نموذج مباراة ولوج السنة الأولى من سلك مهندسي الدولة - المعهد الوطني للبريد والمواصلات (INPT) 2001 - اختبار الفيزياء
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باختصار
هذا نموذج امتحان كتابي سابق لمباراة السنة الأولى من سلك مهندسي الدولة لدى المعهد الوطني للبريد والمواصلات (INPT) (29/06/2001)، منشور على وظيفة إنفو للاطلاع والتحميل المجاني بصيغة PDF مع تصحيح مقترح.
- الجهة المنظمة
- المعهد الوطني للبريد والمواصلات (INPT)
- الدرجة
- السنة الأولى من سلك مهندسي الدولة
- التخصص
- الفيزياء
- الدورة
- 29/06/2001
- عدد الصفحات
- 7
- لغة الأسئلة
- الفرنسية
- التصحيح
- تصحيح مقترح متوفر في هذه الصفحة
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المعهد الوطني للبريد و المواصلات 27774
INSTITUT NATIONAL DES POSTES ET TELECOMMUNICATIONS
222222222222
CONCOURS D’ACCES EN PREMIERE ANNEE
DU CYCLE D’INGENIEURS D'ETAT
29-06-2001
Epreuve de PHYSIQUE |
(Durée :3Heures)
Avertissement :
-L’appréciation des copies tient compte de la rigueur, de la clarté des
raisonnements et de la présentation.
-Encadrer vos résultats.
CRD DS AID 1e D 25 SDS
NATIONALE DE RÉGLEMENTATION Des TétécOMMUNICATIONS وعم
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PROBLEME ETUDE DES CARACTERISTIQUES D'UN CABLE COAXIAL
Important : Les quatre parties sont indépendantes. Les données sont précisées au début du problème.
On intéresse à l'étude de quelques propriétés dun câble coaxial sur des modèles simplifiés. Comme
lindique le schéma ci-dessous le câble est constitué dun conducteur central ou ême du câble qui est un fil
cylindrique en cuivre de rayon x tandis que le conducteur extérieur ou gaine est constitué de fils de cuivre
étamé tressés sur un isolant parfait ( polyéthylène) de rayon #.
âme 5
\ ماف isolant
a Ses 0: 0 |
Coupe transversale
Figure 1
Lorsque le câble de longueur h, est ouvert à son extrémité il se comporte comme un condensateur de
capacité C = 1:7 et lorsque l'extrémité est court-circuitée il se comporte comme une inductance propre L= Ah
Données mumériques :
a = 0,43 mm b= 1,47 mm h = 100m
la permitiivité électrique du vide est Es = 10/36) 31
la permitiivité électrique du polyéthylène est عع = ع avec £&.=226.
la perméabilité magnétique du vide est y - 1
rot( rotB) = grad{ divB)-AB = VA(VAB)=V(VE )—V'B
1°" Partie ELECROSTATIQUE : CALCULDELACAPACITE.
Le câble est modélisé par deux conducteurs cylindriques coaxiaux d'axe Oz séparés par le
polyéthylène qui est un isolant homogène isotrope de permittivité électrique ع et de
perméabilité magnétique 1. Le premier plein, de rayon a porté au potentiel VA: le second est
creux, de rayon b et porté au potentiel Vy (a > 5 et Va > Vs). L'ensemble est en équilibre
électrostatique loin de toute autre charge. La longueur du câble est h >> b ( on néglige les
effets de bord).
Un point M est repéré par ses coordonnées cylindriques : r, 8 et z
1) Entre les deux conducteurs on fait l'hypothèse : le potentiel VIM) = Viri. Justifier
cette hypothèse.
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2) À partir de l'équation de Laplace et des conditions aux limites, montrer que pour
a<r<b, Vr)= Kin(r) + ع où K et K' sont des constantes d'intégration qu'on exprimera en
fonction de a, b, Va et Va.
