نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2016: الفيزياء 2 - شعبة TSI لولوج مدارس المهندسين
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هذا نموذج امتحان كتابي سابق لمباراة مباراة ولوج المدارس العليا للمهندسين لدى المباراة الوطنية المشتركة CNC (الأقسام التحضيرية) (2016)، منشور على وظيفة إنفو للاطلاع والتحميل المجاني بصيغة PDF مع تصحيح مقترح.
- الجهة المنظمة
- المباراة الوطنية المشتركة CNC (الأقسام التحضيرية)
- الدرجة
- مباراة ولوج المدارس العليا للمهندسين
- التخصص
- الفيزياء 2
- الدورة
- 2016
- عدد الصفحات
- 10
- لغة الأسئلة
- الفرنسية
- التصحيح
- تصحيح مقترح متوفر في هذه الصفحة
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— صفحة 1 — ROYAUME DU MAROC Ministère de l’Enseignement Supérieur de la Recherche Scientifique de la Formation des Cadres Présidence du Concours National Commun Ecole Nationale Supérieure des Mines de Rabat CONCOURS NATIONAL COMMUN d'admission dans les Etablissements de Formation d'Ingénieurs et Etablissements Assimilés Session 2016 ÉPREUVE DE PHYSIQUE II Filière TSI Durée 4 heures Cette épreuve comporte 9 pages au format A4, en plus de cette page de garde L’usage de la calculatrice est autorisé page de garde نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 2 — Concours Commun Marocain-Session 2016- TSI e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les |références | des questions abordées. ٠ Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées. e Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis pour les questions suivantes. Les différentes parties du problème sont relativement indé- pendantes entre elles. e Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'épreuve étudie des aspects relatifs aux transferts d’ informations. Les signaux sup- ports de l'information tels que le son et l’image sont analogiques c’est à dire continus. Avec les développements de la technologie et de l'informatique on utilise de plus en plus des signaux sous forme numérique, par exemple en téléphonie, en radio numérique, ...عا De tels signaux sont gérés par des ordinateurs (stockage, gravure, etc.). Le signal initial est analogique (continu), comme par exemple la voix (20 à 20 kHz) collectée par un micro- phone, il est possible de le convertir en signal numérique (discret) ; et pour passer d’une forme à l’autre on utilise des convertisseurs analogiques numériques. Données : -Vitesse de la lumière : c = 3.10.51 - À une grandeur sinusoïdale f(t) = Fy.cos(wt + @), il peut être commode d'associer le complexe souligné f(t) = لط اام .رط avec 2 = —1 et f(t) = Re(f(t)). - Formule d'analyse vectorielle pour un vecteur V : ro ( rot V ) = grad(div V )-A V. 1 1 ère partie : Transmission et réception de signaux analogiques L1. Propagation d’un signal On s'intéresse à la transmission, puis à la réception, d’une onde électromagnétique émise par une antenne dans l'atmosphère. On modélise l'atmosphère comme formée d’une couche d'air, assimilé au vide, et d'une couche appelée ionosphère située à l'altitude h=80 km. L'ionosphère est électriquement neutre et comporte, par unité de volume, n électrons libres de charge q, = —e et n ions de charge qe = e. La masse m de l'électron est négligeable devant celle de l'ion et on suppo- sera les ions immobiles. La permittivité diélectrique ep et la perméabilité magnétique مر de l'ionosphère sont identiques à celles du vide. Dans l’ionosphère, on considère une onde électromagnétique plane monochromatique de pulsation w, caractérisée par son champ électrique est E (M, t) = Ep.cos(wt — kz). 17 1 Epreuve de Physique II 1/9 Tournez la page SVP نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 3 — Concours Commun Marocain-Session 2016- TSI 1.1.1. A l’aide de la relation Mawell-Faraday donner l'expression complexe, B (M, t), du champ magnétique B (M, t) associé à l'onde considérée. 1.1.2. Dans le référentiel terrestre R(OXYZ) supposé galiléen, appliquer le principe fondamental de la dynamique à un électron, soumis au champ électromagné- tique de l’onde ( E B ). On supposera que tous les électrons ont même vitesse 7 (v ›› c) et on négligera les chocs entre particules. 