نموذج مباراة ولوج سلك المهندسين - كلية العلوم والتقنيات سطات - جامعة الحسن الأول - دورة 2013/2014 - الرياضيات

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MAO 13[ 23/11)
DUR DK L'ÉPREUVE ‏ارين هم‎ 1,9
ديول باز رول ابوزواما بلربما ‎cet at‏ برا ‎robert‏ ول ‎de‏ ابلتاييز ما زعوأ برب!| ‎tot‏ ,بنف/بوازر ةخضم ‎La‏
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Héxereice 1 ] FST SETTAT 2013/2014
1٠ Etuda d'un suite définie impltéftument
Pour tout entier ‏ع«‎ N, ‏سه تممه‎ l'étuation
4e et (E).
‏ل‎ la forctlon f, pr
MGR, fu Ce) oem Het 4
1 Rénoudre l'équation (ls): 00 nôtérn go von unique volufién.
2 Donner pour ne 2 À les variationn de fa aur 0, +00, ;
En dédoire quo pour ont ‏ع ل‎ 0, l'équation. (f;7 admet vie unique gition ‏تاك رض‎ Jo, +oof.
3:0 (a) Pour tout n ‏بلا ع‎ déterminer le nlgné de ‏عادول‎
‎(D). Déterminer abans ‏ما‎ montante de la suite (,)uen, ‏انه له‎ déduire qu'elle donverge,
On ‏ملاتا دا ا فافز‎
a) 1001110107 la valeur ‏رفك‎
‎5 2
4 ‏(ه)‎ Mantrér qu'on n d'équiindent ‏و ل ورلا ؛ ميب أنالا‎
{b} Pour m4, me ét il ‏فون‎ npprorimation par défaut ou par excès dé ‏ار‎
. 0: In?
(2) Qu pour, pour 12 nn # 0 ES | &
Montrer qu'il exbite 1ne-canstanté. ‏ان‎ telle qué'e,, ne | nt
Auitorumit ‏الك‎ Juadfier que la nuite (6) 21 ‏بامشقة‎ un “davéloppenent ayraptotique de le
DOTE UT in? à
1] - Approximations de ‏رج‎
On considère ‏تجأسجينا‎ (ua) ‏رو‎ Série por
‏ي ملا‎ ١ 0 Ve M gg vo ln (D + #4).
On pore, lonique ‏ملم‎ a un ef ‏طن‎ s} ‏يماج‎ x)
3, (an) Précinor l'emenible dé définition de hs Emction 4, tes variations, et trade ١ allure de son
graph
(b) A l'aide du ‏فطع‎ précéitent, ‏ما عه جمزومه‎ compare de Ju auite (uen -
a Calculer tite eus. Préciser le signe de Lg ‏زولا‎ 4 de (us ‏بلاج‎
‎ane, pour fout n € N,‏ روي
‎Ménteer que, F0 ed‏ 24
‎# (a) Soit ‏ارما‎ € (0,1 : montrer que | mb
: ‏لاي‎ pli = (: + ‏عد‎

