نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2023: الفيزياء 2 - شعبة MP لولوج مدارس المهندسين

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Concours National Commun - Session 2023 - Filière MP

e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des
copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des
questions abordées.

e Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant
clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

e Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

e Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être
admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties de l’épreuve
sont relativement indépendantes entre elles.

L'épreuve est composée de deux parties indépendantes, à l’intérieur
desquelles de nombreuses questions peuvent être traitées indépendamment les
unes des autres.

La partie 1 est notée sur 4 points, la partie 2 sur 16 points.

Partie 1

Thermodynamique

On désigne par C, et C, les capacités thermiques respectivement à volume

et à pression constants et par y le rapport y= . On suppose que ces trois
‎grandeurs sont indépendantes de la température et de la pression. On rappelle

que ‏دن‎ 2 et ‏حم‎ (25) , où U est l’énergie interne et x est l’enthalpie.
ôT )y 07 Jp

1. Donner l’équation d’état vérifiée par n moles d’un gaz parfait en indiquant
le nom et l'unité de chaque grandeur.

2. Préciser les unités de C, et م٠‎

3. Simplifier les expressions de C, et C, pour un gaz parfait.

4. Quelle est la relation qui lie la fonction d’état # à la fonction d’état U ?

5. Établir la relation dite de Mayer, C,-C, =nR (R est la constante des gaz
parfaits).

6. _ Exprimer C, et C, en fonction de n, R et y.

Partie 2

Oscillateur harmonique

L’oscillateur harmonique est d’une grande importance en théorie quantique
car il intervient dans tous les problèmes mettant en jeu des oscillations
quantifiées telles que les vibrations moléculaires et cristallines. De plus, c’est
aussi un système simple dont on sait résoudre parfaitement l’équation de
Schrôdinger.

Données :

Épreuve de Physique II 1/5

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- Constante de Planck réduite : ñ = 7 - 105.10 5.1 ٠

7
- Constante de Boltzmann : k, =1,38.10-*S.1.
- Constante des gaz parfaits : R=8,314J.K"'.mol”".

1° a ve)

- Incertitude sur a : Aa=\V‹a"›-‹a›" , où › symbolise la valeur

moyenne au sens quantique pour un état du système.

= 1 +x su - eu du=a 7 :

-  Équation de Schrôdinger : - pe :
1

JL. (u-u) 2 JE Ja 7 4

1. Oscillateur harmonique quantique

On considère un oscillateur harmonique à une dimension de masse m et
de pulsation w, se déplaçant le long de l’axe Ox. Il est soumis au potentiel

harmonique V(x)= motx , OÙ x représente l’écart par rapport à l’origine O. On
s’intéresse aux états stationnaires de cet oscillateur définis par la fonction d’onde

Y(x,1)= oc)exp(-157) d’énergie E. L’énergie de cet oscillateur en fonction de sa
1

position x et de sa quantité de mouvement p, s’écrit : E= 2e +V(x).-

1.1. Donner l'équation aux dimensions de la constante de Planck réduite ٠
1.2. Écrire l'équation de Schrädinger spatiale dont (x) est la solution.

1.3. Montrer que, par un changement de variable, l’équation de Schrôdinger
spatiale peut se réduire à une équation adimensionnée :

Donner l’expression de e en fonction de h, w et E, et la relation entre x et

On donne la fonction d’onde spatiale du fondamental de l’oscillateur

harmonique : @,(x)= A, ‏يق |مه‎ A, étant une constante.

1.4. Déterminer l'énergie E, associée à la fonction d'onde m,(x) en fonction de ñ
et w.
1.5. À quoi sert la constante A, ? Déterminer son expression.

Épreuve de Physique II 2/5

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1.6. Représenter sur le même graphe l’allure de ‏وم‎ et celle de V(x).

1.7. Quelle est la densité de probabilité de présence de l’oscillateur en un point
x lorsque le système est dans son état fondamental ?

1.8. Représenter l’allure de la densité de probabilité de présence de l’oscillateur
dans l’état d’énergie F,. Commenter son allure par rapport à un oscillateur

harmonique en mécanique classique, oscillant entre —x, et +x,-
1.9. Donner un argument classique de plausibilité pour l’hypothèse suivante :

1.10. Calculer les écarts quadratiques moyens de la coordonnée, (Ax) , et de la

2

quantité de mouvement, (Ap, ) , dans l’état fondamental. Comment se
compare le produit AxAp, par rapport à sa plus petite valeur compatible

avec l'inégalité de Heisenberg Ax.Ap, = : ?
On cherche les autres solutions de l’équation obtenue dans la question 1.3.

sous la forme @(X)=aH(X)m,(X) avec H(X) une fonction polynomiale, appelée

polynôme de Hermite, de la variable X , et a une constante.

1.11. Établir l’équation différentielle vérifiée par la fonction H(X).

