نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2018: الفيزياء 1 - شعبة PSI لولوج مدارس المهندسين

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Concours Commun Marocain - Session 2018 - Filière PSI

e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il convient en

particulier de rappeler avec précision les |références| des questions abordées.

* Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

e Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis pour les
questions suivantes. Les différentes parties du problème sont relativement indépendantes entre
elles.

e Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur dénoncé, il le signale
sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives qu'il est amené à
prendre.

Exemples de l'électricité dans notre entourage

Notre mode de vie actuel est fortement tributaire de l’utilisation du courant électrique. Pour sub-
venir à nos besoins, d’autres formes d'énergie (mécanique, chimique, nucléaire, etc.) sont converties
en énergie électrique. L'électricité est présente dans tout les aspects de notre quotidien : appareils
électroménagers, moyens de transports, moyens de communications, etc. La mesure et le traite-
ment d’autres grandeurs physiques se base sur des capteurs de ces grandeurs qui les convertissent
en signaux électriques : capteurs de température, de pression, d’éclairement, etc.

Données :

- Masse de l’électron m = 9.10 3116

- Charge de l’électron q = —e = —1,6.10-"C.

- Vitesse de la lumière : c = 3.108m.s—*.

- Permittivité diélectrique du vide ‏و‎ = 8, 854 x 10-1210071:

- À une grandeur sinusoïdale f(t) = Fo.cos(wt + @), on associe le complexe souligné f(t) =
Fy-eh(et+#) avec ? = —1 et tel que f(t) = Re(f(t)); le conjugué de f sera noté f*.

- Pour un vecteur v, div(rot V )=0,

I Généralités
Un générateur électrique crée un champ électrique E, supposé uniforme, dans un conducteur
métallique cylindrique (C) d’axe X’X de longueur AB = L, de section 5. Les porteurs de charges

libres, de charge q, de densité volumique n, sont supposés avoir le même vecteur vitesse 7 par
rapport au conducteur : c’est le courant électrique. Voir figure 1.

x | Conducteur A x
ii ii
A 51 3

Figure 1 — Conducteur parcouru par un courant électrique

1.1. Questions de cours sur les courants électriques
1.1.1. Exprimer la densité volumique des charges mobiles p(M) en un point M du conducteur.

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1.1.2. Donner l’expression de la charge d°Q contenue dans le volume élémentaire dv = 7 d'$ dt.
Le vecteur densité volumique de courant 7 (M) est défini par : 420 = j ) 4 5 dt

1.1.3. Donner l'expression de j (M)
1.1.4. En déduire l'intensité 1 du courant dans le conducteur.

1.2. Bilan de la charge électrique en régime variable

On se propose d'établir le bilan local, unidirectionnel selon X'X, de la conservation de la charge.
On raisonne sur la tranche de conducteur, de section S, comprise entre x et x+dx.

1.2.1. Donner l'expression de la charge dQsurf reçue grâce aux échanges surfaciques, en x et en
x+dx, pendant une durée élémentaire dt .
1.2.2. Exprimer la variation de la charge au sein de la tranche en fonction de p(x, t).
1.2.3. En déduire l'expression du bilan local de charge à une dimension, puis faire la généralisa-
tion à trois dimensions.
1.2.4. Retrouver ce bilan en partant de deux relations de Maxwell dans la matière.
1.2.5. On se place en régime permanent
1.2.5.1. Comment se simplifie l'équation locale de la charge ? En déduire une relation intégrale
vérifiée par ‏ب‎
‎[2.5.2. Donner l'expression de la loi des nœuds en un nœud N. En vous aidant d’un schéma,
expliquer comment on déduit cette loi à partir du bilan de la charge ?
L3. Sensibilité du pont de Wheatstone

Le montage pont de Wheatstone permet la mesure d’une résistance (ou d’une impédance). Il est
formé d’un générateur de force électromotrice f.é.m Ve et des résistances ‏ريا‎ Ra connues, de R3 :
variable, et de la résistance à mesurer R4. On fait varier R3 et on s’intéresse à la tension, entre
les points B et D, ‏ولا‎ = Vp — ‏ولا‎ : voir figure 2.

0

Figure 2 — Principe du pont de Wheatstone

1.3.1. A l’aide des lois des nœuds et des mailles, exprimer la tension V; en fonction de la tension
V, et des quatre résistances R; avec 1 ‹ i ‹ 4.

1.3.2. On dit que le pont est équilibré lorsque ‏ا‎ = 0. Déterminer, alors, la relation vérifiée par
les quatre résistances.