1 4) 77
On donne en coordonnées cylindriques : AV(r)=-——| r Po À
r dr dr
3) En déduire l'expression du champ ع
4) À partir du théorème de Coulomb exprimer les densités surfaciques de charges o1 et oz
en fonction de a, b, Va Vs et 6. Comparer loal et lol.
5) Calculer les charges Q4 et Q» portées par les surfaces des conducteurs du câble de
longueur h, les comparer. Quel résultat du cours retrouve-t-on ?
6) En déduire la capacité du condensateur formé par le câble de longueur h et calculer sa
capacité par unité de longueur 1
7) Quel est l'ordre de grandeur des capacités utilisées au laboratoire ?
8) Quelle est la signification physique d'une capacité électrique ?
2°"° PARIE REGIME TRANSITOIRE : DETERMINATION DE LA CAPACITE LINEIQUE ع
On suppose que la durée du régime transitoire est grande devant le temps de propagation.
La charge est répartie de manière quasi-uniforme sur la gaine d'une part et sur l'âme d'autre
part. lpeut être mesuré à partir de la courbe de charge du condensateur-câble attaqué par un
échelon de tension.
Le montage de mesure de la figure 2 est équivalent au circuit de la figure 3
css CR] |
| 7 Oscilloscope
Figure 2 Figure 3
Ro = 1 MQ , C = 20 pF sont respectivement la résistance et la capacité d'entrée de
l'oscilloscope. C est la capacité du câble.
9) Comment doit-on choisir la période d'un signal carré délivré par le générateur de
fonction ( G.B.F ) pour visualiser à l'oscilloscope la courbe de charge ?
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10) En supposant que >> R= 100 ىا
v=E pour r>0
v. = 0 pour t > 0
Etablir l'équation différentielle vérifiée par la tension « aux bornes du condensateur pour : > 0
11) Résoudre cette équation avec C initialement déchargé
12) On noter, la durée que met la tension u pour passer de la valeur 10% à la valeur 90%
de sa valeur maximale.
sis ss ب
Montrer que 1, s'écrit: t د 0109 (In désigne le logarithme népérien }
13) Pour un câble de longueur ١ =100 m, on mesure 1,= 2,05 ms. En déduire la valeur de 7 la
comparer à la valeur donnée par le constructeur 1 = 100 pF.m' et à la valeur théorique calculée
dans la question 6)
3°"° Partie MAGNETOSTATIQUE : CALCUL DE L'INDUCTANCE LINEIQUE ;.
Dans cette partie la gaine et l'âme du câble sont parcourues par des courants de même
intensité et de sens opposés modélisés par des répartitions surfaciques ( figure 4 ). On néglige
l'effet des bords (h >> b câble considéré comme infini ) .
s ودود 7 TE * 1
14) À l'aides des propriétés de symétrie du champ d'induction io
magnétique montrer que ÆM) = B(r)üs 1 1 هط ال
) , ونا , ولا base orthonormée associée au système de ل قب >
coordonnées cylindriques : (r, 4, z) | نا +
7 ىا
15) م l'aide du théorème d'Ampère sur un contour qu'on Fi 4ن
précisera, calculer 5 en tout point de l'espace, on distinguera les 9
trois Cas r<a, a<r<b et r>b.
16) Exprimer les densités surfaciques de courant sur les surfaces des conducteurs
(r=a et r=b) et vérifier les conditions de passage sur ces surfaces pour 5
17) On rappelle que la densité volumique d'énergie magnétique en un point M est
w = B/2u») . Déterminer l'énergie magnétique contenue dans le câble, en fonction de 4, b, h i et
les constanes.
18) Rappeler l'expression de l'énergie magnétique en fonction du coefficient d'auto-
induction L (appelé aussi inductance ou self) et du courant i.
19) En déduire l'inductance par unité de longueur À du câble. Calculer sa valeur numérique.
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4*7* partie REGIME SINUSOIDAL : MESURE DE L'INDUCTANCE LINEIQUE À.
