نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2025: الفيزياء 2 - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين
باختصار
هذا نموذج امتحان كتابي سابق لمباراة مباراة ولوج المدارس العليا للمهندسين لدى المباراة الوطنية المشتركة CNC (الأقسام التحضيرية) (2025)، منشور على وظيفة إنفو للاطلاع والتحميل المجاني بصيغة PDF مع تصحيح مقترح.
- الجهة المنظمة
- المباراة الوطنية المشتركة CNC (الأقسام التحضيرية)
- الدرجة
- مباراة ولوج المدارس العليا للمهندسين
- التخصص
- الفيزياء 2
- الدورة
- 2025
- عدد الصفحات
- 8
- لغة الأسئلة
- الفرنسية
- التصحيح
- تصحيح مقترح متوفر في هذه الصفحة
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— صفحة 1 — Concours National Commun - Session 2025 - Filière MP - On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les des questions abordées. - Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. - Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées. Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties de l'épreuve sont relativement indépendantes entre elles. La plongée sous-marine L’exploration des mers et des océans par plongée sous-marine s’appuie sur des lois physiques simples. Ces lois doivent être connues et scrupuleusement prises en compte par un plongeur. D’autre part, la plongée nécessite de disposer d’un équipement particulier et de respecter des règles de sécurité. Le sujet est composé de deux parties indépendantes. La partie 1 est notée sur 4 points, la partie 2 sur 16 points. Données : - Masse molaire de l’air : M, = 29 g.mol”. - Accélération de pesanteur : g=9,81 ms”. - Constante des gaz parfaits : R=8,31 7.7.101٠ - Température du corps humain : 1, 23790. - Capacité thermique massique du corps humain : c, =3,5 kJ.K" kg”. - Résistance thermique de la peau du corps humain : R” =3.10°KW". - Surface de la peau du corps humain : s,=2 m°. - Conductivité thermique de la combinaison en néoprène : A” =0,2 W.m".K”. - Puissance produite par le métabolisme du corps humain : P =100W.. - 1 bar =1,013.10° Pa. - Équation fondamentale de la statique des fluides : —grad(P(M)) + p(M)g(M) -0. On considère un bassin océanique calme que l’on modélise par une couche unique d’eau immobile, de profondeur H . L'eau du bassin constitue un liquide homogène, isotherme, de température T, =20 °C, de masse volumique p, en équilibre dans le champ de pesanteur 8 = ge, uniforme, d'intensité g constante. On suppose que le référentiel d’étude, lié au bassin, est galiléen. L’axe Oz du repère 3 2 3 est descendant et la référence 2 z=0 des profondeurs d’eau est choisie à la surface du bassin (figure ‘ م" I) Figure 1 : Bassin océanique On admet que la pression dans le fluide ne dépend que de la profondeur z. On note P(z=0)= P, =1bar la pression atmosphérique à la surface libre du bassin. Épreuve de Physique II 1/8 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 2 — Concours National Commun - Session 2025 - Filière MP Partie 1 La compressibilité de l’eau de mer On s’intéresse dans cette partie à l’évolution de la pression P(z) dans le bassin océanique. 1. On suppose dans cette question l’eau du bassin incompressible, p = وم =1,025.1 0*kg.m7 . 1.1. Montrer que la pression P(z) de l’eau en un point de profondeur z est donnée par 1.2. Représenter graphiquement l'allure de la courbe P(z). 1.3. Quelle est la valeur numérique de la pente de la droite P(z) ? La règle des plongeurs "1 bar tous les 10 mètres" est-elle valable ? 2. On suppose dans cette question l’eau du bassin compressible. La masse volumique de l’eau du bassin varie avec la pression selon la loi p=p, [1 +a(P -P,)] , OÙ a=10""Pa”"' et Po = 1,025.10*kg.m”* à la température T, =20 °C. 2.1. Déterminer la loi de variation de la pression P(z) en un point de profondeur z. 2.2. Que devient cette loi pour de faibles profondeurs ? Commenter. 2.3. Calculer les pressions P, (pour l’eau compressible) et P,, (pour l’eau incompressible) pour les profondeurs z, =10m, z, = 40m et z, = 1km . Quelle est l’erreur relative commise pour la profondeur z, =1km en utilisant l’expression approchée de la pression ? Conclure. Dans la suite, on supposera l’eau du bassin incompressible et de masse volumique P = وم =1,025.10*kg.m” . La pression de l’eau en un point de profondeur z est: P(z)= P, + p,gz- Partie 2 La plongée sous-marine 1. …— Plongée sous-marine Le corps d’un plongeur, de masse m=80 kg , peut-être considéré, à l'exception de ses poumons, comme incompressible. Lors de la respiration, la majorité des gaz inspirés par le plongeur vont dans les poumons et une partie de ces gaz va se dissoudre dans le sang. Le plongeur a une capacité pulmonaire (volume maximal d’air dans les poumons lors d'une inspiration complète) V, = 7,0 L. Lors d'une expiration complète, le volume des poumons est V_=1,5 L. Le reste du corps a un volume V, =77L. On caractérise l’air contenu dans les poumons du plongeur, de volume V(z) variable en fonction de la profondeur, par la pression P(z) égale à celle de l’eau du bassin à la profondeur z. Cet air, de température supposée constante, est assimilé à un gaz parfait. 