نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2024: الفيزياء 1 - شعبة PSI لولوج مدارس المهندسين
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باختصار
هذا نموذج امتحان كتابي سابق لمباراة مباراة ولوج المدارس العليا للمهندسين لدى المباراة الوطنية المشتركة CNC (الأقسام التحضيرية) (2024)، منشور على وظيفة إنفو للاطلاع والتحميل المجاني بصيغة PDF مع تصحيح مقترح.
- الجهة المنظمة
- المباراة الوطنية المشتركة CNC (الأقسام التحضيرية)
- الدرجة
- مباراة ولوج المدارس العليا للمهندسين
- التخصص
- الفيزياء 1
- الدورة
- 2024
- عدد الصفحات
- 7
- لغة الأسئلة
- الفرنسية
- التصحيح
- تصحيح مقترح متوفر في هذه الصفحة
📝 نص أسئلة النموذج (مستخرج آلياً من الصفحات الممسوحة)
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Concours National Commun - Session 2024 — Filière PSI
L’énoncé de cette épreuve comporte 7 pages.
L’usage de la calculatrice est autorisé
On veillera à une présentation claire et soignée des copies. Il convient en particulier de
rappeler avec précision les | références | des questions abordées.
Le sujet est constitué de quatre parties et aborde quelques thématiques en lien avec la
mécanique terrestre. Les parties 1 et 4 sont totalement indépendantes des autres parties de
l’épreuve. Cependant, certaines questions de la partie 3 utilisent des réponses de la partie 2.
Il est fortement recommandé de commencer par la première partie. Cette partie
est notée sur 4 points et le reste de l'épreuve sur 16 points.
Données numériques :
- Constante de gravitation universelle : G = 6,7 x 10-1127. و 2
- Rayon moyen de la Terre : R = 6,4 x 10
- Masse de la Terre : M7 = 6 x و1047
- Vitesse de rotation de la Terre autour de son axe : wr = 7,3 x 107*rad.s7*
On rappelle la formule du double produit vectoriel suivante :
Partie 1
Etude d’un pendule simple
(Barème : 4/20)
Un objet ponctuel M de masse m est suspendu à l’extrémité d’un fil de masse négligeable
et de longueur L = OM. Le fil est attaché au point 0 fixe dans le référentiel terrestre 77
supposé galiléen (figure 1).
L'objet est astreint à se déplacer dans le plan vertical
Oyz et soumis au champ de pesanteur 7 = .2ل و- Sa
position est repérée par l’angle 0 que fait le fil avec l’axe
vertical Oz. Les frottements seront négligés dans toutes
les questions de cette partie.
1.1. Quelles sont les forces appliquées au point M ?
Donner les projections de ces forces dans la base locale
0 Ve).
FIGURE 1 — Pendule simple.
1.2. Exprimer la vitesse et l’accélération du point M dans la base (À, To) ;
Physique 1 1/7
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1.3. Déterminer l’équation différentielle en 0 régissant le mouvement du point M dans le
référentiel terrestre R7.
1.4. On se place dans l’hypothèse des petits mouvements où l'angle 0 reste petit. Déterminer
0(t) sachant que l’objet est abandonné sans vitesse initiale à la position 0(0) = ٠
En déduire que le mouvement est périodique de période : 7 = 2%4/—
9
Partie 2
Gravitation et pesanteur de la Terre sphérique
Dans cette partie, on étudie les actions subies par un objet ponctuel matériel M de masse
m dans le référentiel terrestre R7. Le référentiel géocentrique Re est supposé galiléen et on
le munit du repère (OXY Z) (voir figure 2). Ce référentiel est appelé par la suite "référentiel
absolu". Le référentiel terrestre R7 est en rotation uniforme autour de l’axe OZ qui relie les
les pôles sud et nord de la Terre, avec une vitesse angulaire وله = wr À z supposée constante.
Ry est dit "référentiel relatif".
Le point M reste suffisamment proche de la surface terrestre de tel sorte qu’on puisse écrire
en première approximation OM = R. On note H la projection orthogonale de M sur l’axe de
rotation OZ.
Dans cette partie, on considère la Terre comme parfaitement sphérique et homogène, de
rayon moyen À et de masse M7.
