نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 1999: الرياضيات الثانية - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

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DEUXIEME EPREUVE DE MATHEMATIQUES
durée : 4 heures
Option MP
L'usage des calculatrices n’est pas autorisé pour cette épreuve.
‎Les candidats sont informés que la précision des raisonnements ainsi que le soin apporté à la rédaction
seront des éléments pris en compte dans la notation. Les candidats pourront admettre et utiliser le
résultat d’une question non résolue s'ils l’indiquent clairement sur la copie.
— K est un sous-corps de € et Æ désigne un K-espace vectoriel de dimension finie n > 1.
On note £L(E) la K-algèbre des endomorphismes de Æ et Zdg l'application identité de 1.
— E* désigne le dual de E, c’est à dire £L(E, K). Si B est une base de Æ, on note B* sa base duale.
— Pour tout endomorphisme u de E et tout vecteur non nul x de E, on note :
Ex) = {P(u)(x); P EKIX]}
On notera 7, ( resp. x4 ) le polynôme minimal ( resp. caractéristique ) de u
. On conviendra que : VAE ‏.كا‎ va (À) = det (A]dg — u) ; en particulier x, est unitaire.
- Siue L(E) et si F est un sous-espace de E stable par uw et non réduit à {0}. On dira :
. que F est irréductible si les seuls sous-espaces de F stables par ‏بن‎ sont {0} et F.
. que Fest indécomposable s’il n'existe pas de décomposition de F en somme directe de deux sous-
espaces stables par u et non réduits à {0}.
— Si P est un polynôme de K[X|, l'idéal de K[X] engendré par P sera noté (P).
A - Sous-espaces monogènes et polynôme minimal.
1. Soitue L(E)etzeE,x£o.
1-1 Montrer que E, (x) est un sous-espace vectoriel de E non réduit à {0} et stable par u.
Un tel sous-espace de Æ sera dit u-monogène (ou simplement monogène s’il n’y a pas d’am-
biguité).
1-2 On considère l’ensemble 7. des polynômes P € K[X] tels que P(u)(x) = 0.
Montrer que 7, est un idéal de K[X] non réduit à {0} et que si P € 7.2. P(u) induit sur
E,(x) l'endomorphisme nul.
En déduire qu'il existe un unique polynôme unitaire de degré supérieur ou égal à un - que
l’on notera ‏ع7‎ - tel que Z, — (T2) 5
Trouver une condition nécessaire et suffisante portant sur x et u pour que deg(r,) = 1.
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1-3 Montrer que B, = ‏((س) ا كه ... ,(هان ر)‎ où k& = deg(r;) est une base de E,(x).
1-4 On note ‏من‎ l’endomorphisme de E,(x) induit par u et ‏م ب م1 = وي‎ Xi.
Préciser Mat(u,: B;) à l’aide de ‏م7‎
‎Montrer que le polynôme minimal de u, est Ty.
1-5 Donner un exemple dans le cas n > 2 :
(i) où 7 = Tu.
(ii) où ‏و7‎ divise strictement 7, et 7, divise strictement y...
D'une manière générale, peut-on affirmer que E,(x) = ker r;(u) ?
2. Soit u € L(E).
2-1 Soient a et b deux vecteurs non nuls de Æ. En utilisant les décompositions en produit de
facteurs irréductibles de x, et my, montrer qu'il existe des polynômes P1, Pr, 0 et ‏و‎ tels
que :
(i) Ta = P1P2 et m5 = 912.
(ü) pgcd(Pi,Q:) = 1.
(ü) ppem(rs, 7) = P1Q1.
2-2 Soit c = Pa(u)(a) + Qo(u)(b). Montrer que 7 = ppem(ra,m ).
3. Soit (e1,...,e,) une base de E.
Montrer que my = ppem(re, ,..., Te, ).
En déduire l'existence d’un vecteur x de E tel que tx = 7
4. Soit u € L(E) et P un diviseur unitaire de ‏.ى7‎ Montrer l'existence de y € E tel que 7, = P.
5. On donne dans cette question une application du résultat de la question 3 :
On considère deux sous-corps K et L de € tels que K € L. Soit À 6 M, (K).
On note TK (respectivement T7) le polynôme minimal de À dans M, (K) (respectivement M, (L)).
Montrer tout d’abord que TZ divise tx, puis en utilisant le résultat de la question 3, montrer
que TL = TK.
3 - Cas où E est u-monogène. Sous-espaces stables par w d’un espace u-monogène.
1. On suppose dans cette question que u est un endomorphisme diagonalisable de Æ et que ses
valeurs propres sont deux à deux distinctes. Montrer que Æ est u-monogène et déterminer x € E
tel que E = E, (x).
2. Soit u € L(E). Montrer l'équivalence des deux conditions suivantes :
(i) Æ est u-monogène.
)11( Tr = Yu:
3. Soit u € L(E). On suppose E = E, (x).
Soit F un sous-espace vectoriel de E stable par w et non réduit à {0}.
On considère Tr = {P E K[X]; P(u)(x) € F}.
Montrer que Zr est un idéal de K[X]. En déduire que F est u-monogène.
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4. 4-1 Soit u € L(E). On suppose 7, = PQ où P et Q sont deux polynômes unitaires de degré
supérieur ou égal à un.
On note v ( respectivement w, v’, w’ ) l’endomorphisme de ker P(u) ( respectivement
ker Q(u), Im P(u), Im Q{(u) ) induit par u.
Montrer que ker P(u) # {0} et ker Q(u) £ {0}, puis que ‏وه = سج‎ = P et mor = ‏سه‎ = Q.
