نموذج المباراة الوطنية المشتركة CNC 2015: الفيزياء 1 - شعبة TSI لولوج مدارس المهندسين

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ROYAUME DU MAROC

Ministère de l’Enseignement Supérieur,
de la Formation des Cadres et de la Recherche Scientifique

Présidence du Concours National Commun 2015
Ecole Nationale Supérieure d’Electricité et de Mécanique

CONCOURS NATIONAL COMMUN
d’Admission dans les Établissements de Formation
d’Ingénieurs et Établissements Assimilés

Edition 2015

ÉPREUVE DE PHYSIQUE I

Filière TSI

Durée 4 heures

Cette épreuve comporte 9 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L’usage de la calculatrice est autorisé.

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e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il
convient en particulier de rappeler avec précision les [références | des questions abor-
dées.

e Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement
les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

e Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

٠» Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis
pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties du problème sont relativement
indépendantes entre elles.

QUELQUES ASPECTS SUR L'UTILISATION DE VÉHICULES AUTOMOBILES

Cette épreuve est formée de plusieurs parties largement indépendantes. Son objet est
d'étudier quelques aspects relatifs l’utilisation des véhicules automobiles. La première
partie aborde le contrôle des pneus, des roues et de la suspension d’une voiture. La
deuxième et la troisième parties abordent des aspects mécaniques du mouvement d’une
voiture ainsi que quelques aspects relatifs au fléau des accidents de la route. Les causes
des accidents relèvent de l’état des véhicules, de l’état des routes, mais aussi en grande
partie de l'erreur humaine. Il s’agit en particulier du non respect des recommandations
de la sécurité routière : usage des ceintures et airbags de sécurité, respect de la distance
réglementaire entre véhicules ; mais aussi d'éviter l'excès de vitesse. Enfin la dernière
partie étudie l’utilisation de radars pour contrôler la vitesse des véhicules.

Données

- Tous les gaz considérés sont supposés parfaits.

— Constante des gaz parfaits : R = 8,31 SI.

— Correspondance des températures : T(K) = t(°C) + 273.

- 1bar =1,01.10°Pa.

— Champ de pesanteur (supposé uniforme) : ‏ع‎ = 9,8 171.872.

— Vitesse de la lumière : c = 3.10$ 1718-1

Épreuve de Physique I 179 Tournez la page S.V.P

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1 Contrôle de la suspension et des roues d’une voiture

La vérification et les réglages du bon fonctionnement de la suspension et des roues
d’un véhicule sont essentiels pour la sécurité et le confort des passagers. On considère
une voiture dont la masse sans les quatre roues est M = 1100 kg. La masse d’une roue,
assimilée à un cylindre de diamètre d = 60 cm, est m = 18 kg; le diamètre de la jante
(métallique) vaut d' = 40 cm.

1.1. Suspension d’une voiture
On suppose que la masse M est équirépartie sur chacun des quatre amortisseurs
identiques. On modélise chaque amortisseur à l'aide d’un ressort de longueur à vide
lo et de raideur k en parallèle avec un amortisseur exerçant une force de frottement
visqueux E = —h.', où h est une constante positive et 7 la vitesse verticale du
châssis. La voiture est à l'arrêt et on étudie les mouvements verticaux relativement
à l'axe Y'OY d’un référentiel galiléen. (figure 1).

Chassis

Amortisseur

Roue

Figure 1

1.1.1. Lors d’un changement de roue, à l’aide d’un cric, on soulève la voiture d’une
hauteur minimale de 20 cm de telle sorte que cette roue ne touche pas le sol.
On observe alors que la distance entre le centre O; de la roue et le point A de
fixation de l'amortisseur au châssis est OjA = 40 cm. Déterminer les caractéris-
tiques ( k, lo) du ressort.

1.1.2. Lorsque la voiture repose sur le sol, on enfonce un amortisseur (donc le point
A) d’une distance y, et on l'abandonne.
Quelle valeur faut-il donner au coefficient h, pour avoir le retour le plus rapide
à l'équilibre ? Déterminez, alors, la forme de l'équation horaire y(t) du point A
solidaire du châssis.

