نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2021: الفيزياء 2 - شعبة PSI لولوج مدارس المهندسين
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باختصار
هذا نموذج امتحان كتابي سابق لمباراة مباراة ولوج المدارس العليا للمهندسين لدى المباراة الوطنية المشتركة CNC (الأقسام التحضيرية) (2021)، منشور على وظيفة إنفو للاطلاع والتحميل المجاني بصيغة PDF مع تصحيح مقترح.
- الجهة المنظمة
- المباراة الوطنية المشتركة CNC (الأقسام التحضيرية)
- الدرجة
- مباراة ولوج المدارس العليا للمهندسين
- التخصص
- الفيزياء 2
- الدورة
- 2021
- عدد الصفحات
- 7
- لغة الأسئلة
- الفرنسية
- التصحيح
- تصحيح مقترح متوفر في هذه الصفحة
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— صفحة 1 — Concours National Commun - Session 2021 - Filière PSI * On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les des questions abordées. * Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées. ° Siun résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties du problème sont relativement indépendantes entre elles. e Tous les résultats numériques seront donnés avec un nombre de chiffres significatifs compatibles avec les données fournies. Le sujet de cette épreuve est constitué de deux parties indépendantes : la première partie est notée sur 4 points, la deuxième sur 16 points. Partie 1 Approche énergétique de l’effet de peau Le demi-espace z=0 est occupé par un milieu conducteur métallique ohmique de conductivité y. La surface du conducteur, supposée plane et d’extension infinie, coïncide avec le plan (Oxy) et est surmontée par l'air assimilé au vide. Dans ce conducteur règne le champ électrique E=E,e“exp(ilwt-az))e:. On note & et u, respectivement la permittivité électrique et la perméabilité magnétique du vide. On donne : - Équations de Maxwell dans le conducteur assimilé au vide : ك2 زم | تكن 01 27 divB=0 rotB= م js 2 = 1 - Loi d’Ohm locale : j=yE. 1. Exprimer le champ magnétique B associé à l’onde électromagnétique représentée par le champ E. 2. On définit le vecteur de Poynting 11 par 11- . Exprimer 11. En déduire sa moyenne temporelle ‹II›. 3. On considère un cylindre d’axe مت de section droite S et situé entre › (face d’entrée) et z+dz (face de sortie). 3.1. Exprimer la puissance moyenne ‹P(z)› entrant par la face située en z et la puissance moyenne ‹P(z+dz)› sortant par la face en z+dz. 3.2. Exprimer la puissance volumique moyenne dissipée par effet Joule dans la tranche de volume Sdz. Epreuve de Physique II 1/7 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 2 — Concours National Commun - Session 2021 - Filière PSI 3.3. En écrivant que la puissance moyenne entrant dans le conducteur mais n’en sortant pas est cédée au conducteur, déduire la distance 6 sur laquelle pénètre l’onde avant d’être atténuée. On exprimera 6 en fonction de «à puis de u,, y et w. 3.4. Commenter la dépendance de 6 en fonction de y et w. Partie 2 Le dioxyde de carbone Le dioxyde de carbone est le principal gaz associé à l’activité humaine. Il est l’une des causes principales du réchauffement climatique. Afin de réduire les émissions de dioxyde de carbone CO, , plusieurs voies d’action se dégagent : la maîtrise de la consommation d'énergie, le développement de technologies ne produisant pas, ou très peu, de gaz à effet de serre, le captage et le stockage géologique du CO, … Cette partie a pour but d’étudier quelques propriétés et utilisations du Données relatives au CO, : - Masse molaire : M(CO,)=44.10*kg.mol"". - Volume massique de la vapeur saturante à 0°C : v …v =0,0104m° kg”. - Masse volumique du liquide de saturation à 0°C : p, =912kg.m”. - Chaleur latente massique de vaporisation : 1, =232kJ kg" à 096 - La vapeur de CO, sèche est assimilée au gaz parfait de constante 1. Diagramme d’état du dioxyde de carbone La figure 1 représente le diagramme pression-température (P,T) du dioxyde de carbone. 