نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 1998: الفيزياء الثانية - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

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L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats du concours MP,
comporte 7 pages : 6 pages de texte et 1 page de figures.
L'usage de la calculatrice est autorisé.
ÉTOILE DOUBLE
Le problème propose l'étude de quelques propriétés ainsi que quelques moyens d'observation d'une étoile
double constituée de deux composantes A, et A; (système binaire). |
Après une étude mécanique succincte de l'étoile double considérée comme un système isolé (1° partie), on
aborde le problème de l'observation de l'étoile à l'aide d'un télescope (2° partie). On s'intéresse en particulier aux
causes de limitation du pouvoir de résolution. La 3°* et 49 partie proposent respectivement une méthode
interférométrique puis spectroscopique pour l'étude du système binaire.
Les différentes parties du problème sont largement indépendantes entre elles et comportent chacune plusieurs
questions indépendantes. Les différentes parties peuvent être traitées dans un ordre quelconque, toutefois avant
d'aborder l'une des parties du problème il est conseillé de lire celles qui la précédent.
On veillera à une présentation claire et soignée des copies ; il convient en particulier de rappeler avec
précision les références exactes des questions abordées.
Données utiles
e Données numériques
— Célérité de la lumière dans le vide co#3,0 10° ‏قت‎
‎— Constante de gravitation universelle G#6,7 107! N.m°kg ”.
e Formulaire
— Équations de conjugaison
1 1 2
* pour un miroir sphérique de centre C et de sommet 5 : = + ‏ب‎ = —,
SAi SAo SC
1 1 1
* pour une lentille mince de centre 0 et de distance focale image ] : - ‏ب‎ = —.
OAi OA f,
Les grandeurs algébriques sont comptées positivement dans le sens de propagation de la lumière incidente, A;
est l'image de ‏مط‎
‎— cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
1°" Partie
Etude mécanique succincte
L'étoile double est constituée de deux composantes, considérées ponctuelles, A; de masse m1 et A2 de masse
‏.يدم‎ On admet que chaque composante n'est soumise qu'à la seule action gravitationnelle exercée par l'autre
composante.
Le référentiel d'étude R est supposé galiléen. O est un point fixe par rapport à R.
1.1. Mouvement du centre d'inertie
Soit G le centre d'inertie de l'étoile double.
‏يهب يهب يهب يب‎
1.1.1. Exprimer OG en fonction de m1, nm, OA: et OA. En déduire la relation qui existe entre GA: et
‏ادر‎
‎1.1.2. Exprimer la vitesse * v(G) de 6 par rapport à R en fonction de m1, m, * v(A î ) et. ‏م‎ v(A à ) .
1.1.3. Déterminer, en le justifiant, la nature du mouvement de G relativement au référentiel R.
1.1.4. En déduire que, dans ce cas, le référentiel barycentrique R° de l'étoile double, relativement à R, est
galiléen. On rappellera auparavant la définition du référentiel barycentrique.
1.2. Mobile fictif
‏يب يهب‎
On définit le mobile fictif M; par 611: = A,A, et on l'affecte de la masse réduite de l'étoile double
‏احص‎
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1.2.1. Exprimer les quantités de mouvement barycentriques | Pi ef | ‏وز‎ des deux composantes en fonction de
la vitesse relative V=*v,-*v, de A2 par rapport à A, et de u. On montrera au préalable que
‏الخ للب الف اد‎
1.2.2. Calculer la vitesse barycentrique 1 v(M £ ) du mobile fictif.
1.2.3. Montrer que le moment cinétique L en G de l'étoile double est égal à celui de M; au même point par
rapport à ‏م‎
1.2.4. Montrer que l'énergie cinétique barycentrique "K de l'étoile double est égale à celle de M; par rapport à
1.2.5. Montrer que tout se passe comme si Mr était soumis, dans ‏,أ‎ à une force égale à celle exercée par A:
sur À.
1.2.6. Montrer que si on connaît la trajectoire de M; on peut en déduire celles de A; et A. Pour cela on
يهب يب يب
‎On pourra s'aider d'un schéma.‏ .611:6 عل ‎exprimera GA: et GA2 en fonction‏
‎Mouvement du mobile fictif‏ .1.3
1.3.1. En appliquant le théorème du moment cinétique, montrer que la trajectoire du mouvement de M: est
plane.
