نموذج مباراة ولوج المدرسة الوطنية العليا للفنون والمهن ENSAM 2013 - شعب العلوم التجريبية والتقنية (SPC-SVT-STE-STM) - الرياضيات

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours commun d'accès en première année des ENSAM de Meknès et Casablanca (Université Moulay Ismaïl / Université Hassan II), filières Sciences Expérimentales et Techniques, session du lundi 29 juillet 2013. Durée : 2 h 02 min. 23 questions indépendantes à réponse précise, chacune notée sur 2 points. Voici une correction proposée, question par question, avec le calcul qui mène au résultat.

💡 Une réponse « précise » se vérifie vite : remplacez une valeur particulière (n = 3, x = 0…) dans votre formule avant de la reporter. Ne restez jamais bloqué : chaque question vaut le même nombre de points.

Question 1 — Négations (Vrai / Faux)

1. Vrai : dans ℕ, « n n'est pas pair » équivaut à « n est impair ».
2. Faux : la négation de « f est paire » est « f n'est pas paire » ; une fonction peut n'être ni paire ni impaire (ex. x ↦ x + 1), et la fonction nulle est les deux.
3. Faux : Ali peut n'être ni Meknassi ni Casablancais ; la négation est « Ali n'est pas Meknassi ».
4. Faux : « ne voyage jamais sans bagages » signifie « voyage toujours avec des bagages » : q est équivalente à p, pas sa négation. La négation est « Mohammed voyage (au moins une fois) sans bagages ».

Question 2 — Système

Conditions : x > 0, y > 0. La 2e équation donne ln(x/y) = ln 2, donc x = 2y. Alors 4y² − y² = 12, y² = 4, y = 2 (y > 0), x = 4.

S = {(4 ; 2)}.

Question 3 — Progression arithmétique

On pose a = b − r, c = b + r. Alors a + b + c = 3b = 9, donc b = 3. (3 − r)³ + 27 + (3 + r)³ = 27 + 54 + 18r² = 81 + 18r² = 153, donc r² = 4, r = ±2.

S = {(1, 3, 5) ; (5, 3, 1)}.

Question 4 — sin(sin x) = 1

Il faudrait sin x = π/2 + 2kπ. Or |sin x| ≤ 1 < π/2 et |π/2 + 2kπ| ≥ π/2 pour tout entier k. Aucune solution : S = ∅.

Question 5 — Polynôme de degré minimum

Quatre conditions : on cherche P de degré ≤ 3, P(x) = ax³ + bx² + cx + d. P(0) = 1 donne d = 1.

• P(1) = 0 : a + b + c = −1 ;
• P(−1) = −2 : −a + b − c = −3 ;
• P(2) = 4 : 8a + 4b + 2c = 3.

Somme des deux premières : 2b = −4, b = −2, d'où a + c = 1 ; la troisième donne 8a + 2c = 11, donc 6a = 9, a = 3/2 et c = −1/2. Comme a ≠ 0, aucun polynôme de degré ≤ 2 ne convient (le polynôme d'interpolation est unique) : le degré minimum est 3.

P(x) = (3/2)x³ − 2x² − (1/2)x + 1.

Question 6 — Inéquation rationnelle

Conditions : x ≠ −1 et x ≠ 2. On passe tout dans un membre :

(2x + 1)/(x + 1) − (2 − 3x)/(2 − x) = [(2x + 1)(2 − x) − (2 − 3x)(x + 1)] / [(x + 1)(2 − x)] = (x² + 4x)/[(x + 1)(2 − x)].

On veut x(x + 4)/[(x + 1)(2 − x)] ≤ 0, soit x(x + 4)/[(x + 1)(x − 2)] ≥ 0. Tableau de signes (racines −4, −1, 0, 2) : positif sur ]−∞ ; −4], négatif sur [−4 ; −1[, positif sur ]−1 ; 0], négatif sur [0 ; 2[, positif sur ]2 ; +∞[.

S = ]−∞ ; −4] ∪ ]−1 ; 0] ∪ ]2 ; +∞[.