On ferme l'extrémité du câble par un fil comme l'indique le montage de la figure 5 et
qu'on modélise par le circuit de la figure 6. L'oscilloscope, utilisé ici comme voltmètre, et
l'ampèremètre A sont supposés idéaux. On notera Z l'impédance du câble.
20) Exprimer le carré du module de l'impédance 2/7 en fonction de L. R. et la pulsation w
du générateur.
21) Des deux appareils, l'ampèremètre A et l'oscilloscope Y, utilisés dans le montage,
lequel mesure une amplitude et lequel mesure une valeur efficace ? Soient / et V les valeurs
efficaces du courant et de la tension mesurées, quelle est la relation entre /Z|,1et 2
Y\l Oscilloscope (
مج + { )scille xscone (
يخي اه 6 7
M) TT:
0) © ما( 2
Figure 5 Figure 6
22) Pour déduire la valeur de w quel paramètre doit-on mesurer, et sur quel appareil ?
23) La représentation de 12/2 en
fonction de a à partir des résultats 7 قم
obtenus a donné le graphe de la figure 7 :
pour des fréquences inférieures à 30 kHz. UT à | À on
Déduire du graphe les valeurs de L et الاي “+= ER RS
de R..
الع المع 077 المي Puis لمعا |« D
24) En déduire la valeur de AS ب A PS
l'inductance par unité de longueur À. ؛ٍ ا :' إٍ' إ
Comparer cette valeur à celle calculée dans Seul تكس 7j ا مدعا قبي Sin
la question 19). Commenter ? بلح ا ٍُ سمي
ا ا ٍ' ٍ ا 23
[rad.s"] | ا ا ا
30.10° 20.10° 10.10 0
Figure 7
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5** PARTIE ONDES: VITESSE DE PHASE DANS LE CABLE.
En hautes fréquences le courant n'a plus la
même intensité pour tous les points du câble. On للم 1 i(z+det)
pose i = i(z1) et la ddp entre l'âme et la gaine est م 4
u = u(z.t}. Un modèle simplifié d'une tranche entre >: ulz.t) ra |wztdzt)
et z+dz, sans tenir compte des pertes, est ji
représenté sur la figure 8. - 7
Àdz et 16: sont respectivement l'inductance et ——# >
la capacité associées à la tranche de longueur dr. c z+de
Figure 8
25) a) Rappeler la relation entre l'intensité qui traverse une bobine parfaite et la tension
à ses bornes à un instant r. Faire un schéma clair en précisant avec des flèches le sens de
chacune des grandeurs.
b) Refaire de même pour une capacité.
“ie : : GA 1 OS t)
26) À l'aide des lois de Kirchhoff écrire la relation entre w(z,r), u(z+dz,t) et م NE
du(z;t) —
notée (1) et la relation entre زج üz+dzt) et 5 FE = notée (2). On se limitera aux
infiniment petits du premier ordre en ©
27) En déduire des relations (1) et (2) que chacune des grandeurs wir) et i(z1) vérifie
SR : : d'f(zt) d'f(z,t)
l'équation d'onde dite de D'Alembert بج ST sl)
[3 ot
28) Exprimer, en fonction de À et 1, la vitesse de phase ou de propagation dans la ligne
29) Sur un oscilloscope, supposé parfait, : 1 ات a ير /
81 : | / \ / \ / 1 /
on visualise les tensions entre l'âme et la gaine ; à À À / ٠ ١ /
aux deux extrémités du câble. L'oscillogramme 04/1 | / ١ à /
obtenu, avec une base de temps de 0,5 us/div, est 024 ١ ١ م |. 3 À / 1
représenté sur la figure 9. 0 ب ليم
5 ا ا 2 0 ب 2 P أ 8 4 Ê
Calculer la vitesse de phase. ٠ ١ ٠ ١ 1 1
ف \ \ / | 1 \ { Î
- 5 7 | \ \/ 1
30) a) Rappeler les équations de Maxwell 08 \ À / \ À /
dans le polyéthylène considéré comme un milieu 1 جح ل ند ل
homogène, linéaire, isotrope et isolant ayant les Figure 9
mêmes propriétés magnétiques que le vide.
b) En déduire l'équation d'onde vérifiée par 5 et la vitesse de propagation en fonction
de et €. Calculer sa valeur numérique.
c) Comparer le résultat avec celui de la question 29). Commenter.
