نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2019: الفيزياء 1 - شعبة TSI لولوج مدارس المهندسين

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* On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il
convient en particulier de rappeler avec précision les |références des questions

abordées.

٠ Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant
clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

Siun résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis
pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties du problème sont
relativement indépendantes entre elles.

Satellite et télédétection

Le projet de mise en orbite de deux satellites jumeaux marocains baptisés
Mohammed VI-A et Mohammed VI-B est une aventure technologique avancée, qui
permettra des applications et des développements à haute valeur ajoutée dans des
domaines variés : l'arpentage, la cartographie, la gestion de l'environnement, la
prévention des catastrophes naturelles et des catastrophes climatiques,
l'aménagement du territoire, les activités agricoles .... Ces deux satellites
permettront de fournir des clichés de toutes les régions de la Terre en moins de 24
heures. Ils seront situés sur une même orbite à 647km afin de fournir des
photographies de très haute résolution "70cm".

Le premier satellite, pesant au décollage 1110kg, a été lancé avec succès le 8

novembre 2017, par la fusée Vega du pas de tir de Kourou en Guyane. Le second a
été lancé aussi avec succès le 21 novembre 2018.

Ce problème propose d’étudier de manière simplifiée quelques aspects relatifs
au satellite de télédétection.

La première partie est notée sur 4 points, la deuxième sur 16 points.

Partie 1

Satellite dans le champ gravitationnel terrestre

1. Champ gravitationnel terrestre
On s’intéresse dans cette partir à l’analogie entre les champs, électrostatique

et gravitationnel.

1.1. Donner l'expression de la force électrostatique 72 exercée par une charge
ponctuelle q, placée au point M, sur une charge ponctuelle q, placée au point
M,. Les charges sont placées dans le vide et on note & la permittivité

électrique du vide.

Epreuve de Physique 1 1/7

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1.2. Donner l'expression de la force gravitationnelle 7, exercée par une masse
ponctuelle m, placée au point M, sur une masse ponctuelle m, placée au point

1.3. Par des analogies convenablement choisies, donner la forme du théorème de
GaAUss sous forme intégrale “version gravitation”. On illustrera l’énoncé par un
schéma et on identifiera chaque terme de l’énoncé. On rappelle le théorème de

2

1.4. On assimile la Terre à une distribution de masses sphérique homogène de
centre O, de rayon R, et de masse M, répartie avec une densité volumique p,

Gauss sous forme intégrale “version électrostatique” : Jp, En ).dS =

uniforme.
1.4.1. En utilisant symétries et invariances, montrer que le champ

gravitationnel G(M) créé par cette distribution en tout point M de l’espace
repéré par ses coordonnées sphériques (r,0,p) est donné par :

où G est la constante de gravitation universelle et M,,(r) la masse qui se

trouve à l'intérieur de la sphère de centre 0 et de rayon 7. e. est un vecteur
unitaire de la base ‏وعم‎ associée à ces coordonnées sphériques.

1.4.2. Achever la détermination de l'expression du champ gravitationnel G(M)
créé par la Terre au point M . On distinguera les deux cas : ‏ا ك7‎ etr=R,.

2. Étude de trajectoire circulaire

Un satellite (S) assimilé à un point matériel P de masse m est lancé depuis la
Terre. Après la phase de poussée très brève, on coupe les moteurs et le satellite est
alors soumis à la seule force d’attraction de la Terre.

Le référentiel géocentrique (N,), lié au centre de la Terre est supposé galiléen.
2.1. Exprimer vectoriellement la force F exercée par la Terre sur le satellite et la

représenter sur un schéma.

2.2. Justifier le caractère central du champ gravitationnel. Quelle conséquence ceci

a-t-il sur la trajectoire du satellite après sa mise sur orbite 2

2.3. Montrer que la force F dérive d’une énergie potentielle gravitationnelle E,
dont on donnera l'expression en fonction de G, M,, m et r. On prendra
l'énergie potentielle gravitationnelle nulle quand le point satellite est à l'infini.

2.4. Le satellite (S) est en orbite circulaire de centre O à l’altitude h et il effectue
un tour complet de la Terre en une durée 7.

2.4.1. Donner l'expression de l’énergie mécanique E, du satellite sur son

orbite circulaire. Montrer que le mouvement circulaire de (S) est
nécessairement uniforme.

Epreuve de Physique 1 2/7

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2.4.2. Établir l’expression littérale de la vitesse v, de (S) en fonction des
grandeurs M, , R,, h et G. Retrouver la troisième loi de KEPLER.
2.4.3. Sachant que l’altitude du satellite sur son orbite circulaire définitive est

h = 647km , calculer numériquement en minutes la période de révolution 7 du
satellite sur son orbite.