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ال ل ا ا اتيم
(b) En déduire l'éigue de
ion ‏اج لو 7 سس‎ (u) en fonction di signè:de ‏نوات نا‎
5, On définit ‏يا‎ sut PE " A AREA SR ‏لاد‎ ;
8 suites (04) 4 et ‏يولع‎ pat au ST MATE
‏باتع ال‎ Mat CC Un = ma Le
‎RTE à‏ ال
بت نان نه ‎(a) Étudier la Monotonte dés suités‏
‎(b} En déduire qui si‏
‎Eure que les suites v et w convergent : 6n note {et (leurs limites réspéctives.‏
‎co M | . 2— {= et NE: 0 : :
{ ) outrer que { 5 LL da puis quels} ‏اا وي و م‎ :
‎Montrer que, pour tout réel x > 0,sh(r) im‏ لك)
ب = ‎Ex déduire-que‏
‎n déduire que la suite: (une converge; et préciser la valeur de'sa limite.
‎On cherche à résoudre l'équation différentielle:
1 0 ‏#درو يرو‎ (E)
Les solutions recherchées ‏اننم‎ à valeurs réelles; !
On considère lés'intervalles 1: ‏داج‎ 00, 1f et 421, +oof.:
1, Soit 1 = 1 ‏مو‎ et la fonction a: ‏حط‎ R définie pér :
Vie L,a(x) =
Déterminer une primitive de «sur ”
D,Résoudre, séparément avr les intervalles Ji ét ‏ول‎ l'équation différentielle
Q-my tay=0 (H).
On simplifiére au maximum Pexpréssion des fonctions solutions.
‎3. Résoudre, séparément sur tes intervalles Li ‏نا‎ Ja, l'équation différentielle )1(. On utilisera au
moins une fois ‏ها‎ méthode de variation de Ja constante: On notera respectivement Si, et ‏يرك‎
‎les ensembles de solution de (£) sur les intervalles Jet la,
‎4, Déterminer l'ensemble Sa des fonctions 18 — R dérivables.et solutions de l'équetion 21
‎5, (a) Pour tout réel #, montrér qu'il existe ‏عن‎ unique fonction fa : R--+ R.solation de (E\) telle
que. f(0) ‏ناك‎ Ou note €, le courbe représentative de fs.
(b). Vérifier que, pour tout réel k, les tangentes aix: courbes (Lau point d'abscisse 0: ‏سف‎
‎toutes parallétes entre elles:
6. On note Tr la tangente au point ‏حم‎ de Ce RENTREE me
Donner une équation cartésionne de Te, puis prouver qe ‏اناما‎ les droites T4 (pour & € R)
gont concourautes En UR paint. que l'ont déterrainers: |
7. Etudier, pour tout réel ‏بل‎ là fonction fs (limites, branches infinies, asyrptotes. éventuellés,
variotions, tangentes su ‏لتقم‎ d'abseisse 1, tangentes au point d'abseisse 0), Attention, ‏تقلأ‎
‎‘plusieurs cas. à étudier séparément.
‎Représenter, ‏كلت‎ un même schéma
‎Les allurës des courbes représentatives. des fonctions Jo. Â
‎æ

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‎mer die‏ ا ‎in‏ رح
‎[Exercice 3 | On définitl'application f sur l'espace vectortel £ = R par
Luz) = (2 -y,-x + 0, 2x + dy + ds)
Dans toute la suite de l'exercice, © désigne le vecteur À = (1-2) et Fe sous enaaritilé
F={(ayz)e K, x + y = 0)
1. (a) Moutrer que F est un plan vectoriel et en donner une familles génératricé ,
(b) Montrer que Fest un endomorphisme de E.
{c) Déterminer le noyeu de f et en précisér une famille généralrise.
L'endomorphisme f'est-il un eutomorphisme de 7
‎FST SETTAT 2013/2014
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‎(4) Donner une famille génératrice de ‏تي‎ puis de ImJ.
Justifier l'égélité Imf ‏ضح‎
‎2. Montrer : f?= fo f =2f.
En déduire f* en fonction de f pour tout ‏ل‎ € N°.
3. Soit un vecteur ‏أ‎ € R° : on pose Ÿ = 5/ (d}et D ‏اد‎
‎(a) Calculer f (5). Que peut-on en déduire?
{b} Montrer que Im(f) et ker{ f)-sont des sous-espaces supplémentaires dens À,
4. On pose g = f + 1 où 1 = Id (application identité de E = R*).
(s) Montrer qu'il existe deux suites æ = (nn}nen ét # = (Pn)nen telles que, pour toût ‏كرد‎ ١
g = ouf + fil,
‎ét exprimer dus, Pi en fonction de a, et
‎puis a, en fonction de n.‏ مرق ‎Déterminer‏ (طأ
‎(c) En déduire une expression de gx, y2) valable pour tout n € N.‏
‎١‏ 5 انيز (يرل) كله ‎et‏ انوولو) = ‎À‏ مور(ملا) = ‎Une spnlication : on définit trois suites u‏ .5
‎Zn — Un‏ © ربولا 1+ = مولا
‎et Une = + Un ٠ 6‏
‎to = 0
ds = Zn ‏و20‎ ١ ‏ولت‎
‎wo = +1
(s) Quelle relation existe-t'il entre (us, Un, Un), (unes ter us) et 9?
‎(b) En déduire les expressions de un, ‏ونا‎ et en fonction de ‏باد‎