1.2. Équilibrage statique d’une roue
1.2.1. La nature des pneus influe sur les performances d’une voiture. Citer un avan-
tage et un inconvénient d’un pneu dont le contact avec le sol est large.

1.2.2. Un mécanicien travaille sur une roue de la voiture et la fait tourner dans le
plan vertical autour de son axe O;Z (horizontal) en lui communiquant un vec-
teur rotation initial ‏.لوه = )0 = )له‎ Il constate alors que la roue s'arrête
toujours dans la même position. Expliquer ce qui se passe. Que peut-on dire de
la position du centre de masse G; de la roue à ce moment là ?

1.2.3. Le mécanicien décide donc d’équilibrer la roue, en plaçant une masse de plomb
sur la circonférence de la jante. Comment repère-t-il le point M où il doit placer
le plomb ?

Épreuve de Physique I 2/9 Tournez la page S.V.P

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1.2.4. Il détermine expérimentalement qu'il doit fixer au point M de la jante la masse
mp = 20 ‏ع‎ (d'un plomb). Comment trouve-t-il cette valeur ?

1.2.5. A quelle distance ‏م‎ de l'axe O;Z se trouvait le centre de masse G; de la roue ?

1.3. Équilibrage statique et dynamique
Considérons la roue de voiture, de masse m et de centre de masse G;. Elle est en
rotation autour de l'axe O;Z du référentiel fixe R (O;XYZ) galiléen, ‏إل‎ étant le centre
géométrique de la roue. On considère un référentiel R'(O;X"Y'Z") lié à la roue, avec
O; et O; confondus (Figure 2). Dans la pratique, on réalise simultanément l’équili-
brage statique et dynamique de cette roue, à l'aide de deux masselottes de masses
my et mp placées en deux points M, et M2 de coordonnées (x,y1,7}) et (x5,Y5, 25).
Les actions mécaniques qui s’exercent sur la roue sont :
- Les liaisons de l'axe (ou moyeu) sur la roue sont caractérisées par une résultante
R;, donc la roue exerce sur l'axe la réaction ‏أل‎ = - ٠
— Les autres forces de résultante 1 .
Le barycentre G; de la roue est repéré dans le référentiel R’ par G;(x; = p, Z;) et le

20
vecteur rotation de la roue par rapport au référentiel 32 ‏أي‎ d = 7 17

Figure 2

1.3.1. Exprimer le vecteur accélération du barycentre G; en coordonnées cylindriques
dans le référentiel HR.

1.3.2. Appliquer le théorème de la résultante cinétique à la roue et en déduire les com-
posantes de la réaction de la roue sur l'axe. Expliquer comment le mouvement
de la roue contribue à l'usure de l'axe (et des roulements).

1.3.3. Considérons une voiture qui roule à 120 km.h”* (sans glisser). Calculer la force
radiale (latérale) 06 au mouvement de la roue sur l'axe. On donne ‏م‎ = 0,22mm.

1.3.4. Déterminer alors la fréquence des vibrations dûes à cet effort latéral.

1.3.5. Pour réaliser l'équilibrage statique, on place les deux masselottes de façon à ce
que le nouveau centre de masse de la roue se trouve sur l'axe O;Z. Quelles sont
les relations vérifiées par les masses et les coordonnées des deux masselottes ?

1.3.6. Définir une liaison pivot parfaite.

Épreuve de Physique I 3/9 Tournez la page S.V.P

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1.3.7. Pour réaliser l’équilibrage dynamique, le vecteur moment cinétique de la roue
doit être parallèle à son vecteur rotation. On montre, et on l'admettra, que les
positions des deux masselottes vérifient le système suivant :

J + 1111.11.21 + M2.45.25 = 0
avecI1 #0,et] #0.
Montrer que les masselottes sont dans des plans différents, perpendiculaires à
l'axe O;Z.
1.4. Gonflage des pneus d’une voiture
Une chambre à air d’un pneu d'automobile est gonflée à la pression P, = 2bars, l'air
étant à la température t, = 27°C. On suppose que le volume intérieur à la chambre
à air reste à peu près constant.
1.41. Après avoir roulé sur autoroute, la température dans la chambre à air atteint la
valeur ‏وا‎ = 57°C. Exprimer la pression P, de l'air dans le pneu et la calculer sa
valeur numérique.