1.1. On suppose dans cette question que le plongeur inspire totalement avant d'entamer sa descente puis plonge en apnée (plongée libre sans bouteille) en bloquant sa respiration. 1.1.1. En utilisant la loi de BOYLE-MARIOTTE, établir l’expression du volume V(z) des poumons du plongeur en fonction de la profondeur z à laquelle il descend. Comment varie le volume des poumons en fonction de la profondeur ? 1.1.2. Faire le bilan des forces qui s’appliquent au plongeur. 1.1.3. Calculer numériquement la profondeur z, pour laquelle la résultante des forces qui s'appliquent au plongeur est nulle. Épreuve de Physique II 2/8 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 3 — Concours National Commun - Session 2025 - Filière MP 1.1.4. Calculer numériquement la profondeur z, lorsque le volume des poumons atteint la valeur minimale V,. 1.2. On suppose dans cette question que le plongeur s'équipe d'une bouteille d'air comprimé qui lui fournit, grâce à un détendeur, de l'air à la même pression que l'eau à la profondeur où il se trouve. Le volume de la bouteille est V, =12.10* m*. L'air est composé de dioxygène et de diazote avec les titres molaires respectifs x,, = 0,20 et x,, = 0,80 - 1.2.1. Calculer les pressions partielles en diazote et en dioxygène, P,, et P, , dans l’air fourni au plongeur à la profondeur رج = 40 71 1.2.2. En profondeur, l’augmentation de la pression partielle en diazote provoque un trouble du système nerveux nommé aussi narcose à l’azote. Lorsque la pression partielle en diazote devient égale à P = 4,0 bar, le plongeur ressent l'ivresse des profondeurs. On note z, la profondeur correspondante. Calculer numériquement la pression P(z,) de l’air à partir de laquelle le plongeur ressent l'ivresse des profondeurs. 1.2.3. Déduire la valeur numérique de la profondeur z, à laquelle se manifeste le phénomène d'ivresse des profondeurs. 2. Principe d’une bouteille de plongée Pour pratiquer la plongée sous-marine, un plongeur utilise une bouteille en acier dans laquelle de l’air est stocké sous forme de gaz comprimé à la pression P, = 200 bar . La bouteille de plongée (figure 2) est munie de deux détenteurs de type capillaire qui permettent au plongeur de respirer de l’air à la même pression que celle de l’eau à la profondeur où 11 se trouve. On suppose l’écoulement de l’air stationnaire, la conduite horizontale et on néglige toute variation d’énergie cinétique. Les détendeurs n’ont pas de pièces mobiles. Lors de la plongée, l’air subit les transformations suivantes : - Transformation E, — ركز : Dans le détendeur du premier Détendeur du premier étage étage placé sur la bouteille, l’air subit une première détente isenthalpique et adiabatique de la haute pression (200 bar ) vers une moyenne pression (10 bar). - Transformation E, — E, : L'air se réchauffe de manière isobare en circulant dans le tuyau arrivant jusqu'au deuxième détendeur placé au niveau de la bouche du plongeur. Il se met en équilibre thermique avec l’eau environnante supposée à la température 7 =T, =20 °C. Détendeur ررب du deuxième étage Boutaillo - Transformation E,—E, : Le détendeur du deuxième étage assure la détente isenthalpique et adiabatique de l’air vers la basse pression (1 bar). Figure 2 : Bouteille de plongée Le document donné en annexe (à rendre avec le cahier de composition) représente le diagramme pression-enthalpie massique (P,h) de l’air. Sur ce diagramme figurent : un réseau d’isothermes et un réseau d’isentropiques. La température 7 est en °C, la pression P en bar, l’enthalpie massique / en kJ.kg”"' et l’entropie massique ى en kJ.K"' kg”. On considère que le plongeur inhale environ V =0,5 L d’air à chaque inspiration. Épreuve de Physique II 3/8 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 4 — Concours National Commun - Session 2025 - Filière MP 2.1. Représenter l’évolution E, — E, — E, — E, subie par l’air sur le diagramme des frigoristes de l’air (P, h) donné en annexe. 2.2. Que vaut la température 7, à la fin de la première détente ? Commenter. 2.3. Que vaut la température 7, à la fin de la seconde détente ? Expliquer pourquoi le plongeur ne ressent pas de sensation d’air froid lors de l’inspiration. 2.4. Rappeler la 2°"° loi de JOULE relative à l’enthalpie d’un gaz parfait. Quelle est l’allure d’une transformation isenthalpique d’un tel gaz dans un diagramme 2 h) ? 2.5. Sur le diagramme ( P, h) donné en annexe, les transformations isenthalpiques sont-elles conformes aux propriétés d’un gaz parfait ? 2.6. 1050116: qu’au point ركز le modèle du gaz parfait est le mieux vérifié. En déduire la masse d’air m, inhalée à chaque inspiration. 