نموذج مباراة ولوج السنة الأولى من سلك مهندسي الدولة - المعهد الوطني للبريد والمواصلات (INPT) 2008 - اختبار الفيزياء

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CONCOURS D’ACCES EN PREMIERE ANNEE
DU CYCLE D’INGENIEURS D’ETAT
15 Juillet 2008
Epreuve de PHYSIQUE
(Durée :2 h 30mn)
Avertissement
Les 3 exercices sont idépendants et doivent être traités sur des feuilles séparées.
- L’appréciation des copies tient compte de la rigueur, de la clarté des raisonnements
et de la présentation.
- Encadrer vos résultats.
- Ecrire avec un stylo à bille ou à encre, bleu ou noir.
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Exercice 1.
Un fil rectiligne, représenté par un modèle infini, de Âz
directionOz, porte des charges électrostatiques positives
réparties uniformément avec la densité linéique 1 (figure 1). Un
point M de l’espace est repéré par ses coordonnées cylindriques 1
(r, 6 2), le trièdre direct ( 2 &e, &,) constitue la base locale À
cylindrique. HM = r.
1) A l’aide des propriétés de symétrie, justifier que le champ
électrostatique associé à cette distribution de charges, H
s’écrit E(M) = E(M)e,. D +
2) En exploitant les invariances de la distribution, justifier que 14 ‏بق‎
‎le champ E(M) ne dépond que de r.
3) Par application du théorème de GAUSS, déterminer le
vecteur champ électrostatique E (M). 7
4) En déduire, à une constante près, le potentiel électrostatique Figure 1
V(M) créé en M par le fil.
Deux fils rectilignes «infinis » L: et ‏مآ‎ distants de 4 et parallèles à l'axe Oz
portent des charges réparties uniformément avec les densités linéiques -1 et 1.
Le plan perpendiculaire aux deux fils passant par O, est repéré par les axes Ox et Oy.
0 est le milieu du segment 0,0 O, et O; étant les traces respectives dans ce plan des
fils L; et L; (figure 2).
On rapproche les deux fils, de telle sorte qu'au cours de l'opération, le produit 2
reste constant et égal à K, avec OM = r » d.
5) Établir dans ces conditions une expression approchée du potentiel V{M) créé par les
deux fils au point M du plan situé aux distances 7 de O; et r, de O1.
6) Exprimer V{M) en fonction des coordonnées polaires r et 8 de M. On prend (0) = 0.
7) Indiquer la nature des traces dans le plan (xOy) des surfaces équipotentielles autres
que 7-0.
8) Soit EÉ(M) le vecteur champ électrostatique qui dérive du potentiel V{M). On
rappelle qu’en coordonnées cylindriques le gradient d’un champ scalaire #{M) s’écrit
gradf (M) = = ë + = SL ‏و8‎ + . 8
a) Déterminer l’expression de E(M) dans la base cylindrique.
b) Établir l’équation des lignes || ECM) | = 6
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| c) Quelle est la nature de ces lignes ?
d) Déterminer l'angle a = (Ox, E(M)) en fonction de 6.
4 ‏إ‎ 2
de H Fu M 2 : | :
0 ‏م‎ : AY 5
FA dE 277 72# ‏ا 8 إٍْ “كي تت‎
١ Représentation dans le plan xoy
Représentation en perspective
Figure 2
Exercice 2
Le circuit de la figure 3 est alimenté entre ses bornes "d'entrée" A et B par un
générateur qui délivre à l'instant f la tension u(t). Cette tension, sinusoïdale, a pour
amplitude complexe U,, et pour pulsation ‏"نه‎
‎En sortie", entre les bornes 4, et B:, est placé un dipôle D d'impédance complexe Z.
1) Calculer en fonction de Z, C, ‏هه‎ et Z l'impédance complexe Z, du circuit vue entre
les bornes À et B (impédance d'entrée). j est le nombre complexe tel ‏رعسو‎ =-1.
A | © C A!
, ‏يه | م‎
78 81
Figure 3
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2) En déduire la valeur ‏عل‎ 2 pour laquelle Z.=Z (appelée alors impédance itérative).
3) Compte tenu du résultat de la question précédente, indiquer le domaine des
pulsations pour lesquelles Z a un comportement résistif ( Z réel positif ), quelle
que soit la pulsation dans ce domaine. On donne ZL = 1 mH et C=0,2ur.
Dans toutes les questions suivantes, on prend comme valeur de Z celle qui
correspond à l'expression de la question précédente pour les très hautes fréquences
4) Donner la valeur numérique de la résistance Ro ainsi obtenue.
5) Examiner le comportement du circuit pour Z = Ry pour ‏ن‎ = 0 et ‏م‎ +. Indiquer
dans ces conditions la nature du filtre que constitue le circuit.
Exercice 3
On rappelle les équations de Maxwell dans le vide :
+ divË = 0 équation de MAXWELL-GAUSS
*+ divB - 0 équation de MAXWELL relative au flux
* TOtE = — _. équation de MAXWELL-FARADAY
+ 70208 = ‏نب‎ équation ‏عل‎ MAXWELL-AMPERE
Une onde plane progressive monochromatique, de longueur d'onde À= 6.10 7m, se
propage dans le vide. A tout instant {, son vecteur champ électrique complexe ‏م‎ au point
P(x, y, 2( a pour composantes cartésiennes E;,E,,E; avec :
Ex=Eexpi® où = £ (2x+2y+2) -oœt
L'amplitude Æ, vaut 1 047 . j est le nombre complexe tel que ‏حر‎ -1 . est ln
pulsation temporelle et ‏ع‎ est un scalaire réel positif. c désigne la vitesse de la lumière
dans le vide (c = 3.10% ‏اعم‎ ) et &o la permittivité diélectrique du vide (1/4, =9.10° SI).
On rappelle que 1eV (1 électron-volt ) vaut 1 009 joule.
1) Donner la relation entre c, Net À puis calculer la fréquence N de l'onde.
2) Calculer la valeur numérique de k.
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| 3) Indiquer l'équation cartésienne des plans d'onde puis exprimer le vecteur unitaire
de la direction de propagation de cette onde.
4) À l’aide de l’équation de MAXWELL-GAUSS, établir l'expression de E, en
fonction de 2.. Préciser le déphasage entre ces deux composantes de Ë.
5) On cherche le champ d’induction magnétique en notation complexe sous la forme
B = Boexp (—-jwt) Calculer en fonction de ‏ء2‎ les composantes cartésiennes du
vecteur champ magnétique complexe B de l'onde.
6) Calculer en fonction de ‏ة‎ la densité d'énergie électromagnétique w au point P et à
la date f.
7) Calculer la valeur moyenne <u> de ‏ير‎ sur une période, en fonction de ‏وا‎ et ‏م‎
‎Exprimer la valeur numérique de <u> ‏2ه‎ 7
8) Calculer en fonction de ‏ءة‎ les composantes cartésiennes du vecteur de POYNTING
R de l'onde.
9) Calculer sa valeur moyenne temporelle < R>.
10) En déduire une relation entre < R> et <u>.Conclure sur la vitesse de
propagation de l’énergie électromagnétique dans le vide.
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