1.1.3. En comparant les normes des forces magnétique et électrique, montrer que حصا fluence du champ magnétique est négligeable devant celle du champ électrique. Dans toute la suite, on suppose que l’électron n’est soumis qu’au seul champ électrique précédent. Déterminer alors le vecteur 7’. 1.1.4. Donner le vecteur densité volumique de courant volumique j , et en déduire l'expression de la conductivité complexe 7. 1.1.5. Calculer la puissance moyenne volumique م cédée par le champ électromagné- tique au milieu. Commenter. Rôle de l’ionosphère dans la propagation 1.1.6. En utilisant les relations de Maxwell, retrouver la relation liant la norme du vec- teur d'onde k et la pulsation w : k* = —= On posera Qu = عناوم رج l’ionosphère, on donne w, = 5, 65.10774.8-1. 1.1.7. Expliquer pourquoi on n’a pas propagation de l'onde dans le cas où w › روم et donner la forme du champ électrique de l'onde 2 (M,t). L1.8. On se place dans le cas : w › رون 1.1.8.1. Montrer qu’une onde plane monochromatique peut effectivement se propa- ger dans ce milieu. 1.1.8.2. Donner la représentation graphique du module du vecteur d'onde k en fonc- tion de la pulsation w. 1.1.8.3. Donner les expressions de la vitesse de phase وه et de la vitesse de groupe رولا et tracer sur le même graphe les allures de vy(w) et vg(w). 1.1.9. Quelle est la condition sur la fréquence à utiliser pour communiquer avec un satellite situé au delà de l’ionosphère ? L2. Émission et réception de signaux analogiques Dans le domaine des télécommunications sonores (radio, téléphone….), on est amené à étudier la transmission par modulation d'amplitude (A.M) d’un signal vm(t) = Vom-cos(27.fm-t). Ensuite on s'intéresse à la réception et l'obtention du signal émis. Les signaux sonores ont une fréquence f qui vérifie : f, = 20112 › f › ور = 20kHz. Epreuve de Physique II 2/9 Tournez la page SVP نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 4 — Concours Commun Marocain-Session 2016- TSI 1.2.1. Les antennes émettrices ont une dimension L, de l’ordre de grandeur de la lon- gueur d'onde À du signal électromagnétique émis (dans l'air). Quelle devrait être la dimension minimale d’une telle antenne ? Commenter. Pour transmettre un signal sinusoïdal vm(t) = Vom-cos(2.fm.t) (dit modulant) de fré- quence fm, ON le combine avec un signal sinusoïdal dit porteur vy(t) = Vop-cos(27.fp.t) avec : f, › f. Le signal à émettre est de la forme ve(t) = Vop-(1 + K.Vom-cos(271.fm-t)).cos(27.fp.t) ; on appelle taux de modulation la grandeur : m = kVon.- Sommateur + | s1=e1+e2 2 s2=k.e3.e4 mulitiplieur جز var @) 0 Figure 1 1.2.2. Dans le montage schématisé par la figure 1(a), on dispose des deux signaux v,(t) et v(t) ainsi que d’un multiplieur et d'un sommateur (additionneur). Reproduire cette figure sur votre copie et la compléter avec des fils de façon à élaborer le signal ve(t). 1.2.3. On utilise un oscilloscope en mode XY pour obtenir la figure 1(b). Préciser les deux signaux qu'il faut brancher respectivement sur la voie X (abscisse) et sur la voie Y (ordonnée). Déterminer le taux de modulation m et indiquer la condition sur m pour avoir une bonne modulation. 1.2.4. Tracer le graphe du spectre de Fourier du signal émis ve(t). 1.2.5. En absence de modulation (m=0), la puissance rayonnée par l'antenne est P = 2MW, déterminer la puissance totale rayonnée lorsque le taux de modulation est m (question 1.2.3), pour un signal de fréquence .مر Faire l'application numérique. 