On rappelle la formule liant les dérivées par rapport au temps d’un vecteur À dans les deux
71 _ dÂ
dt dt
référentiels :
2.1. Champ gravitationnel de la Terre
2.11. Ecrire l'expression de la force de gravitation F, exercée par la Terre sur l’objet M.
2.1.2. Le champ gravitationnel de la Terre au point M est défini par 7 = .4ك Exprimer
71 en fonction de G, Mr, R et OM.
2.2. Lois de composition des vitesses et des accélérations
2.2.1. Le référentiel terrestre R7 est-il galiléen ? Justifier.
On associe au référentiel terrestre R7 un repère d’origine un point O” situé la surface de la
Terre.
2.2.2. Exprimer la vitesse du point M dans le référentiel absolu en mettant en évidence
une vitesse relative et une vitesse d'entrainement. Donner les expressions de ces deux vitesses.
Physique 1 277
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FIGURE 2 — Terre sphérique en rotation autour de l’axe des pôles.
2.2.3. Exprimer l’accélération du point M dans le référentiel absolu en mettant en évidence
une accélération relative, une accélération d'entrainement et une accélération complémentaire
dite de Coriolis. Donner les expressions de ces trois accélérations.
2.24. Montrer que lorsque le point M est soumis uniquement à la force de gravitation dans
le référentiel Re, l’application du principe fondamental de la dynamique dans le référentiel
relatif R7 fait apparaître deux autres forces dont on donnera les noms et les expressions.
2.3. Définition du poids d’un corps
On considère un pendule simple constitué du point M, objet d’étude de cette partie, sus-
pendu par un fil. Ce pendule est supposé en équilibre dans le référentiel terrestre R7.
2.3.1. Ecrire la condition d’équilibre du pendule en faisant intervenir la force gravitation-
nelle, les forces évoquées dans la question précédente et la tension F du fil.
2.3.2. Le poids 72 du corps est défini tel qu’à l’équilibre du pendule, on a la relation :
+ F = 0. Le champ de pesanteur terrestre و au point M est défini par P = m 7(M) {
Montrer que le champ de pesanteur terrestre au point M est donné par
G.Mr جب
OM + 0 (1) يبرج - ح (7)11
O étant le centre de la Terre et H la projection orthogonale de M sur l'axe des pôles (voir
figure 2).
233. Calculer la valeur numérique de Ag = || 7 (N)|| - || 7 (E)||, la différence des inten-
sités du champ de pesanteur terrestre au pôle nord N et en un point Æ de l'équateur.
En réalité, on mesure Ag = 52 x 107%m.s7?; proposer une raison pour expliquer l'écart
trouvé.
Physique 1 3/7
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Partie 3
Aplatissement de la Terre
La force à l’origine de la distinction entre gravitation et pesanteur a pour conséquence un
aplatissement de la Terre au niveau de ses pôles nord et sud. Dans cette partie, on se propose
d’estimer cet écart à la sphéricité à l’aide d’un modèle simple.
3.1. Fluide en équilibre dans le champ de pesanteur
Soit un fluide homogène de masse volumique p supposée la même en tout point M du fluide.
On suppose que le fluide, soumis à l’action du champ de pesanteur ÿ = —g @, supposé
uniforme, est en équilibre dans un référentiel R supposé galiléen .
Considérons une tranche de fluide ayant la forme d’un cylindre de base S et comprise entre
les altitudes z et ع + dz (figure 3).
1
صسه
FIGURE 3 - Fluide en équilibre dans le champ de pesanteur.
3.1.1. Faire l’inventaire des forces exercées sur l’élément de volume d7 = S dz du fluide.
Justifier que la résultante horizontale des forces de pression est nulle.
3.12. Montrer que la résultante verticale des forces de pression subit par l’élément de
volume du fluide est ai
وم جل ا —grad PdT
3.13. Montrer que l’équilibre de l’élément de volume d7 se traduit par la relation
gradP=pŸ
3.1.4. Application
On suppose que l’eau de mer est incompressible, de masse volumique moyenne .وموم ©
— NN 0 5
1 x 10*kg.m7*. A la surface de la mer règne une pression BR, = 1 x 10*Pa. Le champ de
pesanteur est supposé uniforme, de valeur g = 10 m.s”*.