1.1. Identifier les points particuliers M, et M, du diagramme (P,T) du dioxyde de carbone, les courbes ديه Gus & et €, et l'état physique dans lequel se trouve ce dernier dans les zones : E,, E,, E, et E,. 1.2. On se place à la pression P=l0bar et dans l’état CO, “7 gazeux. Quelle est la plage de température correspondant à ces contraintes ? +5 Ja so 70 1.3. Le dioxyde de carbone est pris initialement dans les conditions = Figure 1 : Diagramme d’état du suivantes : P =1,0hbar et 1 2-130٠ 00 Epreuve de Physique II 2/7 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 3 — Concours National Commun - Session 2021 - Filière PSI 1.3.1. Dans quel état se trouve le dioxyde de carbone ? Décrire les phénomènes observés lors d’un refroidissement à pression fixée, amenant le CO, à la température finale 1, =150K . 1.3.2. Tracer la courbe d’analyse thermique, graphe représentant la température de CO, en fonctions du temps, lors de ce refroidissement à pression constante. 1.4. La figure 2 représente le diagramme de Clapeyron du dioxyde de carbone en échelle logarithmique. Reproduire ce diagramme sur votre copie et tracer l’allure des isothermes T, - 26076 , T,=290K et T, - 3047 . Compléter ce diagramme en précisant les domaines correspondant au CO, liquide, gazeux, diphasé et supercritique. 10° P (bar) 260K 1073 107? Figure 2 2. Stockage du dioxyde de carbone On souhaite stocker une masse m de dioxyde de carbone dans un ballon modélisé par une cuve fermée supposée initialement vide, indéformable et de volume V, à la température 1 =260K . La cuve est prévue pour résister jusqu’à une pression P, = °0bar . 2.1. En utilisant le diagramme de Clapeyron de la figure 2, déterminer la valeur de la pression de vapeur saturante à la température T, =260K. 2.2. Déterminer de même les volumes massiques du liquide saturant v, et de la vapeur saturante v, à cette température. 2.3. Suite à un échauffement accidentel, le dioxyde de carbone subit une élévation de la température de 1, =260K 2.1 - 2907 . 2.3.1. Expliquer comment choisir le volume V, pour que la cuve n’explose pas. 2.3.2. En déduire le titre massique initial en vapeur limite pour éviter l’explosion. 2.3.3. Dans quel état se trouve le CO, après cet échauffement ? Epreuve de Physique II 3/7 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 4 — Concours National Commun - Session 2021 - Filière PSI 2.4. Lorsqu’on stocke un fluide, est-il préférable que le volumique massique v soit supérieur ou inférieur au volume massique critique v. pour éviter une explosion ? 3. Le dioxyde de carbone, gaz réel On considère une mole de dioxyde de carbone gazeux de volume molaire V, sous la pression P et à la température T et obéissant à l’équation de Van Der Waals : où a, b et R sont des constantes. 3.1. Rappeler deux hypothèses, une microscopique et une macroscopique, du modèle de gaz parfait. 3.2. Préciser les unités de a et b. Quelle différence y a t-il entre a et b d’une part et R de l’autre ? 3.3. Dans le cas où a=0, comparer le comportement d’un gaz de Van Der Waals à celui d’un gaz parfait. Quel sens physique donner à b ? 3.4. Dans le cas où b=0, comparer le comportement d’un gaz de Van Der Waals à celui d’un gaz parfait. Interpréter ce comportement en introduisant une interaction entre les particules, et en s’intéressant au choc entre une particule et une paroi. 3.5. En assimilant les molécules du gaz à des sphères de rayon r, exprimer r en fonction de b et de la constante d’Avogadro N, . Calculer la valeur de r. Commenter. 