Dans la suite du problème on repérera M; dans le plan de sa trajectoire par ses coordonnées polaires (r,8)
et on notera Gz l'axe passant par G et perpendiculaire à ce plan (figure 1).
1.3.2. Appliquer le théorème de l'énergie cinétique et en déduire une intégrale première du mouvement de M:
relativement à 8° sous la forme
1 (drŸ
Eu = 2 ‏ال‎ + 0 .
Que représente Eu ? Exprimer ‏ىنا‎ en fonction de r, L = 5 ü,, Mi, ‏لز ميل‎ et G (constante ‏عل‎ gravitation
universelle). U;#{r) est appelé potentiel efficace ; on prendra ‏حوونا‎ pour r très grand.
1.3.3. Représenter graphiquement ‏ونا‎ en fonction de r.
1.3.4. L'étoile double correspond à un système lié (Eu<0). En déduire,en utilisant une discussion
graphique, les différents types de trajectoire possibles.
1.3.5. On se place dans le cas particulier d'un mouvement circulaire.
1.3.5.1. Montrer qu'il est uniforme. On note T sa période.
1.3.5.2. À partir de Ur déterminer le rayon R de la trajectoire de M; et montrer qu'il vérifie la relation
R° G(m,+m,)
12 AT
1.3.5.3. Donner les expressions des rayons ‏رحا‎ et R; des trajectoires de A, et Az.
1.3.5.4. On prend m,=3m. Tracer sur un même graphe les deux trajectoires de A; et A), dans le
référentiel barycentrique. On représentera R par une distance de 4 cm et on indiquera les
positions des deux étoiles à un même instant donné t quelconque.
2°" partie
Observation visuelle à l'aide d'un télescope
L'œil humain ainsi que d'autres détecteurs optiques ne peuvent distinguer des détails dont l'écart angulaire est
inférieur à une certaine valeur limite ‏يم‎ Par exemple pour l'œil ‏ميس‎ 1 0“ (rad). Pour pouvoir mettre en évidence
et mesurer l'écart angulaire entre les composantes d'une étoile double on utilise des instruments grossissants tels
que les lunettes astronomiques et les télescopes.
Dans cette partie, on se propose d'étudier quelques propriétés d'un télescope du type Cassegrain. Il comporte un
objectif constitué de deux miroirs, l'un parabolique concave M, (miroir primaire) de sommet S;, de rayon de
courbure au sommet R,=27 m et de diamètre d'ouverture D=3,6 m, l'autre hyperbolique convexe M, (miroir
secondaire) de sommet S; et de rayon de courbure au sommet R:=19 m !” (figure 2). Les deux miroirs possèdent le
même axe optique principal 22 et leurs faces réfléchissantes sont en regard. Les dimensions de M, sont
suffisamment petites pour laisser arriver sur M, la quasi-totalité de la lumière provenant de l'astre à observer.
D'autre part, M, est percé en son sommet d'un petit trou circulaire permettant à la lumière de passer sans changer
Ces données correspondent approximativement aux caractéristiques du télescope CFH (Canada-France-Hawaï) installé au
sommet du mont Mauna-Kea sur l'île d'Hawaï.
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de propriétés. Ce trou peut recevoir un oculaire pour l'observation visuelle ou la pupille d'entrée d'un détecteur de
lumière.
Les deux miroirs sont disposés de sorte qu'un rayon lumineux incident parallèle à l'axe optique principal
passe par S; après réflexion sur M, puis M4.
2.1.1. Quels sont les points de l'espace pour lesquels le miroir parabolique et le miroir hyperbolique
constituent des surfaces réfléchissantes parfaites ?
2.1.2. En déduire la position des foyers objet Fn et image Fri du miroir Mi par rapport au sommet 5: et le
foyer F, du miroir M,. On représentera ces points sur un schéma ainsi que le cheminement d'un rayon
lumineux parallèle à l'axe optique et subissant une réflexion sur chacun des deux miroirs.
2.1.3. Citer deux autres exemples d'instruments qui exploitent la propriété de stigmatisme de la surface
parabolique.