Physique 1 4/7
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3.141. Calculer la valeur numérique de la pression à une profondeur H = 10*m de la
mer.
3.1.4.2... En tenant compte de la faible compressibilité de l’eau, prévoir qualitativement
si la pression à la profondeur H = 10301 de la mer sera augmentée ou diminuée par rapport à
la valeur calculée précédemment.
3.2. Modèle simple de l’aplatissement de la Terre
3M1T
Ax RS
équilibre dans le référentiel terrestre, en rotation uniforme autour de l’axe des pôles fixe dans le
référentiel géocentrique galiléen. Cette rotation fait que la Terre prend la forme d’un ellipsoïde
de révolution. On note a le rayon terrestre au niveau de l’équateur et b au niveau des pôles (voir
figure 4, où l’aplatissement est représenté de manière exagérée). On définit l’aplatissement f
de la Terre par f = FE
On modélise la Terre par un fluide incompressible, de masse volumique pr =
FIGURE 4 - Terre ellipsoïdale.
WE RS
En l’écrivant sous la forme du rapport de deux forces par unité de masse, donner la signifi-
cation physique de la quantité 2. Estimer sa valeur numérique. On utilisera les réponses de la
3.21. On définit la quantité € par la relation : € =
section 2.2.
On admet que l’application de la loi de la statique des fluides dans le référentiel terrestre
non galiléen se traduit par l’équation
هب ٍ 4 هه
M est un point de la Terre et H sa projection orthogonale sur l’axe de rotation. On travaille
en coordonnées cartésiennes avec pour axe Oz l’axe des pôles.
Physique 1 5/7
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3.2.2. Etablir que le champ de pression P vérifie les trois équations aux dérivées partielles
OP oP OP
eue 5 لدو ل : وؤدهة
02 1# 0 19 + وق buis
Exprimer les constantes Æ, et K3 en fonction de constantes prises parmi wr, G, 07
3.23. Résoudre ce système sans chercher à expliciter une éventuelle constante d'intégration
apparaissant dans le calcul et qu’on notera C.
3.24. Montrer que l’équation de la surface libre du fluide modélisant la Terre se met sous
2 2 2
la forme — + › + — = 1, équation d’un ellipsoïde de révolution.
a a b?
3.25. En déduire l’expression de l’aplatissement f de la terre en fonction de Æ, et K›,
puis en fonction de 2. Calculer la valeur numérique de f. Commenter.
Partie 4
Gravimètre optique à chute libre
Dans cette partie, on s'intéresse à la mesure de l'accélération de pesanteur en utilisant une
méthode interférométrique. La figure 5 décrit le schéma de principe du dispositif expérimental
de mesure de l'accélération de pesanteur terrestre.
Le cœur du dispositif est un système interférentiel, à base des trous d'Young, abrité dans une
chambre à vide. Les trous d’Young T1 et T2 sont éclairés par une source S supposée ponctuelle
monochromatique de longueur d’onde À. Le phénomène d’interférence est observé sur un écran
(FE) placé dans le plan focal image d’une lentille mince convergente (L) de distance focale f".
On s'intéresse uniquement aux rayons situés dans la plan 022. On note a la distance entre les
deux trous et D la distance entre le plan des deux trous et la verticale passant par la source.
FIGURE 5 - Dispositif des trous d’Young.
4.1. Source fixe
Dans cette section, on suppose que la source S est fixée à la distance d de l’axe Ox. On se
place dans les conditions où |z| › f'etd‹ D.
Physique 1 6/7
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4.1.1. Calculer la différence de marche à entre deux rayons qui traversent les deux trous
T, et T; et qui interférent en un point M de l’écran d’observation. On exprimera 6 en fonction
de 2 (position de M sur l’écran), f", a, D et d.
4.1.2. Donner l’expression de l’intensité lumineuse au point M(z). On notera 27, l’intensité
maximale.
4.2. Source en mouvement. Mesure de g
On suppose maintenant que la source 5 est lâchée sans vitesse initiale, à partir de la position
zg = d, dans le champ de pesanteur J = و- d,
4.2.1. Ecrire l’_équation horaire du mouvement de la source zs(t). On néglige les frotte-
ments.