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Exercice.
On se propose d'étudier la réflexion et la réfraction de deux ondes planes conformément
aux deux cas de figure ci-dessous, sur la surface de séparation plane de deux milieux isotropes
d'indices n, et n;, de même perméabilité magnétique y, .
O.1 : onde incidente OR : onde réfléchie O.T : onde transmise.
n;,; Un M2, Uo Mi, Hi nm), H
OR RO.R
à | 1 74
O1 sa 0.17 surtace
14701) race
jurface urlace
Figure 1 Figure 2
On prendra comme hypothèse qu'à l'incidence normale les trois champs 5 , Ê et Æ ont le
même sens.
1) En justifiant votre réponse, compléter les figures 1 et 2 en y ajoutant les directions et sens
des champs incidents, réfléchis et transmis.
2) On rappelle que les coefficients de réflexion et de transmission, en amplitude du champ
électrique, sont donnés respectivement par :
سا amplitude 0. مخ Ga amplitude 01
amplitude 717 amplitude 1
Calculer ٠ et 1, dans le cas de la figure 2, en fonction des angles i, et و
Pour quelle valeur de i, le coefficient r 07 Qu'appelle-t-on cet angle ?
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التصحيح المقترح
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Épreuve de physique du concours d'accès en 1re année du cycle d'ingénieurs d'État de l'INPT, session du 29 juin 2001, durée 3 heures. Un problème en cinq parties sur le câble coaxial (électrostatique, régime transitoire, magnétostatique, régime sinusoïdal, propagation) et un exercice sur la réflexion-réfraction d'une onde plane. Correction proposée ci-dessous.
💡 Données utiles : a = 0,43 mm, b = 1,47 mm, h = 100 m, ε0 = 10-9/(36π), εr = 2,26, μ0 = 4π·10-7. On a ln(b/a) = ln(3,419) ≈ 1,229 ; ce nombre revient dans toutes les applications numériques.
Problème — Étude d'un câble coaxial
1re partie — Électrostatique : capacité
1) La distribution de charges est invariante par rotation autour de Oz (symétrie cylindrique) et, le câble étant supposé infini (h ≫ b), par translation selon Oz. Le potentiel ne dépend donc ni de θ ni de z : V(M) = V(r).
2) Entre les armatures il n'y a pas de charge : ΔV = 0, soit (1/r)·d/dr(r·dV/dr) = 0. Donc r·dV/dr = K, puis V(r) = K·ln r + K'.
Conditions aux limites : V(a) = VA, V(b) = VB ⇒
K = −(VA − VB) / ln(b/a) et K' = (VA·ln b − VB·ln a) / ln(b/a).
3) E = −grad V = −(dV/dr) ur = −(K/r) ur :
E(r) = (VA − VB) / (r·ln(b/a)) · ur pour a < r < b (radial, dirigé vers la gaine puisque VA > VB) ; E = 0 dans les conducteurs.
4) Théorème de Coulomb : au voisinage d'un conducteur, E = (σ/ε)·n, n étant la normale sortant du conducteur vers l'isolant.
En r = a (n = ur) : σA = ε(VA − VB) / (a·ln(b/a)) > 0.
En r = b (n = −ur) : σB = −ε(VA − VB) / (b·ln(b/a)) < 0.
|σA| / |σB| = b/a ≈ 3,4 : |σA| > |σB| (la même charge est répartie sur une surface plus petite).
5) QA = σA·2πah = 2πεh(VA − VB) / ln(b/a) ; QB = σB·2πbh = −QA.