Question 7 — A_n = ΣΣ max(i, j)

Pour k fixé, le nombre de couples (i, j) de {0,…,n}² tels que max(i, j) = k est (k + 1)² − k² = 2k + 1. Donc

A_n = Σ_k=0ⁿ k(2k + 1) = 2·n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2 = n(n+1)[2(2n+1) + 3]/6.

A_n = n(n + 1)(4n + 5)/6 (contrôle : A₁ = 3, A₂ = 13).

Question 8 — B_n

k² − 1 = (k − 1)(k + 1) et k² + k − 6 = (k − 2)(k + 3). Donc B_n = ∏ (k−1)/(k−2) × ∏ (k+1)/(k+3), k = 3…n.

• ∏ (k−1)/(k−2) se télescope : (2/1)(3/2)…((n−1)/(n−2)) = n − 1.
• ∏ (k+1)/(k+3) = (4·5·…·(n+1)) / (6·7·…·(n+3)) = 4·5/((n+2)(n+3)).

B_n = 20(n − 1)/((n + 2)(n + 3)) (contrôle n = 3 : 8/6 = 4/3).

Question 9 — Domaine de définition

On pose t = √(x − 1) ≥ 0 (x ≥ 1), x = t² + 1.

• 10 − x − 6t = 9 − 6t − t² ≥ 0 ⇔ t² + 6t − 9 ≤ 0 ⇔ t ≤ −3 + 3√2.
• 5 − x − 4t = 4 − 4t − t² ≥ 0 ⇔ t² + 4t − 4 ≤ 0 ⇔ t ≤ −2 + 2√2.

La condition la plus forte est 0 ≤ t ≤ 2√2 − 2, soit 1 ≤ x ≤ 1 + (2√2 − 2)² = 13 − 8√2.

D_f = [1 ; 13 − 8√2] (≈ [1 ; 1,686]).

Question 10 — Fonctions croissantes et périodiques

Ce sont les fonctions constantes. Soit T > 0 une période et x < y. Il existe k ∈ ℕ tel que y ≤ x + kT ; la croissance donne f(x) ≤ f(y) ≤ f(x + kT) = f(x), donc f(y) = f(x). Réciproquement une constante est croissante et périodique.

Question 11 — Limite

√(x²) = |x| et sin x + tan x ~ 2x en 0. Donc le quotient tend vers 2 à droite et vers −2 à gauche : la limite L n'existe pas (limites à droite et à gauche différentes).

Question 12 — g ∘ f

• x > 0 : f(x) = x + 3 > 3, donc g(f(x)) = x + 3.
• x = 0 : f(0) = 3 ≤ 3, donc g(3) = 7.
• −√3 ≤ x < 0 : f(x) = x² ∈ ]0 ; 3], donc g(f(x)) = 2x² + 1.
• x < −√3 : f(x) = x² > 3, donc g(f(x)) = x².

g∘f(x) = x² si x < −√3 ; 2x² + 1 si −√3 ≤ x < 0 ; 7 si x = 0 ; x + 3 si x > 0.

Question 13 — Allure d'une fonction

Une fonction continue avec f(0) = 0 et f(1) = 1 atteint toutes les valeurs de [0 ; 1] ; pour qu'elle ne soit pas bijective il suffit qu'elle ne soit pas injective, par exemple en « redescendant » sous 0 au début. Exemple : f(x) = x(2x − 1) = 2x² − x. Elle est continue, f(0) = 0, f(1) = 1, f(x) − x = 2x(x − 1) ≤ 0 sur [0 ; 1], et f(0) = f(1/2) = 0 (non injective). Allure : la courbe part de l'origine, descend jusqu'au minimum (1/4 ; −1/8), recoupe l'axe en x = 1/2 puis monte jusqu'à (1 ; 1), en restant sous la droite y = x.

Question 14 — Image f(D_f)

x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2), donc D_f = ℝ \ {−2 ; −1}. Un réel y est atteint si l'équation y(x² + 3x + 2) = 3x + 2, soit yx² + 3(y − 1)x + 2(y − 1) = 0, a une solution dans D_f (x = −1 et x = −2 ne sont jamais solutions : ils donnent 1 = 0 et 4 = 0).