On remplace l’écran (F) par un détecteur de lumière (non représenté sur la figure) à base
de photodiode placé à la position z de l’écran qui correspond à la différence de marche nulle
à l’instant initial : 6(t = 0) = 0. Le signal lumineux détecté par la photodiode est enregistré
par un dispositif. Le signal enregistéé est donné sur la figure 6.
4.2.2. Déterminer la position z du détecteur en fonction de d, D et f".
4.2.3. Exprimer la différence de marche 6(t), des rayons qui interférent sur le détecteur à
un instant à › 0.
4.24. En utilisant la figure 6 et en remarquant qu’un minimum d'intensité est enregistré
en t = 15ms, déterminer la valeur numérique de g.
On donne a = 2mm, D = 1m et À = 633 nm.
2.00
1.75
1.50
1.25
= 1.00
0.75
0.50
0.25
0.00
“0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030
FIGURE 6 - Interférogramme /(t).
FIN DE L'ÉPREUVE
Physique 1 7/7
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✅ التصحيح المقترح
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Ce modèle est l'épreuve de Physique 1 du Concours National Commun (CNC), session 2024, filière PSI (accès aux écoles d'ingénieurs). Énoncé de 7 pages, calculatrice autorisée. Thème : la mécanique terrestre — pendule simple (partie 1, 4 points), gravitation et pesanteur (partie 2), aplatissement de la Terre (partie 3) et gravimètre à trous d'Young (partie 4) ; parties 2 à 4 sur 16 points. Voici une correction proposée.
💡 Méthode : la partie 3 s'appuie sur la partie 2 (force d'inertie d'entraînement mωT2HM) ; la partie 4 est indépendante et peut être traitée à tout moment.
Partie 1 — Pendule simple
1.1. Forces et projections
Le point M est soumis à son poids mg et à la tension du fil T = −T ur (dirigée de M vers O). θ étant mesuré à partir de la verticale descendante : mg = mg cos θ ur − mg sin θ uθ ; T = −T ur + 0 uθ.
1.2. Vitesse et accélération
OM = L ur avec L constante, dur/dt = θ' uθ, duθ/dt = −θ' ur :
v = Lθ' uθ ; a = −Lθ'2 ur + Lθ'' uθ.
1.3. Équation du mouvement
PFD projeté sur uθ : mLθ'' = −mg sin θ, soit θ'' + (g/L) sin θ = 0. (Sur ur : T = mg cos θ + mLθ'2, qui donne la tension.)
1.4. Petites oscillations
sin θ ≈ θ : θ'' + ω02θ = 0 avec ω0 = √(g/L). Solution générale θ = A cos ω0t + B sin ω0t ; θ(0) = θ0 donne A = θ0, θ'(0) = 0 donne B = 0 : θ(t) = θ0 cos(√(g/L) t). Fonction sinusoïdale, donc périodique de période T = 2π/ω0 = 2π√(L/g).
Partie 2 — Gravitation et pesanteur
2.1.1. Force de gravitation
Fg = −(G MT m / OM3) OM (attractive, dirigée vers le centre O de la Terre).
2.1.2. Champ gravitationnel
g0 = −(G MT/OM3) OM ; près de la surface (OM ≈ R) : g0 ≈ −(G MT/R3) OM, de norme G MT/R2 = 6,7×10-11 × 6×1024/(6,4×106)2 ≈ 9,8 m·s-2.
2.2.1. RT est-il galiléen ?
Non, rigoureusement : RT est en rotation uniforme (ωT) par rapport au référentiel géocentrique supposé galiléen ; un référentiel en rotation par rapport à un référentiel galiléen n'est pas galiléen. Il peut être considéré comme galiléen pour des expériences de durée courte devant la journée (1/ωT ≈ 3,8 h), quand les effets d'inertie sont négligeables.
2.2.2. Composition des vitesses
v(M/RG) = vr + ve avec :
- vitesse relative vr = (dO'M/dt)RT ;
- vitesse d'entraînement ve = v(O'/RG) + ωT ∧ O'M = ωT ∧ OO' + ωT ∧ O'M = ωT ∧ OM (O, centre de la Terre, est fixe dans RG et O' est fixe sur la Terre).