2.2. Pour des rayons lumineux voisins de l'axe optique principal on peut modéliser l'objectif Cassegrain (constitué
de M, et Mh) par deux miroirs sphériques :
- Mi sphère tangente à M, en Si, de rayon Ri,
- M2 sphère tangente à Ms en S, de rayon ‏ا‎
2.2.1. Déterminer la position relative des deux miroirs, caractérisée par la distance optique e =S,S, , afin que
tout rayon incident parallèle à l'axe optique principal et réfléchi une fois par chacun des deux miroirs,
passe par Si.
2.2.2. Déterminer la position, par rapport à S1, des foyers objet F, et image Fi de l'objectif Cassegrain.
2.2.3. Un calcul non demandé ici montre que l'objectif Cassegrain est équivalent à une lentille mince
convergente unique. Déterminer la position par rapport à S, du centre de la lentille équivalente ainsi
que sa distance focale image.
2.2.4. Sachant que l'indice de réfraction du verre dépend en général de la longueur d'onde n(À) et que pour les
observations astronomiques on est amené à fabriquer des télescopes de grand diamètre d'ouverture
(paragraphe 2.5.5.), citer deux avantages à utiliser le système à deux miroirs plutôt que le système
équivalent à une seule lentille.
Dans toute la suite du problème et sauf mention explicite du contraire, l'objectif Cassegrain sera
remplacé par une lentille unique convergente L, de centre O;, de distance focale image ‏25حنن]‎ m et de même
diamètre d'ouverture D que le miroir M, (D=3,6 m).
2.3. Pour pouvoir faire une observation visuelle on adjoint au système précédent un oculaire qu'on peut
schématiser par une lentille mince convergente ‏ما‎ de centre O2 et de distance focale image f=2,5 cm. ‏م1‎ est
disposée de façon à ce que le système obtenu (objectif+oculaire) soit réglé à l'infini : l'image d'un objet à
l'infini est rejetée à l'infini (système afocal).
2.3.1. Quel est l'intérêt d'un tel réglage pour l'œil ?
2.3.2. Déterminer O,0O, .
2.4. On observe avec le télescope précédent une étoile double (A1,A2) d'écart angulaire ‏ع‎ centrée sur l'axe optique
principal du télescope.
2.4.1. Construire l'image géométrique intermédiaire B;B; de l'étoile double donnée par l'objectif.
2.4.2. Déterminer la taille de cette image B,B, en fonction de € et fi.
2.4.3. Déterminer, en fonction de fi; et ‏عامط‎ grandissement angulaire 6. du télescope de Cassegrain
(objectif-+oculaire), défini comme le rapport des angles sous lesquels on voit un objet, placé à l'infini, à
travers le télescope et à l'œil nu. Faire l'application numérique.
2.4.4. L'écart angulaire de l'étoile double Sirius de la constellation "Grand Chien", est £#3,8 1 og" (rad).
Calculer la taille de l'image intermédiaire ainsi que l'angle ‏'ع‎ sous lequel on voit les deux composantes à
travers le télescope.
Les deux composantes de Sirius sont elles vues séparées à l'œil nu ? À travers le télescope ?
2.5. Influence de la diffraction
En réalité, dans l'étude précédente nous n'avons pas tenu compte de l'influence de la diffraction. En
effet, la limitation du front d'onde, principalement par la monture du miroir primaire (parabolique M), est à
l'origine du phénomène de diffraction. L'image d'un objet ponctuel n'est plus un point mais une tache centrée
sur l'image géométrique. On se propose d'aborder sur un modèle simple quelques aspects de la limitation du
pouvoir de résolution par la diffraction.
2.5.1. Décrire une expérience simple, facilement réalisable au laboratoire, permettant de mettre en évidence
l'influence de la diffraction sur le pouvoir de résolution.
2.5.2. Considérons d'abord un diaphragme plan opaque 2 percé d'une ouverture carrée de centre O et de côtés
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a. On choisit un système de coordonnées cartésiennes où les vecteurs directeurs ‏.لا‎ et ü, sont
parallèles aux côtés de l'ouverture carrée et où ‏2لا‎ oriente l'axe optique dans le sens de la lumière
(figure 3).
L'écran est éclairé avec une onde plane monochromatique de longueur d'onde dans le vide À se
propageant dans la direction (6,80) c'est-à-dire parallèlement au vecteur directeur ‏ملا‎ B, : Lo, Bo<<1.