Partie 2
Satellisation et télédétection

1. Choix du lieu de décollage

On s’intéresse dans cette partie au satellite
juste avant le décollage dans le référentiel (R,) -
Le satellite, assimilé à un point matériel P de

Aze des pôles

masse m, est fixe à la surface de Terre à la / 1 Ÿ ri.
latitude À (figure 1). La Terre effectue un gp
mouvement de rotation uniforme de vitesse er =] spé

je” o
Équateur’ 5

angulaire w, dans le référentiel (N,), autour de
l'axe (Oz) qui coïncide avec l'axe joignant les
pôles Sud et Nord. Le plan (O,x,y) est le plan de
l'équateur terrestre. a
1.1. Expliquer, sans faire de calcul, pourquoi la lis
rotation de la Terre ne modifie pas Figure 1: Le point P à la
l'expression du champ  gravitationnel surface de la Terre
trouvée précédemment.
1.2. Exprimer, dans le référentiel (M,), la vitesse v, du satellite en fonction de ‏مما‎

À et w. Quelle est la valeur de cette vitesse aux pôles ? Commenter.
1.3. Déterminer l’énergie mécanique E, du satellite au point P. Pour placer le

satellite sur son orbite, il faut lui fournir l’énergie AE, = ‏.طحو م‎ Expliquer le

choix du pas de tir de Kourou en Guyane française pour le lancement du
satellite Mohammed VI-A. Estimer la valeur de la vitesse à l'équateur. Donner
le sens de lancement le plus avantageux pour le lancement.

2. Lancement du satellite

Le satellite Mohammed VI-A a été mis en orbite grâce à la fusée Vega VV11.
Cette fusée est capable de développer une force importante pendant plusieurs
minutes et ainsi vaincre le champ gravitationnel terrestre durant le décollage.

La fusée en mouvement vertical ascendant éjecte vers l’arrière des gaz
produits par réaction chimique du comburant et du combustible (figure 2). Chacun
des quatre étages se sépare de la fusée une fois son
carburant est épuisé. On s'intéresse dans cette partie à la
première phase de propulsion durant laquelle, seul le
premier étage est allumé. Les gaz sont éjectés à la vitesse

u, constante par rapport à la fusée parallèlement à la
vitesse v; de la fusée et en sens contraire de cette

Epreuve de Physique 1 3/7

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dernière. figure 2

Considérons, dans le référentiel terrestre (N,) supposé galiléen, le système
fermé (Z) constitué de la fusée chargée et du gaz éjecté. À l’instant ‏ا‎ la masse de la
fusée est la somme de trois termes : la masse m, de la fusée à vide, la masse m du

satellite et la masse mt) du carburant: m,(t)= m, +m+m,(f) . On note

m =m,(0)= m, +m+m;, M) étant la masse initiale du carburant.

On désigne par D,=- 2

›0 le débit massique, supposé constant, des gaz

brûlés et éjectés par le propulseur.
On néglige les frottements exercés par l'atmosphère sur la fusée ainsi que la

pesanteur terrestre à l’altitude h. On suppose qu’il est dû uniquement à la
gravitation.

2.1. Exprimer l'intensité du champ de pesanteur g(h)= ‏يا‎ à l'altitude 7 en

fonction de g,, R, et h.

conclure. Leges

2.4. Exprimer les quantités de mouvement P(f) et P(t+dt) Instant :t Instant : t+ dt

2.2. Montrer que : (os) | [re + dt)
80 (R,+h à A0
2.3. Le premier étage de Vega VV11 se sépare de la fusée |
à une altitude 72750: . Calculer 8000-8 et ‏ا‎ ٍِ

du système (Z) respectivement aux instants +7 et
t+dt (figure 3).

2.5. En utilisant la 2ère loi de Newton pour ce système
dans l’intervalle de temps dt, montrer que la vitesse

Figure 3 : La fusée aux
instants 2 et 1+ ‏ال‎

de la fusée vérifie l’équation différentielle suivante :
ann à

2.6. En déduire l'expression de la force de poussée F,, due à l'éjection du gaz,
subie par la fusée.

2.7. Déterminer l’intensité minimale de la force de poussée pour que la fusée
décolle à l'instant =0.

2.8. Calculer la valeur de la quantité D,u pour la fusée Vega VV11 puis conclure.
Comparer cette valeur à la force propulsive 2.10*kN donnée pour le moteur
P80 de durée 107: du premier étage. On donne : m, =137,11 .10°kg et

Epreuve de Physique 1 4/7

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2.9. Exprimer la masse de la fusée m,(t) à l'instant ‏,ا‎ en fonction de 0. m, et t.