1.2.6. Deux stations radio émettent des signaux sonores avec des porteuses de fré- quences respectives رمز et fy,2, avec fp1 › fp2- Exprimer, en fonction des fréquences, l'écart minimal À fp,min pour qu’il n y ait pas de chevauchement de deux signaux Epreuve de Physique II 3/9 Tournez la page SVP نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 5 — Concours Commun Marocain-Session 2016- TSI Après propagation, et grâce à une antenne de réception, on collecte le signal modulé qui transporte l'information. Cette tension, de la forme v,(t) = Voc.cos(wW,t), doit être démodulée afin de récupérer le signal audio émis. L'une des étapes consiste à utiliser le montage de la figure 2 ; il comprend une diode à jonction (D) supposée idéale, un résistor de résistance R et un condensateur de capacité C. Aucune connaissance de la diode n’est exigible, on modélise son fonctionnement ici par deux situations : D est dite passante : › 0 et elle est équivalente à un fil (résistance Rag = 0: وه = 0). D est dite bloquante : ; = 0 et elle est équivalente à un circuit ouvert (Rag + : وه ‹ 0). Figure 2 1.2.7. La diode est supposée passante, et l'intensité i(t) du courant est positive et de la forme i(t) = Iocos(wpt + ). Donner dans ce cas la relation entre ve(t) et vs(t) 1.2.8. Dans ce cas, expliciter, les expressions de l'intensité maximale lo et du déphasage @ en fonction des données R, نل Voe et w. On pourra utiliser la notation complexe. 1.2.9. À partir de t = 0, l'intensité i(t) décroît et s’annule une première fois pour t = to. Exprimer روا en fonction de م et de w,. Préciser l’état de la diode à une date immédiatement postérieure à to. La diode est supposée bloquée : elle se comporte comme un interrupteur ouvert. L'inten- sité i(t) du courant est nulle, et la tension Vp aux bornes de la diode est négative. 1.2.10. Établir l'équation différentielle satisfaite par la tension vs(t). 1.2.11. Déterminer l'expression de la tension v; (ft) en fonction de وار ما et t. 1.2.12. Tracer, sur le même graphe, l'allure des courbes représentatives des tensions ve(t) 4 et v,(t) pour 0 › + › =, Indiquer les intervalles de temps où la diode est 0 passante ou bloquante. 1.2.13. En réalité, la tension d’entrée est de la forme : ve(t) = Vop-(1 + m.cos(wmt)).cos(wpt). Comment choisir le produit R.C pour récupérer l'information utile. Epreuve de Physique II 4/9 Tournez la page SVP نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 6 — Concours Commun Marocain-Session 2016- TSI 1.2.14. Quel type de filtre faut-il placer à la sortie du circuit précédent pour récupérer le signal audio v,(t) ? Justifier votre réponse, et donner un exemple de ce filtre. 1.3. Modulateur d'amplitude en bande latérale unique BLU La figure 3(a) représente le schéma de principe d’un modulateur d'amplitude en bande latérale unique (BLU). Ce montage comporte deux déphaseurs de — F, deux multiplieurs de constante k et un amplificateur de différence de coefficient d'amplification unitaire ; dans notre cas ce dernier donne en sortie v(t) = +v2(t) — v1 (t). On donne vm(t) = Vom-cos(271.fm-t) et vp(t) = Vop-cos(27t.fp.t). 70 Déphaseur [| Multiplieur Xk Vi(t) Déphaseur 1 | Soustragteur_— V(D) ا 7 (gain=1) م ك AO Multiplieur + ; + Xk ذلا 720 17:00 يل VO Figure 3 1.3.1. Déterminer l'expression du signal de sortie v(t) 1.3.2. Quel signal obtient-on si on remplace le soustracteur par un sommateur ? 1.3.3. L'’amplificateur opérationnel du montage 3(b) est idéal et fonctionne en régime linéaire. Déterminer la fonction de transfert complexe H(jw), en régime sinusoï- dal, et en déduire la fonction de ce montage. 1.4. Étude d’un haut parleur électrodynamique Un haut parleur est constitué d’une bobine plate d'axe XX, comportant N spires de rayon a, et solidaire d'une membrane. L'ensemble bobine + membrane a pour masse totale m et peut se translater parallèlement à l'axe horizontal XX. Lorsque la bobine s’écarte de sa position d'équilibre d’un écart algébrique x, elle est rappelée par une force élastique due à un ressort de raideur k. De plus, l'air produit sur la membrane une force de frottement visqueux, proportionnelle à sa vitesse de translation, qui peut s’écrire F,; = —h.7 où h est une constante positive. La réaction du support de la bobine est verticale et opposée au poids. La bobine est placée dans un champ magnétique de la forme B = Bo. 7 où Bo est une constante et 1/ , est le vecteur unitaire radial normal à X’X (Figure 4). Epreuve de Physique II 5/9 Tournez la page SVP نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 7 — Concours Commun Marocain-Session 2016- TSI ressort 10 ; «— membrane aimant permanent bobine Figure 4 On applique aux bornes de la bobine une tension sinusoïdale u(t) = Umcos(2.f.t), de fréquence f et on note par i(t) l'intensité du courant dans la bobine. 