2.7. Exprimer littéralement puis calculer numériquement le transfert thermique Q que reçoit la masse d’air mm, inhalée à chaque inspiration lors de son passage dans le tube qui sépare les deux détendeurs. 2.8. Exprimer littéralement puis calculer numériquement la variation AS de l’entropie de la masse d’air m, inhalée à chaque inspiration. 2.9. En déduire l’entropie S. créée pendant tout le processus E, › E, › E, › E,. Commenter. 3. Confort thermique du plongeur 3.1. On s’intéeresse au transfert thermique dans une plaque plane d’épaisseur e, de surface ري faite dans un matériau de conductivité thermique À, . On suppose que ce transfert est unidimensionnel selon l’axe Ox et on se place en régime stationnaire : T=T(x). On désigne par T,, la température en x=0 et T,, la température en x=e (T, › T,). On rappelle la loi de FOURIER donnant le vecteur densité de courant thermique : 3.1.1. Donner la relation entre la puissance thermique P;“ à travers la surface S de la plaque et Jan * 3.1.2. Justifier que le flux thermique est le même à travers toutes les sections de la paroi. 3.1.3. Etablir le profil de température T(x) dans la plaque en fonction de T7, et T . AT la différence de température entre les deux extrémités de la plaque. Établir l’expression de R,! en fonction de e, À, et S. 3.1.4. On définit la résistance thermique R/ d’une paroi de surface par la relation ير = , avec Le plongeur, de masse m , risque de souffrir d’hypothermie lorsque la température de son corps passe en-dessous de 7, =35°C. La puissance surfacique de perte du corps humain dans l’eau (par convection) a pour expression p, =h, (T. = T) , avec T la température de la peau et 7, la température de l’eau. 719 =10 W.m”*.ke”' est le coefficient d’échange surfacique peau-eau. 0 / 8 g que p On suppose que l’on travaille dans le cadre de l’approximation du régime quasi-stationnaire afin d’utiliser les résistances thermiques. 3.2. 017 suppose dans cette question que le plongeur ne porte pas la combinaison. 3.2.1. Exprimer la résistance thermique R, associée à la puissance P;” de perte du corps humain à travers la peau de surface s, En déduire la valeur numérique de la résistance thermique totale R), résultant de la résistance de la peau ( R}, ) et celle convective ( R,"). th th Épreuve de Physique II 4/8 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 5 — Concours National Commun - Session 2025 - Filière MP 3.2.2. Donner l’expression de la variation élémentaire de l’enthalpie dH du plongeur lorsque la température 7(r) (1 représente le temps) de son corps varie de dT. 3.2.3. Appliquer le premier principe de la thermodynamique au plongeur. Montrer que la température du plongeur obéit à l’équation différentielle : 47 72-1 78 dt Tr C Donner l’expression de 7 et celle de C en fonction de m, c, et R’ 3.2.4. En considérant la chute de température du plongeur qui conduit à l’hypothermie est bien plus faible que l’écart de température entre le corps et l’eau de mer, estimer grossièrement, sans résoudre l’équation différentielle de la question précédente, l’ordre de grandeur du temps At, au bout duquel il y a risque d’hypothermie du plongeur dans la mer à 1,220 °C. 3.3. On suppose dans cette question que le plongeur porte la combinaison. Cette combinaison, modélisée comme une paroi plane d’épaisseur e,, et de conductivité thermique ,ثيل est fabriquée en néoprène (caoutchouc synthétique à base de polychloroprène). Elle agit comme une barrière thermique entre le corps du plongeur et l'eau froide, permettant de maintenir la température corporelle stable et de réduire le risque d'hypothermie. 3.3.1. Exprimer la résistance thermique R° de la combinaison en fonction de e, , A? et S, : 3.3.2. Appliquer le premier principe de la thermodynamique au plongeur portant la combinaison. En déduire l’équation différentielle vérifiée par la température T(#) du plongeur. 3.3.3. Exprimer la température 7 atteinte par le corps du plongeur lorsque le régime transitoire est terminé. 3.3.4. Déterminer l’épaisseur e, de la combinaison de plongée qui permettra au plongeur d’éviter l’hypothermie lors d’une baignade infiniment longue. 4. Mesure de la pression Le plongeur contrôle son autonomie et le déroulement de sa plongée à l’aide d’un ordinateur de bord muni de capteurs et permettant de contrôler des paramètres comme la profondeur, la température, la durée de la plongée, la température et la pression de l’air dans la bouteille. On s'intéresse dans cette partie au principe de fonctionnement d’un capteur de pression à jauge d’extensométrie : c’est un capteur résistif, de résistance R, , implantée sur une membrane élastomère et plongée dans le compartiment haute pression. La résistance R, est sensible à la différence de pression existant entre les faces de la membrane. Lorsque la pression de l’air dans le compartiment haute pression varie de AP, la résistance R, varie de la quantité AR, donnée par : AR, = aR,AP , نه لاه est une constante qui a pour valeur & =1,0.107° Pa”. La résistance R, est insérée dans un pont de WHEATSTONE alimenté par un générateur de tension continue 7 (figure 3). On cherche à rendre la tension U, image de la résistance R, et donc de la pression. 