نموذج مباراة ولوج سلك تحضير التبريز في الرياضيات - المركز الجهوي لمهن التربية والتكوين الرباط سلا القنيطرة 2016 - الجبر والهندسة

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Concours
d'accès au cycle de |
| préparation à l'agrégation de
Mathématiques
Session Juillet 2016 |
CÉPREUVE D'ALGÈBRE ET DE GÉOMÈTRIE |
Durée 4 heures
Le sujet comporte 4 pages, en plus de cette page de garde.
CS Le À
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Concours D'ACCÈS AU CYCLE DE PRÉPARATION À L'AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES — SESSION JUILLET 2016,
Important
L'épreuve est constituée d'un problème en trois parties. Le candidat est invité à bien
mentionner les références complètes de chaque question traitée.
Les candidats sont tenus à rendre deux copies séparées même si elles sont vierges.
La première contenant la résolution des parties 1 et 2 et la seconde contenant celle
de la partie 3. Dans chacune des deux copies on indiquera les références du candidat
et Le nombre d'intercalaires utilisés.
IL sera tenu compte dans l'appréciation des copies de la rigueur de votre raisonnement,
de La clarté de la rédaction et du soin apporté à la présentation de votre copie. Le
candidat peut utiliser Les résultats énoncés dans les questions ou parties précédentes,
il veillera toutefois à mentionner la référence du résultat utilisé.
Si le candidat repère ce qu'il pense être une erreur de l'énoncé, il le signale sur
sa copie en expliquant les raisons qui l'ont amené à Le penser. Ceci ne doit pas
l'empêcher de finir son épreuve et il a Le choix d'adopter les rectifications qu'il
croit nécessaires ou pas.
Les calculatrices et tout matériel électronique ainsi que les documents sont interdits
lors de cette épreuve.
Notations et objet du problème
Toutes les matrices de l'énoncé sont à coefficients réels et, pour tout entier n strictement positif,
on note #, le R-espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n et €, le R-espace vectoriel des
matrices-colonnes à 7 coefficients.
L'espace .#, est identifié à R et la transposée d'une matrice M, quelque soit son format, est notée
On s'intéresse dans ce problème aux matrices carrées H dont les coefficients h; ; ne dépendent que
de la somme 7 + j de leur indice de ligne i et de leur indice de colonne j.
Pour toute application ‏ل : م‎ — R et tout entier strictement positif 7, on note He la matrice carrée
de ‏رركا‎ donnée par :
‏(1)م (0)م‎ 6 pin-l)
(1) ‏(2)م‎ :-- p(n)
(n) TE ‏بت‎
‎Hy = ‏(2-ز+) )م‎ sys 7 : : : .
@(n—1) œ(n) ::: ‏(27/0-2)م‎
‎L'objet du problème est de préciser dans quels cas les matrices H} définissent un produit scalaire,
ce qui permet alors d'écrire leurs coefficients comme les moments d'une variable aléatoire discrète.
Les trois parties du problème sont relativement indépendantes les unes des autres.
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————— ÊPRE UVE D'ALGÈBRE ET DE GÉOMÊTRIE ‏دم‎
‎Partie 1
Dans tout le problème n désigne un nombre entier non nul. L'espace R” est muni de son produit
scalaire usuel, noté )., .(, pour lequel la base canonique 2, = (e1,e2,---,e,) est orthonormale.
On note h l'endomorphisme de R° dont la matrice dans la base canonique est
1 —2 3
H=| —-2 3 :—4 |:
3 —4 5
ker (h) et Im (h) désignent, respectivement, le noyau et l’image de h.
: 1. Justifier, sans calcul, que la matrice H est diagonalisable.
2. Justifier, sans les déterminer, que ker(h) et Im(h) sont supplémentaires orthogonaux dans RS.
3. Déterminer ker(h) et Im(h).
4. Déterminer la matrice dans la base canonique de R° du projecteur orthogonal sur Im (h).
5. Dans cette question, n > 3 et on note ‏م‎ la fonction définie sur N par :
VKEN, (= )-1(*)1+1(
On observera que HP est la matrice H de la question précédente. Soit 7 la fonction définie sur N
par:
VKEN, T(K)=Kk+1.
On note h (resp. g) l'endomorphisme de 10 dont la matrice dans la base 22 est HE? (resp. H!").
(a) Démontrer que les matrices HU et H!” sont semblables.
(b) Montrer que Im ‏(ع)‎ est le sous-espace vectoriel F de R” engendré par les deux vecteurs :
fi =) er
f2= 3 ker
et donner la dimension de ker(g).
(c) Justifier la stabilité de F par ‏ع‎ et démontrer que la matrice dans la base (f1, f2) de l'endomor-
phisme de F induit par g est:
n(n-— 1) n(n?— 1)
n(n+1) |
(d) Déduire des résultats précédents le spectre de 1 ً
Tous les polynômes considérés dans la suite du problème sont à coefficients réels et, pour tout
entier naturel p, on note E, l'espace vectoriel des polynômes de degré au plus p.
