نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2016: الفيزياء 2 - شعبة PSI لولوج مدارس المهندسين

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ROYAUME DU MAROC

Ministère de l’Enseignement Supérieur de la Recherche
Scientifique de la Formation des Cadres

Présidence du Concours National Commun
Ecole Nationale Supérieure des Mines de Rabat

CONCOURS NATIONAL COMMUN
d'admission dans les Etablissements de Formation d'Ingénieurs
et Etablissements Assimilés

Session 2016

ÉPREUVE DE PHYSIQUE II

Filière PSI

Durée 4 heures

Cette épreuve comporte 9 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L’usage de la calculatrice est autorisé

page de garde

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Concours Commun Marocain-Session 2016- PSI

e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il

convient en particulier de rappeler avec précision les |références | des questions abordées.

٠ Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

e Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis
pour les questions suivantes. Les différentes parties du problème sont relativement indé-
pendantes entre elles.

e Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives
qu'il est amené à prendre.

L'épreuve étudie des aspects relatifs aux transferts ‏كه‎ informations. Les signaux sup-
ports de l'information tels que le son et l’image sont analogiques c’est à dire continus.
Avec les développements de la technologie et de l'informatique on utilise de plus en plus
des signaux sous forme numérique, par exemple en téléphonie, en radio numérique, ‏...عا‎
‎De tels signaux sont gérés par des ordinateurs (stockage, gravure, etc.). Le signal initial
est analogique (continu), comme par exemple la voix (20 à 20 kHz) collectée par un micro-
phone, il est possible de le convertir en signal numérique (discret) ; et pour passer d’une
forme à l’autre on utilise des convertisseurs analogiques numériques.

I Collecte d’un signal analogique sonore

1.1. propagation d'onde acoustique
Un cylindre horizontal de section droite E est rempli d’un gaz de masse volumique ‏وم‎
‎et de pression Py au repos. Lorsque ce gaz est le siège d’une onde acoustique, on note
p(x,t) la surpression (p(x,t) = P — Po), v(x, t) la vitesse (macroscopique) et p(x, t) la
masse volumique, à l'instant t dans le plan de cote x.
1 7

Le coefficient de compressibilité isentropique du gaz est xs = — V3p

) V,PetS
5

sont respectivement le volume, la pression et l’entropie.

1.1.1. En appliquant le théorème du centre de masse à une tranche de gaz comprise
entre les plans de cotes x et x + dx, déterminer l'équation aux dérivées partielles
liant la vitesse de déplacement v(x,t) de la tranche de gaz considérée à la sur-
pression p(x, t) qui y règne.

1.1.2. Donner la relation locale de conservation de la matière.

1.1.3. En supposant que la tranche de gaz subit une évolution adiabatique réversible au
passage de l'onde, écrire une autre équation aux dérivées partielles liant ‏وداه‎ t)

1.1.4. Rappeler ce qu’on entend par approximation acoustique et en déduire l'équation
d’onde vérifiée par la surpression ou pression acoustique p(x, t).

1.1.5. Définir une onde plane progressive. Donner l'expression de la vitesse de propa-
gation c de l'onde dans le gaz.

Epreuve de Physique II 1/9 Tournez la page SVP

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1.1.6. Écrire l'expression de la surpression pour une onde plane sinusoïdale de fré-
quence f , d'amplitude po et progressive dans le sens des x croissants.
1.2. Microphone électrodynamique.