1.4.1. Exprimer la force de Laplace 72 L à laquelle la bobine est soumise. 1.4.2. Écrire le théorème de la résultante cinétique pour l'équipage mobile, et en dé- duire l'équation différentielle du mouvement : équation noté (M). [4.3. Expliquer pourquoi un mouvement de la membrane crée dans la bobine une force électromotrice d’induction fém e. Déterminer l'expression de cette fém. 14.4. La bobine a une résistance R et une inductance L. Déterminer, alors, l'équation électrique dans ce circuit : équation notée (E) 1.4.5. Écrire les deux relations (M’) et (E”) liant les expressions complexes u(t) , i(t) et v(t) associées respectivement à u(t), i(t) et v(t). 1.4.6. Éliminer la vitesse v(t) entre les équations (M’) et (E”) pour faire apparaître une relation entre u(t) et i(t). Définir alors l'impédance complexe Z du circuit. 11 2 ème partie : transferts d'informations sous forme numérique A l'ère du numérique, les disques optiques (CD, DVD...) sont les supports de stockage de l'information sous forme numérique, les plus couramment utilisés. L'information est stockée sous forme de plats et de creux (gravés) lelong de plusieurs pistes d’une spirale si- tuée sur la surface utile du disque. Le disque comporte une couche métallique recouverte par une couche de polycarbonate (plastique) d'indice de réfraction ny, = 1,55. La spirale commence au rayon R, = 2,5cm et se termine au rayon Ra = 5,8cm et les pistes sont séparées de a = 1,6um : voir figure 5. La spirale est constituée d’alvéoles de largeur 0, 67m, de longueur variable et d’une profondeur h. On nomme « creux » le fond d’une alvéole et « plat » l'espace entre deux alvéoles. 11.1. Caractéristiques mécaniques Epreuve de Physique II 6/9 Tournez la page SVP نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 8 — Concours Commun Marocain-Session 2016- TSI Figure 5 11.1.1. Exprimer la surface utile du disque sur laquelle est enregistrée l'information. 11.1.2. En assimilant la spirale à un rectangle de longueur L, déterminer cette longueur sur laquelle se trouve l'enregistrement. Le système est asservi de sorte que la piste se déplace devant la tête de lecture à la vitesse linéaire constante vo = 1,22m.s”!. 11.1.3. Quelle est la durée totale de lecture + exprimée en minutes. IL1.4. Exprimer alors la vitesse angulaire ( et déterminer sa valeur maximale Qynax- 11.1.5. La capacité d’un CD vaut N = 650 mégaoctets, et un octet est formé de huit bits. Déterminer la longueur moyenne /; occupée par un bit sur la piste. 11.2. Aspects optiques et lecture de l'information Le faisceau laser cylindrique traverse un miroir semi- réfléchissant, arrive sous incidence normale sur une piste de la spirale, puis se réfléchit vers une cellule photoélectrique : voir figure 6. Si le faisceau incident a frappé un plat ou un creux, toutes les parties du faisceau réfléchi sont en phase : les interférences sont constructives. Si le faisceau a frappé un passage plat- creux, les deux parties du faisceau réfléchit sont déphasées et on considère la situation où ces interférences sont destructives. Dans les deux cas la cellule photoélectrique indiquera des intensités extrêmes ; on a donc deux états qu’on peut noter par les bits 0 et ’1”. Le laser utilisé pour lire les CD a une longueur d'onde dans l'air A) = 780nm. Epreuve de Physique II 7/9 Tournez la page SVP نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 9 — Concours Commun Marocain-Session 2016- TSI Figure 6 11.2.1. Exprimer la différence de marche optique et le déphasage dans le cas d’interfé- rences destructives (intensité nulle). 