissement de son mouvement, on suppose que
l’électron est aussi soumis à l’action d’une force de frottement de type fluide que l’on écrit sous la
forme :
2 — Me 7
0 + dt

7 désigne le déplacement de l’électron sous l’action du champ électromagnétique de l'onde
lumineuse. L'étude sera menée dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

On rappelle que, tout en étant différent de 1, l'indice de réfraction de l'air n reste très proche de

4.1. 1/0006 lumineuse incidente est décrite par une onde électromagnétique plane progressive et
monochromatique dont le champ électrique s'écrit en notation complexe :

2 = Epexpi( 4 -7 —wt)
4.1.1. Montrer que le champ électrique est transverse.

4.1.2. Exprimer le champ magnétique B de l'onde lumineuse en fonction de É, k etw.
Montrer qu'il est également transverse.

4.2. Dans toute la suite, on néglige le poids de l’électron.

4.2.1. Exprimer la force de LORENTZ à laquelle est soumis un électron atomique de la part de
l'onde électromagnétique et montrer que, dans le cadre non relativiste, la partie magnétique peut
être négligée devant la partie électrique.

4.2.2. Déterminer l'équation différentielle du mouvement de l'électron vérifiée par 7 (t).

4.23. En se plaçant en régime forcé, déterminer la représentation complexe du déplacement 7”
de l'électron. On négligera les variations du champ électrique de l'onde sur des distances de l’ordre

الات
‎En déduire le moment dipolaire 2 induit par le déplacement de l’électron ainsi que le‏ .4.24

vecteur polarisation défini par P = N 7 ; où N est la densité volumique des électrons optiques.

4.2.5. Montrer que BP peut se mettre sous la forme :
B=ou-1E

définissant l'indice de réfraction complexe n du milieu. En déduire l'expression de n° en fonction
de N, 6 60, Me, T, w et 0

! C'est-à-dire pouvant répondre à une excitation optique.

Épreuve de Physique Il 8/9 ‏جب‎

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8 Concours National Commun - Session 2006 - Filière MP

4.3. Dans le domaine visible auquel on s'intéresse, on peut considérer que w › up et on peut
négliger l'amortissement. Montrer alors que, compte tenu de n = 1 :

‎2 me Eo w8
4.4. On admet que les molécules de dioxygène et de diazote qui composent majoritairement l'air,
possèdent chacune deux électrons optiques. On suppose en plus que l'air se comporte comme un

gaz parfait. En déduire la loi de GLADSTONE donnant l'indice de réfraction de l’air en fonction de
la pression P et la température 7 :

n-l=a 2

et exprimer la constante œ en fonction de ‏رون‎ me, ‏وه‎ et la constante de BOLTZMAN ‏.و‎

FIN DE L'ÉPREUVE

Épreuve de Physique II 9/9

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