Le microphone comporte une bobine plate d’axe X’X comportant N spires de rayon
a, solidaire d'une membrane ; la bobine peut se déplacer dans le champ magnétique
crée par un aimant fixe. L'équipage (bobine + membrane) assimilé à un solide, noté
(S), a pour masse totale m et peut se translater selon X"X de vecteur unitaire 7 x-
Son mouvement est repéré dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen par
l’abscisse x(t) de son barycentre. Le solide (S) est rappelé par une force élastique due
à un ressort de raideur k et subit une force de frottement de type visqueux opposée
à sa vitesse de translation : F, = —h.7 où h est une constante positive. La position
x = 0 correspond à la position de repos du système, le ressort n'étant ni tendu, ni
comprimé, le courant ainsi que la surpression acoustique étant nuls.
La bobine, électriquement fermée sur elle-même, est placée dans l’entrefer d’un ai-
mant où le champ magnétique est de la forme = Bo. 7, Bo est une constante et
0 ‏م‎ est le vecteur unitaire radial normal à XX.
On supposera que la face externe de la membrane est soumise à une pression to-
tale P, = Po + p(t), Po représentant la pression atmosphérique et p(t) la surpression
acoustique. La face interne de la membrane est soumise seulement à la pression Po.
On supposera que la membrane est assimilable à un disque de section S (Figure 1).

Aimant
+ son ;
; 10
Fils de a.
J connexion

Bomes du

microphone Bobine - y

‎Grille de protection‏ ب“

‎Figure 1

‎1.2.1. Le microphone reçoit une onde acoustique progressive p(x, t), comment justifier
qu’on puisse l'écrire sous la forme p(t) ?

‎1.2.2. La force de pression acoustique fait bouger la membrane, expliquer pourquoi on
a apparition d’un courant i(t) dans la bobine. Expliquer ce qu’on entend en disant
que le microphone est un transducteur.

‎1.2.3. Déterminer l'expression de la résultante de Laplace 7 L exercée par le champ
magnétique sur l’ensemble de la bobine en fonction de N, a, i et Bo.

‎1.2.4. Déterminer la force électromotrice fém e qui apparait dans la bobine.

‎Epreuve de Physique II 2/9 Tournez la page SVP

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1.2.5. La bobine a une résistance R et un coefficient d’auto-inductance L. Déterminer
l'équation différentielle vérifiée par le courant / dans la bobine. Cette équation
est appelée équation (E).

L2.6. En appliquant le principe fondamental de la dynamique à (S), déterminer l’équa-
tion différentielle liant x(t) et ses dérivées à l'intensité (t) et à p(t). Cette équation
est appelée équation (M).

On suppose que la surpression acoustique p(t) est sinusoïdale de pulsation w.
À une grandeur sinusoïdale f(t) = Fy.cos(wt + @), il peut être commode d'associer le
complexe souligné f(t) = ‏امامو[‎ avec ‏زر‎ = —1 et f (t) = Re(f(t)).

1.2.7. Réécrire en notation complexe l'équation (E). On posera Ze = R + j.Lw.

1.2.8. Réécrire l'équation (M), sous la forme : Zn.v = f (ip) et exprimer Zn.

1.2.9. Établir la relation : i(t) = A.p(t), et donner l'expression de A.
II _ Stockage et lecture d’un signal numérique

À l'ère du numérique, les disques optiques (CD, DVD...) sont les supports de stockage
de l'information sous forme numérique, les plus couramment utilisés. L'information est
stockée sous forme de plats et de creux (gravés) lelong de plusieurs pistes d’une spirale
située sur la surface utile du disque CD (Compact Disk). Le disque comporte une couche
métallique recouverte par une couche de polycarbonate (plastique) d'indice de réfraction
ny = 1,55.

La spirale commence au rayon R, = 2,5cm et se termine au rayon Ra = 5,8cm et les
pistes sont séparées de a = 1,6um : voir figure 2. La spirale est constituée d’alvéoles de
largeur 0,67 m, de longueur variable et d’une profondeur h. On nomme « creux » le fond
d’une alvéole et « plat » l'espace entre deux alvéoles.

11.1. Caractéristiques mécaniques
11.1.1. Exprimer la surface utile du disque sur laquelle est enregistrée l'information.
11.1.2. En assimilant la spirale à un rectangle de longueur ‏ا‎ déterminer cette longueur
sur laquelle se trouve l'enregistrement.