8 41. Établir l’expression de la tension U, en fonction des données du circuit de la figure 3. Dans la suite, on prendra R, = R, = R, = R, = 500 Q et 1-12 17 Figure 3 : Capteur de pression 42. Le pont de WHEATSTONE est à l’équilibre lorsque U.=0 . Exprimer R, dans cette configuration. Épreuve de Physique II 5/8 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 6 — Concours National Commun - Session 2025 - Filière MP On part d’une situation du pont de WHEATSTONE équilibré. On suppose que la jauge d’extensométrie est soumise à une variation de pression AP telle que la résistance R, s’exprime par R, = R, + AR, avec AR, ›› 1. Dans ces conditions, le pont n’est plus équilibré. 0 4.3. Montrer que la tension U. est donnée par : 0 - ; aEAP. La tension U. est un signal analogique. Pour être traitée par l’ordinateur de bord du plongeur, cette tension est amplifiée par un amplificateur qui délivre la tension U, = BU, avec 8 une constante. Le schéma de la figure 4 donne le principe du circuit de conditionnement de la tension U, . Tous les amplificateurs de différence intégrés sont supposés parfaits et fonctionnent en régime linéaire. 44. Pourquoi peut-on supposer que les trois amplificateurs de différence intégrés fonctionnent en régime linéaire ? Figure 4 : Circuit de conditionnement 4.5. Montrer que la tension U, s’écrit sous la forme U, = A,U,. Donner l’expression de A, en fonction de R, et م 4.6. Établir l’expression de la tension U, et la mettre sous la forme U,= AU, . Donner l’expression de A, en fonction de R, et R,. En déduire l’expression de م en fonction des résistances. 4.7. Mettre la tension U, sous la forme U, = AAP et donner l’expression de A. 4.8. La tension analogique ,رن tension image de la pression, est mise en forme et varie de 0 à 10 V. Elle est ensuite convertie en un signal binaire à l’aide d’un convertisseur analogique- numérique (CAN) dont le principe est donné par la figure 5. Figure 5 : Convertisseur Analogique Numérique (CAN) Le générateur de courant fournit une intensité constante 7 dans sa branche. La tension U,, supposée constante pendant le processus de conversion, est comparée à une tension de référence u,(t). Le comparateur, supposé idéal, délivre une tension u(1)=+15V si u(t)›U, , et Une horloge fournit une tension créneaux u, )0( de période T, : Épreuve de Physique II 6/8 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 7 — Concours National Commun - Session 2025 - Filière MP 01 si 1E La اام +15V ss tE K, est un interrupteur commandé par la gachette G, il est fermé si le potentiel de la gachette est négatif, ouvert s’il est positif. Le compteur compte le nombre d’impulsions, une impulsion étant un basculement de la tension u,(t) de 0 à +15V. Il est remis à zéro entre deux acquisitions. L’image binaire résultant de la conversion de la tension analogique U, se trouve en sortie du compteur. 4.8.1. À 0د , l’interrupteur K passe de la position fermée à la position ouverte. Etablir l’expression de la tension u,(t) pour t=0. 4.8.2. Sur un même graphique, tracer l’allure des courbes U numériques U, =7,31V , n=10mA, C=10uF et T, =1,0ms . Calculer la valeur de 7, instant d’intersection des deux courbes U, et u,(t). , u,(t) et u,(t) avec les valeurs 4.8.3. Déterminer l’évolution dans le temps de u,(t) pour 1 ‹T, et pour 1 ‹ 4.8.4. Déterminer l’évolution dans le temps de u,(f) en supposant que 0 ›› 7 . Combien d’impulsions le compteur a-t-il compté ? 4.8.5. En déduire qu’on a ainsi réalisé un CAN dont la précision est le volt. Quelle valeur faut-il donner à 7,, pour obtenir une précision de 0,1V ? Épreuve de Physique 1 7/8 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 8 — Concours National Commun - Session 2025 - Filière MP vec le cahier de composition) endre a: 5 Annexe : Diagramme des frigoristes de l’air (À r Épreuve de Physique II 8/8 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com
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Ce modèle est l'épreuve de Physique II du Concours National Commun (CNC) 2025, filière MP, concours d'accès aux écoles d'ingénieurs. Thème : « La plongée sous-marine ». Deux parties indépendantes : Partie 1 (4 points), compressibilité de l'eau de mer ; Partie 2 (16 points), flottabilité du plongeur, détendeurs de la bouteille (diagramme (P, h) de l'air fourni en annexe), confort thermique et capteur de pression avec sa chaîne de mesure. L'énoncé fait 8 pages dont l'annexe. Voici une correction proposée.