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On suppose que cette condition est réalisée dans la suite.
On suppose que chacune des quatre résistances R; peut varier de dR;.

1.3.3. Montrer que les variations de chacune des résistances R; ou ‏يك‎ induisent des variations de
V; en sens contraires.

1.3.4. Qu'en est-il des variations de chacune des résistances R3 et R4 ? Justifier.

dR4 dR» dR3 dR4 )

1.3.5. On pose x = › . Montrer qu’à l’ordre 1, on peut écrire : dV; = Ve.s.( R; Re + R3 Ra

et donner l'expression de s en fonction de x.

1.3.6. La fonction s(x) est appelée sensibilité du pont. Étudier les variations de s(x) et déterminer
la valeur xp correspondant au maximum de la sensibilité syax-

1.3.7. Quelle est alors la relation entre les quatre résistances à l'équilibre du pont?
Dans la suite, on travaille avec cette hypothèse de sensibilité maximale.

1.3.6. À partir de l'équilibre, on suppose que seule la résistance ‏رك‎ varie légèrement et devient :
R} = R, + AR avec R1 › AR.
Donner alors l'expression de la tension V; à l’ordre 1.

1.3.9. Que devient cette expression si on suppose également que ‏دكا‎ varie légèrement, mais de-
vient : R5 = ‏يا‎ — AR avec Ra › AR? Commenter.

II Étude d’un capteur d’éclairement maximal

11.1. Préliminaire : énergie électromagnétique solaire

Les panneaux solaires utilisent l'énergie lumineuse transportée par le rayonnement solaire. Consi-
dérons une radiation solaire incidente monochromatique caractérisée par son champ électrique

11.1.1. Justifier avec des ordres de grandeur que les rayons solaires arrivent sur le sol terrestre
presque parallèles.
‎11.1.2. Déterminer l'expression du champ magnétique B (M, t).

11.1.3. Déterminer Psion du vecteur de Poynting 1 (M, t), et celle de sa valeur moyenne
temporelle › 11 ›.
11.1.4. L'amplitude du champ électrique mesurée au niveau du sol est Ep = 8, 68.102V.m7*, déter-
miner la valeur de la puissance (ou flux) surfacique moyenne reçue 00.
On suppose que le soleil décrit, par rapport au sol, un mouvement, apparent, circulaire uniforme
de période T'; à la mi-journée le flux surfacique est maximal ‏عمو‎ et cet instant est noté t = to.
IL1.5. A un instant t d’une journée ensoleillée, exprimer le flux surfacique reçu sur le sol p(t).

11.1.6. Lors d’une journée ensoleillée, entre les instants to — «.T et to + «.T, déterminer l'énergie
Es surfacique reçue par le sol.

11.1.7. Exprimer la grandeur 7 = ‏مسقي‎ donner son sens physique et faire l'application numé-

rique pour ‏لم‎ = Z . Comment doit-on, alors, s'arranger pour recevoir une puissance maxi-
male par un panneau solaire ?

11.1.8. La puissance surfacique moyenne @max Varie-t-elle durant l’année ? Expliquer.

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11.2. Étude d’un suiveur du soleil

On étudie ici un dispositif "suiveur du soleil", noté (SS), coplanaire et solidaire d’un panneau solaire.
Lors d’une journée, ce dispositif capte le rayonnement solaire grâce à quatre photorésistances (Light
dependant Resistor : LDR) et actionne un moteur lui permettant de tourner entre l’est et l’ouest de
telle sorte à recevoir, lui et donc le panneau solaire, le maximum d'’éclairement.
La valeur de la résistance de chacune des quatre photrésistances du dispostif (SS), dépend de l’éclai-
rement @ qu'elle reçoit : R(@). Dans notre cas : en plein éclairement R(@max) = 3000 et à l'ombre
R(Pmin) = 100761. Le dispositif (SS) comporte un écran vertical opaque (P), orthogonal au plan des
quatres photorésistances : voir figure 3.

