نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2017: الفيزياء 1 - شعبة TSI لولوج مدارس المهندسين

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Concours National Commun - Session 2017 - Filière TSI

* On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il
convient en particulier de rappeler avec précision les |références des questions

abordées.

٠ Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant
clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

Siun résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis
pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties du problème sont
relativement indépendantes entre elles.

Étude d’un corps pur diphasé en équilibre

Le but de ce problème est d’étudier quelques propriétés d’un corps pur
diphasé. Le fluide étudié est l'hexafluorure de soufre (SF).

Les différentes parties de ce problème sont largement indépendantes.

Données numériques :

* Volume massique de vapeur saturante de SF, à T, =25°C : v, =5,1Lkg"".
* Volume massique du liquide saturant de SF, à T,=25°C : v, =1,25Lkg"".
* Masse molaire de l’hexafluorure de soufre : M(SF,)=146g.mol"" .

e Caractéristiques du point critique du SF, : T.=45,5°C et P.=37,6 bar .

٠ Constante des gaz parfaits : R=8,31J.mol" K"'.

٠ Constante de Boltzmann : ‏وا‎ -1,38.10 77.7

+ Constante d’Avogadro : N, - 6602.107:

٠ lbar=10*Pa.

e Coefficient de dilatation à pression constante : a = 2 | 2 :

٠ Coefficient de compressibilité isotherme : y, =- ) ‏ا‎ :

e Relation de Clapeyron : /,=T(v,-v, ‏ص‎ :

1. Généralités sur l’équilibre liquide - vapeur d’un corps pur

1.1. Donner l’allure la plus générale du diagramme de phase P=P(T) d’un corps
pur en faisant apparaître les trois états physiques du corps, les noms des

Épreuve de Physique I 1/8

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différentes courbes et les points remarquables.

1.2. Que signifie le terme saturant ? Définir la pression de vapeur saturante. De
quel paramètre cette grandeur dépend-t-elle ? Comment varie-t-elle en fonction
de ce paramètre 7

1.3. En utilisant la relation de Clapeyron et en précisant les approximations faites,
montrer que la pression de vapeur saturante s’exprime en fonction de la

température par la relation : In(P(T))= A+ ; où A et B sont des constantes que

lon exprimera en fonction des données. En déduire une méthode pour
déterminer expérimentalement la chaleur latente de vaporisation.

1.4. Représenter les isothermes 1, T, , T. (température du point critique) et 7,

(7, ‹T,‹T. ‹T,) d’un corps pur dans le diagramme de Clapeyron P (pression) et
v (volume massique). Noter sur ce diagramme la courbe de saturation (on
précisera les deux branches). Faire apparaître le point critique, la zone où la
phase fluide hypercritique est présente, les zones de présence des phases
liquide et gaz et de coexistence des deux phases.

1.5. L’isotherme T, a-t-elle une pente nulle 2 Si non, justifier pourquoi.

1.6. Justifier la forme des isothermes en phase liquide puis en phase gaz. Quelle
est la distinction rigoureuse entre gaz et vapeur ?

2. Équation d’état d’un gaz parfait

Dans le modèle du gaz parfait, une mole d’un tel gaz occupant un volume V sous
la pression 7 et à la température T obéit à l’équation d’état donnée par : PV=RT.
2.1. Rappeler la définition d’un gaz parfait.
2.2. Déterminer les coefficients thermoélastiques ‏مه‎ Et Xrçp POUr UN gaz parfait.
2.3. En vous servant d’un schéma, décrire la détente de Joule et Gay Lussac pour
un gaz quelconque. Quelle est la grandeur conservée dans cette détente ?
Justifier.
2.4. On suppose que le gaz est parfait. Quelle autre grandeur est conservée dans la
détente de Joule et Gay Lussac ? Qu’appelle-t-on première loi de Joule ?

2.5. L'énergie interne molaire d’un gaz de capacité calorifique molaire ‏.ا‎ à pour

expression : U(T,V)= 67 - + Vo où a est une constante. Ce gaz suit-il la

première loi de Joule ? Justifier la réponse.
2.6. Dans le cadre de la théorie cinétique des gaz, on montre que la pression dans

un gaz parfait s’exprime par la relation P = : (7 ‏“يروم‎ où 177 représente le nombre

de molécules de gaz par unité de volume, m la masse d’une molécule du gaz et
u la vitesse quadratique moyenne des molécules. Retrouver l’équation d’état
d’un gaz parfait à partir de cette relation.