2.2.3. Composition des accélérations
a(M/RG) = ar + ae + ac avec :
- ar = (dvr/dt)RT ;
- ae = ωT ∧ (ωT ∧ OM) (ωT constant, O fixe). Avec la formule du double produit : (ωT·OM)ωT − ωT2OM = ωT2(OH − OM), soit ae = −ωT2 HM (accélération centripète) ;
- ac = 2ωT ∧ vr (accélération de Coriolis).
2.2.4. PFD dans RT
Dans RG : ma(M/RG) = Fg. En remplaçant : mar = Fg + Fie + Fic, avec
- la force d'inertie d'entraînement (centrifuge) Fie = −mae = mωT2 HM ;
- la force d'inertie de Coriolis Fic = −2m ωT ∧ vr.
2.3.1. Équilibre du pendule dans RT
À l'équilibre vr = 0, donc la force de Coriolis est nulle : Fg + mωT2HM + F = 0.
2.3.2. Champ de pesanteur
Par définition P = −F = Fg + mωT2HM, et P = mg(M), d'où g(M) = −(G MT/OM3) OM + ωT2 HM : relation (1).
2.3.3. Écart pôle–équateur
Au pôle N : H = N = M, HM = 0, donc ||g(N)|| = G MT/R2. À l'équateur E : HM = OE, colinéaire et opposé au terme de gravitation : ||g(E)|| = G MT/R2 − ωT2R.
Δg = ωT2R = (7,3×10-5)2 × 6,4×106 ≈ 3,4×10-2 m·s-2.
La valeur mesurée (52×10-3 m·s-2) est plus grande : la Terre n'est pas sphérique mais aplatie aux pôles (rayon polaire plus petit que le rayon équatorial d'environ 21 km), donc le terme G MT/r2 est plus grand au pôle qu'à l'équateur ; la répartition non homogène des masses joue aussi.
Partie 3 — Aplatissement de la Terre
3.1.1. Forces sur l'élément de volume
Forces : le poids ρ dτ g = −ρg S dz ez ; les forces de pression sur la base inférieure (+P(z)S ez), sur la base supérieure (−P(z + dz)S ez) et sur la surface latérale (horizontales, normales à la paroi). Le poids étant vertical, l'équilibre projeté sur un axe horizontal impose que la résultante horizontale des forces de pression soit nulle. On le voit aussi par symétrie : deux éléments de surface latérale diamétralement opposés, à la même altitude, subissent des forces opposées (même pression dans un plan horizontal pour un fluide au repos sous g vertical).
3.1.2. Résultante verticale
Fz = P(z)S − P(z + dz)S = −(dP/dz) S dz = −(dP/dz) dτ. Comme P ne dépend que de z, grad P = (dP/dz)ez, d'où F = −(dP/dz) dτ ez = −grad P dτ.
3.1.3. Équilibre
ρ dτ g − grad P dτ = 0, soit grad P = ρ g (vecteurs ; relation fondamentale de la statique des fluides).
3.1.4.1. Pression à 1000 m de profondeur
Avec un axe orienté vers le bas depuis la surface : dP/dh = ρg, ρ constant ⇒ P(H) = P0 + ρmergH = 105 + 103 × 10 × 103 = 1,01×107 Pa ≈ 101 bar.
3.1.4.2. Effet de la compressibilité
La pression croît avec la profondeur ; l'eau, légèrement compressible, y est donc un peu plus dense (ρ > ρmer en profondeur). Comme dP/dh = ρg, la pression augmente plus vite : la pression réelle à 1000 m est légèrement supérieure à la valeur calculée.
3.2.1. Signification de ε
ε = ωT2R3/(GMT) = (ωT2R)/(GMT/R2) : c'est le rapport, à l'équateur, de la force d'inertie d'entraînement (centrifuge) par unité de masse ωT2R à la force de gravitation par unité de masse GMT/R2 (section 2.2).
ωT2R ≈ 3,4×10-2 m·s-2 ; GMT/R2 = 6,7×10-11 × 6×1024/(6,4×106)2 ≈ 9,8 m·s-2 ; ε ≈ 3,5×10-3 (≈ 1/290) : l'effet de la rotation est faible devant la gravitation.