Le système est asservi de sorte que la piste se déplace devant la tête de lecture à la vitesse
linéaire constante ‏وه‎ = 1,227.58 1

11.1.3. Quelle est la durée totale de lecture + exprimée en minutes.

IL1.4. Exprimer alors la vitesse angulaire () et déterminer sa valeur maximale ‏وم‎

11.1.5. La capacité d’un CD vaut N = 650 mégaoctets, et un octet est formé de huit bits.
Déterminer la longueur moyenne /; occupée par un bit sur la piste.

Epreuve de Physique II 3/9 Tournez la page SVP

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Figure 2

11.2. Aspects optiques et lecture de l'information

Le faisceau laser cylindrique traverse un miroir semi- réfléchissant, arrive sous incidence
normale sur une piste de la spirale, puis se réfléchit vers une cellule photoélectrique : voir
figure 3.

Si le faisceau incident a frappé un plat ou un creux, toutes les parties du faisceau réfléchi
sont en phase : les interférences sont constructives. Si le faisceau a frappé un passage plat-
creux, les deux parties du faisceau réfléchit sont déphasées et on considère la situation où
ces interférences sont destructives.

Dans les deux cas la cellule photoélectrique indiquera des intensités extrêmes ; on a donc
deux états qu’on peut noter par les bits '0’ et ‘1’.

Le laser utilisé pour lire les CD a une longueur d'onde dans l’air A) = 780nm.

h ‏عامس‎ de polfcartonate

1
Creux-plat

Figure 3

11.2.1. Exprimer la différence de marche optique et le déphasage dans le cas d’interfé-
rences destructives (intensité nulle).

11.2.2. Déterminer la valeur minimale de la profondeur h d’un creux dans le CD ?

Epreuve de Physique II 4/9 Tournez la page SVP

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11.2.3. Dispositif de lecture

Le récepteur optique est constitué par un ensemble de trois photodiodes (D, D, Dz) qui
reçoivent le faisceau laser réfléchi sur la surface du disque CD. D est la diode permettant
la lecture de la piste. Les diodes D, et D sont placées de part et d'autre de D. On étudie
le montage de la figure 4(b).

Figure 4

Les amplificateurs opérationnels sont parfaits et fonctionnent en régime linéaire.
Aucune connaissance particulière sur les photodiodes n’est exigible. Les deux photo-
diodes sont identiques, polarisées en inverse et chacune est assimilée à une source de
®, et ‏و©‎ sont les flux lumineux reçus respectivement par D, et D» et k est une constante.
IL.2.3.1. Établir l'expression de ‏ره‎ en fonction de ©.
I[.2.3.2. Donner sans démonstration l'expression de ‏دده‎ en fonction de ®,.
I1.2.3.3. Établir l'expression de vs; en fonction de ‏ررد‎ v2, R› et R3.
Quelle est la fonction réalisée par le dernier amplificateur opérationnel ?
11.2.3.4. En déduire l'expression de vs en fonction de k, ‏ريغا‎ Ra, R3, ®, et ©.
I1.2.3.5. Quelle est la valeur de vs quand le faisceau est sur la piste ?
Déterminer le signe de vs dans les deux cas (i) et (iii) de la figure 4(a).

11.2.3.6. En déduire le rôle de ce circuit dans le fonctionnement du lecteur du disque.

Epreuve de Physique II 5/9 Tournez la page SVP

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11.2.3.7. Quel est le rôle joué par la tension E.
11.2.4. Mesure du pas par diffraction
On utilise dans cette question un laser de laboratoire de longueur d'onde ‏مووز‎ = 632nm.
Le faisceau, de diamètre égal à quelques millimètres, arrive sous incidence normale sur
le CD et intercepte plusieurs sillons (figure 5(a) et 5(b)). Ces sillons sont assimilés à des

miroirs équidistants du pas a et ainsi le CD peut être assimilé à un réseau qui diffracte
par réflexion et donne des taches sur un écran situé à la distance D = 0/0 du disque.