1.42. À ce moment, le conducteur vérifie la pression des pneus et, la trouvant exces-
sive, la ramène à P, = 2bar, sans que l'air ait eu le temps de refroidir. Quelle
sera la pression Pj des pneus quand la température sera revenue à ‏رغ‎ = 27°C?

1.43. Si le conducteur n'avait pas modifié la pression du pneu et sachant que la pres-
sion maximale admissible dans le pneu est Prax = 6bars, à quelle température
Émax le pneu risque-t-il d’exploser ?

2 Étude du mouvement d’une voiture

Pour étudier le mouvement d’une voiture on peut la modéliser, sommairement,
comme un système () formé d’un ensemble de solides : (EX) = (So) U(S1) U(S2) U
(S3) U (S4) (Figure 3).

(So) : représente la carrosserie schématisée comme un solide de forme parallélépipé-
dique et de masse M.

(S;) (1 › 1 › 4) : représente la roue i, les quatre roues de la voiture sont supposées
toutes identiques. Chaque roue 5; est assimilée à un cylindre solide homogène de rayon
r= 0,3 m, de centre G;, de masse m = 18 kg et de moment d'inertie autour de l'axe du
cylindre Ag, : J = 1072

La masse totale de la voiture avec sa charge (passagers et bagages) est M’ = ‏م1400‎
‎Son centre de masse est noté G.

Tous les mouvements sont étudiés par rapport au référentiel R(OXYZ) galiléen lié
au sol et muni de la base cartésienne { 1 +, 7 7 21. On négligera la résistance de l'air.
Les liaisons roues-carrosserie sont parfaites.

2.1. Préliminaire

‎On considère l’une des roues (S;). Exprimer le vecteur position OG; et le vec-‏ .2.1.1
‎teur vitesse 7 j du barycentre G; dans la base cartésienne (Figure 3).‏

2.1.2. Donner l'expression du vecteur vitesse de glissement 7, du solide (S;) par
rapport au sol noté (S”).

Soit ‏له‎ = w ll le vecteur rotation de la roue (to = 9 ). On suppose que la roue
roule sans glisser sur le sol.

2.1.3. Donner alors la relation entre la vitesse linéaire v; et la vitesse de rotation w

Épreuve de Physique I 4/9 Tournez la page S.V.P

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Figure 3

2.1.4. Déterminer l'expression de l'énergie cinétique de la voiture (Z) par rapport au
référentiel N en fonction de m, M’ et 7;

2.2. On s'intéresse maintenant au mouvement de la voiture, lors duquel son barycentre
G se déplace dans le plan vertical OXY avec une vitesse 7 = vit, et une accéléra-
tion 7 = a, Les roues avant (1) et (2) sont motrices.

On suppose que le sol exerce sur une roue (S;) la réaction R ; = T; ÜT+ N; 17

- 171/7 : est la force de frottement de glissement.

— N;. TN : est la réaction normale.

On désigne par f le coefficient de frottement roue-sol (on confondra coefficient sta-
tique et coefficient dynamique). Dans la suite, on supposera que les roues roulent
sans glisser sur le sol sauf lors du freinage.

2.2.1. La figure 4 donne les variations du module de la vitesse au cours du temps.

20

0 t,=8 b 5 we)

Figure 4

Donner en fonction de t», ‏وا‎ et t les expressions de la vitesse v(t) et de l’accélé-
ration a(t) dans les trois intervalles de temps.

2.2.2. Pendant la phase d’accélération, le moteur exerce sur chacune des roues avant

le couple 1 = 177. Déterminer l'expression P,, de la puissance développée
par le moteur en fonction de r, v ‏ا‎

2.2.3. En déduire l'expression de l'accélération a, pendant cette première phase du
mouvement, en fonction de r m, M’et I.

2.2.4. Entre les instants ty et ts, le véhicule freine et les roues glissent sur le sol. On
suppose que le moteur n’exerce aucun effort. Déterminer la relation entre la
distance de freinage d ; et le coefficient de frottement f.