2.5.2.1. Dans quelles conditions observe-t-on une diffraction de Fraunhôffer ?
2.5.2.2. Démontrer que dans les conditions d'observation de la diffraction de Fraunhôffer, l'intensité
lumineuse diffractée dans la direction (0,8) s'exprime par
1). 8( ‏1ح‎ une AE x ane APR ue)
où sinc représente la fonction sinus cardinal telle que sinc(X) = x
2.5.2.3. Décrire le phénomène observé sur un écran perpendiculaire à l'axe optique disposé dans les
conditions de validité de la diffraction de Fraunhôffer. Comparer en particulier les symétries de
la figure de diffraction et de l'ouverture diffractante. On fera un schéma de la figure observée.
2.5.2.4. On appelle demi-largeur angulaire, la distance angulaire séparant le maximum de la figure de
diffraction du premier minimum nul dans une direction donnée. Déterminer les demi-largeurs
angulaires AG» suivant Ox et Af:» suivant Oy.
2.5.3. Dans un télescope du type Cassegrain c'est le miroir primaire de diamètre d'ouverture circulaire D qui
limite le front d'onde et joue le rôle d'une pupille diffractante.
2.5.3.1. En s'appuyant sur les propriétés de symétrie de cette pupille, décrire qualitativement et
succinctement sans faire aucun calcul l'aspect de la figure de diffraction dans le plan focale
image du télescope.
2.5.3.2. Un calcul, non demandé ici, montre qu'on peut obtenir le rayon angulaire A6 de la tache
centrale de diffraction à partir du résultat établi en 2.5.2.4. en remplaçant a par R/0,61 ; où R
est le rayon de la pupille diffractante.
Exprimer ‏قله‎ en fonction de la longueur d'onde À du rayonnement incident supposé
monochromatique et du diamètre d'ouverture D du miroir primaire.
2.5.4. Le télescope est orienté vers une étoile double d'écart angulaire €. La monture du miroir primaire de
diamètre D (ou de la lentille équivalente de même diamètre) joue alors le rôle de pupille
diffractante. Le télescope est éclairé par deux ondes planes de directions respectives (&n.Bo) et
(Gw,Bo2) provenant des deux composantes d'une étoile double d'écart angulaire €. À cause de la
diffraction l'objectif Cassegrain donne de ce système une image intermédiaire sous forme de deux
taches de diffraction centrées sur les images géométriques intermédiaires 5: et B2. On propose de
déterminer à quelle condition ces deux taches seront vues séparément. On adopte pour cela le critère de
Rayleigh : La limite de résolution d'un système optique est la séparation de deux objets donnant
dans l'espace image deux taches de diffraction telles que le maximum central de l'une coïncide
avec le premier minimum nul de l'autre.
Dans la suite on ne tiendra compte que de la tache centrale de diffraction.
2.5.4.1. En l'absence de diffraction, sous quel angle voit-on depuis le centre 0١ de ‏ما‎ les deux images
intermédiaires B, et B2. On pourra s'aider du schéma tracé en 2.4.1.
2.5.4.2. En utilisant le critère de Rayleigh, montrer que le pouvoir de résolution imposé par la
diffraction, appelé aussi pouvoir de résolution théorique, est donné par
‎es :‏ 1,22= رعذ
‎2.5.4.3. Application : La diffraction empêche-t-elle les deux composantes de Sirius d'être vues
séparées 7 Justifier la réponse. On rappelle que D=3,6 m et on prendra À=0,55 pum.
‎2.5.5. Du fait la turbulence atmosphérique, les plans d'onde du rayonnement émis par une étoile sont
perturbés. Ce phénomène est à l'origine de la scintillation des étoiles. Il en résulte que le pouvoir de
résolution effectif descend rarement en dessous de A£,5=0,2" (seconde d'angle).
2.5.5.1. Calculer numériquement la valeur Dex du diamètre d'ouverture D permettant d'atteindre la
‎résolution effective. On prendra À=0,55 um.
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On se propose d'expliquer pourquoi on construit dans différentes régions du monde des télescopes
dont le diamètre d'ouverture dépasse largement la valeur limite Der calculée en 2.5.5.1.
Le télescope est orienté vers l'étoile Sirius. On suppose que l'onde reçue est plane et
monochromatique de longueur d'onde À=0,55 pm. L'intensité correspondante vaut à la surface de la
Terre 110 W.m *.