3. Équation d’état d’un gaz non-idéal : modélisation d’un gaz réel

3.1. Les molécules d'un gaz réel ont un volume non négligeable et, d'autre part,
elles interagissent entre elles. En effet, lorsque la densité moléculaire augmente

Épreuve de Physique I 2/8

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et que la distance intermoléculaire diminue, il est impossible de négliger les
interactions entre les molécules : le modèle du gaz parfait est inadapté. Pour
expliquer les propriétés des fluides réels, il est donc essentiel de tenir compte
des forces intermoléculaires : le physicien J. Van der Waals, prix Nobel de
Physique en 1910, a établi en 1873 leur origine électromagnétique. Dans le cas
d’un gaz suffisamment dilué, il est parfois fait usage en physique statistique
d’une énergie potentielle intermoléculaire FE,(r) de type Lennard-Jones pour

modéliser les interactions intermoléculaires :

représente la distance entre deux molécules M, et M, supposées

ponctuelles. E, et ‏و‎ sont deux constantes positives.

3.1.1. Tracer l’allure de E,(r) en fonction de la distance r. Donner les positions

remarquables (minimum, valeurs nulles et limites).
3.1.2. Quelle est l'origine physique des deux termes de E,(r) ?

3.1.3. Quelle est la position d'équilibre r=r, ? Exprimer l'énergie potentielle E,

correspondant à cette position.
3.1.4. Que se passe-t-il de part et d’autre de la position d’équilibre r=r, ? Et
quel est le terme de E,(r) qui intervient ?

3.1.5. Donner l'expression de la force d’interaction F=Fe, ( ‏واد‎ vs
i M,M,

exercée par la molécule M, sur l’autre molécule M,. Préciser, en le justifiant,
les domaines de distances où la force d’interaction F est attractive, répulsive ou

nulle.

3.1.6. Représenter la courbe de la force correspondante F en fonction de r. À
quelle distance la force attractive est-elle maximum 2

3.1.7. La portée de l'interaction est inférieure au nanomètre. Les constantes

E, et n d’un gaz valent respectivement ‏ورلا‎ = 6,4.10"J et 1, =0,34nm . Jusqu’à
quelle pression est-il légitime de considérer le comportement de ce gaz comme
celui d’un gaz parfait à 293K ?

3.2. En prenant en compte les interactions intermoléculaires, Van der Waals a

proposé l’équation d’état suivante pour une mole : (P+ FL -b)=RT, où a et b

sont deux constantes dépendant du gaz considéré, et auxquelles on peut avoir
accès expérimentalement. Cette équation décrit parfaitement les états gazeux et
liquide de la matière.

3.2.1. Donner une interprétation microscopique des termes correctifs de
l’équation d’état d’un gaz réel de Van der Waals par rapport au modèle du gaz
parfait.

3.2.2. Justifier que l’on peut estimer la constante b en fonction du diamètre

Épreuve de Physique I 3/8

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moléculaire d par : b=N,d°.

3.2.3. Quelles sont les unités de a et b dans le système international ? Quelle
différence y a t-il entre a et b d’une part et R de l’autre ?
3.2.4. Les coefficients a et b sont-ils intensifs ou extensifs ? En utilisant les

propriétés d'’intensivité ou d'’extensivité des grandeurs intervenant dans
l'équation de Van der Waals, établir l’équation correspondante relative à ‏م‎
‎moles reliant le volume V, la pression 7 et la température T.

3.2.5. Montrer que le gaz de Van der Waals obéit au comportement limite
commun à tous les gaz appelé gaz parfait.
3.2.6. Déterminer le coefficient de compressibilité isotherme x%,çyy EN fonction

des variables indépendantes 1 et V. Retrouver l’expression ‏.و‎ dans le cas
d’un gaz parfait. Comparer les compressibilités d’un gaz de Van der Waals et
d’un gaz parfait.

3.2.7. Au point critique, l’isotherme critique de Van der Waals subit une

Déterminer les expressions du volume molaire ‏,ا‎ de la température T. et de la

inflexion à tangente nulle, ce qui se traduit par : 5) =0 ai 7 | =0.

pression 7 du point critique C en fonction de a, bet R.

3.2.8. Les caractéristiques du point critique dépendent-elles de la masse du
fluide ?
3.2.9. Exprimer les constantes de Van der Waals a et b en fonction de 71 et

P.. Calculer numériquement a et b pour l’hexafluorure de soufre.

3.2.10. En utilisant les résultats des questions précédentes, estimer
numériquement le diamètre d,, d’une molécule d’hexafluorure de soufre.

3.2.11. L'énergie interne d’un gaz de Van der Waals de capacité calorifique
molaire Cm @ pour expression : U(T,V)=nC,ynt ‏وخ‎ U,. Ce gaz suit-il la
première loi de Joule ? Déduire l’énergie interne d’un gaz parfait.