Les charges sont opposées : on retrouve le résultat de l'influence totale (la gaine entoure complètement l'âme), propriété des armatures d'un condensateur.
6) C = QA/(VA − VB) = 2πε0εrh / ln(b/a), d'où Γ = 2πε0εr / ln(b/a).
2πε0 = 10-9/18 = 5,56·10-11 F/m ; Γ = 5,56·10-11 × 2,26 / 1,229 ≈ 1,02·10-10 F/m ≈ 102 pF/m, et pour h = 100 m : C ≈ 10,2 nF.
7) Au laboratoire, les condensateurs vont du picofarad à quelques millifarads ; les plus courants sont de l'ordre du nF au µF. Les 10 nF du câble sont donc une capacité « ordinaire », non négligeable devant celle des montages.
8) La capacité mesure l'aptitude d'un système de conducteurs à stocker des charges (et de l'énergie électrique W = ½CU²) sous une tension donnée : C = Q/U est la charge emmagasinée par volt appliqué.
2e partie — Régime transitoire : mesure de Γ
9) Pendant chaque demi-période où ve = E, le condensateur doit avoir le temps de se charger complètement : il faut T/2 ≫ τ (en pratique T/2 ≥ 5τ, τ étant la constante de temps du circuit) pour observer toute la courbe de charge.
10) C0 ≪ C : on néglige C0. Loi des nœuds en tête de C : (E − u)/R = C·du/dt + u/R0, soit
τ·du/dt + u = E·R0/(R + R0) avec τ = C·RR0/(R + R0).
11) Avec u(0) = 0 : u(t) = Um(1 − e−t/τ), Um = E·R0/(R + R0).
12) u = 0,1Um à t1 = τ·ln(10/9) ; u = 0,9Um à t2 = τ·ln 10.
tr = t2 − t1 = τ·ln 9, soit tr = [RR0/(R + R0)]·C·ln 9.
13) RR0/(R + R0) = 105×106/(1,1·106) = 90,9 kΩ.
C = tr / (90,9·103 × ln 9) = 2,05·10-3 / (90,9·103 × 2,197) ≈ 1,03·10-8 F ⇒ Γ = C/h ≈ 103 pF/m.
Écart de +2,6 % avec la valeur constructeur (100 pF/m) et de +0,5 % avec la valeur théorique (102 pF/m) : très bon accord, compte tenu de la lecture de tr et de C0 = 20 pF négligée.
3e partie — Magnétostatique : inductance linéique
14) Tout plan contenant l'axe Oz et le point M est un plan de symétrie de la distribution de courants (courants selon ±uz). B, pseudo-vecteur, est perpendiculaire à ce plan : B est porté par uθ. L'invariance par rotation (θ) et par translation (z, câble infini) donne B = B(r). D'où B(M) = B(r)·uθ.
15) Contour d'Ampère : cercle d'axe Oz, de rayon r, orienté selon uθ : ∮B·dl = 2πr·B(r) = μ0Ienlacé.
- r < a : Ienlacé = 0 ⇒ B = 0 (courant superficiel sur l'âme) ;
- a < r < b : Ienlacé = i ⇒ B = μ0i/(2πr) · uθ ;
- r > b : Ienlacé = i − i = 0 ⇒ B = 0.
16) js(a) = i/(2πa) · uz ; js(b) = −i/(2πb) · uz.
Relation de passage : B2 − B1 = μ0 js ∧ n12 (n12 = ur).
En r = a : μ0·i/(2πa)·(uz ∧ ur) = μ0i/(2πa)·uθ = B(a+) − 0 ✔.
En r = b : −μ0i/(2πb)·uθ = 0 − B(b−) ✔.
17) W = ∫ B²/(2μ0) dτ, avec dτ = 2πrh·dr entre a et b :
W = ∫ab [μ0i²/(8π²r²)]·2πrh dr = μ0h·i²·ln(b/a) / (4π).
18) W = ½·L·i².