2.5.5.2. Exprimer le vecteur de Poynting moyen 11 en fonction de 10
2.5.5.3. En déduire la puissance électromagnétique 2 reçue par un œil humain quand il regarde cette
étoile. On donne le diamètre moyen de la pupille de l'œil ‏كدحو‎ mm. Faire l'application
numérique.
On regarde à présent la même étoile à travers un télescope de type Cassegrain.
2.5.5.4. On appelle cercle oculaire, l'image que donne la lentille ‏مآ‎ de la monture de la lentille L; de
diamètre D. Déterminer la position du cercle oculaire et faire l'application numérique. On
pourra s'aider d'une construction géométrique.
2.5.5.5. Montrer qu'en disposant correctement la pupille de l'œil dans le plan contenant le cercle
oculaire, on peut recueillir la totalité du flux lumineux intercepté par l'objectif. Pour cela on
calculera d'abord le diamètre 6. du cercle oculaire.
2.5.5.6. Quelle est alors la puissance 2' reçue par l'œil regardant à travers le télescope dans les
conditions d'observation citées en 2.5.5.5.
2.5.5.7. Calculer numériquement de rapport p=?"/? et en déduire l'intérêt de construire des télescopes
de grand diamètre d'ouverture.
3°” Partie
Synthèse d'ouverture
Pour améliorer le pouvoir de résolution on peut utiliser une méthode interférentielle appelée synthèse
d'ouverture. On se propose dans cette partie d'étudier le principe de cette méthode.
On place devant l'objectif d'un télescope de Cassegrain de focale ‏ينا‎ un écran percé de deux trous S; et S2
distants de a ainsi qu'un système de quatre miroirs (M1,M2,M3,Mu). Les miroirs extrêmes M, et M, peuvent subir
des translations ce qui permet de faire varier la distance b (figure 4) : interféromètre stellaire de Fizeau-Michelson.
Pour pouvoir effectuer des enregistrements, on remplace la lentille oculaire ‏مآ‎ par un détecteur optique dont la
pupille d'entrée est placée dans le plan focal image de l'objectif L; du télescope.
Les trous 5١ et ‏دق‎ sont supposées identiques et suffisamment fins pour pouvoir considérer la diffraction qu'ils
provoquent comme uniforme.
3.1. Étude préliminaire : Observation d'une étoile simple
Le dispositif est éclairé par l'onde plane monochromatique de longueur d'onde À en provenance d'une étoile A
située dans une direction faisant un angle ‏ع‎ avec l'axe optique principal du système.
3.1.1. Démontrer que la différence de marche 6 = (AS,M) = (AS M) est donnée par (figure 4)
ô=(1)+(S,H).
3.1.2. Exprimer 6 en fonction de a, b, €, fi; et x.
3.1.3. En déduire l'expression de l'éclairement Æ produit dans le plan focal image du télescope. On appellera
270 l'éclairement maximum.
3.1.4. Exprimer l'interfrange i de la figure d'interférence obtenue.
3.2. Observation d'une étoile double
On observe avec le dispositif interférentiel précédent, une étoile double d'écart angulaire €. Les deux
composantes A, et A, incohérentes entre elles, émettent des ondes planes de même intensité, de longueur
d'onde À. Les deux composantes A; et À) sont situées dans deux directions faisant des angles ‏2/ع+‎ et -2
respectivement avec l'axe optique principal du télescope.
3.2.1. En utilisant le résultat établi à la question 3.1.2., calculer les différences de marche ‏ة‎ et à
correspondant respectivement aux composantes À, et A2.
3.2.2. Déterminer, en le justifiant, l'expression de l'éclairement Æ produit dans le plan focal image du
télescope et montrer que les franges disparaissent pour certaines valeurs de b.
3.2.3. Application : On observe à l'aide de ce dispositif une étoile double dont on veut mesurer l'écart
angulaire €. Le contraste des franges s'annule pour la première fois lorsque b=567 cm. En déduire
l'écart angulaire ‏.ع‎ On prendra À=0,55 um.
SIT
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4°” Partie
Spectroscopie Doppler
4.1. Préliminaire : effet Doppler
Aucun calcul n'est demandé dans le paragraphe 4.1. qui ne comporte aucune question.