💡 Pour les questions 2.x de la Partie 2 : les valeurs lues sur le diagramme (P, h) sont données à ± 2 kJ·kg⁻¹ près ; le jury attend surtout un placement correct des points E1 à E4 et une lecture cohérente, pas une valeur au kJ près. Sur ce diagramme, les isothermes sont espacées de 5 °C et les isentropes de 0,1 kJ·K⁻¹·kg⁻¹.
Partie 1 — La compressibilité de l'eau de mer
1.1. La pression ne dépend que de z (axe descendant, g = g ez) : dP/dz = ρ0g. En intégrant avec P(0) = P0 : P(z) = P0 + ρ0gz.
1.2. P(z) est une droite croissante d'ordonnée à l'origine P0 = 1 bar et de pente ρ0g.
1.3. Pente : ρ0g = 1025 × 9,81 ≈ 1,01·10⁴ Pa·m⁻¹. Sur 10 m : ΔP ≈ 1,006·10⁵ Pa ≈ 0,99 bar. La règle « 1 bar tous les 10 mètres » est donc valable (à 1 % près).
2.1. dP/dz = ρ0g[1 + a(P − P0)]. Avec u = P − P0 : du/(1 + au) = ρ0g dz ⇒ (1/a)ln(1 + au) = ρ0gz, d'où P(z) = P0 + (1/a)[exp(aρ0gz) − 1].
2.2. Pour aρ0gz ≪ 1 : exp(x) − 1 ≈ x + x²/2, donc P ≈ P0 + ρ0gz + ½a(ρ0gz)² : on retrouve la loi incompressible, avec une petite correction positive (l'eau comprimée est plus dense). La longueur caractéristique 1/(aρ0g) ≈ 1,0·10⁶ m ≈ 1000 km est immense devant les profondeurs océaniques (≈ 11 km au maximum) : la compressibilité de l'eau est pratiquement négligeable.
2.3. Avec P0 = 1,013·10⁵ Pa et ρ0g = 10 055 Pa·m⁻¹ :
| z | Pinc (Pa) | Pc (Pa) | Pc − Pinc |
|---|---|---|---|
| 10 m | 2,0185·10⁵ | 2,0185·10⁵ | ≈ 0,5 Pa |
| 40 m | 5,0351·10⁵ | 5,0352·10⁵ | ≈ 8 Pa |
| 1 km | 1,0157·10⁷ | 1,0162·10⁷ | ≈ 5,1·10³ Pa |
Erreur relative à 1 km : (Pc − Pinc)/Pc ≈ 5·10⁻⁴ (0,05 %). Conclusion : le modèle incompressible est largement suffisant, a fortiori aux profondeurs de plongée.
Partie 2 — La plongée sous-marine
1. Plongée sous-marine
1.1.1. Température constante, quantité d'air fixée (respiration bloquée) : P0VM = P(z)V(z), d'où V(z) = VMP0/(P0 + ρ0gz). Le volume des poumons diminue avec la profondeur (en 1/P : divisé par 2 à 10 m environ).
1.1.2. Le plongeur (immobile ou lent) est soumis à son poids P = mg ez (vers le bas) et à la poussée d'Archimède ΠA = −ρ0(V0 + V(z))g ez (vers le haut). (En mouvement, il faudrait ajouter la force de traînée de l'eau, nulle à l'équilibre.)