Montrer que si, de plus, Æ est u-monogène, dim(ker P(u)) = deg(P) et dim(ker Q{u)) =
deg(Q).
4-2 Soit u € L(E). On suppose que E est u-monogène.
Soit F un sous-espace stable par ‏نه‎ et v l’'endomorphisme de F induit par u.
Montrer, en utilisant la question précédente, que F = ker r,(u).
En déduire que E n’admet qu’un nombre fini de sous-espaces stables par u.
Partie 1
Dans cette partie on montre que, quelque soit l’endomorphisme x de E, E est somme directe
de sous-espaces u-monogènes et plus précisément de sous-espaces stables par u et indécomposables.
La première question traite d’un cas particulier et n’est pas nécessaire à la résolution des questions
suivantes qui traitent du cas général.
1. Soit u € L(E).
1-1 Soit F un sous-espace de E stable par u et non réduit à {0}. On note v — UjF-
Montrer que F est irréductible si et seulement si F est monogène et 7, est irréductible.
1-2 Montrer que E est somme directe de sous-espaces stables par u et irréductibles si et seulement
si tous les facteurs irréductibles de x, ont une multiplicité égale à 1.
( indication :pour la réciproque on pourra considérer, pour un polynôme P irréductible,
l’ensemble des parties finies 7 de ker P(u) \{0} telles que la somme >, E,(x) est directe ٠
zeF
2. Dans les questions suivantes w désigne toujours un endomorphisme de Æ.
On définit à: E* + E* par ü(f) = fou.
Vérifier que à € L(E*) et que : VP e K[X], Vf e E*, P(ü)(f) = f o P(u).
En déduire que w et à ont même polynôme minimal.
3. Si B est une base de E, préciser Mat(ü; B*) en fonction de Mat(u:; B).
Retrouver le résultat de la question précédente.
4. On suppose dans cette question que 74 = P* où P est un polynôme irréductible de K[X]
et a € N*.
4-1 Montrer l'existence de ‏و‎ € E* et de y € E tels que ‏(ن)(و)(18-1)0‎ # 0.
4-2 Montrer que ‏و7‎ = my = P*.
On note alors F = E,(y) et H = {Q(ü)(g); Q € K[X]} = E*;(g).
43 Montrer que G = {x € E; Vf € H, f(x) — 0} est un sous-espace vectoriel de E de
codimension deg(x.) et que 6 est stable par u.
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4-4 Soit x un vecteur non nul ‏عل‎ F.
Montrer que l’on peut écrire x sous la forme x = P°Q{u)(y) où Q est un polynôme premier
avec P et 8 un entier tel que 0 <B<a—1.
Montrer qu'il existe un polynôme R de K[X] tel que P*-1-8R(ü)(g)(x) # 0.
4-5 En déduire que E = F © G puis que E est somme directe de sous-espaces u-monogènes.
5. Démontrer que, quelquesoit l’endomorphisme u de E, E est somme directe de sous-espaces
u-monogènes.
6. 6-1 Soit u un endomorphisme de E et F un sous-espace de E stable par u et non réduit à {0}.
On note v = up.
Montrer que F est indécomposable si et seulement si F est monogène et 7, = 799 où P est
un polynôme irréductible de K[X] et ‏م‎ € N°.
6-2 En déduire que Æ est somme directe de sous-espaces stables par u et indécomposables.
Partie III - Applications.
A - Application aux endomorphismes nilpotents et idempotents.
1. On suppose dans cette question que w est un endomorphisme nilpotent de E, c'est à dire qu’il
existe k € N° tel que u* = 0.
1-1 Montrer l'existence d’un entier r tel que 1 > + <n, u" =0 et u"-! £0.
1-2 Montrer qu'il existe un vecteur ‏بن‎ de Æ tel que (e1 ‏لاص .لان‎ )6 )) soit une base de
E,(e1) et tel que E,(e1) admette un supplémentaire stable par u.
1-3 En déduire qu'il existe une base de E relativement à laquelle la matrice de u s'écrit sous la
Ji 0
| 0 JD | |
forme diagonale par blocs . où p est un entier non nul et les
0 0 2: 0
matrices J; sont des blocs | 0 1 0 _-.. d'ordre r;
0 1 0
avec r1 217 6671 2722... 2 Tp.
2. On suppose dans cette question que uw est un endomorphisme idempotent de E, c’est-à-dire qu'il
existe k € N° tel que ‏كن‎ = 1).
2-1 On se place dans le cas où K ‏ح‎ €. Que peut-on dire de ‏كي‎ E est-il u-monogène ?
2-2 On se place dans le cas où K = R.
Montrer que ÆE est somme directe de sous-espaces irréductibles.
Donner, dans une base adaptée, une forme matricielle réduite de u.
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B - “ Toute matrice de ‏(كلامانا‎ est semblable à sa transposée ”.
1. E désigne un K-espace vectoriel de dimension finie n > 2 et u un endomorphisme de £.
à est défini comme dans 11-2.
On suppose qu'il existe un vecteur x de E tel que E = E,(x).
1-1 Expliquer - sans déterminer f explicitement - pourquoi il existe un élément f de E*
tel que E* = E*,(f).
1-2 On note B = (z,u(z),...,u"-1(x)) = (eo,e1,...,en_1) et B* = (eÿ,eï,...,eh_1) la base
duale.
Montrer que (e_1,ü(e;,_1),...,ü""1(e;_;)) est une base de E*.
1-3 Montrer que ‘Mat(u; B) et Mat(u; B) sont semblables.
2. Déduire de ce qui précède que, d’une manière générale, toute matrice de M,(K) est semblable à
sa transposée.
HERO IE
FIN
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