2.2.5. Citer au moins deux facteurs qui diminueraient la valeur du coefficient de frot-
tement f (roue-route).

3 Quelques situations à risques

3.1. Mouvement dans un virage

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Lorsque les véhicules abordent un virage avec une vitesse non convenable, ils peuvent
déraper (se déplacer latéralement) et sortir ainsi de leur route; avec risque d’ac-
cident. On étudie le mouvement d’une voiture lors d’un virage ayant la forme
d’un quart de cercle de rayon R et de centre C. Le barycentre G décrit un mouve-
ment circulaire uniforme, situé dans un plan horizontal, avec une vitesse de module
constant v. On désigne par M' la masse de la voiture.

On modélise la réaction du sol par une réaction R’ susceptible de faire déraper
les roues et donc la voiture latéralement selon l'axe CG, ce glissement latéral est
caractérisé par le coefficient de froitement f’. L'expression de la réaction du sol peut
s’écrire sous la forme :R" = 1 ‏رركي ال + وكيا‎ avec :
— T'u' ‏م‎ représente la force de frottement de glissement latéral, elle est colinéaire à
la vitesse de glissement latéral selon l’axe CG,
— N'u' ny est orthogonale à la force de frottement, et au plan de la route.
3.1.1. Comment peut-on justifier, simplement, que ‏ا‎ # f pour une roue ?
3.1.2. On suppose que le virage est situé dans un plan horizontal (// XOZ). Rappeler
l'expression de l'accélération dans la base de Frenet ( 1 4, Un, Up = 1 Un).
3.1.3. Montrer que pour éviter le dérapage, la vitesse de la voiture ne doit pas dépas-
ser une valeur limite : © › ٠
Donner l'expression de cette vitesse limite en fonction de R, g et f’. Faire l’ap-
plication numérique pour R = 20 m et f'=0,8.
3.1.4. On suppose maintenant que la route du virage est inclinée et forme avec le plan
horizontal XOZ un angle ‏نه‎

Figure 5

3.1.4.1. Donner les expressions des deux composantes T” et N’ de la réaction en
fonction de R, ‏رع‎ M’, ‏ره‎ et a.

3.1.4.2. Déterminer l'expression de la vitesse ‏ود‎ pour laquelle la réaction est ortho-
gonale à la route.

3.1.4.3. On suppose que la voiture aborde le virage avec une vitesse v telle que
v › 0. Montrer qu'il n’y aura pas de dérapage si v › Uyin et exprimer la
valeur minimale ‏رمه‎ de la vitesse en fonction de R, ‏ا رع‎ et ‏.د‎ Commenter.

3.1.4.4. On suppose maintenant que la voiture aborde le virage avec une vitesse v
qui vérifie la condition : v › ver. Montrer qu’il n’y aura pas de dérapage si
VU › Umax €t exprimer la valeur maximale ‏ووه‎ de la vitesse en fonction de
R, g, f’ et «œ. Commenter.

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3.2. Étude d’un accident entre deux véhicules

Sur une route rectiligne parallèle à OX, on considère une voiture qui se déplace à
une vitesse constante vo derrière un camion qui roule dans le même couloir, et dans
le même sens à la vitesse constante ‏.م10 = ؤت‎
A un instant t = 0, pris comme origine des temps, le conducteur du camion freine
brusquement (les feux de stop s’allument à l'arrière du camion) et le conducteur
de la voiture freine à un instant ‏ا‎ = t,. On prendra la position de la voiture à t = 0
comme origine des espaces et on note D la distance entre le devant de la voiture et
l'arrière du camion.
Dés l'instant du freinage pour chaque véhicule, les roues glissent sur la route avec
un coefficient de frottement f qu’on supposera identique pour toutes les roues des
deux véhicules. On supposera également que les moteurs n’exercent plus d'efforts
sur les deux véhicules. On s'intéresse aux mouvements des deux véhicules entre
leur freinage et leur immobilisation.
On donne : la masse de la voiture M’ = 1400kg, D = 35 m, vo = 90km.h”!, £ = 0,6 et

3.2.1. On suppose ici que le conducteur de la voiture freine au même instant que le

conducteur du camion : t, = 0.
3.2.1.1. Déterminer les expressions des accélérations a, et a respectives de la voi-
ture et du camion.