11.2.2. Déterminer la valeur de la profondeur minimale h d’un creux dans le CD ? Amélioration de la capacité de stockage : la diminution des longueurs d'onde de lecture permet de réduire le pas de la spirale, ce qui influe sur la capacité de stockage. On donne, respectivement, pour le CD et pour le DVD (Digital Versatile Disk) les pas : acp - 671 et Apyvp = 0,7411711. On estime également que les tailles d’un octet sont 6, 80171 et 3, 01 respectivement sur CD et sur DVD et on note respectivement N et N’ leur capacités de stockage totales en octets. 11.2.2.1. A quelle couleur correspond la longueur d'onde Apyvp = 650nm ? I1.2.2.2. Déterminer le rapport des capacités de stockage : 7 = 9 ; IL3. Interconversions numérique-analogique La fréquence f des signaux analogiques audio vérifie : 20112 › f › 20kHz. On consi- dère une chaine permettant d'obtenir un signal analogique à partir d’un signal numé- rique enregistré sur un CD. 11.3.1. Lors de l'enregistrement du CD, le signal audio est échantillonné et bloqué avec une fréquence d’échantillonnage fe = 44kHz. Chaque échantillon est ensuite nu- mérisé. Qu'’appelle t-on échantillonnage d’un signal ? Justifier que la valeur choisie pour fe, correspond à un échantillonnage sans perte d’information. 11.3.2. Lors de la restitution du signal analogique, on utilise un convertisseur numérique- analogique (C.N.A) à 16 bits. Ce convertisseur peut fournir une tension comprise entre les valeurs extrêmes -5 V et + 5 V et on suppose que les données numé- riques sont converties à une fréquence égale à celle utilisée lors de l’enregistre- ment (fe = 44kHz). Déterminer la valeur du quantum q du convertisseur (C.N.A) utilisé. Epreuve de Physique II 8/9 Tournez la page SVP نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com — صفحة 10 — Concours Commun Marocain-Session 2016- TSI 11.3.3. Convertisseur analogique-numérique On étudie le principe d’un convertisseur analogique-numérique (C.A.N) à l’aide du cir- cuit schématisé sur la figure 7. L'amplificateur opérationnel est idéal et en régime linéaire et U,,y = —12V. Chacun des quatre interrupteurs ) 0 › 1 › 3) peut occuper la position 0, alors a; = 0, ou la position 1 et alors a; = 1. Figure 7 11.3.4. Donner l'expression de Us en fonction de a; et U,ef- IL3.5. Calculer le quantum أو de ce convertisseur. 11.3.6. Quel mot binaire 45424140 faudra-t-il mettre en entrée pour avoir en sortie la ten- sion la plus proche de 5V. Epreuve de Physique II 9/9 Fin نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com
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Ce modèle est l'épreuve de Physique II du Concours National Commun (CNC), filière TSI, session 2016 (présidence : École Nationale Supérieure des Mines de Rabat). Durée : 4 heures, calculatrice autorisée, 9 pages. Thème : transfert d'informations — propagation dans l'ionosphère, modulation/démodulation d'amplitude, haut-parleur, puis disque optique et conversions numérique-analogique. Voici une correction proposée, question par question.
💡 Méthode : les deux parties sont indépendantes. La partie II (CD, CAN/CNA) est surtout faite d'applications numériques rapides : ne la laissez pas de côté si vous bloquez sur l'électromagnétisme.
Partie I — Transmission et réception de signaux analogiques
I.1. Propagation dans l'ionosphère
Onde : E = E0 cos(ωt − kz) uy, notation complexe E = E0 ei(ωt − kz) uy.
I.1.1. Maxwell-Faraday : rot E = −∂B/∂t. Pour une onde plane, rot → −ik uz ∧ et ∂/∂t → iω :
−ik uz ∧ E0uy ei(ωt−kz) = −iω B, et comme uz ∧ uy = −ux :
B = −(k/ω) E0 ei(ωt − kz) ux (soit B = (k/ω) uz ∧ E).
I.1.2. PFD pour un électron dans ℜ galiléen : m dv/dt = −e (E + v ∧ B) (poids négligé, pas de chocs).
I.1.3. |v ∧ B| / |E| ≈ v k/ω = v/vφ. Dans le cas propagatif vφ ≥ c, donc ce rapport est de l'ordre de
v/c ≪ 1 : la force magnétique est négligeable. Il reste m iω v = −e E, d'où
v = (i e / mω) E = (i e E0/mω) ei(ωt−kz) uy, soit en réel v = −(eE0/mω) sin(ωt − kz) uy
(vitesse en quadrature avec le champ E).