11.2.4.1. Rappeler le principe de Huyghens-Fresnel de diffraction.
On rappelle, dans le cas général, la relation fondamentale des réseaux donnant les maxi-
mas principaux : sin(i) — sin(iy) = p. 7'êvec p entier relatif.

i et ip sont les angles respectifs que forment le rayon incident et le rayon diffracté avec la
normale au disque.

11.2.4.2. Que représente le cas p = 0?

Taches
de diffraction

Partie du CD atteinte par le laser :
N sillons éclairés

Partie du CD atteinte par le laser :
Ecran N sillons éclairés ‏للب‎
‎(a) 0 Ecran troué

Figure 5

La diminution des longueurs d’onde de lecture respectivement À = 780nm pour le CD et
A" = 650nm pour le DVD permet de réduire le pas de la spirale, et augmenter la capacité
de stockage.

11.2.4.3. À quelle couleur correspond chacune de ces deux longueurs d’onde ?

II.2.4.4. On considère le cas schématisé par la figure 5(b). La 1 ère tache lumineuse
est repérée par x, ; donner l'expression de a en fonction de x,, À et D.

11.2.4.5. On désire comparer a et a’ respectivement les pas d’un CD et d’un DVD
(Digital Versatile Disk). Déterminer a et a’ sachant qu’on a pour le CD : 2x, =
228mm , D = 255mm ; et pour le DVD : 2x} = 755mm, D' = 225mm.

II.2.4.6. Pour le CD et le DVD, on note respectivement par ‏و1‎ et / les tailles d’un octet
et par N et N’ leur capacité de stockage totale. Déterminer l'expression du
7

rapport des capacités de stockage : 7 = › ;

Epreuve de Physique II 6/9 Tournez la page SVP

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111 Interconversion numérique-analogique

Pour stocker des informations analogiques (sons, données) sur des supports numé-
riques on doit les convertir en signaux numériques, et pour les utiliser il faut les reconver-
tir sous forme analogique. Pour cela on utilise des convertisseurs analogique-numérique
et des convertisseurs numérique-analogique. La fréquence f des signaux analogiques au-
dio vérifie : fin = 20112 › f › fmax = 20kHz.

111.1. Conversion numérique-analogique.

IIL1.1. Lors de l'enregistrement du CD, le signal audio est échantillonné et bloqué avec
une fréquence d’échantillonnage Fr = 44kHz et ensuite il est numérisé.
Qu'appelle t-on échantillonnage d’un signal ? Justifier que la valeur choisie pour
Fr, correspond à un échantillonnage sans perte d’information.

IIL1.2. La chaîne utilise un convertisseur numérique-analogique (C.N.A) à 16 bits. Ce
convertisseur peut fournir une tension comprise entre les valeurs extrêmes -5 V
et+5V.

Déterminer la valeur du quantum q du C.N.A utilisé.

111.1.3. Le spectre du signal audio V(t) désiré est représenté en figure 6(a) et le spectre
du signal Vena(t) de sortie du C.N.A est donné en figure 6(b).

Amplitude de V Amplitude de V ‏ومن‎

AN AN 5
0 0 = 5 Fréquence
F max = 20 kHz f max = 20 kHz T 0 54 2F; = 88,8 kHz
(a) Fe -J ma (b) Fe +f max 2Fr = Fans ‏م2‎ +7 nm

Figure 6

111.1.3.1. Quel type de filtre doit-on utiliser pour obtenir le signal audio désiré ? Don-
ner, en le justifiant, la fréquence de coupure / de ce filtre.

IIL.1.3.2. Donner un exemple de filtre analogique (schéma), et donner la forme de
l'équation différentielle qui relie les grandeurs d'entrée e(t)et de sortie s(t).