1.12. On cherche à déterminer les polynômes H,(X) et H,(X) de degrés respectifs
1 et 2. On prend le coefficient devant le monôme de la fonction H(X) de
plus haut degré égal à 1: H(X)=X+a, et H,(X)=X"+aX+a,. Achever la
détermination des polynômes H,(X) et H,(X). Exprimer les énergies E, et
E, des états décrits par les polynômes de degrés respectifs 1 et 2.

1.13. Représenter sur le même graphe que celui de la question 1.6. l’allure de
p,(x) et celle de @,(x).

1.14. Représenter l’allure des densités de probabilité de présence des deux états
d’énergies respectives E, et E,.

On s’intéresse maintenant à la recherche des relations entre les coefficients
du polynôme H(X). On définit alors H, le polynôme de degré n que l’on écrit

H,(X)= Sax . On prend le coefficient devant le monôme de la fonction H(X) de
i=0
plus haut degré égal à 1, a, =1.

1.15. Justifier que, au vu de la symétrie du potentiel, les polynômes sont soit
pairs, soit impairs. En déduire que la moitié des coefficients a, sont nuls.

1.16. Écrire l’équation différentielle vérifié par le polynôme H,(X).
1.17. Établir la relation de récurrence à laquelle satisfont les coefficients a,, et

1.18. Montrer que les niveaux d’énergies E, accessibles d’un oscillateur confiné
par le puits de potentiel harmonique V(x) sont donnés par E, = |, + ‏مل‎ .À
quoi correspondent n=0 et n=1 ?

2. Application : vibration thermique des atomes d’un solide

Un solide comportant N atomes est considéré, du point de vue thermique,

Épreuve de Physique II 3/5

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comme un ensemble de N oscillateurs vibrant indépendamment les uns des
autres autour de leur position d’équilibre avec la même pulsation ‏من‎ (Modèle
d’Einstein). L’énergie potentielle d’un oscillateur harmonique à trois dimension

est V(r)= 7m r , m étant la masse de l'atome, w la pulsation propre de

l’oscillateur et y le vecteur position de l’atome défini à partir de sa position
d’équilibre. L’état d’un atome du solide est décrit par sa position y = (x,y.z) et sa

vitesse v= 0 ‏بلا‎ . Le solide est en équilibre thermique avec un thermostat à la
température 7.

2.1. Exprimer l’énergie mécanique e, d’un atome.

2.2. Énoncer le théorème d’équipartition de l’énergie.

2.3. Montrer que l’énergie moyenne d’un atome du solide est donnée par
‹€, ›=3k,T où k, est la constante de Boltzmann.

2.4. Soit n, le nombre de moles d'atomes dans le solide. Exprimer l'énergie
moyenne ‹E› du solide en fonction de n,, R,et T.

2.5. En déduire que la capacité calorifique molaire du solide est donnée par

Le modèle classique précédent n’explique pas le comportement de la
capacité thermique molaire C,(T) d’un solide à basse température. Ce
comportement est d’origine quantique. On considère que la vibration de chaque
atome sur son site est quantifiée. Suivant le modèle de l’oscillateur harmonique à
une dimension et de pulsation w , les niveaux quantiques d’énergie ont pour
expression :

On rappelle l'expression de la fonction de partition d'une particule
+7 R 1
21000 Per
2.6. L'oscillateur est dans un environnement à la température 7. Pour un
atome oscillant à une dimension, montrer que la probabilité p,

d’occupation du niveau n d’énergie à la température 7 (donnée par la loi de
Boltzmann) est donnée par :

Pn = 2 sinh (=) ‏مالي‎
‎sinh(x) étant le sinus hyperbolique de x.

2.7. Que vaut Sp, ?
n=0
2.8. Montrer que l’énergie moyenne d’un atome à la température 7 est donnée
par :

2 2

coth(x) étant la tangente hyperbolique de x.

Épreuve de Physique II 4/5

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On donne : » ne“ = A =
n°0 4sinh° ‏ب‎

2.9. Déterminer l’expression de la capacité thermique molaire C

pour a ›0.

(1D) du solide à

une dimension.

2.10. En déduire l’expression de la capacité thermique molaire C,(3D) d’un
réseau cristallin en trois dimensions, fait d’atomes quantiques
indépendants.

2.11. Dans la limite des hautes températures 7 ›› ©. avec ©, = 8 (température

d’Einstein), donner l’expression simplifiée de ‹e, › et celle de la capacité

thermique molaire C,(3D) ? Commenter. Quelle loi retrouve-t-on ?

2.12. Dans la limite des basses températures T‹‹@®, , donner l’expression
simplifiée de la capacité thermique molaire C,(3D) en fonction de R et 8-2
Commenter.

2.13. Tracer l’allure de la capacité thermique molaire C,(3D) en fonction de la
température T.

2.14. Pour le diamant qui est un métal très dur on a ©, =2000K . Pour le cuivre,
métal plus mou, ©. - 2447. Comment expliquer cette corrélation entre ces

deux propriétés apparemment si éloignées, la constante d’élasticité, et la
capacité thermique ?
2.15. Quelle est l'insuffisance du modèle d’Einstein ?

Épreuve de Physique II 5/5

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