نموذج مباراة التعليم (توظيف أطر الأكاديميات) - اختبار في مادة التخصص - الرياضيات - التعليم الثانوي 2016

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المركز الوطني للتقويم والامتحانات والتوجيه

Consignes générales

L'épreuve est constituée de quatre exercices indépendants les uns des autres. Le
candidat est libre de traiter le sujet dans l'ordre qui lui convient à condition de bien
mentionner les références complètes de chaque question traitée.

il sera tenu compte dans l'appréciation des copies de la rigueur de votre

raisonnement, de la clarté de la rédaction et du soin apporté à la présentation de

votre copie.

Le candidat peut utiliser les résultats énoncés dans les questions précédentes, il
veillera toutefois à mentionner la référence du résultat utilisé.

Les calculatrices et tout matériel électronique ainsi que les documents sont
interdits lors de cette épreuve.

Important

Si le candidat repère ce qu'il pense être une erreur de l'énoncé, il le
signale sur sa copie en expliquant les raisons qui l'ont amené à le
penser. Ceci ne doit pas l'empêcher de finir son épreuve et il a le
choix d'adopter les rectifications qu'il croit nécessaires ou pas.

Barème

[ EXERCICE 1 | EXERCICE2 | EXERCICE3 | EXERCICE 4 | Tota |

| 20pts | 15pts | 20pts | 25pts | B0pts | ji

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بالنسبة الثانوي بسلكيه الإعدادي والتأهيلي - نونبر 2016
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مباريات التوظيف بموجب عقود

الاختبار : اختبار في مادة التخصص التخصص : الرياضيات =1

EXERCICE 1

1. Soit pun nombre premier ‏م‎ › 2.
(a) Montrer que ‏م‎ est de la forme 4k — 1 avec k € N° ou bien de la forme 4k +1 avec k € N.
@) En déduire que si p › 5 alors ‏م‎ — 1 est divisible par 24.

2. Onnote P l'ensemble des nombres premiers.

(a) Montrer que si n est un entier naturel non nul, alors il existe toujours un nombre premier stricte-
ment compris entre n et n! + 2. (ind. considérer les diviseurs premiers de n! +

(b} En déduire que P est infini.
3. Pourn € N, on pose 5, = 2” +1. =

(a) Montrer si (n,m) € N“ 276011 › m, que EF, et F, sont premiers entre eux. (ind. exprimer FE, er
fonction de F,.).

(b) Retrouver à l'aide du (a) le fait que l’ensemble des nombres premiers est infini.

{a) Montrer que pour tout 6 E, il existe ‏م‎ € PNE tel que p divise n.

‎En déduire qu'il y a une infinité de nombres premiers de la forme 4k — 1 tel queke 17.‏ رط
‎EXERCICE 2‏
‎Le plan euclidien étant muni d’un repère orthonormé direct R = (0, Ÿ, 7 ).‏

‎iz+i

‎PartieI: Soit l'application f : 6› {1} — © › ‏بعر رن‎

‎1. Montrer que / est bijective.

‎2. Déterminer, en précisant leurs natures géométriques, les ensembles f(RX{},f(R)

‎3. SotU={z

‎C | |z| = 1}. Déterminer, en précisant sa nature géométrique, l'ensemble f (U x )1((

‎Partie M: On considère les points A, B, À' et B' d'affixes respectives:

‎za =1—2iz23 - 3-1 ‏ح برج‎ -2 + 47 et 27 =5i

‎4. Placer ces quatres points dans le plan, et montrer que ABB'A' est un rectangle.

‎5. Soit g la similtude C — ‏برع‎ aZ+bona € C* etb € C telle que g(za) = za et g(28) = 6
(a) Déterminer les complexes a et b sous leurs formes algébriques.

‎(b) Déterminer la nature et une équation cartésienne de l'ensemble (A) des points M(z) tels que

‎(«) Représenter graphiquement (A) sur la même figure que les points À, B, B’ et A’.

‎(d) Reconnaissez-vous la nature de g?

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الاختبار : اختبار في مادة التخصص التخصص : الرياضيات

EXERCICE 3
Soit f une fonction continue sur |0, +oo[, on définit la fonction G, sur ]0, +oo[ par

1. Montrer que G; est dérivable sur [0, +co| et calculer sa dérivée.
2. Déterminer la fonction G; pour f constante égale à 1.
3. Dans cette question on suppose que f admet un développement limité à l’ordre 2 en OF :

avec € fonction continue sur ]0, +co[ et Jim e(t)=0.

Déterminer le développement limité en 0* à l’ordre 2 de G; .
4. Montrer, en utilisant la définition de la limite, que si ‏متتل‎ f(t) = 0108 lim © (x) =0.
Dans la suite on note G la fonction définie sur ]0, +oo[ par :

3

5. Calculer la dérivée de G et dresser son tableau de variations sur l'intervalle |0, 27) .

6. Ecrire le développement limité de la fonction cosinus à l’ordre 2 en 0, et en déduire celui de la
fonction G.

7. Montrer alors que G est prolongeable par continuité en une fonction dérivable, puis déterminer
la position de la courbe de G par rapport à sa tangente en 0.

8. Montrer que pour tout x 6 ]0,+oo[, on a:

Ga) = sin(3x) sin(x) : / i 2 dt.

3x oi
9. Montrer que lim sait)

5- dt = 0eten déduire lim G(x).

10. Construire l'allure du graphe de 6 sur l’intervalle ]0, 7 ٠
On donne les valeurs approchées suivantes:

37 3x 95 (
j 28053( 067 / so à ‏به‎ —D06; LL: D at = 0.27,
& 7 x t 3 1

677
| 0) dé = 0.02;1n3 = 1.10.

7

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الاختبار : اختبار في مادة ‎JB)‏ التخصص : الرياضيات

EXERCICE 4

Soit E l'espace vectoriel sur R des applications continues de ]0,1 ] dans R, et T l’application de E dans
E définie par :

1. Vérifier que T est un endomorphisme de E.

2. Calculer la fonction T(u) (en fonction de u) où 4 est la fonction définie sur ]0,1[ par :

Pour tout n € N° et pour tout x € [0,1], on pose

‏اماو ا مدير تك لخي‎ x+n x=n'

3. Vérifier que pour tout n € N° et pour tout x € [0,1

‎a 1‏ 1
مج بح + =

‎et que les fonctions v, et ‏من‎ sont continues sur jo, 1.

‎4. Montrer que pour tout x € ]0, 1[ les suites (vx (æ)),›1 et (#n(*)),›; sont adjacentes.
On notera v (x) leur limite commune :

‎1 co
v(x)= 7 12x 2 ‏جحي‎

‎5. Montrer que pour tout n € N°, v, est une fonction décroissante sur 10,1] , et en déduire que v est
aussi décroissante sur [0,1].

‎6. Déduire de ce qui précède que v est continue sur ]0, 1[.
7. Établir une relation entre T(Pn) et vo, puis en déduire que T(v) -

‎8. Dans cette question, on considère une fonction f continue sur [0,1] telle que :

(a) Montrer qu'il existe xp € [0,1] tel que f(xo) = max {f(x) | x € [0,1]}, qu’on note M, et que
20 —
(b) En déduire que f atteint son maximum au point 0.
(c) Montrer que f atteint aussi son minimum au point 0. Que peut-on déduire pour la fonction f.

‎9. Comment choisir le réel ‏م‎ pour que la fonction à = v — au soit pronlongeable en une application
f continue et périodique de période 1 sur R ?

‎10. Déduire de tout ce qui précède que

‎= 7cotan7x.

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