IIL.1.3.3. Si on envisage un filtrage numérique à la fréquence Fe, donner la forme de la
relation de récurrence qui relie 5,41 à € et Sy

111.2. Convertisseur analogique-numérique

On étudie le principe d’un convertisseur analogique-numérique (C.A.N), réalisé à l’aide
du circuit schématisé sur la figure 7. L'amplificateur opérationnel est idéal et en régime
linéaire et ‏نا‎ = —12V.

Chacun des quatre interrupteurs ( 0 ‹ : ‹ 3) peut occuper la position 0, alors a; = 0, ou
la position 1 et alors a; = 1.

Epreuve de Physique II 7/9 Tournez la page SVP

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Figure 7

111.2.1. Donner l'expression de Us en fonction de a; et Une;
II.2.2. Calculer le quantum q' de ce convertisseur.

111.2.3. Quel mot binaire 43420140 faudra-t-il mettre en entrée pour avoir en sortie la ten-
sion la plus proche de 5V.

IV Transmission de signaux lumineux par fibre otique

La lumière tend de plus en plus à être utilisée pour la transmission de signaux d’infor-
mation ; elle présente en effet, par rapport à d’autres signaux, l'avantage d’être insensible
aux perturbations électromagnétiques.

17.1. Une fibre optique cylindrique, placée dans l'air d'indice no = 1 est constituée de

deux cylindres transparents coaxiaux, d’axe X’OX, de rayons respectifs R; et Ra et
d'indices de réfraction respectifs ny et n2 (Figure 8).

Un rayon lumineux SO monochromatique dans l'air atteint la face d'entrée de la fibre
optique en son centre O, sous l'angle d'incidence iv.

Figure 8
IV.1.1. Au point I à l'interface cœur-gaine, quelle doit être la condition sur l'angle d’in-

cidence i pour avoir une réflexion totale. Expliquer pourquoi le rayon restera
confiné dans le cœur d'indice ny.

Epreuve de Physique II 8/9 Tournez la page SVP

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IV.1.2. Montrer que la condition précédente est vérifiée si l'angle d'incidence ip est infé-
rieur à une valeur limite i, appelé angle d’acceptance qu’on exprimera en fonc-
tion de no, #1 et 112

IV.1.3. On considère deux rayons passant par 0 ; l'un entre en incidence normale, l’autre
avec l'incidence limite i,. Calculer la différence At entre les durées des trajets de
la lumière selon chacun de ces rayons sur une longueur L de fibre en fonction de
c, L, n, et 112.

IV.1.4. Quelle durée T doit séparer deux impulsions successives pour qu’elles ne se su-
perposent pas à la sortie de la fibre ? En déduire le débit limite de la ligne (en
impulsions/seconde ).

IV.1.5. Courbure d’une fibre optique
On courbe la fibre précédente selon un quart de cercle de rayon R (moyen) et de
centre C et on l'éclaire sous incidence normale. Quel est est le rayon de courbure

Figure 9

R minimal pour lequel toute la lumière incidente traverse la fibre (Figure 9).

IV.1.6. La fibre est légèrement absorbante et la puissance P(x) au point x, subit une
variation de dP sur une tranche de longueur dx , proportionnelle à l'épaisseur
dx et à la puissance P(x) : dP = —a.P(x).dx, où « est une constante (positive)
caractéristique de la fibre.
IV.1.6.2. Le constructeur de la fibre indique pour celle-ci un coefficient d'atténuation
du gain ‏م‎ = 0.4dB.km”}. Déterminer la puissance du faisceau lumineux
après un parcours de 100 km à l’intérieur de la fibre. La puissance injectée à
l'entrée de la fibre est P(x = 0) = 1 W et on néglige les pertes à l'entrée et à
la sortie de la fibre.

IV.1.6.1. Déterminer l'expression du gain en déciBels : G = 10.108210

Epreuve de Physique II 9/79 Fin

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