• y = 0 : x = −2/3 convient.
• y ≠ 0 : Δ = 9(y − 1)² − 8y(y − 1) = (y − 1)(y − 9) ≥ 0 ⇔ y ≤ 1 ou y ≥ 9.

Contrôle : f(0) = 1 et f(−4/3) = 9 (bornes atteintes).

f(D_f) = ]−∞ ; 1] ∪ [9 ; +∞[.

Question 15 — Tangente et axe (O, j)

f_a′(x) = −e^−x + a. Tangente au point d'abscisse x₀ : y = f_a′(x₀)(x − x₀) + f_a(x₀). Pour x = 0 : y = e^−x₀ + ax₀ − x₀(−e^−x₀ + a) = (1 + x₀)e^−x₀.

Le point d'intersection est (0 ; (1 + x₀)e^−x₀) : il ne dépend pas de a (toutes les tangentes au point d'abscisse x₀ passent par ce point). Attention : l'énoncé note ce point M(x₀, y₀), mais son abscisse est 0 ; x₀ désigne l'abscisse du point de contact.

Question 16 — F′(x)

u(x) = x + √(1 + x²) > 0 pour tout x (car √(1 + x²) > |x|), donc F est dérivable sur ℝ et u′(x) = 1 + x/√(1 + x²) = u(x)/√(1 + x²). Alors F′(x) = h′(u)·u′ = (1/u)·u/√(1 + x²).

F′(x) = 1/√(1 + x²).

Question 17 — g′(x) avec f intégrale

t ↦ ln t/(1 + t²) est continue sur ]0 ; +∞[, donc f est dérivable et f′(x) = ln x/(1 + x²). Par dérivation composée :

g′(x) = f′(x) − (−1/x²)·f′(1/x) = ln x/(1 + x²) + (1/x²)·(−ln x)/(1 + 1/x²) = ln x/(1 + x²) − ln x/(x² + 1).

g′(x) = 0 : g est constante, égale à g(1) = 0 ; donc f(1/x) = f(x) pour tout x > 0.

Question 18 — Intégrale I

Une primitive de (t − 1)e^−t est −te^−t (on vérifie : (−te^−t)′ = −e^−t + te^−t). On peut aussi intégrer par parties avec u = t − 1, v′ = e^−t.

I = [−te^−t]₀^x = −x e^−x.

Question 19 — Intégrale J

x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) est négatif seulement sur [2 ; 3]. Avec F(x) = x³/3 − 5x²/2 + 6x :

• ∫₀² = F(2) − F(0) = 14/3 ;
• ∫₂³ |…| = −(F(3) − F(2)) = 1/6 ;
• ∫₃¹¹ = F(11) − F(3) = 1243/6 − 9/2 = 608/3.

J = 14/3 + 1/6 + 608/3 = 415/2 = 207,5.

Question 20 — Minimum de x² + y² sous x + 2y = 5

x² + y² est le carré de la distance de l'origine au point (x, y) de la droite ; le minimum est le carré de la distance de O à la droite : (5/√(1 + 4))² = 5, atteint en (1 ; 2). (Par Cauchy-Schwarz : 25 = (x + 2y)² ≤ 5(x² + y²).)

min = 5, atteint en (x, y) = (1, 2).

Question 21 — Les mouchoirs

Un mouchoir : 0,25 × 0,25 = 0,0625 m². 6 / 0,0625 = 96 mouchoirs en 8 jours.

Moy/j = 12 mouchoirs.

Question 22 — La boîte de bonbons

Bonbons B, boîte P = B − 900 ; P + B = 1000 donc 2B − 900 = 1000, B = 950 g.

P = 50 g (et non 100 g, réponse réflexe fausse).

Question 23 — Obtenir 100

100 = 99 + 99/99 : le chiffre 9 écrit six fois, deux opérations (+ et ÷).