I.1.4. Seuls les électrons bougent : j = n(−e) v = −i (n e²/mω) E. Donc
γ = −i n e²/(m ω) = n e²/(i m ω) : conductivité imaginaire pure.
I.1.5. p = <j·E> = ½ Re(γ) E0² = 0. Puissance moyenne nulle : j et E sont en quadrature,
le plasma n'absorbe pas d'énergie en moyenne (milieu non dissipatif ; l'énergie cédée sur une demi-période est restituée sur l'autre).
I.1.6. Milieu neutre : div E = 0 ; rot B = μ0 j + (1/c²) ∂E/∂t.
rot(rot E) = grad(div E) − ΔE = −ΔE et rot(rot E) = −∂(rot B)/∂t, d'où
ΔE = μ0 ∂j/∂t + (1/c²) ∂²E/∂t². En complexe : −k² E = μ0 iω γ E − (ω²/c²) E, avec
μ0 iω γ = μ0 n e²/m = ωp²/c² (car μ0ε0c² = 1). Donc
k² = (ω² − ωp²)/c², avec ωp² = n e²/(m ε0).
I.1.7. Si ω < ωp : k² < 0, k est imaginaire pur, k = −iδ−1 avec
1/δ = √(ωp² − ω²)/c (on garde la solution qui ne diverge pas quand z augmente). Alors
E = E0 e−z/δ cos(ωt) uy : onde évanescente, pas de dépendance en (ωt − kz), donc pas de propagation ;
l'onde est réfléchie par l'ionosphère.
I.1.8.1. Si ω > ωp : k = √(ω² − ωp²)/c est réel, E = E0 cos(ωt − kz) uy est une onde
progressive non atténuée : elle se propage.
I.1.8.2. k(ω) : nul (partie réelle) pour ω < ωp ; part de 0 en ω = ωp avec une tangente verticale,
puis tend vers l'asymptote k = ω/c quand ω → ∞ (branche d'hyperbole).
I.1.8.3. vφ = ω/k = c/√(1 − ωp²/ω²) > c ; vg = dω/dk = c²k/ω = c√(1 − ωp²/ω²) < c,
avec vφ·vg = c². Allures : vφ décroît de +∞ (en ωp) vers c ; vg croît de 0 vers c ;
les deux courbes ont c pour asymptote. Le milieu est dispersif.
I.1.9. Il faut ω > ωp : f > fp = ωp/2π = 5,65·107/2π ≈ 9,0 MHz.
I.2. Émission et réception de signaux analogiques
I.2.1. λ = c/f ≥ c/f2 = 3·108/2·104 = 15 km (et 15 000 km pour 20 Hz). Une antenne de cette taille est irréalisable : on ne peut pas émettre directement le signal sonore, d'où la nécessité de la modulation par une porteuse de haute fréquence.
I.2.2. ve = V0p cos(2πfpt) + k V0mcos(2πfmt)·V0pcos(2πfpt) = vp + k vm vp.
Câblage : e3 = vm, e4 = vp (sortie s2 = k vmvp), puis e1 = s2, e2 = vp :
s1 = vp + k vm vp = ve. Toutes les masses sont reliées.
I.2.3. Voie X : vm(t) (modulant) ; voie Y : ve(t) (signal modulé) → figure en trapèze.
Sur la figure 1(b), la hauteur (demi-amplitude) vaut environ 3 divisions à droite et 1 division à gauche :
m = (Vmax − Vmin)/(Vmax + Vmin) = (3 − 1)/(3 + 1) soit m ≈ 0,5.
Bonne modulation : m < 1 (sinon surmodulation : l'enveloppe ne reproduit plus vm, le trapèze se referme en pointe).
I.2.4. ve = V0pcos(2πfpt) + (mV0p/2)cos(2π(fp+fm)t) + (mV0p/2)cos(2π(fp−fm)t).
Spectre : trois raies, V0p en fp et mV0p/2 (= V0p/4 pour m = 0,5) en fp ± fm.