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Salt à € &, ‏مه‎ définit ‏متمد ينا‎
2 0 a-s
Ma) = ‏م‎ 2 11)
1 68 a
2 0 +1
05 noté My = M0) = 1 2 -2 | ct { l'ondomorphismae de matrice M dans la base canonie
١ 0 0
N R É Durs Lout le problème ‏و/‎ désignera la matrice unité de Ms (&) et Id l'endomorphisme identif
é R1,
Prernière partie : le cas 4 = 0, ‏اب‎
‏إٍّ‎ age
1. On définit p ‏تمل = زذ)‎ (Mo — À 5) |
(a) Calculer p {A} et déterminer Sp (Ac), l'ensemble des racines de P (À).
(6) Justihor que
(Xe Sn{Mo)) ‏رأ‎ — Ad est non injective).
{é} Montrer qu'il existe doux réels As ‏يا‎ tels que f — Ald soit, non injective.
Montrer que ker(f — ‏تفلي‎ et ker(f — Mg } sont des droités vectorielles : en préciser, pou
‏مويه‎ d'elles, une base soux la forme bi = (+,1,+) et = (x, L.s).
+ + ‏جد‎ 0
(dj Montrer qu'il exinte ‏عويد‎ infinité de vecteurs 01 tels que f (&) = by; + : donnér un
‏مولام لمعمل‎ pararaëtrique de l'ensemble de ces vecteurs.
{e) Déterminer l'unique solution de la forme ba = (e,1,*).
à, On note ‏ما‎ fanoille 8 = (5,8, )-
(n} Justifier que B est une base et préciser la matrice, notée T, de / dans cette base.
(b} En décomnposant T = 0+ N où D est une matrice diagonale, calculer T° pour n € Ni
4. On appelle P ‏ما‎ maurice dé ‏يفقوم‎ de ‏ذا‎ base canonique de R? à la base B.
(a) Parrai les cina roatricés suivantes, isquelle est P':
1 1 013 1 1 1 71 2 0 71 0 1
111[ |1110| .|0010| .الت يا ايم
9 1 1007 ;)11 2 1 0 1 ! 0 0
‎est-elle inversible 7 Si qui, calculer 1-1١ Vérification?‏ ممعتمس ‎Cutte‏ (ن)
‎(c) Quelle retation edste-t-il entre MS et T°? En déduire une expression de M6.‏
‎Seconde F'artin : dans cette partie, on considère le cas général où a € R et 0 # 0.
3. Soit (ar une suite réelle telle que :
(ever ‏القع و7‎ an = {1+e)os +b
Montrer que :
‎b(( + a)" — 1)
‏ري‎ où = (ra) ‏اماج‎
‏سا

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‎er mine.‏ ري و وس لمانا
لومي اماي
‏سو ومسا
‎2 ‏د‎ se propose de montrer qu'il exdele deux puitos ‏برو ولا‎ ©! (tn), en telles que :
‎l+us 0 1» MEN, Mae | On 2 "+ |.
‎w 0 A
(a; Quelles sont alors les valeurs de ‏روا‎ tn. ux et 1?
‎(b} Morse l'existence des deux suites et établir ! que
‎Une N, ‏ملازة + 1( = دبول‎ +1 :
1 ‏جيب‎ (1+a)u -1
‎(2) Fa défaire ‏ملا‎ et ‏نا‎ en fonction de n.
2 ‏عضرا‎ , na pose à = 1,
‎(a) Donner l'expression de Af(1)9.
‎(b} On définir Qu = LMI) et on dit que la suite de matrices (Q,),.x converge si TOUS los:
cities de Q, définissent des suites convorgentes, et in (Qn }est alors, naturellement,
is <matsior des Dmitesr . | 0: dun RU
‏ندال‎ use la suite de matrices (Qu), en converge vers une matrice Q que l'on explicitera.
‎Les hümirer que l'exdormorphisme cenoniquement associé À Q est une projection vectorielle
dur Le ‏صوصن‎ Vect 0 8) . Préciser la direction‘de cette projection.
‎Fin ‘ TT
‎FSTSETTAT 2013/2014
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‎Bonne chance
‎à , fa)" to M(o)" x M{a).‏ ٍ لياسر
‎que À‏ أفادام ‎Mlaÿ*‏ م ‎Ma)‏ م رم ‎ET ET‏
‎4'otiliser Mis‏ +ال#أجروص
‎L eus root‏ ,5