3.6. On admet que l’énergie interne molaire associée à ce modèle s’écrit : Un = U, m + Cum 1 َ v 3.6.1. Exprimer l’énergie interne U(T,V) pour n mole. 3.6.2. Interpréter l’existence et la forme du terme ajouté dans cette équation. 3.6.3. Par continuité avec le modèle du gaz parfait, quelle doit être la valeur de ما ? 4. Transition critique du dioxyde de carbone Le schéma de la figure 3 donne l’évolution de A £, (KJ.kg=!) l’enthalpie de vaporisation 1,(0) de CO, en fonction 7 de la température 0. Le changement d’état au point 7 M, (figure 1) se fait sans variation d’enthalpie, دوو rappelle la relation de Clapeyron pour le changement phase نو ›@, d’un corps pur : 807 0 dP _ 1 0710 40- (°C) 47 Tv,-% rune الل 1 0+ 10 20 30 40 4.1. La courbe /(0) présente une tangente Figure 3 : Transition verticale au point M, ; justifier cette critique propriété. Epreuve de Physique II 4/7 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 5 — Concours National Commun - Session 2021 - Filière PSI 4.2. Au voisinage du point M, , on adopte une loi empirique 4.2.1. Déterminer 0, et le signe de /,. 4.2.2. Calculer numériquement /, et 6,. 5. Utilisation du CO, comme fluide frigorigène Du fait des contraintes environnementales, de plus en plus lourdes, les frigoristes ont suscité de nombreuses études récentes sur le CO, qu’ils souhaitent voir réemployer. En effet, le CO, (R744) est un fluide frigorigène dont les caractéristiques thermodynamiques sont excellentes et permettent d’envisager un bel avenir pour ce fluide, malgré les pressions de service beaucoup plus élevées que celles des HFC qui peuvent poser des problèmes de sécurité. On s’intéresse à un cycle réfrigérant décrit par une masse m=1kg de CO, dans une machine thermique ditherme. Les différentes étapes du cycle, supposé réversible, sont données dans le désordre : - A : Le fluide est mis en contact thermique isobare avec la source chaude de température 7. Le transfert thermique massique associé à ce contact est ذو À l’issue de ce contact thermique, le fluide est à la température 7 - B : Le fluide est mis en contact thermique isobare avec la source froide de température T, . Le transfert thermique massique associé à ce contact est .رو À l'issue de ce contact thermique, le fluide est à la température ٠ - C : Le fluide passe dans le compresseur adiabatique qui lui fournit un travail massique Wamp: - D : Le fluide traverse un détendeur adiabatique à parois rigides. Le diagramme (P,h) des frigoristes du CO, représenté figure 5 donne la pression P en fonction de l’enthalpie massique h. Il correspond au dioxyde de carbone pouvant être liquide, gazeux ou à l’équilibre entre les deux phases. 11 comporte les isothermes (température allant de -50 à 170°C), les courbes isentropiques (entropie massique s allant de 1300 à 2600J.kg"'.K"'), les courbes isotitres dans la zone diphasée (valeurs de 0,1 en 0,1) et les courbes d’égal volume massique (allant de 1,5 à 100dm’ kg”). Le cycle décrit ci-dessus est représenté sur le digramme de la figure 5. Il est décrit dans l’ordre 1—+2—›3—›4—1. On rappelle l’expression du premier principe pour un fluide en écoulement stationnaire : A(h+e,+e,)=wW, +, OÙ h est l’enthalpie massique, e, l’énergie cinétique massique et e, l'énergie potentielle massique du fluide, w, le travail mécanique utile qu’il reçoit et رو l’énergie thermique reçue. On néglige au cours des différentes étapes les variations d’énergie cinétique et d’énergie potentielle macroscopiques. 5.1. À l’aide d’un schéma, expliquer le fonctionnement d’une machine frigorifique. Définir l’efficacité e de cette machine. Epreuve de Physique II 5/7 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 6 — Concours National Commun - Session 2021 - Filière PSI 5.2. Justifier que l’étape D correspondant à la Compresseur traversée du détendeur est une détente isenthalpique du fluide (détente de Joule - Kelvin). 