I.2.5. La puissance est proportionnelle à la somme des carrés des amplitudes :
P' = P(1 + 2·(m/2)²) = P(1 + m²/2) ; P' = 2 × 1,125 = 2,25 MW.
I.2.6. Chaque station occupe la bande [fp − f2 ; fp + f2]. Pas de chevauchement si fp,2 − f2 ≥ fp,1 + f2 : Δfp,min = 2 f2 = 40 kHz.
I.2.7. Diode passante (vD = 0) : vs(t) = ve(t).
I.2.8. i = ve/R + C dve/dt, soit I = Ve(1/R + jCωp) :
I0 = (V0e/R)√(1 + R²C²ωp²) et φ = arctan(RCωp) (courant en avance, 0 < φ < π/2).
I.2.9. i s'annule quand ωpt0 + φ = π/2 : t0 = (π/2 − φ)/ωp. Juste après, le modèle
« passant » donnerait i < 0, impossible : la diode se bloque.
I.2.10. Diode bloquée, i = 0 : le condensateur se décharge dans R : RC dvs/dt + vs = 0.
I.2.11. Continuité de la tension du condensateur : vs(t0) = V0ecos(ωpt0) = V0ecos(π/2 − φ) = V0e sin φ. vs(t) = V0e sin φ · exp(−(t − t0)/RC) pour t ≥ t0.
I.2.12. Allure : vs suit ve de 0 à t0 (passante), puis décroît lentement en exponentielle (bloquée) jusqu'à l'instant t1 (un peu avant 2π/ωp) où elle recoupe la montée de ve ; la diode redevient passante de t1 à t0 + 2π/ωp, et le cycle recommence jusqu'à 4π/ωp. Intervalles : passante [0 ; t0], [t1 ; t0+Tp], [t1+Tp ; 4π/ωp] ; bloquée [t0 ; t1] et [t0+Tp ; t1+Tp], avec Tp = 2π/ωp (t1 défini par V0e sinφ e−(t1−t0)/RC = V0ecos ωpt1). vs ressemble à une tension redressée avec une faible ondulation (détecteur de crête).
I.2.13. Pour suivre l'enveloppe V0p(1 + m cos ωmt) : décharge lente devant la période de la porteuse, rapide devant celle du modulant : Tp ≪ RC ≪ Tm, soit 1/fp ≪ RC ≪ 1/f2 = 50 µs.
I.2.14. La sortie vaut ≈ V0p + mV0pcos(ωmt) : il faut supprimer la composante continue → filtre passe-haut de fréquence de coupure inférieure à 20 Hz, par exemple un circuit C-R du premier ordre (condensateur en série, sortie aux bornes de la résistance, fc = 1/2πR'C' de quelques hertz), appelé condensateur de liaison.
I.3. Modulation BLU
I.3.1. Déphaser de −π/2 transforme cos en sin :
v1 = k V0pV0m sin(ωpt) sin(ωmt), v2 = k V0pV0m cos(ωpt) cos(ωmt).
v = v2 − v1 = k V0pV0m cos((ωp + ωm)t) : seule la bande latérale supérieure est émise.
I.3.2. Avec un sommateur : v = k V0pV0m cos((ωp − ωm)t), bande latérale inférieure.
I.3.3. Entrée + : diviseur R–C, V+ = Ve/(1 + jRCω). Entrée − (Millman, deux R') :
V− = (Ve + Vs)/2. V+ = V− donne
H(jω) = (1 − jRCω)/(1 + jRCω). |H| = 1 pour tout ω et arg H = −2 arctan(RCω), de 0 à −π :
c'est un déphaseur (passe-tout) ; il introduit −π/2 pour ω = 1/RC, il réalise donc les blocs « déphaseur −90° » de la figure 3(a).
I.4. Haut-parleur électrodynamique
Base cylindrique (ur, uθ, ux) directe ; i > 0 dans le sens de uθ (sens de la figure 4) ; longueur de fil ℓ = 2πNa.
I.4.1. dF = i dl uθ ∧ B0ur = −i B0 dl ux, d'où FL = −2πNaB0 i(t) ux.
I.4.2. Selon X'X (poids et réaction se compensent) : (M) : m dv/dt = −kx − hv − 2πNaB0 i, avec v = dx/dt.