3.2.2. Équations aux dérivées partielles
En cartésiennes : OM = (x, y, z) et HM = (x, y, 0). La relation donnée s'écrit composante par composante :
∂P/∂x = −[(4/3)πGρT2 − ρTωT2] x ; ∂P/∂y = −[(4/3)πGρT2 − ρTωT2] y ; ∂P/∂z = −(4/3)πGρT2 z.
D'où K1 = ρT[(4/3)πGρT − ωT2] et K2 = (4/3)πGρT2.
3.2.3. Champ de pression
En intégrant successivement : P(x, y, z) = C − (K1/2)(x2 + y2) − (K2/2) z2 (C : pression au centre O).
3.2.4. Surface libre
La surface libre est une surface isobare, P = Ps (pression atmosphérique, constante) : K1(x2 + y2) + K2z2 = 2(C − Ps). En divisant par 2(C − Ps) > 0 : x2/a2 + y2/a2 + z2/b2 = 1 avec a2 = 2(C − Ps)/K1 et b2 = 2(C − Ps)/K2 : ellipsoïde de révolution d'axe Oz.
3.2.5. Aplatissement
b/a = √(K1/K2), donc f = 1 − √(K1/K2). Or K1/K2 = 1 − ωT2/((4/3)πGρT), et avec ρT = 3MT/(4πR3) : (4/3)πGρT = GMT/R3, d'où K1/K2 = 1 − ε.
f = 1 − √(1 − ε) ≈ ε/2 (ε ≪ 1) ≈ 1,7×10-3 (≈ 1/575).
Commentaire : le modèle donne le bon ordre de grandeur (rayon équatorial plus grand que le rayon polaire d'environ fR ≈ 11 km) et explique qualitativement l'écart observé en 2.3.3. L'aplatissement mesuré est d'environ 1/298 ≈ 3,4×10-3, à peu près le double : le modèle est trop simple (Terre supposée homogène, champ de gravitation pris égal à celui d'une sphère alors que la déformation modifie elle-même ce champ, Terre réelle non fluide et plus dense au centre).
Partie 4 — Gravimètre optique à chute libre (trous d'Young)
4.1.1. Différence de marche
T1 est en z = +a/2, T2 en z = −a/2, la source en z = d à la distance D (d ≪ D). Avant les trous : ST2 − ST1 ≈ [(d + a/2)2 − (d − a/2)2]/(2D) = ad/D. Après les trous : les rayons qui convergent en M(z) dans le plan focal sont parallèles entre eux, inclinés de α ≈ z/f' sur l'axe ; d'après le théorème de Malus, la différence de chemin vaut a sin α ≈ az/f' (le rayon issu de T2 est le plus long si z > 0).
δ = (ST2M) − (ST1M) = a(d/D + z/f').
4.1.2. Intensité
Deux ondes cohérentes de même intensité I0 : I(z) = I0[1 + cos(2πa(d/D + z/f')/λ)], maximum 2I0. Franges rectilignes d'interfrange i = λf'/a.
4.2.1. Mouvement de la source
Chute libre sans vitesse initiale depuis zS = d, avec g = −guz : zS(t) = d − gt2/2.
4.2.2. Position du détecteur
δ(t = 0) = 0 ⇔ a(d/D + z0/f') = 0, d'où z0 = −f'd/D (frange centrale, d'ordre 0, à l'instant initial).
4.2.3. Différence de marche δ(t)
δ(t) = a(zS(t)/D + z0/f') = a(d − gt2/2)/D − ad/D, soit δ(t) = −agt2/(2D) (|δ| = agt2/(2D) ; le signe est sans effet sur l'intensité).
4.2.4. Valeur de g
I(t) = I0[1 + cos(πagt2/(λD))]. Minima : agtk2/(2λD) = k + 1/2 (k = 0, 1, 2, …). Sur la figure 6, les minima sont à t ≈ 5,7 ms (k = 0), 9,9 ms (k = 1), 12,7 ms (k = 2) et 15 ms : 4e minimum, k = 3 (contrôle : tk ∝ √(k + 1/2), et 5,7 × √7 ≈ 15,0 ms).
g = 2λD(k + 1/2)/(at2) = 2 × 633×10-9 × 1 × 3,5/(2×10-3 × (15×10-3)2) ≈ 9,8 m·s-2 (9,85).
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المصدر: مباريات ولوج المدارس والمعاهد العليا
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