5.3. Reprendre le diagramme de la figure 4 et compléter le en indiquant par les lettres A, B, C et D les parties du cycle associées à ces étapes et en plaçant les points correspondants aux états 1, 2, 3 et 4. 5.4. Dans un tableau, indiquer, lorsque c’est possible, les valeurs de P, T, h et s pour ; les points 1, 2, 3 et 4. Figure 4 : 5.5. Identifier au cours de quelles transformations se font les échanges thermiques avec la source chaude et la source froide. 5.6. Que valent la température T. de la source chaude, la température T7, de la source froide et la température T, à l’état de départ A ? 5.7. Donner l'allure du cycle sur un diagramme (p. V) faisant apparaître la courbe de saturation de CO, . Préciser le sens dans lequel le cycle est parcouru. Justifier l’allure des courbes isothermes en utilisant les cas limites. 5.8. Calculer les chaleurs ىو et q. échangées respectivement avec la source froide et la source chaude. 5.9. Calculer le travail .يا TeÇU par le fluide frigorifique. comp 5.10. Dire, en justifiant, si la machine décrite fonctionne en moteur ou en pompe à chaleur. 5.11. Calculer l’efficacité e du cycle et la comparer avec celle (e.) du cycle de Carnot. Expliquer comment améliorer e. 5.12. Expliquer comment on peut, sur le diagramme de la figure 5, évaluer l’efficacité du cycle (indiquer le principe sans chercher à effectuer de calcul). 5.13. Calculer la valeur de l’entropie s So Créée par unité de masse parcourant le cycle. Epreuve de Physique II 6/7 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 7 — Concours National Commun - Session 2021 - Filière PSI 0 ا ا 1 7 VE +4 à | 200 ا 0 ا 0 30 اا I | il il 0 ل ا ل | ا ÿ 280 وو ا Entha br LR Figure 5 : Diagramme (P,h) des frigoristes du CO, Epreuve de Physique II 7/7 نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com
✅ التصحيح المقترح
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Ce modèle est l'épreuve de Physique II du Concours National Commun (CNC) 2021, filière PSI (accès aux écoles d'ingénieurs après les classes préparatoires). Deux parties indépendantes : Partie 1 (4 points) — approche énergétique de l'effet de peau ; Partie 2 (16 points) — le dioxyde de carbone (diagrammes d'état, stockage, gaz de Van der Waals, transition critique, cycle frigorifique au R744). Voici une correction proposée, question par question.
💡 Les valeurs lues sur les figures 2, 3 et 5 dépendent de la précision du tracé : une lecture à ±5 % près est normalement acceptée, à condition d'indiquer clairement comment on a lu.
Partie 1 — Approche énergétique de l'effet de peau
On écrit le champ sous la forme E = E0 exp(iωt − (1+i)αz) ex.
1. Champ magnétique
Maxwell–Faraday : rot E = (∂Ex/∂z) ey = −(1+i)α E ey = −iω B, d'où
B = (1+i)α/(iω) · E ey = (1−i)(α/ω) E0 e−αz ei(ωt−αz) ey.
Comme 1 − i = √2 e−iπ/4, en notation réelle :
B = (√2 α E0/ω) e−αz cos(ωt − αz − π/4) ey (B est en retard de π/4 sur E).
2. Vecteur de Poynting
Avec E = E0 e−αz cos(ωt − αz) ex :
Π = E∧B/μ0 = (√2 α E0²/(μ0ω)) e−2αz cos(ωt − αz) cos(ωt − αz − π/4) ez.
Moyenne : ⟨cos a · cos(a − π/4)⟩ = ½ cos(π/4) = √2/4, donc
⟨Π⟩ = (α E0²/(2μ0ω)) e−2αz ez.
3.1. Puissances entrante et sortante
⟨Pe(z)⟩ = ⟨Π(z)⟩·S = (α E0² S/(2μ0ω)) e−2αz ;
⟨Ps(z+dz)⟩ = (α E0² S/(2μ0ω)) e−2α(z+dz).
3.2. Puissance Joule
Puissance volumique : ⟨j·E⟩ = γ⟨E²⟩ = (γ E0²/2) e−2αz ; dans la tranche :
dPJ = (γ E0²/2) e−2αz S dz.
3.3. Profondeur de pénétration
En régime établi, l'énergie électromagnétique moyenne de la tranche est constante :
⟨Pe(z)⟩ − ⟨Ps(z+dz)⟩ = dPJ, soit
−(d⟨Π⟩/dz) S dz = (α² E0²/(μ0ω)) e−2αz S dz = (γE0²/2) e−2αz S dz.