2.10. À l'instant initial, la fusée part du sol avec une vitesse nulle ; elle se déplace
selon un axe vertical. Montrer que la vitesse de la fusée à l’instant + est
donnée par :

2.11. Sur quels paramètres peut-on agir pour avoir la vitesse de fin de propulsion
(relative à cette phase) la plus élevée possible 2
2.12. La fusée Vega VV11 dispose de quatre étages. D'un point de vue qualitatif,
quel est l’intérêt d’une fusée à plusieurs étages 2
3. Communication avec le satellite
L'atmosphère terrestre est un mélange gazeux composé principalement de
diazote et de dioxygène. Son comportement vis-à-vis des ondes électromagnétiques
peut être assimilé à celui du vide. Dans l’ionosphère située entre 100km et 800km
d'altitude, les gaz neutres sont partiellement ionisés par le rayonnement solaire si
intense, créant ainsi un plasma ionosphérique. L’ionosphère est un milieu qui
compte par unité de volume N, = N électrons libres et N, = N ions.

On se propose d’étudier la communication par ondes électromagnétiques de
pulsation ‏هم‎ entre un émetteur terrestre et le satellite. Une source émet, dans le
vide, une onde électromagnétique dont le champ électrique associé s’écrit, dans un
repère cartésien orthonormé direct :

E = E,cos(wt-kz)e: où E,, w et k sont des constantes positives.
Pour des ondes planes transversales, la relation de dispersion liant la

9

pulsation ‏م‎ de l’onde au module du vecteur d’onde k s’écrit : k’c*=w*- ®,

avec ®, = AN est une pulsation caractéristique des oscillations propres du plasma

supposé à faible pression, A étant une constante.

3.1. Préciser la direction et le sens de propagation de cette onde progressive, ainsi
que la nature de sa polarisation.

3.2. Quelle est l’unité de À ?

3.3. Donner, en le justifiant, le domaine de fréquences que l’on doit utiliser pour
les communications par ondes transverses entre le satellite et l’émetteur
terrestre. Que se passe-t-il si l'on émet une onde dont la fréquence
n’appartient pas à ce domaine ?

3.4. Exprimer la vitesse de phase v, de l’onde qui traverse le plasma. En déduire

l'indice de réfraction n, de ce milieu. Vérifier que le plasma est un milieu

dispersif.
3.5. Exprimer la vitesse de groupe v, de l'onde qui

27

traverse le plasma. Expliquer comment l'ionosphère

ralentit la propagation de l’onde de communication. | !enesphère Ho
3.6. On Sappose qu'une surface plane sépare l'air Atnihéphère
d'indice n, =1 du plasma d'indice M5 ONOZOOTITTTT IT 777 ÜT7777 7777777777
Terre

précédemment déterminé (figure 4). La source
1

Epreuve de Physique 1 5/7

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émettrice, située au niveau de la mer, émet une Figure 4
onde électromagnétique assimilée à une onde plane,

monochromatique de fréquence f› 3 ? ‏لبن‎ arrive sous incidence oblique
7

d’angle / en un point H, de l’interface atmosphère-ionosphère.

Montrer qu’à fréquence donnée, la communication terre-satellite n’est possible
que si /‹i. Exprimer l’angle limite ; en fonction des données. Que se passe-t-

il si cette dernière condition n’est pas vérifiée ? Représenter les deux
situations › et /›i, sur un schéma.

4.0 Télédétection
La télédétection (en anglais « remote sensing ») désigne l'ensemble des

techniques qui permettent, par l’acquisition d’images, d'étudier à distance des objets
ou des phénomènes (image ci-contre). Elle permet d’obtenir à distance de sur la
surface de la Terre (y compris l’atmosphère et les océans). Son processus englobe le
recueil, l’enregistrement et l’analyse d’ondes électromagnétiques émis (télédétection
passive) ou réfléchis (télédétection active) par la zone observée. Les applications de la
télédétection sont multiples : météorologie, océanographie, climatologie, géographie,
cartographie ou militaire.

4.1. Formation d’images
Dans cette partie, nous étudions la prise de photographies numériques

terrestres sur un capteur électronique photosensible par un dispositif optique

depuis le satellite de télédétection. On se place dans le cadre de l’optique
géométrique et de l’approximation de Gauss. L’espace entre la Terre et le satellite
sera considéré comme du vide pour le tracé des rayons lumineux.