1.1.3. Résultante nulle : m = ρ0(V0 + V(zM)) ⇒ V(zM) = m/ρ0 − V0 = 80/1025 − 0,077 ≈ 1,05·10⁻³ m³ = 1,05 L. Avec 1.1.1 : P0 + ρ0gzM = P0VM/V(zM) ⇒ zM = (VM/V(zM) − 1)P0/(ρ0g) = (7,0/1,05 − 1) × 10,07 ≈ 57 m. Au-dessus de zM la poussée l'emporte (le plongeur remonte s'il cesse de palmer), au-dessous le poids l'emporte (il coule).
1.1.4. V(zm) = Vm ⇒ zm = (VM/Vm − 1)P0/(ρ0g) = (7,0/1,5 − 1) × 10,07 ≈ 37 m.
Remarque : zM > zm. Le volume 1,05 L exigé en 1.1.3 est inférieur au volume minimal Vm = 1,5 L : avec les données, la loi de Boyle-Mariotte ne peut plus s'appliquer telle quelle au-delà de 37 m (les poumons ne se compriment plus), et le calcul de zM doit être signalé comme sortant du domaine de validité du modèle.
1.2.1. P(z2) = P0 + ρ0gz2 = 1,013·10⁵ + 4,02·10⁵ ≈ 5,04·10⁵ Pa ≈ 4,97 bar. Loi de Dalton (Pi = xiP) : PN2 ≈ 0,80 × 4,97 ≈ 3,98 bar et PO2 ≈ 0,20 × 4,97 ≈ 0,99 bar.
1.2.2. PN2 = xN2P(zi) = Pl ⇒ P(zi) = Pl/xN2 = 4,0/0,80 = 5,0 bar.
1.2.3. zi = (P(zi) − P0)/(ρ0g) = 4,0 × 1,013·10⁵ / 10 055 ≈ 40 m.
2. Principe d'une bouteille de plongée
2.1. Placement sur le diagramme (P, h) de l'annexe (lectures approximatives) :
• E1 : P = 200 bar, T = 20 °C ⇒ h1 ≈ 486 kJ·kg⁻¹ ;
• E1 → E2 : détente isenthalpique, segment vertical (h = cte) jusqu'à 10 bar ; h2 = h1 ≈ 486 kJ·kg⁻¹ ;
• E2 → E3 : échauffement isobare, segment horizontal à 10 bar jusqu'à l'isotherme 20 °C : h3 ≈ 520 kJ·kg⁻¹ ;
• E3 → E4 : détente isenthalpique, segment vertical de 10 bar à 1 bar : h4 = h3 ≈ 520 kJ·kg⁻¹.
2.2. Au point E2 (10 bar, h ≈ 486 kJ·kg⁻¹), on se trouve entre les isothermes −15 °C et −10 °C : T2 ≈ −13 °C (lecture ± 3 °C). Commentaire : l'air se refroidit fortement lors de la détente de Joule-Thomson (gaz réel sous haute pression) ; en eau froide, il y a risque de givrage du premier étage, qui peut se bloquer en position ouverte.
2.3. Au point E4 (1 bar, h ≈ 520 kJ·kg⁻¹) : T4 ≈ 18 °C. L'air a d'abord été réchauffé à la température de l'eau dans le tuyau, puis la seconde détente, à basse pression où l'air se comporte presque comme un gaz parfait, ne le refroidit que d'environ 2 °C : le plongeur respire un air proche de la température de l'eau et ne ressent pas de sensation de froid.
2.4. Deuxième loi de Joule : l'enthalpie d'un gaz parfait ne dépend que de sa température, h = h(T). Une transformation isenthalpique est donc aussi isotherme ; dans le diagramme (P, h) elle est représentée par un segment vertical, confondu avec une isotherme (les isothermes d'un gaz parfait sont des verticales).
2.5. Sur le diagramme, les isothermes ne sont verticales qu'aux basses pressions (en dessous de quelques bars) ; aux hautes pressions, elles s'incurvent vers les faibles enthalpies. Une verticale (isenthalpique) partant de 200 bar coupe donc plusieurs isothermes : la température varie (de 20 °C à −13 °C). Les détentes à haute pression ne sont pas conformes au modèle du gaz parfait ; elles le sont approximativement à basse pression.
2.6. Au point E4, la pression est faible (1 bar) et la température ordinaire : les isothermes y sont verticales, le modèle du gaz parfait est le mieux vérifié. ma = PVMa/(RT4) = 1,013·10⁵ × 0,5·10⁻³ × 0,029 / (8,31 × 291) ≈ 6,1·10⁻⁴ kg ≈ 0,61 g.
2.7. Premier principe pour un système ouvert en écoulement stationnaire (pas de travail utile, variations d'énergie cinétique et potentielle négligées) : Δh = wu + q = q. Donc Q = ma(h3 − h2) ≈ 6,1·10⁻⁴ × (520 − 486)·10³ ≈ 21 J.