(Même résultat en écrivant que toute la puissance entrant en z = 0, αE0²S/(2μ0ω), est dissipée dans
le demi-espace : ∫ (γE0²/2) e−2αz S dz = γE0²S/(4α).)
D'où α² = μ0γω/2. L'amplitude décroît en e−z/δ avec
δ = 1/α = √(2/(μ0γω)) (épaisseur de peau).
Remarque : l'énergie, elle, décroît en e−2z/δ ; si l'on définit δ comme l'épaisseur
équivalente où serait dissipée toute la puissance avec la densité de surface, on trouve δ/2 = 1/(2α).
3.4. Commentaire
δ diminue quand γ ou ω augmentent (δ ∝ 1/√(γω)). Pour un très bon conducteur ou à haute fréquence, l'onde ne pénètre que dans une fine pellicule (cuivre, γ ≈ 6·10⁷ S/m : δ ≈ 9 mm à 50 Hz, ≈ 7 µm à 100 MHz) ; à la limite γ → ∞ (conducteur parfait), δ → 0. Conséquences : courants HF concentrés en surface, blindage électromagnétique.
Partie 2 — Le dioxyde de carbone
1.1. Diagramme (P, T)
- M1 : point triple (−56,4 °C ; 5,1 bar), coexistence solide–liquide–gaz.
- M2 : point critique (31,0 °C ; 73,8 bar), fin de la courbe de vaporisation.
- C1 : courbe de sublimation (solide ⇌ gaz) ; C2 : courbe de vaporisation (liquide ⇌ gaz) ; C3 : courbe de fusion (solide ⇌ liquide).
- E1 : gaz ; E2 : liquide ; E3 : solide ; E4 : fluide supercritique.
1.2.
À P = 1,0 bar, le CO2 est gazeux au-dessus de la température de sublimation lue sur C1 : T > −78,5 °C (194,7 K). Comme 1 bar < 5,1 bar, le liquide n'existe pas à cette pression.
1.3.1.
Ti = −73 °C > −78,5 °C : le CO2 est gazeux. Refroidissement isobare jusqu'à Tf = 150 K = −123 °C : le gaz se refroidit jusqu'à −78,5 °C ; il s'y condense directement en solide (condensation solide, inverse de la sublimation) à température constante ; puis le solide (« carboglace ») se refroidit jusqu'à −123 °C. Aucune phase liquide n'apparaît.
1.3.2. Courbe d'analyse thermique
T(t) : une portion décroissante (gaz) de −73 °C à −78,5 °C, puis un palier horizontal à −78,5 °C pendant toute la durée du changement d'état (système monovariant à P fixée : T imposée), puis une portion décroissante (solide) jusqu'à −123 °C, de pente différente de la première (capacités thermiques différentes).
1.4. Diagramme de Clapeyron
- Sous la courbe de saturation (« cloche ») : domaine diphasé liquide + vapeur ; à gauche de la branche d'ébullition : liquide ; à droite de la branche de rosée : vapeur (gaz) ; au-dessus de l'isotherme critique et de Pc : fluide supercritique.
- T0 = 260 K : quasi verticale dans le liquide (peu compressible), palier horizontal à ≈ 24 bar dans la cloche, puis décroissante dans le gaz (pente proche de −1 en échelles logarithmiques, car Pv ≈ cte pour un gaz peu dense).
- T1 = 290 K : même allure, palier plus haut et plus court (≈ 53 bar).
- T2 = 304 K : isotherme critique ; pas de palier, tangente horizontale et point d'inflexion au point critique (≈ 74 bar ; vc ≈ 2,1·10⁻³ m³·kg⁻¹).
2.1.
Le palier de l'isotherme 260 K se lit à Psat(260 K) ≈ 24 bar.
2.2.
Extrémités du palier : vl ≈ 1,0·10⁻³ m³·kg⁻¹ et vv ≈ 1,5·10⁻² m³·kg⁻¹.
2.3.1.