On considère une application ‏ي‎ :N ‏م‎ R, à laquelle on associe pour tout entier naturel non nul n
les applications A, et ô, définies sur E, x E, et ‏روط‎ de la manière suivante.
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‏التي ب با سبيت‎ PAGE 2 SUR 4 ‏ا‎
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4 CONCOURS D'ACCÈS AU CYCLE DE PRÉPARATION À L'AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES — SESSION JUILLET 6 f
— Pour tout polynôme ‏لايم ل حم‎ E, et tout polynôme B= Ÿ ‏رتل ترط‎ , on pose:
i=0 i=0
An(A,B)= Ÿ ‏ل‎ aibjgli+ j).
i=0 j=0
2n s 2n
— Pour tout polynôme Q = D ‏"كن‎ € En on pose : 0 h(Q) = >, Ckp(K).
Kk=0 k=0
(Q, ‏له‎ ,P) désigne un espace probabilisé.
Partie 2
6. Vérifier que l'application A, est une forme bilinéaire symétrique sur E, x E, et que 6, est une
forme linéaire sur E»,.
7. Établir, pour tout élément (4, B) de E, x E,, l'égalité :
8. Dans cette question, on note la fonction définie sur N par :
VkKEN, ‏ب = ام‎
‏اب‎ k+1
(a) Justifier, pour toute matrice-colonne 621) ‏...اي ل‎ ©» }de, , l'égalité:
1fn | \?
|) b ‏ا‎ | dt ='CHÿ"C.
(b) Déduire que, dans ce cas, À, est un produit scalaire sur R”.
9. Dans cette question, on considère un nombre entier naturel d > 2, y, y2,.…., y4 des réels deux à
deux distincts et une variable aléatoire réelle discrète Y, définie sur (Q,,P), telle que
Y(Q) = {y1,Y2,..., Ya} et pourtout ie 11,41: ‏ل)‎ = y;)= pi
27660: <0 © », ‏:طم‎
‎On se place alors dans le cas où la fonction y est définie par :
VkEN, @(k)=E(Y"),
où ‏)ع‎ désigne l'espérance de la variable variable aléatoire ‏لل‎
‎(a) Pour tout polynôme Q ‏ررد‎ vérifier l'égalité : 6, (Q) = E(Q(Y)).
(b) En déduire une condition nécessaire et suffisante, portant sur n et d, pour que la forme
bilinéaire À, soit un produit scalaire sur E,, x E,.
La suite de l'épreuve est à rédiger séparément !
‏اتات تيت تت تن‎ — PAGE 3 SUR 4 as
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ÉPREUVE D'ALGÈBRE ET DE GÉOMÉTRIE _
Partie 3
On dit qu'un polynôme P est positif s’il est distinct du polynôme nul et si P(x) est positif ou nul
pour tout réel x.
10. Montrer que l'ordre de multiplicité de toute racine réelle ‏ه‎ d’un polynôme positif P est pair.
11. En utilisant sa décomposition en produit de facteurs irréductibles de ‏,اا‎ montrer que tout
polynôme positif Q est somme de deux carrés de polynômes, c'est-à-dire qu'il existe un couple
(A, B) de polynômes à coefficients réels, tels que ‏و‎ = A? + B°.
12. Montrer que À, est un produit scalaire sur E, x E, si et seulement si, pour tout polynôme
positif P de E,, on a:ô,(P) > 0.
Jusqu'à la fin du problème, on suppose que la fonction ‏م‎ vérifie l'égalité (0) = 1, n > 2, eton
suppose que l'application À, associée à @ est un produit scalaire sur E, x En.
On note (Po, P,---,P,) une base orthonormale de ‏رقا‎ pour le produit scalaire À, telle que
deg(P#) = k pour tout ke [0, nr].
13. Justifier l'orthogonalité de P, avec tous les polynômes de degré inférieur ou égal à n —1.
14. En déduire que P, est scindé à racines simples. (ind. on pourra raisonner par l'absurde utiliser la
question 12).
On note à, ,a, les n racines de P,, réelles et distinctes deux à deux, d’après ce qui précède. On
note : » %
‏حبرا‎ [I a pour toutentier Ke 1,
i=1 4k — ‏ب‎
‎15. Montrer que (Li, L,.…, ‏لما‎ est une base de E,_ et calculer ‏ل‎ Lx.
16. Soit QE 22-٠
(a) Justifier l'existence d'un couple (A, R) € ‏رط‎ x E,-1 tel que: Q = P,A+R.
(b) Vérifier que : ‏(0)ررة‎ = 3 0)ه(5م)(٠‎
17. Pourtoutentier ‏ا‎ 6 11,71, on pose : px = 6, (Le).
(a) Démontrer que p;, p2,..., p, Sont strictement positifs et de somme égale à 1.
(b) Déduire de ce qui précède qu'il existe une variable aléatoire discrète Z définie sur (Q,,P),
vérifiant la propriété :
Vkell,2n-1], E(Z°) - ‏.طم‎ ()
18. Dans le cas où la fonction y est définie par :
VKEN, @(k)= ‏جه‎
déterminer le nombre minimal d, de valeurs prises par une variable aléatoire discrète Z vérifiant la
propriété (*).
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