2.8. L'entropie est une fonction d'état : ΔS = ma(s4 − s1). Lecture du diagramme : entre E1 (200 bar ; 486 kJ·kg⁻¹) et E4 (1 bar ; 520 kJ·kg⁻¹), on franchit environ 17 isentropes espacées de 0,1 kJ·K⁻¹·kg⁻¹, soit s4 − s1 ≈ 1,7 kJ·K⁻¹·kg⁻¹. (Contrôle avec le modèle du gaz parfait : cpln(T4/T1) − (R/Ma)ln(P4/P1) ≈ 0,287 × ln 200 ≈ 1,5 kJ·K⁻¹·kg⁻¹ ; l'écart vient du comportement non parfait de l'air à 200 bar.) Donc ΔS ≈ 6,1·10⁻⁴ × 1,7·10³ ≈ 1,0 J·K⁻¹.
2.9. Bilan d'entropie : ΔS = Se + Sc, l'entropie échangée venant du seul transfert thermique avec l'eau à Te = 293 K (les détentes sont adiabatiques) : Se = Q/Te ≈ 21/293 ≈ 0,07 J·K⁻¹. Sc = ΔS − Q/Te ≈ 1,0 − 0,07 ≈ 0,97 J·K⁻¹ > 0. Commentaire : le processus est fortement irréversible ; l'essentiel de l'entropie créée provient des détentes (laminage à travers les détendeurs), le transfert thermique n'y contribuant que très peu.
3. Confort thermique du plongeur
3.1.1. jthcd est uniforme sur la section et normal à celle-ci : Pthcd = ∬ j·dS = jthcd S.
3.1.2. Bilan d'énergie sur la tranche comprise entre x et x + dx, en régime stationnaire et sans source : l'énergie interne ne varie pas, donc j(x)S − j(x + dx)S = 0 ⇒ dj/dx = 0. Le flux thermique est le même à travers toutes les sections (flux conservatif).
3.1.3. j = −λmdT/dx constant ⇒ d²T/dx² = 0 ⇒ T affine. Avec T(0) = Te et T(e) = Ts : T(x) = Te + (Ts − Te) x/e.
3.1.4. Pthcd = λmS(Te − Ts)/e, d'où Rthcd = e/(λmS).
3.2.1. Pthcv = hthcvSp(T − Te) ⇒ Rthcv = 1/(hthcvSp) = 1/(10 × 2) = 0,05 K·W⁻¹ (l'unité de hthcv est W·m⁻²·K⁻¹ ; le « kg⁻¹ » de l'énoncé est une coquille). Peau et convection sont traversées par le même flux : résistances en série, Rtht = Rthp + Rthcv = 0,03 + 0,05 = 0,08 K·W⁻¹.
3.2.2. Corps condensé (incompressible) : dH = m cc dT.
3.2.3. Premier principe (évolution monobare) entre t et t + dt : dH = δQ = [Pc − (T − Te)/Rtht]dt. Donc m cc dT/dt = Pc − (T − Te)/Rtht, soit dT/dt + (T − Te)/τ = Pc/C avec τ = m cc Rtht et C = m cc. AN : C = 80 × 3500 = 2,8·10⁵ J·K⁻¹ ; τ = 2,8·10⁵ × 0,08 ≈ 2,2·10⁴ s (≈ 6 h).
3.2.4. Tant que T reste voisin de 37 °C, T − Te ≈ 17 K (≈ 16 K en moyenne entre 37 et 35 °C), et dT/dt ≈ −17/22 400 + 100/280 000 ≈ −7,6·10⁻⁴ + 3,6·10⁻⁴ ≈ −4·10⁻⁴ K·s⁻¹. Pour une baisse de 2 K (37 → 35 °C) : Δtes ≈ 2/(4·10⁻⁴) ≈ 5·10³ s, soit environ 1 h 20 à 1 h 30. (Sans combinaison, la température d'équilibre serait Te + PcRtht = 28 °C < 35 °C : l'hypothermie est inévitable.)
3.3.1. Paroi plane (3.1.4) : Rthcb = ecb/(λthcbSp).
3.3.2. La combinaison s'ajoute en série : m cc dT/dt = Pc − (T − Te)/(Rtht + Rthcb), soit dT/dt + (T − Te)/τ' = Pc/C, avec τ' = m cc(Rthp + Rthcv + Rthcb).
3.3.3. En régime permanent (dT/dt = 0) : T∞ = Te + Pc(Rthp + Rthcv + Rthcb).
3.3.4. Il faut T∞ ≥ Th : Rthcb ≥ (Th − Te)/Pc − Rtht = 15/100 − 0,08 = 0,07 K·W⁻¹, d'où ecb ≥ λthcbSp × 0,07 = 0,2 × 2 × 0,07 ≈ 2,8·10⁻² m ≈ 3 cm.