3.2.12. On pose 0= = ,v= = et ‏دج‎ , . Montrer que l’équation d’état de Van der
Waals « adimensionnée » liant 0, v et w est universelle, c’est à dire qu’elle ne
fait plus intervenir aucune constante dépendant du gaz.

4. Application : étude expérimentale de l’équilibre SF, == SF

On dispose d'une éprouvette graduée thermostatée en verre épais dans
laquelle se trouve une masse m, d’hexafluorure de soufre SF, dont la température T

est régulée au moyen d'une circulation d'eau (figure 1). Un volant permet de régler le
volume V occupé par la quantité fixe de SF, emprisonnée.

Épreuve de Physique I 4/8

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Dans l’état initial (point 7), le fluide SF, est gazeux et

on l’assimile à un gaz parfait. Son volume est SF, gazeux
V,=4,0mL, sa pression est P, =17bar et sa température
est 7-2550. À cette température, la pression de vapeur
saturante de SF est P,=26baret sa chaleur latente de SF. tiquide

vaporisation est : /, =57,4kJ kg".

4.1. Calculer la masse m, de fluide contenu dans mercure liquide
l’éprouvette. En déduire le volume massique initial
v, du fluide.

figure 1 : éprouvette
4.2. Compression isotherme du fluide

À l’aide d’un piston, on comprime très lentement le gaz jusqu’à l’état final
(point F). Le volume du gaz dans cet état est V,=0,28mL et sa pression est

‎La température est maintenue constante égale à 7 =25°C grâce à la‏ . 32,5007 - ما

‎cuve thermostatée.

‎4.2.1. Calculer le volume massique final v, du fluide.

‎4.2.2. Compte tenu des valeurs numériques, décrire qualitativement l’évolution
du fluide.

‎4.2.3. Calculer le volume V, à partir duquel le fluide commence à se liquéfier
(point A).

‎4.2.4. Calculer le volume V, à partir duquel le fluide est totalement liquéfié
(point B).

‎4.2.5. Comment va varier le volume du fluide si l’on continue à le comprimer ?
Pourquoi ?

‎4.2.6. On s’intéresse au point M situé sur l’isotherme 7 =25°C entre les deux

‎points À et B. Le volume correspondant à cet état est V, =0,6mL. Quel est l’état
physique du fluide au point M ? Déterminer la proportion en masse de vapeur
ou titre massique x, ?

‎4.2.7. Représenter la transformation isotherme du fluide étudié dans le
diagramme de Clapeyron. Noter sur ce diagramme la courbe de saturation. On
y ajoutera les notations et les légendes qui conviennent et on fera apparaître
les points /, A, M, B et F.

‎4.2.8. Représenter la transformation du corps pur SF, de l’état 7 à l’état F
dans le diagramme de phase de la question 1.1. On y placera dessus les points
I, A, M, BetF.

‎4.2.9. Le tableau suivant donne le relevé expérimental de la pression de vapeur
saturante en fonction de la température :

‏كا ل ا كا اج ا عد ‎EN‏ ا ام ا ا

‎En supposant la TEE latente de EEE ‏ل‎ de la

‎Épreuve de Physique I 5/8

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température, déterminer sa valeur numérique. Commenter l’erreur relative
commise.

4.3. Bilans énergétique et entropique

On suppose la compression du fluide isotherme et réversible. D’autre part, on
considère le fluide SF, comme un gaz parfait à l’état gazeux.

4.3.1. Calculer la chaleur Q, et le travail W reçus par le fluide (échangés avec
le thermostat) pour passer du point / au point À.

4.3.2. Calculer la chaleur Q, et le travail W, reçus par le fluide (échangés avec
le thermostat) pour passer du point A au point M 2

4.3.3. En déduire la variation d’énergie interne AU, du fluide lors de la
transformation du point / au point M .

m du fluide lors de la transformation

du point / au point M . Préciser les entropies créée et échangée au cours de
cette transformation.

4.3.4. Calculer la variation d’entropie AS

5. Étude interférométrique de l’hexafluorure de soufre gazeux

On propose dans cette partie d’étudier, par interférométrie, le comportement de

l’hexafluorure de soufre gazeux.

On considère un interféromètre de Michelson idéal (figure 2) constitué par :

- une lame semi-réfléchissante, non absorbante, appelée séparatrice (S,),
d’épaisseur nulle, dont les facteurs de transmission et de réflexion valent 0,5
et n’introduisant aucun déphasage ;

- deux miroirs plans, (M,) dit miroir fixe de centre O, et (M,) dit miroir mobile
de centre O,.