Considérons une onde électromagnétique émise par une source 5 et se propageant dans le vide à la célérité
Co. On note V sa fréquence et À sa longueur d'onde dans le référentiel de la source. Dans le cadre de la
cinématique non relativiste on montre qu'un observateur en mouvement par rapport à S reçoit une onde
électromagnétique de fréquence V' donnée par
| °V.ü | . S
V=V|1+—— |, 1
° V est la vitesse relative de la source S par rapport à l'observateur 0 supposée négligeable devant ©
(hypothèse non relativiste),
‏له‎ est le vecteur unitaire directeur de la direction de propagation orienté dans le sens de propagation de
l'onde.
4.2. Les deux composantes d'une étoile double émettent des ondes lumineuses de longueur d'onde À relativement
au référentiel de chacune des deux composantes.
Pour simplifier l'étude on considère le cas où les deux trajectoires sont circulaires (période T) et situées dans
un plan perpendiculaire au plan d'observation. Le plan d'observation est défini comme étant le plan
perpendiculaire à la ligne de visée (figure 5).
On appelle vitesse radiale de fuite de la source S la quantité vs, =—°V.ü.
4.2.1. Exprimer les vitesses de fuite vis (respectivement van) de la composante A; (respectivement A2) en
fonction de la vitesse de fuite vor du centre d'inertie G, du module vi (respectivement V2) de la vitesse
de A; (respectivement A2) dans le référentiel barycentrique et de l'angle 8 (figure 5).
4.2.2. Exprimer les longueurs d'onde À; et À des radiations émises par A; et A) relativement au référentiel de
l'observateur en fonction de À, co, Var, Vi, Wet 8.
4.3. Les deux radiations, supposées de même intensité I, et de longueurs d'onde À, et À éclairent un interféromètre
de Michelson à travers un télescope du type Cassegrain muni de son oculaire ‏.ما‎
‎L'interféromètre de Michelson est constitué principalement de deux miroirs plans M; et M; et d'une lame
semi-réfléchissante L,, supposée d'épaisseur négligeable, jouant le rôle de séparatrice (figure 6).
Dans toute la suite l'interféromètre de Michelson sera utilisé dans la configuration où les deux miroirs M, et
M; sont perpendiculaires entre eux. On note d=|SI.-SL] l'épaisseur de la lame d'air équivalente.
Le détecteur à photomultiplicateur (PM) est disposé dans le plan focal image de la lentille mince convergente
de sortie L. La fenêtre d'entrée du PM est centrée sur le foyer image de L.
4.3.1. Exprimer les éclairements lumineux 2 et €: produits par les deux radiations ainsi que l'éclairement
total £ en F.
4.3.2. Les vitesses ‏و ا‎ et ‏يو‎ étant très petites devant la célérité ‏من‎ de la lumière dans le vide, faire un
développement limité de l'expression précédente et la mettre sous la forme,
E(t) = A + Bcos Te.
On prendra @(t=0)=0 et on exprimera A et B en fonction de ‏بل ,و1‎ À, Vos, "Vi, V et Co.
4.3.3. La figure 7 reproduit un enregistrement de l'éclairement normalisé e(t)=£(t}/I, en fonction du temps
pour l'étoile & de la "Couronne Boréale" (Gemma ou la pierre précieuse).
4.3.3.1. Comment, en agissant sur ‏بل‎ peut-on accéder à 7
4.3.3.2. En utilisant l'enregistrement fourni (figure 7), déterminer la période de révolution relative T.
4.3.3.3. Déterminer de même var ainsi que | ‏د‎ vil ; on prendra d=1 lim et À=0,55 lim.
FIN DE L'ÉPREUVE
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Figures
Figure 1 Figure 2
‎١ 7 7
‏ا‎ 11 8 8
_ 1G _
u TONER ‏ل الا‎ era ‏ما« ا‎
Figure 3 Figure 4
2e ١ 7 : ١ 5
D ‏اجر أ‎ Re —
‏اج ته ااه مجو دأ موه جو وده الاج ال £ بال‎
‏ب‎ VER M, | L;
Figure 5 Figure 6
M2 AE
‏ا‎ A2 : 1 | ١
1 7 à : À SAR 1 | ١ ‏وآ‎ 21
ْ ‏ا‎ 7 ON D ‏عد‎
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Figure 7
345,8 E E 1 E E
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‏الالال ااا اا الل هاا 343,4 و‎
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343 ‏بقث‎
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Attention : sur l'axe des ordonnées est reporté 1000 e(t).
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