19) Par identification L = μ0h·ln(b/a)/(2π), donc λ = μ0·ln(b/a)/(2π) = 2·10-7 × 1,229 ≈ 2,46·10-7 H/m = 0,246 µH/m.
4e partie — Régime sinusoïdal : mesure de λ
20) Le câble court-circuité est une bobine (L, Rc) : Z = Rc + jLω ⇒ |Z|² = Rc² + L²ω².
21) L'oscilloscope mesure une amplitude (valeur crête lue sur l'écran) ; l'ampèremètre (position alternative) mesure une valeur efficace. Avec V = Vmax/√2 : |Z| = V/I.
22) On mesure la période T de la tension sur l'oscilloscope (nombre de divisions × base de temps), puis ω = 2π/T.
23) |Z|² est une fonction affine de ω² : ordonnée à l'origine Rc² = 23 Ω² ⇒ Rc ≈ 4,8 Ω.
Pente lue sur la droite (elle passe par 40 Ω² pour ω² = 20·109) : L² = (40 − 23)/(20·109) ≈ 8,5·10-10 H² ⇒ L ≈ 2,9·10-5 H = 29 µH.
24) λ = L/h ≈ 0,29 µH/m, soit environ 18 % de plus que la valeur calculée (0,246 µH/m).
Commentaire : le modèle de la question 19 suppose des courants purement superficiels. En basse fréquence (< 30 kHz), le courant occupe tout le volume de l'âme, ce qui ajoute une inductance interne de μ0/(8π) = 0,05 µH/m : 0,246 + 0,05 ≈ 0,30 µH/m, en accord avec la mesure. S'y ajoutent le fil de court-circuit, les fils de liaison et la gaine tressée (non pleine).
5e partie — Ondes : vitesse de phase
25) a) Bobine parfaite, convention récepteur (flèches de u et de i en sens opposés sur le schéma) : u = L·di/dt.
b) Condensateur, convention récepteur : i = C·du/dt (q = Cu sur l'armature où entre i).
26) Loi des mailles : u(z,t) − u(z+dz,t) = λdz·∂i(z,t)/∂t (1), soit ∂u/∂z = −λ·∂i/∂t.
Loi des nœuds (au premier ordre en dz) : i(z,t) − i(z+dz,t) = Γdz·∂u(z,t)/∂t (2), soit ∂i/∂z = −Γ·∂u/∂t.
27) En dérivant (1) par rapport à z et (2) par rapport à t : ∂²u/∂z² = −λ·∂²i/∂z∂t = λΓ·∂²u/∂t². De même, (2) dérivée par rapport à z et (1) par rapport à t donnent ∂²i/∂z² = λΓ·∂²i/∂t². Donc u et i vérifient ∂²f/∂z² − λΓ·∂²f/∂t² = 0.
28) v = 1/√(λΓ).
29) Sur la figure 9 la période vaut 4 divisions, soit T = 2 µs. Les deux sinusoïdes sont décalées de 1 division : la courbe qui passe par son maximum à t = 1 div est en retard de Δt = 1 × 0,5 = 0,5 µs sur l'autre (maximum à t = 0). C'est le temps de propagation sur h = 100 m (le décalage n'est connu qu'à une période près ; le plus petit retard, 0,5 µs, est le seul compatible avec v < c) :
v = h/Δt = 100 / 0,5·10-6 = 2,0·108 m/s (réponse probable : l'énoncé ne dit pas quelle trace correspond à quelle extrémité).
Vérification : 1/√(λΓ) = 1/√(2,46·10-7 × 1,02·10-10) ≈ 2,0·108 m/s.
30) a) Milieu sans charges ni courants libres, de permittivité ε = ε0εr et de perméabilité μ0 :
div E = 0 ; div B = 0 ; rot E = −∂B/∂t ; rot B = μ0ε·∂E/∂t.
b) rot(rot B) = grad(div B) − ΔB = −ΔB, et rot(rot B) = μ0ε·∂(rot E)/∂t = −μ0ε·∂²B/∂t². D'où ΔB − μ0ε·∂²B/∂t² = 0 : onde de vitesse v = 1/√(μ0ε0εr) = c/√εr.