4.1.1. Expliquer ce qu’est l’approximation de l’optique géométrique.

4.1.2. Quelles sont les conditions qui permettent de réaliser l’approximation de
Gauss ? Citer les conséquences de cette approximation sur le stigmatisme et
l’aplanétisme.

Le satellite, d'origine Pleiades HiRI (imageur haute résolution), porte un
télescope à grande ouverture pour la collecte d'images multispectrales avec une
grande précision de géolocalisation. On modélise ce télescope par une lentille
sphérique mince convergente () de distance focale image f'=1m limitée par un
cercle de rayon R de l’ordre du mètre. On note O le centre de la lentille. Le
grandissement de la lentille est |y|=1,31.107.

Le satellite est en orbite circulaire à une altitude h=647km. L’objet AB se
situe sur Terre à la distance h du télescope. Le point À est sur l’axe optique.

4.1.3. Justifier que les rayons lumineux provenant de l’objet sont quasi-
parallèles.

On suppose dans la suite que les rayons lumineux provenant de l’objet sont
parallèles et inclinés d’un angle ‏ه‎ =10*rad par rapport à l’axe optique du télescope.
Les images réalisées par le télescope sont recueillies sur une ‏حا‎
‎barrette linéaire constituée de N détecteurs CCD. Un détecteur, ‏جججبجح‎ Î ‏ججحجحجح‎
‎est un carré de côté ‏م13‎ (figure 5). 5

Figure 5
4.1.4. Où doit-on placer la barrette CCD ?

Epreuve de Physique 1 6/7

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4.1.5. Tracer avec soin la construction de l’image A'B' de l’objet AB à travers
(). Caractériser l’image obtenue.

4.1.6. Déterminer la résolution spatiale du télescope, définie par la dimension
du plus petit objet sur Terre détectable.

4.1.7. Le satellite Mohammed VI-A, mis en service en 2017, a une résolution
de 75cm. En supposant que le système optique reste le même que celui décrit
ci-dessus, quelle doit-être la taille des détecteurs qui forment son capteur
CCD ?

4.2. Télédétection en mode panchromatique
L’orbite du satellite est héliosynchrone, c'est-à-

dire que l’angle entre le plan de l’orbite et la direction

du Soleil est quasi-constant. Le satellite de
télédétection observe une large bande terrestre, appelé
fauchée, de plusieurs dizaines de kilomètres de large.

Les images réalisées par le satellite sont recueillies sur

la barrette CCD (figure 6). Un détecteur carré de taille

ô=13um, recueille l’information provenant d’une zone PR
terrestre carrée de taille d=10m , appelée pixel. La 71 pu

fauchée correspondant à la nêm révolution du satellite

n’est pas identique à celle de la (n-1)ère révolution.
L’orbite du satellite est quasi-polaire, inclinée de

Détecteur
Barette de ‹›
détecteurs COD‹

@D Tétescope

‎Fauchée‏ 2 و

‎A Pixel
4 10m x10m

‎Figure 6
98,0° par rapport au plan de l’équateur. Elle est décrite avec une période 7 =98min.
La zone terrestre observée évolue à chaque révolution du satellite dont le cycle
orbital est de 14,8 jours.

‎4.2.1. Expliquer le choix d’un satellite quasi-polaire.

‎4.2.2. Sachant que chaque pixel correspond à un seul détecteur, calculer la
largeur de la fauchée balayée sur Terre à chaque passage du satellite.

‎4.2.3. Pourquoi à chaque révolution du satellite, la zone terrestre observée
n’est pas la même ?

‎4.2.4. De quel angle tourne la Terre entre deux révolutions du satellite ?

‎4.2.5. De quelle distance d se déplace la fauchée au niveau de l’Équateur
entre deux révolutions du satellite 7

‎4.2.6. Quelles sont les parties du globe les plus fréquemment « couvertes » par
le satellite de télédétection au cours d’un cycle orbital ?

‎4.2.7. Tous les 14,8 jours, le satellite observe à nouveau la même région

‎terrestre. Calculer le nombre N de révolutions que doit effectuer le satellite de
télédétection pour réaliser une observation complète de la Terre. Commenter
cette valeur au regard de ce qui précède.

‎Données :
- Masse de la Terre : 1/2 6.10 ‏م1‎
‎- Rayon moyen de la Terre : R, = 6400km .

‎— Constante de gravitation universelle : G =6,67.10""m°* kgs”.

‎- Intensité du champ de pesanteur terrestre à la surface de la Terre
2 =9,81m.s7.

‎Epreuve de Physique 1 7/7

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