3.2.1.2. On désigne par d; et ‏و4‎ les distances d'arrêt pour la voiture et pour le ca-
mion respectivement. Montrer, en le justifiant, qu’ il n’y a pas d'accident.

3.2.1.3. En réalité on doit tenir compte du facteur humain relatif au temps de ré-
flexe, c’est à dire que le conducteur de la voiture freine après le conducteur
du camion avec un retard ‏.ا‎ Donner l'expression de la valeur maximale
t,m de ce retard pour que l'accident soit juste évité.
Quelles autres précautions permettraient au conducteur de la voiture de
diminuer le risque d'accident.

3.2.2. On suppose que le conducteur de la voiture freine à l'instant t, = 2 trm.

3.2.2.1. Donner alors l'expression de la vitesse ‏ون‎ de la voiture au moment du choc
en fonction des données vy, D, ‏رع‎ f, 41 et 42.
Au moment du choc, le camion est supposé immobile. On suppose que
les deux véhicules restent accolés après le choc et on suppose le système
voiture-camion, noté (E/), comme pseudo-isolé pendant la très courte du-
rée du choc. Entre l'instant du choc et l'instant d'immobilisation, ce sys-
tème parcourt la distance da pendant une durée 1

3.2.2.2. En appliquant la deuxième loi de Newton, exprimer la vitesse v/, de la voi-
ture (donc de l’ensemble) juste après le choc en fonction de v, sachant que
la masse du camion est Me = 97

3.2.2.3. On suppose que le système (X') glisse sur la route selon un mouvement
uniformément retardé avec le coefficient de frottement de glissement f.
Déterminer l'expression de la durée 1 avant l'immobilisation. Faire l’appli-
cation numérique si ‏وه‎ =8 11.5 1

3.2.3. Effets d’un accident sur les usagers de véhicules
Les voitures modernes sont équipées de ceintures de sécurité qui retiennent les
passagers sur leurs sièges afin de diminuer l'impact des accidents.

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3.2.3.1. On suppose ici que lors du choc, le conducteur est seulement retenu par
la ceinture de sécurité. Déterminer l'expression du module 7 de la force
moyenne exercée par la ceinture sur le conducteur, durant la durée T, en
fonction des données.

3.2.3.2. Faire l'application numérique sachant que le conducteur a une masse 1112-0
kg. Commenter ce résultat sachant que l'effet de cette force sur le thorax,
est critique au dessus de 800 daN pour une personne jeune, et de 400 daN
pour une personne âgée.

3.2.3.3. Au moment du choc, le passager à côté du conducteur n'avait pas mis sa
ceinture de sécurité. Sa tête entre en choc avec le pare-brise pendant une
durée T = 6ms au bout de laquelle ce dernier se brise. La tête de ce passager
a une masse my;=3, 6 kg et la surface de contact entre la tête et le pare-brise
est s= 6 cm”. Estimer la pression moyenne exercée par le pare-brise sur la
tête de ce passager.

3.2.3.4. Le passager derrière le conducteur n'ayant pas de ceinture de sécurité,
va heurter le siège du conducteur. Déterminer le module F3; de la force
moyenne que ce passager exerce sur ce siège, sachant que sa masse vaut

Se. Commenter.
Les ceintures de sécurité restent moins efficaces lors d'accidents à des vitesses
élevées. Les organes des passagers sont projetés contre la cage thoracique et la
paroi abdominale et le cerveau risque de s’écraser contre le crâne, entraînant
éventuellement une paralysie à vie. En plus des ceintures de sécurité, les voi-
tures modernes sont équipées de systèmes d'amortissement appelés airbags.
Un airbag est un sac souple qui se gonfle très rapidement, au moment de l’ac-
cident, par un gaz produit par décomposition d’une poudre solide (azoture de
sodium). Le déclenchement de ce processus est assuré par un capteur de décé-

lération du véhicule.