Avec μ0ε0 = 4π·10-7 × 10-9/(36π) = 1/(9·1016) : c = 3·108 m/s et v = 3·108/√2,26 ≈ 2,0·108 m/s (1,996·108).
c) Même valeur qu'en 29. Ce n'est pas un hasard : avec les expressions des questions 6 et 19, λΓ = [μ0ln(b/a)/(2π)]·[2πε/ln(b/a)] = μ0ε. Le signal se propage dans la ligne à la vitesse d'une onde électromagnétique dans le polyéthylène ; la géométrie (a, b) n'intervient pas.
Exercice — Réflexion et réfraction d'une onde plane
1) Pour une onde plane, (E, H, k) forme un trièdre direct et E ⊥ H. Le plan d'incidence (plan de la figure) est un plan de symétrie du problème : une onde dont le champ électrique (figure 1) ou magnétique (figure 2) est perpendiculaire à ce plan donne des ondes réfléchie et transmise de même polarisation (les conditions de passage, continuité des composantes tangentielles de E et de H, sont vérifiées séparément pour chaque polarisation).
- Figure 1 (E ⊥ plan d'incidence) : Er et Et sont perpendiculaires au plan de la figure, de même sens que Ei (⊙) selon l'hypothèse ; les champs Hi, Hr, Ht sont dans le plan de la figure, perpendiculaires au rayon correspondant, orientés de façon que (E, H, k) soit direct.
- Figure 2 (H ⊥ plan d'incidence) : Hr et Ht sont perpendiculaires au plan de la figure ; Ei, Er, Et sont dans le plan de la figure, perpendiculaires à leur rayon, orientés de façon à se confondre en sens à l'incidence normale. Avec Hi ⊗, (Ei, Hi, ki) direct impose à Ei une composante tangentielle dirigée vers le bas de la figure ; Ht est alors ⊗ et Hr est ⊙.
2) Cas de la figure 2. Axe x normal à la surface, y vers le haut dans le plan de la surface. Avec les conventions précédentes :
- composantes tangentielles de E : −Eicos i1, −Ercos i1, −Etcos i2 ;
- champs H (normaux au plan, H = nE/Z0) : −n1Ei/Z0, +n1Er/Z0, −n2Et/Z0.
Continuité de Etangentiel : (Ei + Er)cos i1 = Etcos i2.
Continuité de Htangentiel (pas de courant surfacique) : n1(Ei − Er) = n2Et.
D'où r = (n1cos i2 − n2cos i1)/(n1cos i2 + n2cos i1) et t = 2n1cos i1/(n1cos i2 + n2cos i1).
Avec la loi de Descartes n1sin i1 = n2sin i2 (on remplace n1/n2 par sin i2/sin i1) :
r = (sin 2i2 − sin 2i1)/(sin 2i2 + sin 2i1) = tan(i2 − i1) / tan(i1 + i2)
t = 2 sin i2 cos i1 / [sin(i1 + i2)·cos(i1 − i2)]
Contrôle à l'incidence normale : r → (n1 − n2)/(n1 + n2) et t → 2n1/(n1 + n2), conformes à l'hypothèse des trois champs de même sens.
r = 0 lorsque tan(i1 + i2) → ∞, soit i1 + i2 = π/2 (rayons réfléchi et transmis perpendiculaires). Alors sin i2 = cos i1 et Descartes donne tan i1 = n2/n1. Cet angle est l'angle de Brewster : l'onde polarisée dans le plan d'incidence n'est pas réfléchie.
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الجهة المنظمة: المعهد الوطني للبريد والمواصلات (INPT) · 29/06/2001 — مصدر النسخة: الموقع الرسمي للمعهد الوطني للبريد والمواصلات inpt.ac.ma (نسخة أرشيفية)؛ الإعلان الرسمي للمباراة هو المرجع.
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