La cuve est fermée et indéformable : l'échauffement est isochore, v = V0/m reste constant. À 290 K, la pression de vapeur saturante est ≈ 53 bar > Pmax = 50 bar : si le CO2 était encore diphasé (ou liquide) à 290 K, la cuve exploserait. Il faut donc qu'à 290 K le CO2 soit entièrement vapeur, avec P ≤ 50 bar, c'est-à-dire v supérieur au volume massique de la vapeur à 290 K sous 50 bar. On choisit donc V0 ≥ m·vlim, avec vlim un peu supérieur à vv(290 K) ≈ 5,8·10⁻³ m³·kg⁻¹ (estimation : vlim ≈ 6 à 6,5·10⁻³ m³·kg⁻¹).
2.3.2. Titre initial limite
À 260 K (état diphasé initial), règle des moments : x = (v − vl)/(vv − vl).
- Avec v = vv(290 K) ≈ 5,8·10⁻³ : x ≈ (5,8 − 1,0)/(15 − 1,0) ≈ 0,34 (condition nécessaire : vapeur à 290 K) ;
- avec la condition stricte P ≤ 50 bar (v ≈ 6,5·10⁻³) : x ≈ 0,39.
Réponse probable : le titre massique initial en vapeur doit être supérieur à environ 0,35–0,4 (au moins un tiers de la masse en vapeur).
2.3.3.
Après échauffement, le CO2 est à l'état de vapeur sèche (gaz), sous une pression inférieure à 50 bar.
2.4.
Il est préférable que v > vc. Lors d'un échauffement isochore, si v < vc, la fraction liquide augmente, le liquide finit par remplir la cuve et, étant très peu compressible, sa pression croît très vite avec T (risque d'explosion). Si v > vc, le système évolue vers la vapeur, dont la pression augmente beaucoup plus modérément.
3.1. Modèle du gaz parfait
Microscopique : molécules ponctuelles, sans interaction à distance (seulement des chocs élastiques).
Macroscopique : PV = nRT (et U ne dépend que de T — première loi de Joule) ; c'est le comportement limite de tout gaz à basse pression.
3.2. Unités
a/Vm² est une pression : a en Pa·m⁶·mol⁻² (J·m³·mol⁻²). b est un volume molaire : b en m³·mol⁻¹.
R est une constante universelle (identique pour tous les gaz), alors que a et b sont propres à chaque gaz.
3.3. Cas a = 0
P(Vm − b) = RT : gaz parfait pour lequel le volume disponible est réduit de b. À T et Vm donnés,
la pression est plus grande que celle du gaz parfait. b est le covolume : volume molaire « exclu », lié au volume propre
des molécules (interactions répulsives à courte portée).
3.4. Cas b = 0
P = RT/Vm − a/Vm² : pression inférieure à celle du gaz parfait. Les molécules s'attirent ;
au cœur du gaz la résultante des attractions est nulle, mais une molécule qui arrive sur la paroi est retenue par ses voisines
situées du côté du gaz : elle frappe la paroi avec une quantité de mouvement réduite. La correction est proportionnelle au nombre
de chocs (∝ n/V) et à la force de rappel (∝ n/V), d'où le terme en a/Vm² (pression « interne »).
3.5. Rayon moléculaire
Si b est le volume propre d'une mole de sphères : b = NA·(4/3)πr³, d'où
r = (3b/(4πNA))1/3.
L'énoncé ne donne pas b ; on le tire des coordonnées critiques de la figure 1 (relation de Van der Waals
b = RTc/(8Pc)) : b = 8,314×304,15/(8×73,8·10⁵) ≈ 4,3·10⁻⁵ m³·mol⁻¹, d'où
r ≈ 2,6·10⁻¹⁰ m. Commentaire : ordre de grandeur de 10⁻¹⁰ m, cohérent avec la taille d'une molécule.
(Avec le modèle plus fin où le covolume vaut 4 fois le volume propre, b = 4NA(4/3)πr³, on obtient r ≈ 1,6·10⁻¹⁰ m.)
3.6.1.
U(T,V) = n U0m + n CVm T − n² a/V (avec V = nVm).