I.4.3. La bobine se déplace dans un champ permanent : les charges subissent la force de Lorentz q v ∧ B, c'est
l'induction de Lorentz (circuit mobile). e = ∮(v ux ∧ B0ur)·dl uθ et ux ∧ ur = uθ :
e = 2πNaB0 v (orientée comme i). Vérification : e·i + FL·v = 0 (couplage parfait).
I.4.4. (E) : u = R i + L di/dt − 2πNaB0 v.
I.4.5. Avec ℓB0 = 2πNaB0 : (M') : (h + jmω + k/(jω)) V = −ℓB0 I ; (E') : U = (R + jLω) I − ℓB0 V.
I.4.6. V = −ℓB0 I/(h + j(mω − k/ω)), donc U = Z I avec
Z = R + jLω + (2πNaB0)²/(h + j(mω − k/ω)). Le dernier terme est l'impédance motionnelle : elle équivaut à un
circuit Rm, Lm, Cm en parallèle avec Rm = (ℓB0)²/h, Lm = (ℓB0)²/k, Cm = m/(ℓB0)².
Partie II — Transferts d'informations sous forme numérique
II.1. Caractéristiques mécaniques
II.1.1. S = π(R2² − R1²) = π(5,8² − 2,5²) = 86,0 cm² ≈ 8,6·10−3 m².
II.1.2. Rectangle de longueur L et de largeur a : L·a = S, L = S/a = 8,60·10−3/1,6·10−6 ≈ 5,4 km (5 378 m).
II.1.3. τ = L/v0 = 5 378/1,22 ≈ 4 408 s ≈ 73,5 min.
II.1.4. v0 = rΩ : Ω = v0/r, maximale au rayon minimal : Ωmax = v0/R1 = 1,22/0,025 ≈ 48,8 rad/s (≈ 466 tr/min ; Ωmin = 21 rad/s en R2).
II.1.5. Nombre de bits : 8N = 8 × 650·106 = 5,2·109. lb = L/(8N) ≈ 1,0·10−6 m ≈ 1 µm (0,99 µm si l'on compte 1 Mo = 220 octets).
II.2. Aspects optiques
II.2.1. La partie du faisceau réfléchie au fond du creux parcourt en plus un aller-retour de profondeur h dans le polycarbonate : δ = 2 np h. Interférences destructives : δ = (2p + 1)λ0/2, soit un déphasage Δφ = 2πδ/λ0 = (2p + 1)π.
II.2.2. Profondeur minimale (p = 0) : h = λ0/(4np) = 780/(4 × 1,55) ≈ 126 nm.
II.2.2.1. 650 nm : rouge.
II.2.2.2. À surface utile égale, la longueur de piste varie comme 1/a et le nombre d'octets comme L/(taille d'un octet) : η = (aCD/aDVD)·(6,80/3,20) = (1,6/0,74) × 2,125 ≈ 4,6.
II.3. Interconversions numérique-analogique
II.3.1. Échantillonner, c'est prélever la valeur du signal à intervalles réguliers Te = 1/fe (et la bloquer jusqu'au prélèvement suivant). Critère de Shannon : pas de perte d'information si fe > 2 fmax = 40 kHz ; c'est le cas avec 44 kHz (la marge sert au filtre anti-repliement).
II.3.2. q = 10 V/(216 − 1) ≈ 1,5·10−4 V ≈ 0,15 mV (10/216 donne la même valeur à ce niveau de précision).
💡 II.3.3. Le montage de la figure 7 (résistances pondérées 2R, 4R, 8R, 16R et sommateur inverseur) est en fait un convertisseur numérique → analogique, même si l'énoncé l'appelle C.A.N.
II.3.4. Entrée − à la masse virtuelle ; un interrupteur en position 1 relie sa résistance à Uref, en position 0 à la masse.
Us = −R Uref(a3/2R + a2/4R + a1/8R + a0/16R), soit
Us = −(Uref/16)(8a3 + 4a2 + 2a1 + a0) = 0,75 V × N avec Uref = −12 V et N le nombre codé.
II.3.5. q' = |Uref|/16 = 0,75 V.
II.3.6. 5/0,75 = 6,67 → N = 7 donne 5,25 V (écart 0,25 V) contre 4,50 V pour N = 6 : mot a3a2a1a0 = 0111.
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المصدر: مباريات ولوج المدارس والمعاهد العليا
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