4. Mesure de la pression
4.1. I = 0 en sortie : chaque branche est un diviseur de tension. En prenant la borne inférieure comme référence : V1 = ERP/(R1 + RP) et V2 = ER3/(R2 + R3), d'où Uc = V1 − V2 = E(R2RP − R1R3) / ((R1 + RP)(R2 + R3)).
4.2. Uc = 0 ⇔ RP = R1R3/R2 (= R0 = 500 Ω avec les valeurs choisies).
4.3. Avec R1 = R2 = R3 = R0 et RP = R0 + ΔRP : Uc = E[(R0 + ΔRP)/(2R0 + ΔRP) − ½] = EΔRP/(2(2R0 + ΔRP)) ≈ EΔRP/(4R0) au premier ordre en ΔRP/R0. Avec ΔRP = αR0ΔP : Uc = ¼ αEΔP.
4.4. Chacun des trois amplificateurs a sa sortie reliée à son entrée inverseuse (−) par une résistance (R4 pour les deux premiers, R7 pour le troisième) : c'est une rétroaction négative, qui permet (stabilité) un fonctionnement en régime linéaire, avec ε = V+ − V− = 0.
4.5. AO idéaux en régime linéaire : VN1 = potentiel de la borne supérieure de Uc et VN2 = potentiel de la borne inférieure, donc VN1 − VN2 = Uc. Aucun courant n'entre dans les AO : le même courant i = Uc/R5 traverse R4, R5 et R4 en série entre N3 et N4. Donc Ud = VN3 − VN4 = i(2R4 + R5) : Ad = 1 + 2R4/R5.
4.6. Troisième AO (soustracteur) : V+ = VN4R7/(R6 + R7) ; Millman en V− : V− = (R7VN3 + R6Ua)/(R6 + R7). V+ = V− donne Ua = (R7/R6)(VN4 − VN3) = −(R7/R6)Ud : Aa = −R7/R6. Donc β = AaAd = −(R7/R6)(1 + 2R4/R5). (Le signe « − » tient aux orientations de Uc et Ud sur la figure 4 ; en permutant les entrées du soustracteur, on obtient un gain positif de même valeur absolue.)
4.7. Ua = βUc = β(αE/4)ΔP : A = −(αE/4)(R7/R6)(1 + 2R4/R5) (en valeur absolue : (αE/4)(R7/R6)(1 + 2R4/R5)).
4.8.1. Tant que K est fermé, le condensateur est court-circuité : ur(0) = 0. Pour t ≥ 0, le générateur de courant charge C à courant constant η (l'entrée du comparateur ne prélève aucun courant) : C dur/dt = η ⇒ ur(t) = ηt/C (rampe linéaire).
4.8.2. η/C = 10⁻²/10⁻⁵ = 10³ V·s⁻¹ = 1 V par ms. Graphe : Ua = 7,31 V horizontale ; ur rampe de pente 1 V·ms⁻¹ partant de 0 ; uH créneaux 0/15 V de période 1 ms (0 V sur la première demi-période, 15 V sur la seconde). Intersection : Tr = CUa/η = 7,31 ms.
4.8.3. Pour t < Tr : ur < Ua ⇒ uc = −15 V. Pour t > Tr : ur > Ua ⇒ uc = +15 V.
4.8.4. Pour t < Tr, la gâchette est à −15 V : Kc est fermé et uH est appliquée au circuit (C, r), qui est un dérivateur puisque rC ≪ TH. uN présente une impulsion brève de +15 V (décroissant en e−t/rC) à chaque front montant de uH et une impulsion de −15 V à chaque front descendant ; entre les fronts, uN ≈ 0. Pour t > Tr, Kc est ouvert et uN = 0. Fronts montants avant Tr : t = 0,5 ; 1,5 ; … ; 6,5 ms (7,5 ms > 7,31 ms) : le compteur compte 7 impulsions, soit la sortie binaire a7…a0 = 0000 0111.
4.8.5. Chaque impulsion correspond à une augmentation de ur de ηTH/C = 1 V : le nombre compté est Ua exprimée en volts à 1 V près (7,31 V → 7). Le CAN a une précision (quantum) de 1 V. Pour une précision de 0,1 V : ηTH/C = 0,1 V ⇒ TH = 0,1C/η = 0,1 ms (horloge à 10 kHz). La pleine échelle de 10 V donne alors 100 impulsions, compatible avec les 8 bits du compteur (255 au maximum).
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المصدر: مباريات ولوج المدارس والمعاهد العليا