3.6.2.
Le terme −n²a/V est l'énergie potentielle d'interaction attractive entre molécules : il est négatif (attraction),
proportionnel au nombre de paires en interaction (∝ n²) et à la densité (∝ 1/V) ; il tend vers 0 quand V → ∞ (gaz parfait).
3.6.3.
Quand V → ∞, le gaz devient parfait : CVm doit être la capacité thermique molaire à volume constant du
gaz parfait correspondant, indépendante de V. Pour une molécule linéaire comme CO2 (3 translations + 2 rotations,
vibrations gelées) : CVm = 5R/2 ≈ 20,8 J·K⁻¹·mol⁻¹ (réponse probable ; la valeur réelle vers 300 K est plus élevée,
≈ 28 J·K⁻¹·mol⁻¹, car les vibrations commencent à contribuer).
4.1. Tangente verticale en M2
Clapeyron : lv = T (vv − vl) dPsat/dT. Au point critique, vv = vl donc lv = 0,
alors que dPsat/dT reste fini. Au voisinage de M2, le sommet de la courbe de saturation est arrondi (parabolique) :
vv − vl ∝ √(Tc − T), donc lv ∝ √(Tc − T) et
dlv/dT → −∞ : la tangente est verticale.
4.2.1.
lv(θ0) = 0 au point critique : θ0 = θM2 = 31 °C. La vaporisation est endothermique (lv > 0 pour θ < θ0) : l0 > 0.
4.2.2.
Points de la figure 3 proches de M2 : lv(25 °C) ≈ 92 kJ·kg⁻¹, lv(30 °C) ≈ 35 kJ·kg⁻¹.
Rapport : (92/35)² = (θ0 − 25)/(θ0 − 30) ⇒ θ0 ≈ 30,9 °C ≈ 31 °C.
Puis l0 = lv/√(θ0 − θ) ≈ 92/√6 ≈ 37 kJ·kg⁻¹·K⁻¹ᐟ² :
l0 ≈ 3,7·10⁴ J·kg⁻¹·K⁻¹ᐟ² (avec la donnée lv(0 °C) = 232 kJ·kg⁻¹, plus éloignée de M2, on trouverait ≈ 42 kJ·kg⁻¹·K⁻¹ᐟ² : la loi n'est qu'approchée loin du point critique).
5.1. Machine frigorifique
Schéma : le fluide prélève QF > 0 à la source froide (évaporateur), reçoit un travail W > 0
(compresseur) et cède |QC| à la source chaude (condenseur / refroidisseur), puis repasse par le détendeur.
Bilan sur un cycle : W + QC + QF = 0. Efficacité : e = QF/W = qF/wcomp.
5.2. Détente de Joule–Kelvin
Écoulement stationnaire ; parois rigides et pas de pièce mobile : wu = 0 ; détendeur adiabatique : qth = 0 ;
Δec et Δep négligés. Le premier principe donne Δh = 0 : détente isenthalpique.
5.3. Figure 4
Sens de circulation (flèches) : haut vers la droite, côté droit vers le bas, bas vers la gauche, côté gauche vers le haut.
- Boîte du haut : C (compresseur) ; boîte de droite : A (échangeur avec la source chaude, haute pression) ; boîte du bas : D (détendeur) ; boîte de gauche : B (évaporateur, source froide).
- Points (convention adoptée) : 1 = coin haut-gauche (sortie de B, entrée du compresseur) ; 2 = coin haut-droit (sortie du compresseur) ; 3 = coin bas-droit (sortie de A) ; 4 = coin bas-gauche (sortie du détendeur).
5.4. Tableau (lecture de la figure 5)
| Point | P (bar) | T (°C) | h (kJ·kg⁻¹) | s (kJ·kg⁻¹·K⁻¹) | État |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | ≈ 26,5 | −10 | ≈ 440 | ≈ 1,95 | vapeur saturante (x = 1) |
| 2 | 80 | ≈ 80 | ≈ 495 | ≈ 1,95 | fluide supercritique (gaz chaud) |
| 3 | 80 | ≈ 20–22 | ≈ 250 | ≈ 1,16 | fluide supercritique dense |
| 4 | ≈ 26,5 | −10 | ≈ 250 | ≈ 1,20 | mélange diphasé, x ≈ 0,3 |
1→2 : compression isentropique (C) ; 2→3 : refroidissement isobare à 80 bar (A) ; 3→4 : détente isenthalpique (D) ; 4→1 : vaporisation isobare et isotherme à −10 °C (B).