La lame (S,), est inclinée à 45° par rapport aux normales à (M,) et (M,). Les

miroirs (M,) et (M,) sont perpendiculaires entre eux et respectivement orthogonaux
aux axes OO, et OO, appelés bras de l’interféromètre. On pose OO, =d et OO,=d+e.

On suppose que l’interféromètre de Michelson est plongé dans l’air d’indice de
réfraction n,=1.

L’interféromètre est éclairé par une source étendue S, monochromatique de
longueur d’onde dans le vide À =546,Inm . On suppose en outre que les éclairements

dus à chacune des deux ondes qui émergent de l'interféromètre sont égaux. On
observe la figure d’interférence sur un écran parallèle au miroir fixe et placé dans le
plan focal image d’une lentille convergente (L) de distance focale f'=50cm.
5.1. Justifier que la source est spatialement incohérente et temporellement
cohérente.
5.2. Initialement, OO,=00,=d . Quel est l’aspect de l’écran d’observation ?

Expliquer comment repérer expérimentalement la position correspondant à
cette situation.
5.3. On déplace le miroir mobile (M,) parallèlement au bras OO, de e (e›0). On

Épreuve de Physique I 6/8

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considère un rayon lumineux issu de la source S, arrivant sous une incidence
d’angle / sur les miroirs.

5.3.1. Dessiner le schéma équivalent du montage en lame d’air à faces
parallèles en faisant apparaître les deux miroirs, l’épaisseur de la lame d’air
ainsi qu’un rayon incident avec un angle quelconque / et les deux rayons
émergents (l) et (2) auxquels il donne naissance. Justifier que les franges
d’interférences sont des anneaux. Où sont-elles situées ? Pourquoi utilise-t-on
la lentille (L) ?

5.3.2. On se place au voisinage de l'incidence normale. Établir l’expression de
l’ordre d’interférence p(M) en fonction de l’angle d’incidence / et des autres
données.

5.3.3. On note /, l'intensité maximale au point M . Montrer que l’intensité

lumineuse /(M) au foyer image F' de la lentille est donnée par:

I(M) = =( + cos(2p,)) . Donner l’expression de p,, ordre d’interférence en F'.

Représenter l’allure de l’intensité 7/(M) en fonction de l’épaisseur e.

5.4. L’interféromètre est toujours réglé en lame d’air à faces parallèles. On place
dans le bras OO, une cellule cylindrique de longueur /, remplie d’air. L’axe de
la cellule est parallèle au bras de l’interféromètre de Michelson. Le miroir
mobile (M,) est fixé de façon à avoir une différence de marche nulle en F'. On
néglige les réflexions sur les deux faces de la cellule. On vide la cellule de l’air
qu’elle contenait. On la remplit ensuite de manière quasi-statique et isotherme
par le gaz hexafluorure de soufre d'indice n,, à la température T=20°C. Un
manomètre mesure la pression P du gaz. On place un détecteur de lumière
quasi ponctuel au foyer image F' de la lentille convergente en sortie de
l'interféromètre.

La loi de Gladstone donne l'indice de réfraction n d’un gaz de masse

volumique ‏م‎ par la relation : ——=C, où C est une constante.

5.4.1. Le détecteur de lumière mesure le défilement de N franges brillantes
pour la pression 7 . Dans quel sens défilent-elles ?

5.4.2. Déterminer la variation Ap, de l’ordre p,. En-déduire le nombre de
franges N qui ont défilé en fonction de n,, , À et |.

5.4.3. Montrer que N est donné par la relation : N = ap0-4- ;

5.4.4. On note p, la masse volumique du gaz et N, le nombre de franges
brillantes qui ont défilé à la pression P,. On définit la grandeur y= 5 BL.
5.4.4.1. Exprimer y en fonction de P, N, P, et N,.
5.4.4.2. Que vaut y si l’on suppose que l’hexafluorure de soufre est un gaz
parfait 2
5.4.4.3. La mesure expérimentale de N en fonction de P donne : y=a'-b'P,

Épreuve de Physique I 7/8

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avec a'=1,01 et b'=1,40.107Pa" , la pression P étant exprimée en pascal.
Préciser, en le justifiant, si l’hexafluorure de soufre est un gaz parfait.
5.4.4.4. Montrer que le coefficient de compressibilité isotherme x, d’un gaz

s’écrit sous la forme : x, = UE . Montrer que x, peut aussi s’écrire en
fonction de P, y et A ‘

5.4.4.5. Montrer finalement que x, est donné par : %,=—————

. Calculer la

valeur numérique de x, pour P=8,15bar.

Source x
étendue (Sp)in

figure 2

Épreuve de Physique I 8/8

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