11.2.1. En considérant les figures 3(b) et 3(c), indiquer celle pour laquelle on a Ro, = Rg,. Justifier.

‎S :soleil‏ ب

‎Système suiveur (SS) / Pa Ro
A Rayons solaires parallèles GE

‎2 photorésistances ] 2 photorésistances A a
coté est 0 coté ouest ;
-/ Région d'ombre R EL R Ez
coté est
Régions celairées
Trace du plan vertical opaque (hauteur OA) Ro , Ron Roi, , ‏ومع‎
‎coté ouest coté ouest
Figure 3

‎11.2.2. On considère la figure 4, et on donne h = BA = 46mm et d = CB = 2mm. La bonne
orientation du suiveur (SS) est repérée par l'angle 0 + A6, calculer la grandeur de précision

‎RE1,RE2 ;

‎coté est !
‏ذا ع‎

‎CB=2mm, BA=h=46 mm

‎Figure 4

‎11.2.3. Montage pont de Wheatstone détecteur d’éclairement maximal

‎Ce montage est formé d’un générateur de tension de f.é.m ‏ما‎ = 15V et de quatre photorésistances
de résistances : Ro1, ‏ردروا‎ Rr1, et R£z, et on à toujours : ‏رع = رع‎ et Ro1 = Ro.
On s'intéresse à la différence de potentiel entre les points E et O : Vs = VE — Vo ; voir figure 5.

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Figure 5 — Principe du pont de Wheatstone

IL.2.3.1. Exprimer la tension Vs en fonction de Ve, Ro1, Ro2, ‏رعلا‎ et ‏دع‎

I1.2.3.2. On dit que le pont est équilibré lorsque Vs = 0. Déterminer, alors, la relation vérifiée
par les résistances.

11.2.3.3. Discuter et commenter le signe de ‏رونا‎ selon l'orientation du dispositif (SS). Que signifie
le cas Vs = 0?

I1.2.3.4. Les deux signaux Vz(t) à Vo(t) sont appliqués au montage de la figure 6. Les deux
amplificateurs opérationnels sont supposés idéaux.

Figure 6 - Obtention du signal Vs2(t) à appliquer au moteur
Déterminer les expressions de V5s1(t) et de Vs2(t).

En déduire la fonction de ce montage. Le signal Vs2(t) est appliqué sur le moteur qui
fait tourner le dispositif suiveur-panneau.

III Étude d’un capteur de déplacement
111.1. Expression de la capacité d’un condensateur plan

Ce condensateur est formé de deux armatures conductrices planes (P,)(z = 0) et (P,)(z = e) ortho-
gonales à l'axe OZ. Les deux armatures carrées, chacune de surface S = 12 sont séparées par une
distance e occupée par un diélectrique de permittivité ‏ع‎ = €, (le vide).

Les deux armatures (P;) et ( P,) portent les charges électriques respectives Q, et Q, = —Q,. Dans
toute la suite, on néglige les effets de bord : e ‹ |.

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IIL.1.1. A l’aide de considérations d’invariance(s) et de symétrie(s), donner la forme du champ
électrique en un point M(x, y, z) entre les armatures : E (M)
111.1.2. Déterminer l'expression du vecteur champ électrique en fonction des données.
II.1.3. En déduire l'expression de la différence de potentiel V = Vp, — Vp,-
IIL.1.4. Définir, puis déterminer l'expression de la capacité C de ce condensateur.
111.2. Capteur de déplacements
Un dispositif permet de capter des déplacements grâce à un noyau d’un matériau diélectrique de

permittivité ‏ع‎ = e,.ey. Ce noyau parallélépipédique de coté 1 coulisse, selon XX, à l’intérieur de
deux condensateurs juxtaposés identiques à celui étudié ci-dessus : voir figure 7.

0 7 2

80 E Ep
Figure 7 — Les deux condensateurs partiellement occupés par un diélectrique

111.2.1. Initialement, le centre de ce noyau se trouve en x = 0. Déterminer alors la valeur commune
de la capacité de deux condensateurs : Cp = C, (x = 0) = C,(x = 0).

111.2.2.. Lorsque le noyau est déplacé de x de sa position d’origine, déterminer les expressions des
nouvelles capacités C,(x) = Cp + 6C1(x) et C,(x) = Cp + 6C,(x). Expliciter les variations
ôC1(x) et ‏اماق‎

En régime sinusoïdal de pulsation w, on considère un montage en pont de Wheatstone formé d’un
générateur de tension ve(t), de deux résistors identiques de résistance R, et des deux condensateurs
précédents. Voir figure 8.

Figure 8 — Pont de Wheatstone en alternatif

II.2.3. Exprimer la tension différentielle vs(t) = vp — ‏وو‎ en fonction des données.

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111.2.4.. En déduire la condition d'équilibre pour laquelle V; = 0.

Les signaux prélevés sur le pont de Wheatstone, sont appliqués au montage de la figure 9. Les
amplificateurs opérationnels sont supposés parfaits.

11.2.5. Exprimer la tension de sortie finale v,3(t) en fonction de la tension vs(t). Quel est l'intérêt
de ce montage ? On prendra R3 = Rs.

Figure 9 - Amplificateur d’instrumentation

Épreuve de Physique I 7/7 Fin

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