5.5.
Échange avec la source chaude : transformation 2→3 (étape A, à 80 bar, au-dessus du point critique : refroidissement du fluide supercritique sans condensation, « gas cooler »). Échange avec la source froide : transformation 4→1 (étape B, vaporisation à −10 °C).
5.6.
TC = T3 ≈ 20–22 °C (≈ 295 K) ; TF = T1 = −10 °C (263 K) ; la température au début de A est celle de sortie du compresseur : TA = T2 ≈ 80 °C.
5.7. Allure dans le diagramme (P, v)
Cloche de saturation avec le point critique au sommet. 4→1 : palier horizontal dans la cloche à 26,5 bar (v croissant jusqu'à la
branche de rosée) ; 1→2 : isentropique montante, v diminue ; 2→3 : isobare à 80 bar, au-dessus du point critique, v diminue fortement ;
3→4 : chute de pression à h constant, le point entre dans la cloche. Le cycle est parcouru dans le sens trigonométrique
(antihoraire) : le travail reçu est positif (cycle récepteur).
Isothermes : quasi verticales côté liquide (liquide peu compressible), horizontales dans la cloche (P = Psat(T)),
hyperboles Pv ≈ cte côté vapeur à basse pression (limite gaz parfait).
5.8. Transferts thermiques
qF = h1 − h4 ≈ 440 − 250 = +190 kJ·kg⁻¹ ;
qC = h3 − h2 ≈ 250 − 495 = −245 kJ·kg⁻¹.
5.9. Travail du compresseur
wcomp = h2 − h1 ≈ 495 − 440 = +55 kJ·kg⁻¹.
Vérification : w + qC + qF ≈ 55 − 245 + 190 = 0.
5.10.
w > 0 (reçu), qF > 0 (pris à la source froide), qC < 0 (cédé à la source chaude) : la machine est réceptrice ; ce n'est pas un moteur, c'est une pompe à chaleur au sens thermodynamique, utilisée ici en réfrigérateur.
5.11. Efficacité
e = qF/wcomp ≈ 190/55 ≈ 3,4.
Carnot : eC = TF/(TC − TF) ≈ 263/(295 − 263) ≈ 8. On a e < eC :
le cycle n'est pas réversible (refroidissement 2→3 d'un fluide à 80 °C au contact d'une source à ≈ 22 °C, détente isenthalpique
irréversible). Pour améliorer e : remplacer le détendeur par une turbine de détente (récupération de travail), ajouter un échangeur
interne, compresser en plusieurs étages avec refroidissement intermédiaire, optimiser la haute pression, réduire les écarts de
température dans les échangeurs.
5.12.
Sur le diagramme (P, h), les quantités utiles sont des longueurs horizontales : qF = h1 − h4 (segment 4→1) et w = h2 − h1 (projection de 1→2 sur l'axe des h). L'efficacité est le rapport de ces deux longueurs.
5.13. Entropie créée
Sur un cycle, Δs = 0 = séchangée + scréée, avec séch = qC/TC + qF/TF
(compresseur et détendeur adiabatiques) :
scréée = −(qC/TC + qF/TF) ≈ 245/295 − 190/263 ≈ 0,83 − 0,72 ≈ 0,11 kJ·K⁻¹·kg⁻¹ (> 0).
Contrôle par étapes : détente 3→4 : s4 − s3 ≈ 0,04 ; échange A : (s3 − s2) − qC/TC ≈ 0,04 ; échange B : (s1 − s4) − qF/TF ≈ 0,03 ; total ≈ 0,11 kJ·K⁻¹·kg⁻¹.
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المصدر: مباريات ولوج المدارس والمعاهد العليا
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