3.2.4. On suppose que l’airbag est déclenché et se remplit instantanément de gaz.
L'airbag est assimilé à un cylindre en nylon de rayon r, = 20 cm et de hauteur h,
= 50 cm. On supposera que la température du véhicule reste constante, T=300K,
durant l'accident.

3.2.4.1. L'habitacle de la voiture est supposé étanche et a un volume intérieur de
V;= 4 113. Sachant que la pression initiale est P=10°Pa, déterminer l’aug-
mentation de pression p(M, t) (surpression) dans l’intérieur de la voiture.

3.2.4.2. Les sons perçus par l'oreille sont des ondes acoustiques où la grandeur
ondulatoire est la surpression p(M, t).
La surpression maximale supportée par l'oreille humaine (seuil de dou-
leur) est de 20Pa. Conclure sur le son suivant l'ouverture de l’airbag. Com-
menter.

4 Utilisation de radars pour mesurer des vitesses

L'excès de vitesse est l’une des plus importantes causes d'accidents mortels. Pour
contrôler et sanctionner ces excès, les agents de contrôle routier utilisent un radar. Cet
appareil est formé d’une source fixe S qui émet des ondes électromagnétiques de fré-
quence v; ces ondes seront réfléchies par le véhicule puis captées par le radar. Leur
fréquence sera alors ‏أب‎ : c’est l'effet Doppler.

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4.1. Mesure de la vitesse d’un véhicule par un radar
Considérons une source S (radar) fixe qui émet des ondes électromagnétiques de
fréquence v = 5 GHz, ces ondes se propagent dans l’air à la célérité c. On prendra
le point 5 confondu avec l’origine O des espaces et on notera M la position à l’ins-
tant t du véhicule contrôlé. On considère que la trajectoire du véhicule est rectiligne
suivant l’axe OX, avec une vitesse constante © .

Figure 6

4.1.1. À un instant t = 0, la voiture se trouve à la distance dy de la source S, et à cet
instant, S émet un premier signal qui arrive sur la voiture à l'instant ‏؛‎ = to, puis
se réfléchi vers S. Etablir l'expression de to.

4.1.2. Établir l'expression de l'instant ‏ا‎ d'arrivée du signal réfléchi en S.

4.1.3. À l'instant t =T, la voiture est en M, et à cet instant la source émet un deuxième
signal. Ce dernier atteint la voiture à l'instant + = ta puis se réfléchi. Établir
l'expression de l'instant 2.

4.1.4. Établir l'expression de l'instant t3 d'arrivée du deuxième signal réfléchi en S.

4.1.5. Établir l'expression de la période 1“ qui sépare l’arrivée en S des deux signaux
réfléchis (successifs). En déduire l'expression de la fréquence v’ des signaux
réfléchis.

Comparer T à T’ et commenter.

4.1.6. Soit v la vitesse du véhicule contrôlé. Déterminer la relation entre v et l'écart

ôv = v' — v entre les deux fréquences.

4.1.7. On donne dv = 972Hz, calculer la valeur v de la vitesse du véhicule et com-
menter sachant que la vitesse maximale autorisée est de 80 101.171

4.1.8. Donner d’autres exemples d'application de l'effet Doppler dans d’autres do-
maines.

4.2. Principe de détection par le radar

4.2.1. L'air est assimilé au vide. On suppose que le radar émet une onde électroma-
gnétique plane progressive selon 17 ,, polarisée selon 7 sinusoïdale de fré-

quence v et d'amplitude Ep. Donner l'expression du champ électrique 12 (M,t)
associé à cette onde.

‎Donner l'expression du champ magnétique B ;(M, t) de cette onde.‏ .4.2.2

4.2.3. Justifier qualitativement l'existence d’une onde réfléchie par le véhicule contrôlé ;
celui-ci est assimilé à un conducteur parfait.

4.2.4. L'onde réfléchie est détectée par le radar à l’aide d’un cadre conducteur grâce
au phénomène d'induction électromagnétique. Écrire la loi de Faraday qui donne
la force électromotrice induite e.

Épreuve de Physique I 9/9 Fin

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